2024年河南省中考天一大聯(lián)考數(shù)學試題【含答案解析】

2023—2024學年九年級學業(yè)水平診斷（二）數(shù)學注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的學校、班級、姓名、考號填寫在試卷和答題卡上，并將考號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．本試卷共8頁，三個大題，滿分120分，考試時間100分鐘．3．本試卷上不要答題，請按答題卡上注意事項的要求直接把答案寫在答題卡上．答在試卷上的答案無效．一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個選項，其中只有一個是正確的．1.的相反數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了相反數(shù)的意義，一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上“”號：一個正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，一個負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0．根據(jù)相反數(shù)的概念，即一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上“”號．【詳解】解：根據(jù)概念，的相反數(shù)是，即．故選：A2.據(jù)公安部消息，截至2023年底，我國新能源汽車保有量達2041萬輛．數(shù)據(jù)“2041萬”用科學記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了科學記數(shù)法的表示方法，熟練掌握科學記數(shù)法的表示方法是解題的關(guān)鍵．科學記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，為整數(shù)，確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當原數(shù)絕對值大于等于10時，是正整數(shù)，當原數(shù)絕對值小于1時，是負整數(shù)；由此進行求解即可得到答案．【詳解】解：2041萬．故選：C．3.洛陽開工建設(shè)的地鐵3號線，預(yù)計2025年基本建成．如圖是施工現(xiàn)場的一個螺栓（其底部為正六棱柱），則它的左視圖是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了簡單組合體的三視圖，掌握組合體的三視圖是解題的關(guān)鍵．根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案．【詳解】解：從左邊看，底層是兩個相鄰的矩形，上層的中間是一個矩形．故選：B4.下列運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查二次根式的混合運算，整數(shù)2的混合運算等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用乘法公式計算．利用同底數(shù)冪的乘法法則，合并同類項法則，乘法公式一一判斷即可．【詳解】解：A、，本選項錯誤，不符合題意；B、與，不是同類項，不能合并，本選項錯誤，不符合題意；C、，本選項錯誤，不符合題意；D、，本選項正確，符合題意．故選：D．5.已知直線，一副三角板按照如圖所示擺放，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、角的和差運算等知識點，掌握平行四邊形的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．由圖形可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，最后運用線段的和差即可解答．【詳解】解：如圖：∵,,∴,∴．故選A．6.小明統(tǒng)計了2024年年假期間（大年初二到初八）鄭州市每天的最高氣溫（單位：℃）：18，19，20，19，12，14，17，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)（單位：℃）與眾數(shù)（單位：℃）分別是（）A.19，17 B.17，19 C.17，18 D.18，19【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了平均數(shù)的定義、眾數(shù)的定義等知識點，掌握“平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)”和出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)就是眾數(shù)成為解題的關(guān)鍵．直接根據(jù)平均數(shù)和眾數(shù)的定義解答即可．【詳解】解：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：；因為這組數(shù)據(jù)19出現(xiàn)了2次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是19．故選B．7.下列關(guān)于x的方程中一定沒有實數(shù)根的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式與根的關(guān)系，熟練掌握根的判別式與根的關(guān)系式解答本題的關(guān)鍵．當時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，一元二次方程沒有實數(shù)根．根據(jù)根的判別式解答即可．【詳解】解：A．，方程有2個不相等的實數(shù)根，故不符合題意；B．，方程有2個相等的實數(shù)根，故不符合題意；C．，方程有2個不相等的實數(shù)根，故不符合題意；D．，方程沒有實數(shù)根，故符合題意；故選：D．8.二次函數(shù)的圖象如圖所示，對稱軸是直線，給出下列四個結(jié)論：①；②；③；④．其中結(jié)論正確的個數(shù)有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題時要熟練掌握并靈活運用是關(guān)鍵．依據(jù)題意，拋物線開口向上，從而，故可判斷①；又對稱軸是直線，從而，進而，故可判斷②；又由題意，拋物線與軸有兩個不同的交點，從而△，故可以判斷③；又當時，，從而，則，故可判斷④．【詳解】解：由題意，拋物線開口向上，，故①正確．又對稱軸是直線，．，故②正確．又由題意，拋物線與軸有兩個不同的交點，△，故③正確．又當時，，．，故④錯誤．綜上，正確的有3個．故選：C9.如圖，點A，B，C分別在上，連接，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，關(guān)鍵是由圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)推出，由勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)求出，．過作于，過作于，由等腰三角形的性質(zhì)推出，，由圓周角定理得到，因此，由，令，則，由勾股定理求出，由等腰三角形的性質(zhì)得到，由勾股定理求出，于是得到．【詳解】解：過作于，過作于，，，，，，，令，則，，，，，，．故選：C10.如圖1，動點P從矩形的頂點A出發(fā)，沿的方向以的速度勻速運動到點C．設(shè)點P運動所用時間為的面積為，圖2是點P運動時隨變化的關(guān)系圖象，則點D到的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查動點問題中三角形的面積，勾股定理，函數(shù)圖象與點的運動相結(jié)合，注意轉(zhuǎn)折點，即表示面積發(fā)生改變的點的含義是解題關(guān)鍵．由圖2可知，，，求出，，再由勾股定理求解的長，然后利用等面積法求解即可．【詳解】解：由圖2可知，當時，，即當P運動到點C處時，，當點P到達點B時，的面積最大為，∴，即，解方程組得，，∵，∴，由等面積得，點B到的距離為∴點D到的距離為．故選：D．二、填空題（每小題3分，共15分）11.若一次函數(shù)的圖象與y軸交于負半軸，則b的值可以是_______．（寫出一個即可）【答案】1（答案不唯一）．【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)性質(zhì)是關(guān)鍵．根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)進行解答即可．【詳解】解：一次函數(shù)的圖象與軸交于負半軸，，即，不妨．故答案為：1（答案不唯一）．12.不等式組的整數(shù)解的個數(shù)為________個．【答案】5【解析】【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵，先解出不等式組的解集，從而可以得到原不等式組有幾個整數(shù)解，本題得以解決．【詳解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，則不等式組的解集為，不等式組的整數(shù)解為，，，0，1共5個，故答案為：513.琪琪和媽媽玩摸紙牌游戲，先從一副撲克牌中抽出1張黑桃、3張紅桃，然后把它們背面朝上洗勻放在桌子上，隨機從中摸取兩張，規(guī)定兩次摸到的撲克牌花色不一樣琪琪贏，否則媽媽贏，則琪琪贏的概率是________．【答案】【解析】【分析】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及兩次摸到的撲克牌花色不一樣的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【詳解】解：列表如下：黑桃紅桃紅桃紅桃黑桃（黑桃，紅桃）（黑桃，紅桃）（黑桃，紅桃）紅桃（紅桃，黑桃）（紅桃，紅桃）（紅桃，紅桃）紅桃（紅桃，黑桃）（紅桃，紅桃）（紅桃，紅桃）紅桃（紅桃，黑桃）（紅桃，紅桃）（紅桃，紅桃）共有12種等可能的結(jié)果，其中兩次摸到的撲克牌花色不一樣的結(jié)果有6種，琪琪贏的概率是．故答案為：．14.如圖，在中，，在上取一點E，以點E為圓心，的長為半徑作弧，與邊恰好相切于點B，則圖中陰影部分面積為________．【答案】【解析】【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，扇形的面積公式，熟練運用這些性質(zhì)進行推理是本題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)扇形和三角形以及平行四邊形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接，四邊形是平行四邊形，，以點為圓心，的長為半徑作弧，與邊恰好相切于點，，，，，，，，，圖中陰影部分面積平行四邊形的面積扇形的面積的面積，故答案為：．15.如圖，菱形中，，G是對角線的中點，是等腰直角三角形，，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，連接．已知，，在旋轉(zhuǎn)過程中，當為直角三角形時，的長為________．【答案】【解析】【分析】由菱形，，可得，是等邊三角形，則，，由是等腰直角三角形，可得，在以為圓心，為半徑的圓上運動，如圖，連接，當為直角三角形時，分，，三種情況求解；當時，由題意知，三點共線，，根據(jù)，計算求解；當時，當時，由題意知，此兩種情況不成立，然后作答即可．【詳解】解：∵菱形，，∴，是等邊三角形，∴，∵G是對角線的中點，∴，∵是等腰直角三角形，，，∴，，∴在以為圓心，為半徑的圓上運動，如圖，連接，當為直角三角形時，分，，三種情況求解；當時，由題意知，三點共線，∴，∴；當時，，，此時到的距離為，∵，∴此情況不成立；當時，由題意知，此情況不成立，綜上所述，的長為，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，余弦，圓，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識．分類討論是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8個小題，共75分）16.（1）計算：；（2）化簡：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本題考查了零指數(shù)冪，實數(shù)的混合運算和分式的混合運算等知識點，能正確根據(jù)實數(shù)的運算法則和分式的運算法則進行計算是解此題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)立方根的定義，有理數(shù)的乘方和零指數(shù)冪進行計算，再算加減即可；（2）先根據(jù)分式的減法法則進行計算，再根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，再根據(jù)分式的乘法法則進行計算即可．詳解】解：（1）；（2）．17.為提高我市中學生的思維創(chuàng)新能力，市教育局舉辦了思維創(chuàng)新數(shù)學競賽，競賽設(shè)定滿分100分，學生得分均為整數(shù)．在八年級初賽中，甲、乙兩校各隨機抽取40名學生，并對其成績x（單位：分）進行整理、描述和分析．其部分信息如下．a(chǎn)．甲校學生成績的扇形統(tǒng)計圖（A組：，B組：，C組：，D組：，E組：）．b．甲校學生成績在這一組的成績是（單位：分）：73，77，73，78，72，75，77，78．c．甲、乙兩校抽取學生成績的平均數(shù)、中位數(shù)（單位：分）如下表：學校平均數(shù)中位數(shù)甲75..6n乙76.177.5（1）以上成績統(tǒng)計圖表中，．（2）在抽取的同學中，參加競賽的甲校同學，成績高于平均分的人數(shù)有p人，參加競賽的乙校同學，成績高于平均分的人數(shù)有q人，比較p，q的大小，并說明理由．（3）通過以上數(shù)據(jù)分析，你認為哪個學校學生的“思維創(chuàng)新能力”更強？請說明理由．并為另一所學校提出一條合理化教學建議．【答案】（1）22.5，74（2），理由見解答；（3）乙校學生的“思維創(chuàng)新能力”更強，理由見解答，建議：加強學生思維訓練，鼓勵學生進行創(chuàng)造性的活動；多引導學生自主學習，激發(fā)學生的學習興趣和挑戰(zhàn)欲望（寫出一條，合理即可）．【解析】【分析】本題考查中位數(shù)、平均數(shù)以及扇形統(tǒng)計圖，掌握平均數(shù)、中位數(shù)的計算方法是正確解答的前提．（1）根據(jù)中位數(shù)的定義和百分比之和為1求解即可；（2）根據(jù)題意求出，即可求解；（3）根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)即可解答．【小問1詳解】甲班組人數(shù)所占的百分比為，，，甲校學生成績排在第20，21位的是73，75，所以甲校學生成績的中位數(shù)，故答案為：22.5，74；【小問2詳解】，理由如下：抽取的甲校的學生中，成績的平均分為75，．乙校學生中，成績的平均分為76，中位數(shù)為77，且，．；【小問3詳解】乙校學生“思維創(chuàng)新能力”更強，理由如下：在抽取的競賽學生的成績中，乙校學生成績的平均數(shù)和中位數(shù)均比甲校大．建議：加強學生思維訓練，鼓勵學生進行創(chuàng)造性的活動；多引導學生自主學習，激發(fā)學生的學習興趣和挑戰(zhàn)欲望（寫出一條，合理即可）．18.如圖，在中，平分．（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)過點D作（保留作圖痕跡，不寫作法）．（2）若（1）中所作交于點F，求證：．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題考查作圖—復(fù)雜作圖、平行線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行線的判定以及作一個角等于已知角的方法作圖即可．（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)可得，則．再由角平分線的定義可得，進而可得，則，即．【小問1詳解】解：如圖，即為所求（方法不唯一）．【小問2詳解】證明：，．，，，，，．．平分，．．．．19.位于衛(wèi)輝市東南隅的鎮(zhèn)國塔，是河南省重點保護文物．鎮(zhèn)國塔為七層六角樓閣式磚塔，塔每層的六個角上都懸掛著一個風鈴，風吹起的時候叮當作響，悅耳動聽．某數(shù)學小組在老師的指導下，測算鎮(zhèn)國塔的高度．如圖，已知，在點D處測得鎮(zhèn)國塔的頂端E的仰角為，自A向鎮(zhèn)國塔走到達點B，測得鎮(zhèn)國塔的頂端E的仰角為（點A，B，C在一條直線上）．則數(shù)學小組測算的鎮(zhèn)國塔的高度是多少？（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：）【答案】數(shù)學小組測算的鎮(zhèn)國塔的高度約為．【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．過點作，垂足為，根據(jù)題意可得：，，設(shè)，則，然后分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出和的長，從而列出關(guān)于的方程進行計算，即可解答．【詳解】解：過點作，垂足為，由題意得：，，設(shè)，，，在中，，，在中，，，，，，，解得：，，數(shù)學小組測算的鎮(zhèn)國塔的高度約為．20.如圖，直線與反比例函數(shù)的圖像交于點和點B，四邊形是正方形，其中點C，D分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，過點D作，與反比例函數(shù)圖象在第二象限內(nèi)的部分相交于點F．（1）求m和k的值．（2）求點D的坐標．（3）連接，求的面積．【答案】（1）（2）（3）6【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、求函數(shù)的解析式、正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、平行線間的距離相等等知識點，靈活運用相關(guān)判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）直接利用待定系數(shù)法求解即可；（2）如圖：過點A作軸于點G，易證可得，，即可求得點D的坐標；（3）利用中心對稱求得B點的坐標，然后根據(jù)同底等高的三角形面積相等可知的面積的面積，據(jù)此即可解答．【小問1詳解】解：∵直線與反比例函數(shù)的圖像交于點，∴，解得：．【小問2詳解】解：如圖：過點A作軸于點G，∵四邊形是正方形，∴，∴，，∴.，在和中，，∴，∴，∴．【小問3詳解】解：如圖，連接，∵直線與反比例函數(shù)的圖像交于點和點B，∴點B的坐標為，∵，∴.21.為了讓學生德智體美勞全面發(fā)展，提高學生們的動手能力，致遠中學成立了烹飪社閉．為滿足社團活動的需求，計劃購買炒鍋20口，通過市場調(diào)查了解到：若購進A種炒鍋10口，B種炒鍋5口，需要1325元；若購進A種炒鍋4口，B種炒鍋3口，需要595元．（1）求購進A，B兩種炒鍋每口分別需要多少元？（2）商家了解到學校社團實際需求，特推出以下優(yōu)惠措施：購買數(shù)量少于10口購買數(shù)量不少于10口A炒鍋不打折打8折B炒鍋不打折打7.5折根據(jù)需求，要求購買B種炒鍋的數(shù)量不多于A種炒鍋數(shù)量的，請你幫忙設(shè)計出最省錢的購買方案，并求出其所需費用．【答案】（1）100，65；（2）購買種炒鍋15口、購買種炒鍋5口，1525元．【解析】【分析】本題考查一次函數(shù)和一元一次不等式的應(yīng)用，掌握一元一次不等式的解法和一次函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)種炒鍋每口元，種炒鍋每口元，根據(jù)題意列方程組并求解即可；（2）設(shè)購買種炒鍋口，則購買種炒鍋口，根據(jù)題意列關(guān)于的一元一次不等式并求其解集，從而求出的取值范圍，進而寫出所需費用關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的增減性和的取值范圍，確定當為何值時取最小值，求出的最小值及此時的值即可．【小問1詳解】解：設(shè)種炒鍋每口元，種炒鍋每口元．根據(jù)題意，得，解得，種炒鍋每口100元，種炒鍋每口65元．【小問2詳解】解：設(shè)購買種炒鍋口，則購買種炒鍋口．根據(jù)題意，得，解得，．設(shè)所需費用元，則，，隨的減小而減小，，當時，取最小值，，此時購買種炒鍋（口），購買種炒鍋15口、購買種炒鍋5口最省錢，所需費用1525元．22.某公園雕塑的頂端點A處安裝有噴水裝置，噴出的水呈拋物線形．測得雕塑的高度為，當噴出的水柱與的水平距離為時，達到最大高度．以點O為原點，所在直線為y軸建立平面直角坐標系．（1）求水柱所在拋物線的函數(shù)表達式．（2）求水柱落地點與雕塑的水平距離．（3）為實現(xiàn)動態(tài)噴水效果，公園管理處決定對該噴水設(shè)施做如下設(shè)計改進：在噴出水柱所在拋物線形狀不變的前提下，把噴水距離（動態(tài)噴水時，點B到的距離）控制在到之間（包含和），求改進后b的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題時要熟練掌握并能靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．（1）依據(jù)題意，由拋物線的頂點，故可設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為，又過點，從而，解得，進而可以得解；（2）依據(jù)題意，由（1），知，再令，則，解得進而可以判斷得解；（3）依據(jù)題意，由噴出水柱所在拋物線的形狀不變，從而可得，又由雕塑高度不變，可得，進而可