新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)培優(yōu)專題訓(xùn)練專題14 空間幾何體的折疊及多面體的問題（原卷版）

專題14空間幾何體的折疊及多面體的問題1、（2019?新課標(biāo)Ⅲ，理16文16）學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用SKIPIF1<0打印技術(shù)制作模型，如圖，該模型為長(zhǎng)方體SKIPIF1<0，挖去四棱錐SKIPIF1<0后所得的幾何體，其中SKIPIF1<0為長(zhǎng)方體的中心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分別為所在棱的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0打印所用原料密度為SKIPIF1<0，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為SKIPIF1<0．2、【2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，SKIPIF1<0，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________.3、（2020江蘇9）如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，內(nèi)孔半徑為SKIPIF1<0，則此六角螺帽毛坯的體積是SKIPIF1<0．4、【2020年新高考1卷（山東卷）】已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2，∠BAD=60°．以SKIPIF1<0為球心，SKIPIF1<0為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長(zhǎng)為________．5、【2019年新課標(biāo)2卷理科】中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1．則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長(zhǎng)為_________．題組一、幾何體的多邊形問題1-1、（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示，該幾何體由一個(gè)直三棱柱SKIPIF1<0和一個(gè)四棱錐SKIPIF1<0組成，SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．若平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線為SKIPIF1<0，則AC//lC．三棱柱SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIPIF1<0D．當(dāng)該幾何體有外接球時(shí)，點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的最大距離為SKIPIF1<01-2、（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)·商功》提及一種稱之為“羨除”的幾何體，劉徽對(duì)此幾何體作注：“羨除，隧道也其所穿地，上平下邪.似兩鱉臑夾一塹堵，即羨除之形.”羨除即為：三個(gè)面為梯形或平行四邊形（至多一個(gè)側(cè)面是平行四邊形），其余兩個(gè)面為三角形的五面幾何體.現(xiàn)有羨除SKIPIF1<0如圖所示，底面SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0，其余棱長(zhǎng)為2，則羨除外接球體積與羨除體積之比為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<01-3、（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)（文））碳70是一種碳原子族，可高效殺滅癌細(xì)胞，它是由70個(gè)碳原子構(gòu)成的，其結(jié)構(gòu)是由五元環(huán)（正五邊形面）和六元環(huán)（正六邊形面）組成的封閉的凸多面體，共37個(gè)面，則其六元環(huán)的個(gè)數(shù)為（）．A．12 B．25 C．30 D．361-4、、（2022·湖北江岸·高三期末）如圖，該幾何體是由正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的，若被截的正方體棱長(zhǎng)為2，則該幾何體的表面積為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題組二、空間幾何體的折疊問題2-1、（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）（多選題）如圖，矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)，沿SKIPIF1<0將SKIPIF1<0折起，點(diǎn)SKIPIF1<0折至SKIPIF1<0處（SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0），若SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，二面角SKIPIF1<0大小為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則在SKIPIF1<0折起過程中，下列說法正確的是（

）A．存在某個(gè)位置，使得SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0C．當(dāng)SKIPIF1<0為銳角時(shí)，存在某個(gè)位置，使得SKIPIF1<0D．三棱錐SKIPIF1<0體積最大時(shí)，三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIPIF1<02-2、（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）如圖所示是一塊邊長(zhǎng)為10cm的正方形鋁片，其中陰影部分由四個(gè)全等的等腰梯形和一個(gè)正方形組成，將陰影部分裁剪下來，并將其拼接成一個(gè)無上蓋的容器（鋁片厚度不計(jì)），則該容器的容積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02-3、（2022·江蘇宿遷·高三期末）如圖，一張長(zhǎng)?寬分別為SKIPIF1<0的矩形紙，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是其四條邊的中點(diǎn).現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，使得SKIPIF1<0四點(diǎn)重合為一點(diǎn)SKIPIF1<0，從而得到一個(gè)多面體，則（）A．在該多面體中，SKIPIF1<0B．該多面體是三棱錐C．在該多面體中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0D．該多面體的體積為SKIPIF1<02-4、（2022·江蘇揚(yáng)州·高三期末）在邊長(zhǎng)為6的正三角形ABC中M，N分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，且滿足SKIPIF1<0，把△AMN沿著MN翻折至A′MN位置，則下列說法中正確的有（）A．在翻折過程中，在邊A′N上存在點(diǎn)P，滿足CP∥平面A′BMB．若SKIPIF1<0，則在翻折過程中的某個(gè)位置，滿足平面A′BC⊥平面BCNMC．若SKIPIF1<0且二面角A′－MN－B的大小為120°，則四棱錐A′－BCNM的外接球的表面積為61πD．在翻折過程中，四棱錐A′－BCNM體積的最大值為SKIPIF1<0題組三、運(yùn)用空間向量解決空間幾何體的折疊問題3-1、（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖SKIPIF1<0，菱形SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0向上翻折，得到如圖SKIPIF1<0所示得三棱錐SKIPIF1<0.

(1)證明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，在線段SKIPIF1<0上是否存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0；若不存在，請(qǐng)說明理由.3-2、（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上，且滿足SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0向上翻折，使點(diǎn)SKIPIF1<0到點(diǎn)SKIPIF1<0的位置，構(gòu)成四棱錐SKIPIF1<0.(1)若點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，試確定點(diǎn)SKIPIF1<0的位置；(2)若SKIPIF1<0，求銳二面角SKIPIF1<0的大小.3-3、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上的高，以SKIPIF1<0為折痕，將SKIPIF1<0折至SKIPIF1<0的位置，使得SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值.1、（2023·江蘇南京·校考一模）中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)習(xí)加工制作食品包裝盒.現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為6的正六邊形硬紙片，如圖所示，裁掉陰影部分，然后按虛線處折成高為SKIPIF1<0的正六棱柱無蓋包裝盒，則此包裝盒的體積為（

）A．144 B．72 C．36 D．242、（2023·吉林·統(tǒng)考三模）如圖，菱形紙片SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，O為菱形SKIPIF1<0的中心，將紙片沿對(duì)角線SKIPIF1<0折起，使得二面角SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則折紙后SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．03、（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考三模）如圖所示，正八面體的棱長(zhǎng)為2，則此正八面體的表面積與體積之比為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04、（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）把邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正方形SKIPIF1<0沿對(duì)角線SKIPIF1<0折成直二面角SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的球心到平面SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）（多選題）勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸.勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體，若用棱長(zhǎng)為4的正四面體SKIPIF1<0作勒洛四面體，如圖，則下列說法正確的是（

）A．平面SKIPIF1<0截勒洛四面體所得截面的面積為SKIPIF1<0B．記勒洛四面體上以C，D為球心的兩球球面交線為弧SKIPIF1<0，則其長(zhǎng)度為SKIPIF1<0C．該勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間距離的最大值為4D．該勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為SKIPIF1<06、（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）（多選題）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中提到底面為長(zhǎng)方形的屋狀的楔體（圖示的五面體SKIPIF1<0．底面長(zhǎng)方形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，上棱長(zhǎng)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，高（即SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離）為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是底面的中心，則（

）A．SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．五面體SKIPIF1<0的體積為5C．四邊形SKIPIF1<0與四邊形SKIPIF1<0的面積和為定值SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0與SKIPIF