高一數(shù)學(xué)下學(xué)期考點精講+精練(人教A版2019必修第二冊)第01講基本立體圖形(原卷版+解析)

第1講基本立體圖形知識點1空間幾何體的有關(guān)概念1．空間幾何體空間中的物體都占據(jù)著空間的一部分，如果只考慮這些物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體．2．空間幾何體的分類(1)多面體：由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體．圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面；兩個面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點叫做多面體的頂點．(2)旋轉(zhuǎn)體：由一個平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體．封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸．知識點2幾種最基本的空間幾何體棱柱的結(jié)構(gòu)特征定義一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．從運動的觀點來看，棱柱也可以看成是一個平面多邊形從一個位置沿一條不與其共面的直線運動到另一位置時，其運動軌跡所形成的幾何體．棱柱中，兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，簡稱底．除底面外，其余各面叫做棱柱的側(cè)面．相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．側(cè)面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點．圖形及表示①用表示底面的各頂點的字母表示棱柱，如下圖，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分別表示為、、；②用棱柱的對角線表示棱柱，如上圖，四棱柱可以表示為棱柱或棱柱等；五棱柱可表示為棱柱、棱柱等；六棱柱可表示為棱柱、棱柱、棱柱等．結(jié)構(gòu)特征①有兩個面互相平行；②各側(cè)棱都互相平行，各側(cè)面都是平行四邊形．通俗地講，棱柱“兩頭一樣平，上下一樣粗”．注：有兩個面互相平行，并不表明只有兩個面互相平行，如長方體，有三組對面互相平行，其中任意一組對面都可以作為底面．分類①棱柱可以按底面的邊數(shù)進(jìn)行分類，底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……即棱柱的底面是幾邊形，這樣的棱柱就叫做幾棱柱．按側(cè)棱與底面是否垂直分類，可分為斜棱柱和直棱柱．側(cè)棱與底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．特別地，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．推廣平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱，即平行六面體的六個面都是平行四邊形．長方體：底面是矩形的直棱柱．正方體：棱長都相等的長方體．易錯辨析有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形，這些面圍成的幾何體不一定是棱柱．如下圖所示的幾何體滿足“有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形”這一條件，但它不是棱柱．判定一個幾何體是否是棱柱時，除了看它是否滿足：“有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形”這兩個條件外，還要看其余平行四邊形中“每兩個相鄰的四邊形的公共邊都互相平行”即“側(cè)棱互相平行”這一條件，不具備這一條件的幾何體不是棱柱．2．棱錐的結(jié)構(gòu)特征定義一般地，有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐．在棱錐中，這個多邊形面叫做棱錐的底面或底．有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側(cè)面．各側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點．相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱．圖形及表示①表示頂點和底面各頂點的字母表示棱錐．如圖所示的四棱錐可表示為棱錐S?ABCD．②用頂點和底面多邊形的一條對角線的相應(yīng)字母表示棱錐（三棱錐除外）．如圖所示的棱錐可記為四棱錐S?AC．結(jié)構(gòu)特征(1)有一個面是多邊形；(2)其余各面都是有一個公共頂點的三角形．注意：底面是正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐分類按底面的邊數(shù)進(jìn)行分類：底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱錐分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐……其中，三棱錐又稱為四面體．注意：三棱錐的所有面都是三角形，所以四個面都可以看作底．3．棱臺的結(jié)構(gòu)特征定義用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫做棱臺.原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面，除上、下底面之外的其他各面叫做棱臺的側(cè)面，相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱臺的側(cè)棱,棱臺的側(cè)面與底面的公共頂點叫做棱臺的頂點圖形及表示用表示底面各頂點的字母表示棱臺．如圖所示的四棱臺可以表示為棱臺ABCD?A′B′C′D′．結(jié)構(gòu)特征(1)上底面與下底面是互相平行的相似多邊形；(2)側(cè)面都是梯形；(3)側(cè)棱延長線必交于一點．注意：各側(cè)面是全等的等腰梯形的是棱臺稱為正棱臺．(由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺．)分類由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺、五棱臺……4．圓柱的結(jié)構(gòu)特征定義以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱．旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面；平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線．注意：圓柱與棱柱統(tǒng)稱為柱體．圖形及表示圓柱可以用表示它的軸的字母表示，上圖所示的圓柱可以表示為圓柱OO′．結(jié)構(gòu)特征(1)圓柱有無數(shù)條母線，它們平行且相等．(2)平行于底面的截面是與底面大小相同的圓．(3)圓柱的任何一條母線都平行于圓柱的軸．(4)經(jīng)過圓柱的軸的截面是一個矩形，其兩條鄰邊分別是圓柱的母線和底面直徑，經(jīng)過圓柱的軸的截面通常叫做軸截面．(5)過任意兩條母線的截面是矩形．(6)用一個平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是一個與底面全等的圓面．5．圓錐的結(jié)構(gòu)特征定義以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐．旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸,垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓錐的底面,直角三角形的斜邊繞軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫做圓錐的側(cè)面,無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，斜邊都叫做圓錐的母線，如上圖所示，SA，SB等都是圓錐的母線．母線的交點叫做圓錐的頂點注意：圓錐與棱錐統(tǒng)稱為錐體．圖形及表示圓錐可以用表示它的軸的字母表示，如圖所示的圓錐可以表示為圓錐SO．結(jié)構(gòu)特征(1)圓錐有無數(shù)條母線，它們有公共點即圓錐的頂點，且長度相等．(2)平行于底面的截面都是圓．注：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面是一個比底面小的圓面．(3)過軸的截面是全等的等腰三角形．其底邊是圓錐底面的直徑，兩腰是圓錐側(cè)面的兩條母線．(4)過任意兩條母線的截面是等腰三角形．(5)圓錐底面圓周上任意一點與圓錐頂點的連線都是圓錐側(cè)面的母線．6．圓臺的結(jié)構(gòu)特征定義用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺．原圓錐的底面和截面分別叫做圓臺的下底面和上底面．上、下底面圓心的連線所在的直線叫做圓臺的軸．原圓錐的側(cè)面被平面截去后剩余的曲面叫做圓臺的側(cè)面．原圓錐的母線被平面截去后剩余的部分叫做圓臺的母線．注意：圓臺和棱臺統(tǒng)稱為臺體．圖形及表示圓臺可以用表示它的軸的字母表示，上圖所示的圓臺可以表示為圓臺OO′．結(jié)構(gòu)特征(1)圓臺有無數(shù)條母線，且它們相等，延長后相交于一點．(2)平行于底面的截面是圓．(3)過軸的截面是全等的等腰梯形．(4)過任意兩條母線的截面是等腰梯形．7．球的結(jié)構(gòu)特征定義以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球．半圓的圓心叫做球的球心；連接球心和球面上任意一點的線段叫做球的半徑；連接球面上兩點并且經(jīng)過球心的線段叫做球的直徑．圖形及表示可以用表示球心的字母表示球，上圖所示的球可以表示為球O．結(jié)構(gòu)特征(1)球是旋轉(zhuǎn)體，球的表面是旋轉(zhuǎn)形成的曲面，球是球面及其內(nèi)部空間組成的幾何體．(2)根據(jù)球的定義，鉛球是一個球，而足球、乒乓球、籃球、排球等，雖然它們的名字中有“球”字，但它們都是空心的，不符合球的定義，因而都不是球.8．簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征定義由柱體、錐體、臺體、球體等簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體．構(gòu)成形式簡單組合體構(gòu)成的兩種基本形式簡單組合體eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(由簡單幾何體拼接而成；,由簡單幾何體截去或挖去一部分而成.))考點一棱柱的結(jié)構(gòu)特征解題方略：棱柱結(jié)構(gòu)特征問題的解題策略(1)有關(guān)棱柱概念辨析問題應(yīng)緊扣棱柱定義：①兩個面互相平行；②其余各面是平行四邊形；③相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行．求解時，首先看是否有兩個面平行，再看是否滿足其他特征．(2)多注意觀察一些實物模型和圖片便于反例排除．【例1】下面多面體中，是棱柱的共有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個變式1：如圖，將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后傾斜一個小角度，則傾斜后水槽中的水形成的幾何體是()A．棱柱 B．棱臺C．棱柱與棱錐的組合體 D．不能確定【例2】下列說法中，正確的是()A．棱柱中所有的側(cè)棱都相交于一點B．棱柱中互相平行的兩個面叫做棱柱的底面C．棱柱的側(cè)面是平行四邊形，而底面不是平行四邊形D．棱柱的側(cè)棱相等，側(cè)面是平行四邊形變式1：下列命題正確的是（）A．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C．有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱D．棱柱的側(cè)面都是全等的平行四邊形變式2：【多選】下列關(guān)于棱柱的說法正確的是()A．所有的棱柱兩個底面都平行B．所有的棱柱一定有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行C．有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體一定是棱柱D．棱柱至少有五個面變式3：【多選】下列關(guān)于棱柱的說法中不正確的是()A．棱柱的側(cè)面是平行四邊形，但它一定不是矩形B．棱柱的一條側(cè)棱的長叫做棱柱的高C．棱柱的兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面D．棱柱的所有面中，至少有兩個面互相平行【例3】一棱柱有10個頂點，其所有的側(cè)棱長的和為60cm，則每條側(cè)棱長為________cm.考點二棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征解題方略：判斷棱錐、棱臺形狀的兩個方法(1)舉反例法：結(jié)合棱錐、棱臺的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺結(jié)構(gòu)特征的某些說法不正確．(2)直接法：棱錐棱臺定底面只有一個面是多邊形，此面即為底面兩個互相平行的面，即為底面看側(cè)棱相交于一點延長后相交于一點【例4】下面圖形中，為棱錐的是()A．①③ B．①③④C．①②④ D．①②【例5】下列說法中，正確的是()①棱錐的各個側(cè)面都是三角形；②有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的幾何體是棱錐；③四面體的任何一個面都可以作為三棱錐的底面；④棱錐的各側(cè)棱長相等．A．①② B．①③C．②③ D．②④變式1：下列說法正確的是________．①一個棱錐至少有四個面；②如果四棱錐的底面是正方形，那么這個四棱錐的四條側(cè)棱都相等；③五棱錐只有五條棱；④用與底面平行的平面去截三棱錐，得到的截面三角形和底面三角形相似．變式2：下列說法正確的是()A．多面體至少有3個面B．有2個面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺C．各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體D．九棱柱有9條側(cè)棱，9個側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形變式3：一個棱錐的各棱長都相等，那么這個棱錐一定不是()A．三棱錐 B．四棱錐C．五棱錐 D．六棱錐【例6】下面四個幾何體中，是棱臺的是()變式1：下列特征不是棱臺必須具有的是()A．兩底面平行B．側(cè)面都是梯形C．側(cè)棱長都相等D．側(cè)棱延長后相交于一點變式2：下列關(guān)于棱錐、棱臺的說法：①棱臺的側(cè)面一定不會是平行四邊形；②由四個平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；③棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐．其中說法正確的序號是________．變式3：如圖所示，在三棱臺A′B′C′-ABC中，截去三棱錐A′-ABC，則剩余部分是()A．三棱錐 B．四棱錐C．三棱柱 D．組合體截面問題【例7】用一個平面去截一個三棱錐，截面形狀是()A．四邊形 B．三角形C．三角形或四邊形 D．不可能為四邊形考點三多面體的平面展開圖問題解題方略：多面體展開圖問題的解題策略(1)繪制展開圖：繪制多面體的表面展開圖要結(jié)合多面體的幾何特征，常常給多面體的頂點標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側(cè)面，便可得到其表面展開圖．(2)由展開圖復(fù)原幾何體：若是給出多面體的表面展開圖，來判斷是由哪一個多面體展開的，則可把上述過程逆推.同一個幾何體的表面展開圖可能是不一樣的，也就是說，一個多面體可有多個表面展開圖．【例8】(1)某同學(xué)制作了一個對面圖案均相同的正方體禮品盒，如圖所示，則這個正方體禮品盒的平面展開圖應(yīng)該為(對面是相同的圖案)()(2)如圖是三個幾何體的平面展開圖，請問各是什么幾何體？變式1：下列圖形經(jīng)過折疊可以圍成一個棱柱的是()變式2：水平放置的正方體的六個面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如圖是一個正方體的平面展開圖(圖中數(shù)字寫在正方體的外表面上)，若圖中“0”上方的“2”在正方體的上面，則這個正方體的下面是()A．1B．9C．快 D．樂變式3：如圖所示都是正方體的表面展開圖，還原成正方體后，其中兩個完全一樣的是()①②③④A．①② B．②③C．③④ D．①④變式4：一個幾何體的平面展開圖如圖所示．(1)該幾何體是哪種幾何體？(2)該幾何體中與“?！弊置嫦鄬Φ氖悄膫€面？“你”字面相對的是哪個面？【例9】如圖所示，在所有棱長均為1的三棱柱上，有一只螞蟻從點A出發(fā)，圍著三棱柱的側(cè)面爬行一周到達(dá)點A1，則爬行的最短路程為________．變式1：如圖，M是棱長為2cm的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中點，沿正方體表面從點A到點M的最短路程是________cm.變式2：長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只螞蟻從點A出發(fā)沿表面爬行到點C1，求螞蟻爬行的最短路線．變式3：如圖在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，沿圖中虛線將3個三角形折起，使點A，B，C重合，重合后記為點P.問：(1)折起后形成的幾何體是什么幾何體？(2)若正方形邊長為2a，則每個面的三角形面積為多少？考點四旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征解題方略：簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征問題的解題策略(1)準(zhǔn)確掌握圓柱、圓錐、圓臺和球的生成過程及其特征性質(zhì)是解決此類概念問題的關(guān)鍵．(2)解題時要注意明確兩點：①明確由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)而成；②明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線．【例10】下列命題正確的是________．①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②圓柱的母線是連接圓柱上底面上一點和下底面上一點的直線；③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；④以等腰三角形的底邊上的高所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐；⑤球面上四個不同的點一定不在同一平面內(nèi)；⑥球的半徑是球面上任意一點和球心的連線段；⑦球面上任意三點可能在一條直線上；⑧用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面．變式1：下列命題：①任意平面截圓柱，截面都是圓面；②圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線；③在圓臺上、下兩底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線，其中正確的是()A．①②B．②③C．①③D．②變式2：判斷下列各命題是否正確：(1)圓柱上底面圓上任一點與下底面圓上任一點的連線都是圓柱的母線；(2)一直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺；(3)圓錐、圓臺中過軸的截面是軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形；(4)到定點的距離等于定長的點的集合是球．變式3：下列敘述中，正確的個數(shù)是()①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是圓臺；③用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺；④圓面繞它的任一直徑旋轉(zhuǎn)形成的幾何體是球．A．0 B．1C．2 D．3變式4：下列命題中正確的是()①過球面上任意兩點只能作一個經(jīng)過球心的圓；②以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，半圓的直徑叫做球的直徑；③用不過球心的截面截球，球心和截面圓心的連線垂直于截面；④球面上任意三點可能在一條直線上；⑤球的半徑是連接球面上任意一點和球心的線段．A．①②③ B．②③④C．②③⑤ D．①④⑤變式5：有下列四個說法，其中正確的是()A．圓柱的母線與軸垂直B．圓錐的母線長等于底面圓直徑C．圓臺的母線與軸平行D．球的直徑必過球心變式6：用平面截一個幾何體，所得各截面都是圓面，則這個幾何體一定是()A．圓柱 B．圓錐C．球 D．圓臺變式7：已知球的兩個平行截面的面積分別為5π和8π，它們位于球心的同一側(cè)，且距離為1，那么這個球的半徑是()A．4 B．3C．2 D．0.5考點五圓柱、圓錐、圓臺側(cè)面展開圖問題解題方略：求幾何體表面上兩點間的最小距離的步驟(1)將幾何體沿著某棱(母線)剪開后展開，畫出其側(cè)面展開圖；(2)將所求曲線問題轉(zhuǎn)化為平面上的線段問題；(3)結(jié)合已知條件求得結(jié)果．【例11】若圓柱體被平面截成如圖所示的幾何體，則它的側(cè)面展開圖是()【例12】圓柱的母線長為10，則其高等于()A．5 B．10C．20 D．不確定變式1：用一張長為8，寬為4的矩形硬紙卷成圓柱的側(cè)面，則相應(yīng)圓柱的底面半徑是()A．2 B．2πC.eq\f(2,π)或eq\f(4,π) D.eq\f(π,2)或eq\f(π,4)變式2：一個圓錐的母線長為20，母線與軸的夾角為60°，則圓錐的高為________．變式3：已知圓錐的母線長為cm，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為____cm.變式4：用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐，截得的圓臺上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長是3cm，求圓臺的母線長．變式5：一個圓臺的母線長為12cm，兩底面面積分別為4πcm2和25πcm2.求：(1)圓臺的高；(2)截得此圓臺的圓錐的母線長．【例12】如圖所示，已知圓柱的高為80cm，底面半徑為10cm，軸截面上有P，Q兩點，且PA＝40cm，B1Q＝30cm，若一只螞蟻沿著側(cè)面從P點爬到Q點，問：螞蟻爬過的最短路徑長是多少？變式1：如圖所示，有一圓錐形糧堆，母線與底面圓的直徑構(gòu)成邊長為6m的正三角形ABC，糧堆母線AC的中點P處有一只老鼠正在偷吃糧食．此時，小貓正在B處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)P處捕捉老鼠，求小貓所經(jīng)過的最短路程．(結(jié)果不取近似值)變式2：如右圖所示，圓臺母線AB長為20cm，上、下底面半徑分別為5cm和10cm，從母線AB的中點M拉一條繩子繞圓臺側(cè)面轉(zhuǎn)到B點，求這條繩子長度的最小值．考點六簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征解題方略：簡單組合體的識別1．明確組合體的結(jié)構(gòu)特征，主要弄清它是由哪些簡單幾何體組成的，必要時也可以指出棱數(shù)、面數(shù)和頂點數(shù)．2．會識別較復(fù)雜的圖形是學(xué)好立體幾何的第一步，因此我們應(yīng)注意觀察周圍的物體，然后將它們“分拆”成幾個簡單的幾何體，進(jìn)而培養(yǎng)我們的空間想象能力和識圖能力．【例13】如圖①②所示的圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周后形成的立體圖形分別是由哪些簡單幾何體組成的？變式1：描述下列幾何體的結(jié)構(gòu)特征．變式2：正方形ABCD繞對角線AC所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得組合體的結(jié)構(gòu)特征是________________．變式3：觀察下列四個幾何體，其中可看作是由兩個棱柱拼接而成的是________(填序號)．練習(xí)一棱柱的結(jié)構(gòu)特征1、棱柱的側(cè)面一定是（

）A．菱形 B．正方形 C．平行四邊形 D．矩形2、四棱柱有幾條側(cè)棱，幾個頂點()A．四條側(cè)棱、四個頂點B．八條側(cè)棱、四個頂點C．四條側(cè)棱、八個頂點D．六條側(cè)棱、八個頂點3、下列說法中正確的是()A．所有的棱柱都有一個底面B．棱柱的頂點至少有6個C．棱柱的側(cè)棱至少有4條D．棱柱的棱至少有4條4、以下各種情況中，是長方體的是（

）A．直平行六面體 B．側(cè)面是矩形的四棱柱C．底面是矩形的平行六面體 D．底面是矩形的直棱柱5、【多選】有下列命題，其中錯誤的命題為（

）A．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C．有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱D．直四棱柱是直平行六面體練習(xí)二棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征1、下列棱錐有6個面的是()A．三棱錐 B．四棱錐C．五棱錐 D．六棱錐2、一個棱柱至少有________個面，頂點最少的一個棱臺有________條側(cè)棱．3、一個棱臺至少有________個面，面數(shù)最少的棱臺有________個頂點，有________條棱．4、下列說法錯誤的是()A．有2個面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺B．多面體至少有3個面C．各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體D．九棱柱有9條側(cè)棱，9個側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形5、以下關(guān)于多面體的命題種，真命題為（

）A．所有側(cè)面均為正三角形的四棱錐是正四棱錐B．所有側(cè)面均為正方形的四棱柱是正四棱柱C．所有側(cè)面均為正三角形的多面體是正四面體D．所有側(cè)面均為正方形的多面體是正方體練習(xí)三多面體的平面展開圖問題1、如圖所示的各圖形中，不是正方體表面展開圖的是（

）A． B．C． D．2、一個無蓋的正方體盒子的平面展開圖如圖，A、B、C是展開圖上的三點，則在正方體盒子中，（

）A． B． C． D．3、【多選】某人用如圖所示的紙片沿折痕折后粘成一個四棱錐形的“走馬燈”，正方形做燈底，且有一個三角形面上寫上了“年”字，當(dāng)燈旋轉(zhuǎn)時，正好看到“新年快樂”的字樣，則在①、②、③處應(yīng)依次寫上（

）A．樂、新、快 B．快、新、樂C．新、快、樂 D．樂、快、新4、如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，A1A＝5，現(xiàn)有一只甲殼蟲從點A出發(fā)沿長方體表面爬行到點C1來獲取食物，試畫出它的最短爬行路線，并求其路程的最小值．5、如圖，在正四棱錐中，側(cè)棱長均為，且相鄰兩條側(cè)棱的夾角為，，分別是線段，上的一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．練習(xí)四旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征1、如圖所示，觀察四個幾何體，其中判斷正確的是（

）A．①是棱臺 B．②是圓臺C．③是棱錐 D．④是棱柱2、下列命題是假命題的是（

）A．棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形B．將矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的的幾何體叫做圓柱；C．正棱錐頂點在底面的投影是底面正多邊形的中心；D．將直角三角形繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的的幾何體叫做圓錐.3、下列說法不正確的是（

）A．圓柱的側(cè)面展開圖是矩形B．球面可以看成是一個圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)180°所形成的曲面C．直角梯形繞它的一腰所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓臺D．圓柱?圓錐?圓臺中，平行于底面的截面都是圓面4、繞著它的一邊旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體可能是（

）A．圓臺 B．圓臺或兩個圓錐的組合體C．圓錐或兩個圓錐的組合體 D．圓柱5、已知等腰梯形ABCD，現(xiàn)繞著它的較長底CD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括（

）A．一個圓臺、兩個圓錐 B．一個圓柱、兩個圓錐C．兩個圓臺、一個圓柱 D．兩個圓柱、一個圓臺練習(xí)五圓柱、圓錐、圓臺側(cè)面展開圖問題1、已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（

）A．1 B．2 C．3 D．42、一個圓錐截成圓臺，已知圓臺的上、下底面半徑的比是，截去小圓錐的母線長為，則圓臺的母線長為（）A． B． C． D．3、圓柱的軸截面是一個邊長為5cm的正方形ABCD，則從A到C在圓柱側(cè)面上的最短距離為____.4、已知圓錐的母線與底面半徑之比為3，若一只螞蟻從該圓錐底部上的一點A繞圓錐側(cè)面爬行一周再回到A點的最短距離為9，則該圓錐的體積為______.5、如圖，一個立在水平地面上的圓錐形物體的母線長為4，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點處．若該小蟲爬行的最短路程為，則圓錐底面圓的半徑等于_______．練習(xí)六簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征1、如圖所示的螺母可以看成一個組合體，對其結(jié)構(gòu)特征最接近的表述是（

）A．一個六棱柱中挖去一個棱柱 B．一個六棱柱中挖去一個棱錐C．一個六棱柱中挖去一個圓柱 D．一個六棱柱中挖去一個圓臺2、指出如圖(1)(2)所示的圖形是由哪些簡單幾何體構(gòu)成的．3、如圖所示的平面中陰影部分繞中間軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體形狀為()A．一個球體B．一個球體中間挖出一個圓柱C．一個圓柱D．一個球體中間挖去一個長方體4、如圖，幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得的．現(xiàn)用一個豎直的平面去截這個幾何體，則截面圖形可能是（

）A．B． C． D．第1講基本立體圖形知識點1空間幾何體的有關(guān)概念1．空間幾何體空間中的物體都占據(jù)著空間的一部分，如果只考慮這些物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體．2．空間幾何體的分類(1)多面體：由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體．圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面；兩個面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點叫做多面體的頂點．(2)旋轉(zhuǎn)體：由一個平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體．封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸．知識點2幾種最基本的空間幾何體棱柱的結(jié)構(gòu)特征定義一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．從運動的觀點來看，棱柱也可以看成是一個平面多邊形從一個位置沿一條不與其共面的直線運動到另一位置時，其運動軌跡所形成的幾何體．棱柱中，兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，簡稱底．除底面外，其余各面叫做棱柱的側(cè)面．相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．側(cè)面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點．圖形及表示①用表示底面的各頂點的字母表示棱柱，如下圖，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分別表示為、、；②用棱柱的對角線表示棱柱，如上圖，四棱柱可以表示為棱柱或棱柱等；五棱柱可表示為棱柱、棱柱等；六棱柱可表示為棱柱、棱柱、棱柱等．結(jié)構(gòu)特征①有兩個面互相平行；②各側(cè)棱都互相平行，各側(cè)面都是平行四邊形．通俗地講，棱柱“兩頭一樣平，上下一樣粗”．注：有兩個面互相平行，并不表明只有兩個面互相平行，如長方體，有三組對面互相平行，其中任意一組對面都可以作為底面．分類①棱柱可以按底面的邊數(shù)進(jìn)行分類，底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……即棱柱的底面是幾邊形，這樣的棱柱就叫做幾棱柱．按側(cè)棱與底面是否垂直分類，可分為斜棱柱和直棱柱．側(cè)棱與底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．特別地，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．推廣平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱，即平行六面體的六個面都是平行四邊形．長方體：底面是矩形的直棱柱．正方體：棱長都相等的長方體．易錯辨析有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形，這些面圍成的幾何體不一定是棱柱．如下圖所示的幾何體滿足“有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形”這一條件，但它不是棱柱．判定一個幾何體是否是棱柱時，除了看它是否滿足：“有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形”這兩個條件外，還要看其余平行四邊形中“每兩個相鄰的四邊形的公共邊都互相平行”即“側(cè)棱互相平行”這一條件，不具備這一條件的幾何體不是棱柱．2．棱錐的結(jié)構(gòu)特征定義一般地，有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐．在棱錐中，這個多邊形面叫做棱錐的底面或底．有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側(cè)面．各側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點．相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱．圖形及表示①表示頂點和底面各頂點的字母表示棱錐．如圖所示的四棱錐可表示為棱錐S?ABCD．②用頂點和底面多邊形的一條對角線的相應(yīng)字母表示棱錐（三棱錐除外）．如圖所示的棱錐可記為四棱錐S?AC．結(jié)構(gòu)特征(1)有一個面是多邊形；(2)其余各面都是有一個公共頂點的三角形．注意：底面是正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐分類按底面的邊數(shù)進(jìn)行分類：底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱錐分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐……其中，三棱錐又稱為四面體．注意：三棱錐的所有面都是三角形，所以四個面都可以看作底．3．棱臺的結(jié)構(gòu)特征定義用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫做棱臺.原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面，除上、下底面之外的其他各面叫做棱臺的側(cè)面，相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱臺的側(cè)棱,棱臺的側(cè)面與底面的公共頂點叫做棱臺的頂點圖形及表示用表示底面各頂點的字母表示棱臺．如圖所示的四棱臺可以表示為棱臺ABCD?A′B′C′D′．結(jié)構(gòu)特征(1)上底面與下底面是互相平行的相似多邊形；(2)側(cè)面都是梯形；(3)側(cè)棱延長線必交于一點．注意：各側(cè)面是全等的等腰梯形的是棱臺稱為正棱臺．(由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺．)分類由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺、五棱臺……4．圓柱的結(jié)構(gòu)特征定義以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱．旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面；平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線．注意：圓柱與棱柱統(tǒng)稱為柱體．圖形及表示圓柱可以用表示它的軸的字母表示，上圖所示的圓柱可以表示為圓柱OO′．結(jié)構(gòu)特征(1)圓柱有無數(shù)條母線，它們平行且相等．(2)平行于底面的截面是與底面大小相同的圓．(3)圓柱的任何一條母線都平行于圓柱的軸．(4)經(jīng)過圓柱的軸的截面是一個矩形，其兩條鄰邊分別是圓柱的母線和底面直徑，經(jīng)過圓柱的軸的截面通常叫做軸截面．(5)過任意兩條母線的截面是矩形．(6)用一個平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是一個與底面全等的圓面．5．圓錐的結(jié)構(gòu)特征定義以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐．旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸,垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓錐的底面,直角三角形的斜邊繞軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫做圓錐的側(cè)面,無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，斜邊都叫做圓錐的母線，如上圖所示，SA，SB等都是圓錐的母線．母線的交點叫做圓錐的頂點注意：圓錐與棱錐統(tǒng)稱為錐體．圖形及表示圓錐可以用表示它的軸的字母表示，如圖所示的圓錐可以表示為圓錐SO．結(jié)構(gòu)特征(1)圓錐有無數(shù)條母線，它們有公共點即圓錐的頂點，且長度相等．(2)平行于底面的截面都是圓．注：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面是一個比底面小的圓面．(3)過軸的截面是全等的等腰三角形．其底邊是圓錐底面的直徑，兩腰是圓錐側(cè)面的兩條母線．(4)過任意兩條母線的截面是等腰三角形．(5)圓錐底面圓周上任意一點與圓錐頂點的連線都是圓錐側(cè)面的母線．6．圓臺的結(jié)構(gòu)特征定義用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺．原圓錐的底面和截面分別叫做圓臺的下底面和上底面．上、下底面圓心的連線所在的直線叫做圓臺的軸．原圓錐的側(cè)面被平面截去后剩余的曲面叫做圓臺的側(cè)面．原圓錐的母線被平面截去后剩余的部分叫做圓臺的母線．注意：圓臺和棱臺統(tǒng)稱為臺體．圖形及表示圓臺可以用表示它的軸的字母表示，上圖所示的圓臺可以表示為圓臺OO′．結(jié)構(gòu)特征(1)圓臺有無數(shù)條母線，且它們相等，延長后相交于一點．(2)平行于底面的截面是圓．(3)過軸的截面是全等的等腰梯形．(4)過任意兩條母線的截面是等腰梯形．7．球的結(jié)構(gòu)特征定義以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球．半圓的圓心叫做球的球心；連接球心和球面上任意一點的線段叫做球的半徑；連接球面上兩點并且經(jīng)過球心的線段叫做球的直徑．圖形及表示可以用表示球心的字母表示球，上圖所示的球可以表示為球O．結(jié)構(gòu)特征(1)球是旋轉(zhuǎn)體，球的表面是旋轉(zhuǎn)形成的曲面，球是球面及其內(nèi)部空間組成的幾何體．(2)根據(jù)球的定義，鉛球是一個球，而足球、乒乓球、籃球、排球等，雖然它們的名字中有“球”字，但它們都是空心的，不符合球的定義，因而都不是球.8．簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征定義由柱體、錐體、臺體、球體等簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體．構(gòu)成形式簡單組合體構(gòu)成的兩種基本形式簡單組合體eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(由簡單幾何體拼接而成；,由簡單幾何體截去或挖去一部分而成.))考點一棱柱的結(jié)構(gòu)特征解題方略：棱柱結(jié)構(gòu)特征問題的解題策略(1)有關(guān)棱柱概念辨析問題應(yīng)緊扣棱柱定義：①兩個面互相平行；②其余各面是平行四邊形；③相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行．求解時，首先看是否有兩個面平行，再看是否滿足其他特征．(2)多注意觀察一些實物模型和圖片便于反例排除．【例1】下面多面體中，是棱柱的共有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個【解析】根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判定知，這4個圖都滿足．故選D.變式1：如圖，將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后傾斜一個小角度，則傾斜后水槽中的水形成的幾何體是()A．棱柱 B．棱臺C．棱柱與棱錐的組合體 D．不能確定【解析】如圖．因為有水的部分始終有兩個平面平行，而其余各面都易證是平行四邊形，因此是棱柱．故選A【例2】下列說法中，正確的是()A．棱柱中所有的側(cè)棱都相交于一點B．棱柱中互相平行的兩個面叫做棱柱的底面C．棱柱的側(cè)面是平行四邊形，而底面不是平行四邊形D．棱柱的側(cè)棱相等，側(cè)面是平行四邊形【解析】A選項不符合棱柱的結(jié)構(gòu)特征；B選項中，如圖①，構(gòu)造四棱柱ABCD-A1B1C1D1，令四邊形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但這兩個面不能作為棱柱的底面；C選項中，如圖②，底面ABCD可以是平行四邊形；D選項是棱柱的結(jié)構(gòu)特征．故選D.變式1：下列命題正確的是（）A．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C．有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱D．棱柱的側(cè)面都是全等的平行四邊形【解析】有兩個面平行,其余各面都是四邊形的幾何體，A錯；有兩個面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體如圖所示，B錯；棱柱的側(cè)面不一定是全等的平行四邊形，D錯；由棱柱的定義，C正確.故選：C.變式2：【多選】下列關(guān)于棱柱的說法正確的是()A．所有的棱柱兩個底面都平行B．所有的棱柱一定有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行C．有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體一定是棱柱D．棱柱至少有五個面【解析】選ABD對于A、B、D，顯然是正確的；對于C，棱柱的定義是這樣的：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成的幾何體叫做棱柱，顯然題中漏掉了“并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行”這一條件，因此所圍成的幾何體不一定是棱柱．如圖所示的幾何體就不是棱柱，所以C錯誤．故選A、B、D.變式3：【多選】下列關(guān)于棱柱的說法中不正確的是()A．棱柱的側(cè)面是平行四邊形，但它一定不是矩形B．棱柱的一條側(cè)棱的長叫做棱柱的高C．棱柱的兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面D．棱柱的所有面中，至少有兩個面互相平行【解析】由棱柱的定義，知A不正確，例如長方體；只有直棱柱才滿足選項B的條件，故B不正確；C不正確，例如正六棱柱的相對側(cè)面互相平行；D顯然正確．故選A、B、C.【例3】一棱柱有10個頂點，其所有的側(cè)棱長的和為60cm，則每條側(cè)棱長為________cm.【解析】該棱柱為五棱柱，共有5條側(cè)棱，每條側(cè)棱長都相等，所以每條側(cè)棱長為12cm.考點二棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征解題方略：判斷棱錐、棱臺形狀的兩個方法(1)舉反例法：結(jié)合棱錐、棱臺的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺結(jié)構(gòu)特征的某些說法不正確．(2)直接法：棱錐棱臺定底面只有一個面是多邊形，此面即為底面兩個互相平行的面，即為底面看側(cè)棱相交于一點延長后相交于一點【例4】下面圖形中，為棱錐的是()A．①③ B．①③④C．①②④ D．①②【解析】根據(jù)棱錐的定義和結(jié)構(gòu)特征可以判斷，①②是棱錐，③不是棱錐，④是棱錐．故選C.【例5】下列說法中，正確的是()①棱錐的各個側(cè)面都是三角形；②有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的幾何體是棱錐；③四面體的任何一個面都可以作為三棱錐的底面；④棱錐的各側(cè)棱長相等．A．①② B．①③C．②③ D．②④【解析】由棱錐的定義，知棱錐的各側(cè)面都是三角形，故①正確；有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，如果這些三角形沒有一個公共頂點，那么這個幾何體就不是棱錐，故②錯；四面體就是由四個三角形所圍成的幾何體，因此四面體的任何一個面作底面的幾何體都是三棱錐，故③正確；棱錐的側(cè)棱長可以相等，也可以不相等，故④錯．故選B.變式1：下列說法正確的是________．①一個棱錐至少有四個面；②如果四棱錐的底面是正方形，那么這個四棱錐的四條側(cè)棱都相等；③五棱錐只有五條棱；④用與底面平行的平面去截三棱錐，得到的截面三角形和底面三角形相似．【解析】①正確．②不正確，四棱錐的底面是正方形，它的側(cè)棱可以相等．也可以不等．③不正確，五棱錐除了五條側(cè)棱外，還有五條底邊，故共10條棱．④正確．答案：①④變式2：下列說法正確的是()A．多面體至少有3個面B．有2個面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺C．各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體D．九棱柱有9條側(cè)棱，9個側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形【解析】一個多面體至少有4個面，如三棱錐有4個面，不存在有3個面的多面體，所以選項A錯誤；選項B錯誤，反例如圖1；選項C錯誤，反例如圖2，上、下底面是全等的菱形，各側(cè)面是全等的正方形，它不是正方體；根據(jù)棱柱的定義，知選項D正確．故選D.變式3：一個棱錐的各棱長都相等，那么這個棱錐一定不是()A．三棱錐 B．四棱錐C．五棱錐 D．六棱錐【解析】由題意可知，每個側(cè)面均為等邊三角形，每個側(cè)面的頂角均為60°，如果是六棱錐，因為6×60°＝360°，所以頂點會在底面上，因此不是六棱錐．故選D.【例6】下面四個幾何體中，是棱臺的是()【解析】由棱臺的結(jié)構(gòu)特征知，兩個底面平行且相似，側(cè)面都是梯形．側(cè)棱延長應(yīng)交于一點．故選C.變式1：下列特征不是棱臺必須具有的是()A．兩底面平行B．側(cè)面都是梯形C．側(cè)棱長都相等D．側(cè)棱延長后相交于一點【解析】用平行于棱錐底面的平面截棱錐，截面和底面之間的部分叫做棱臺，A，B，D正確，選C.變式2：下列關(guān)于棱錐、棱臺的說法：①棱臺的側(cè)面一定不會是平行四邊形；②由四個平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；③棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐．其中說法正確的序號是________．【解析】①正確，棱臺的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形；②正確，由四個平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；③錯誤，如圖所示四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐．[答案]①②變式3：如圖所示，在三棱臺A′B′C′-ABC中，截去三棱錐A′-ABC，則剩余部分是()A．三棱錐 B．四棱錐C．三棱柱 D．組合體【解析】余下部分是四棱錐A′-BCC′B′.故選B.截面問題【例7】用一個平面去截一個三棱錐，截面形狀是()A．四邊形 B．三角形C．三角形或四邊形 D．不可能為四邊形【解析】按如圖①所示用一個平面去截三棱錐，截面是三角形；按如圖②所示用一個平面去截三棱錐，截面是四邊形．①②考點三多面體的平面展開圖問題解題方略：多面體展開圖問題的解題策略(1)繪制展開圖：繪制多面體的表面展開圖要結(jié)合多面體的幾何特征，常常給多面體的頂點標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側(cè)面，便可得到其表面展開圖．(2)由展開圖復(fù)原幾何體：若是給出多面體的表面展開圖，來判斷是由哪一個多面體展開的，則可把上述過程逆推.同一個幾何體的表面展開圖可能是不一樣的，也就是說，一個多面體可有多個表面展開圖．【例8】(1)某同學(xué)制作了一個對面圖案均相同的正方體禮品盒，如圖所示，則這個正方體禮品盒的平面展開圖應(yīng)該為(對面是相同的圖案)()(2)如圖是三個幾何體的平面展開圖，請問各是什么幾何體？【解析】(1)由選項驗證可知選A.(2)圖①中，有5個平行四邊形，而且還有兩個全等的五邊形，符合棱柱特點；圖②中，有5個三角形，且具有共同的頂點，還有一個五邊形，符合棱錐特點；圖③中，有3個梯形，且其腰的延長線交于一點，還有兩個相似的三角形，符合棱臺的特點．把平面展開圖還原為原幾何體，如圖所示：所以①為五棱柱，②為五棱錐，③為三棱臺．[答案](1)A(2)①為五棱柱，②為五棱錐，③為三棱臺變式1：下列圖形經(jīng)過折疊可以圍成一個棱柱的是()【解析】A、B、C中底面圖形的邊數(shù)與側(cè)面的個數(shù)不一致，故不能圍成棱柱．故選D.變式2：水平放置的正方體的六個面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如圖是一個正方體的平面展開圖(圖中數(shù)字寫在正方體的外表面上)，若圖中“0”上方的“2”在正方體的上面，則這個正方體的下面是()A．1B．9C．快 D．樂【解析】將圖形折成正方體知選B.變式3：如圖所示都是正方體的表面展開圖，還原成正方體后，其中兩個完全一樣的是()①②③④A．①② B．②③C．③④ D．①④【解析】在圖②③中，⑤不動，把圖形折起，則②⑤為對面，①④為對面，③⑥為對面，故圖②③完全一樣，而圖①④則不同．變式4：一個幾何體的平面展開圖如圖所示．(1)該幾何體是哪種幾何體？(2)該幾何體中與“?！弊置嫦鄬Φ氖悄膫€面？“你”字面相對的是哪個面？【解析】(1)該幾何體是四棱臺．(2)與“?！毕鄬Φ拿媸恰扒啊保c“你”相對的面是“程”．【例9】如圖所示，在所有棱長均為1的三棱柱上，有一只螞蟻從點A出發(fā)，圍著三棱柱的側(cè)面爬行一周到達(dá)點A1，則爬行的最短路程為________．【解析】將三棱柱沿AA1展開如圖所示，則線段AD1即為最短路線，即AD1＝eq\r(AD2＋DD\o\al(2,1))＝eq\r(10).變式1：如圖，M是棱長為2cm的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中點，沿正方體表面從點A到點M的最短路程是________cm.【解析】由題意，若以BC為折疊線展開，則A，M兩點連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為2cm，3cm，故兩點之間的距離是eq\r(13)cm.若以BB1為折疊線展開，則A，M兩點連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為1,4，故兩點之間的距離是eq\r(17)cm.故沿正方體表面從點A到點M的最短路程是eq\r(13)cm.答案：eq\r(13)變式2：長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只螞蟻從點A出發(fā)沿表面爬行到點C1，求螞蟻爬行的最短路線．【解析】沿長方體的一條棱剪開，使A和C1展在同一平面上，求線段AC1的長即可，有如圖所示的三種剪法：(1)若將C1D1剪開，使面AB1與面A1C1共面，可求得AC1＝eq\r(42＋5＋32)＝eq\r(80)＝4eq\r(5).(2)若將AD剪開，使面AC與面BC1共面，可求得AC1＝eq\r(32＋5＋42)＝eq\r(90)＝3eq\r(10).(3)若將CC1剪開，使面BC1與面AB1共面，可求得AC1＝eq\r(4＋32＋52)＝eq\r(74).相比較可得螞蟻爬行的最短路線長為eq\r(74).變式3：如圖在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，沿圖中虛線將3個三角形折起，使點A，B，C重合，重合后記為點P.問：(1)折起后形成的幾何體是什么幾何體？(2)若正方形邊長為2a，則每個面的三角形面積為多少？【解析】(1)如圖折起后的幾何體是三棱錐．(2)S△PEF＝eq\f(1,2)a2，S△DPF＝S△DPE＝eq\f(1,2)×2a×a＝a2，S△DEF＝eq\f(3,2)a2.考點四旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征解題方略：簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征問題的解題策略(1)準(zhǔn)確掌握圓柱、圓錐、圓臺和球的生成過程及其特征性質(zhì)是解決此類概念問題的關(guān)鍵．(2)解題時要注意明確兩點：①明確由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)而成；②明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線．【例10】下列命題正確的是________．①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②圓柱的母線是連接圓柱上底面上一點和下底面上一點的直線；③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；④以等腰三角形的底邊上的高所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐；⑤球面上四個不同的點一定不在同一平面內(nèi)；⑥球的半徑是球面上任意一點和球心的連線段；⑦球面上任意三點可能在一條直線上；⑧用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面．[解析]①以直角三角形的一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周才可以得到圓錐，故①錯誤；②圓柱的母線是連接圓柱上底面上一點和下底面上一點的線段，且這條線段與軸平行，故②錯誤；③它們的底面為圓面，故③錯誤；④正確；作球的一個截面，在截面的圓周上任意取四點，則這四點就在球面上，故⑤錯誤；根據(jù)球的半徑定義可知⑥正確；球面上任意三點一定不共線，故⑦錯誤；用一個平面去截球，一定截得一個圓面，故⑧正確．變式1：下列命題：①任意平面截圓柱，截面都是圓面；②圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線；③在圓臺上、下兩底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線，其中正確的是()A．①②B．②③C．①③D．②【解析】過圓柱兩母線的截面為矩形，有時斜的截面為橢圓，故①錯誤；圓臺的母線不是上底面和下底面上任意兩點的連線，③錯誤；由圓錐母線的定義知②正確，故選D.變式2：判斷下列各命題是否正確：(1)圓柱上底面圓上任一點與下底面圓上任一點的連線都是圓柱的母線；(2)一直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺；(3)圓錐、圓臺中過軸的截面是軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形；(4)到定點的距離等于定長的點的集合是球．【解析】(1)錯．由圓柱母線的定義知，圓柱的母線應(yīng)平行于軸．(2)錯．直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是由一個圓柱與一個圓錐組成的簡單組合體，如圖所示．(3)正確．(4)錯．應(yīng)為球面．變式3：下列敘述中，正確的個數(shù)是()①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是圓臺；③用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺；④圓面繞它的任一直徑旋轉(zhuǎn)形成的幾何體是球．A．0 B．1C．2 D．3【解析】①應(yīng)以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)才可得到圓錐，故①錯；②以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)可得到圓臺，故②錯；③用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，可得到一個圓錐和一個圓臺，用不平行于圓錐底面的平面不能得到，故③錯；④正確．故選B.變式4：下列命題中正確的是()①過球面上任意兩點只能作一個經(jīng)過球心的圓；②以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，半圓的直徑叫做球的直徑；③用不過球心的截面截球，球心和截面圓心的連線垂直于截面；④球面上任意三點可能在一條直線上；⑤球的半徑是連接球面上任意一點和球心的線段．A．①②③ B．②③④C．②③⑤ D．①④⑤【解析】任意兩點與球心在一條直線上時，可作無數(shù)個圓，故①錯，②正確，③正確；球面上任意三點一定不共線，故④錯誤；根據(jù)球的半徑的定義可知⑤正確．故選C.變式5：有下列四個說法，其中正確的是()A．圓柱的母線與軸垂直B．圓錐的母線長等于底面圓直徑C．圓臺的母線與軸平行D．球的直徑必過球心【解析】A：圓柱的母線與軸平行；B：圓錐的母線長與底面圓的直徑不具有任何關(guān)系；C：圓臺的母線延長線與軸相交．故選D.變式6：用平面截一個幾何體，所得各截面都是圓面，則這個幾何體一定是()A．圓柱 B．圓錐C．球 D．圓臺【解析】由球的定義知選C.故選C.變式7：已知球的兩個平行截面的面積分別為5π和8π，它們位于球心的同一側(cè)，且距離為1，那么這個球的半徑是()A．4 B．3C．2 D．0.5【解析】如圖所示，∵兩個平行截面的面積分別為5π，8π，∴兩個截面圓的半徑分別為r1＝eq\r(5)，r2＝2eq\r(2).∵球心到兩個截面的距離d1＝eq\r(R2－r\o\al(2,1))，d2＝eq\r(R2－r\o\al(2,2))，∴d1－d2＝eq\r(R2－5)－eq\r(R2－8)＝1，∴R2＝9，∴R＝3.故選B.考點五圓柱、圓錐、圓臺側(cè)面展開圖問題解題方略：求幾何體表面上兩點間的最小距離的步驟(1)將幾何體沿著某棱(母線)剪開后展開，畫出其側(cè)面展開圖；(2)將所求曲線問題轉(zhuǎn)化為平面上的線段問題；(3)結(jié)合已知條件求得結(jié)果．【例11】若圓柱體被平面截成如圖所示的幾何體，則它的側(cè)面展開圖是()【解析】結(jié)合幾何體的實物圖，從截面最低點開始高度增加緩慢，然后逐漸變快，最后增加逐漸變慢，不是均衡增加的，所以A、B、C錯誤．故選D.【例12】圓柱的母線長為10，則其高等于()A．5 B．10C．20 D．不確定【解析】圓柱的母線長與高相等，則其高等于10.故選B.變式1：用一張長為8，寬為4的矩形硬紙卷成圓柱的側(cè)面，則相應(yīng)圓柱的底面半徑是()A．2 B．2πC.eq\f(2,π)或eq\f(4,π) D.eq\f(π,2)或eq\f(π,4)【解析】如圖所示，設(shè)底面半徑為r，若矩形的長8恰好為卷成圓柱底面的周長，則2πr＝8，所以r＝eq\f(4,π)；同理，若矩形的寬4恰好為卷成圓柱的底面周長，則2πr＝4，所以r＝eq\f(2,π).故選C.變式2：一個圓錐的母線長為20，母線與軸的夾角為60°，則圓錐的高為________．【解析】h＝20cos60°＝10.變式3：已知圓錐的母線長為cm，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為____cm.【解析】設(shè)底面圓的半徑為，由于側(cè)面展開圖是一個半圓，又圓錐的母線長為cm，所以該半圓的半徑為cm，所以，所以（cm）.故答案為：.變式4：用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐，截得的圓臺上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長是3cm，求圓臺的母線長．【解析】設(shè)圓臺的母線長為lcm，截得圓臺的上底面的半徑為rcm.根據(jù)題意，得圓臺的下底面的半徑為4rcm.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得eq\f(3,3＋l)＝eq\f(r,4r).解得l＝9.所以圓臺的母線長為9cm.變式5：一個圓臺的母線長為12cm，兩底面面積分別為4πcm2和25πcm2.求：(1)圓臺的高；(2)截得此圓臺的圓錐的母線長．【解析】如圖，將圓臺恢復(fù)成圓錐后作其軸截面，設(shè)圓臺的高為hcm，截得該圓臺的圓錐的母線為xcm，由條件可得圓臺上底半徑r′＝2cm，下底半徑r＝5cm.(1)由勾股定理得h＝eq\r(122－5－22)＝3eq\r(15)(cm)．(2)由三角形相似得：eq\f(x－12,x)＝eq\f(2,5)，解得x＝20(cm)．答：(1)圓臺的高為3eq\r(15)cm；(2)截得此圓臺的圓錐的母線長為20cm.【例12】如圖所示，已知圓柱的高為80cm，底面半徑為10cm，軸截面上有P，Q兩點，且PA＝40cm，B1Q＝30cm，若一只螞蟻沿著側(cè)面從P點爬到Q點，問：螞蟻爬過的最短路徑長是多少？【解析】將圓柱側(cè)面沿母線AA1展開，得如圖所示矩形．∴A1B1＝eq\f(1,2)·2πr＝πr＝10π(cm)．過點Q作QS⊥AA1于點S，在Rt△PQS中，PS＝80－40－30＝10(cm)，QS＝A1B1＝10π(cm)．∴PQ＝eq\r(PS2＋QS2)＝10eq\r(π2＋1)(cm)．即螞蟻爬過的最短路徑長是10eq\r(π2＋1)cm.變式1：如圖所示，有一圓錐形糧堆，母線與底面圓的直徑構(gòu)成邊長為6m的正三角形ABC，糧堆母線AC的中點P處有一只老鼠正在偷吃糧食．此時，小貓正在B處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)P處捕捉老鼠，求小貓所經(jīng)過的最短路程．(結(jié)果不取近似值)【解析】∵△ABC為正三角形，∴BC＝6，∴l(xiāng)＝2π×3＝6π，根據(jù)底面圓的周長等于展開后扇形的弧長，得：eq\f(nπ×6,180)＝6π，故n＝180°，則∠B′AC＝90°，∴B′P＝eq\r(36＋9)＝3eq\r(5)(m)，∴小貓所經(jīng)過的最短路程是3eq\r(5)m.變式2：如右圖所示，圓臺母線AB長為20cm，上、下底面半徑分別為5cm和10cm，從母線AB的中點M拉一條繩子繞圓臺側(cè)面轉(zhuǎn)到B點，求這條繩子長度的最小值．【解析】如右圖所示，作出圓臺的側(cè)面展開圖及其所在的圓錐．連接MB′，在圓臺的軸截面中，∵Rt△OPA∽Rt△OQB，∴eq\f(OA,OA＋AB)＝eq\f(PA,QB)，∴eq\f(OA,OA＋AB)＝eq\f(5,10).∴OA＝20(cm)．設(shè)∠BOB′＝α，由扇形弧eq\x\to(BB)′的長與底面圓Q的周長相等，得2×10×π＝2×OB×π×eq\f(α,360°)，即20π＝2×(20＋20)π×eq\f(α,360°)，∴α＝90°.∴在Rt△B′OM中，B′M＝eq\r(OM2＋OB′2)＝eq\r(302＋402)＝50(cm)．即所求繩長的最小值為50cm.考點六簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征解題方略：簡單組合體的識別1．明確組合體的結(jié)構(gòu)特征，主要弄清它是由哪些簡單幾何體組成的，必要時也可以指出棱數(shù)、面數(shù)和頂點數(shù)．2．會識別較復(fù)雜的圖形是學(xué)好立體幾何的第一步，因此我們應(yīng)注意觀察周圍的物體，然后將它們“分拆”成幾個簡單的幾何體，進(jìn)而培養(yǎng)我們的空間想象能力和識圖能力．【例13】如圖①②所示的圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周后形成的立體圖形分別是由哪些簡單幾何體組成的？【解析】旋轉(zhuǎn)后的圖形如圖所示．其中圖①是由一個圓柱O1O2和兩個圓臺O2O3，O3O4組成的；圖②是由一個圓錐O5O4，一個圓柱O3O4及一個圓臺O1O3中挖去圓錐O2O1組成的．變式1：描述下列幾何體的結(jié)構(gòu)特征．【解析】圖(1)所示的幾何體是由兩個圓臺拼接而成的組合體；圖(2)所示的幾何體是由一個圓臺挖去一個圓錐得到的組合體；圖(3)所示的幾何體是在一個圓柱中間挖去一個三棱柱后得到的組合體.變式2：正方形ABCD繞對角線AC所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得組合體的結(jié)構(gòu)特征是________________．【解析】由圓錐的定義知是兩個同底的圓錐形成的組合體．答案：兩個同底的圓錐組合體變式3：觀察下列四個幾何體，其中可看作是由兩個棱柱拼接而成的是________(填序號)．【解析】①可看作由一個四棱柱和一個三棱柱組合而成，④可看作由兩個四棱柱組合而成．答案：①④練習(xí)一棱柱的結(jié)構(gòu)特征1、棱柱的側(cè)面一定是（

）A．菱形 B．正方形 C．平行四邊形 D．矩形【解析】棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形，所以C選項正確.故選：C2、四棱柱有幾條側(cè)棱，幾個頂點()A．四條側(cè)棱、四個頂點B．八條側(cè)棱、四個頂點C．四條側(cè)棱、八個頂點D．六條側(cè)棱、八個頂點【解析】四棱柱有四條側(cè)棱、八個頂點(可以結(jié)合正方體觀察求得)．故選C.3、下列說法中正確的是()A．所有的棱柱都有一個底面B．棱柱的頂點至少有6個C．棱柱的側(cè)棱至少有4條D．棱柱的棱至少有4條【解析】棱柱有兩個底面，所以A項不正確；棱柱底面的邊數(shù)至少是3，則在棱柱中，三棱柱的頂點數(shù)是6，三棱柱的側(cè)棱數(shù)是3，三棱柱的棱數(shù)是9，所以C、D項不正確，B項正確．故選B.4、以下各種情況中，是長方體的是（

）A．直平行六面體 B．側(cè)面是矩形的四棱柱C．底面是矩形的平行六面體 D．底面是矩形的直棱柱【解析】由長方體的底面是矩形且側(cè)棱與底面垂直可知，長方體是底面是矩形的直棱柱.故選：D.5、【多選】有下列命題，其中錯誤的命題為（

）A．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C．有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱D．直四棱柱是直平行六面體【解析】A選項，它的每相鄰兩個四邊形的公共邊不一定互相平行，錯，B選項，也是它的每相鄰兩個四邊形的公共邊不一定平行，錯，C選項，它符合棱柱的定義，對，D選項，直四棱柱的底面不一定是平行四邊形，錯，故選：ABD.練習(xí)二棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征1、下列棱錐有6個面的是()A．三棱錐 B．四棱錐C．五棱錐 D．六棱錐【解析】由棱錐的結(jié)構(gòu)特征可知，五棱錐有6個面．故選C.2、一個棱柱至少有________個面，頂點最少的一個棱臺有________條側(cè)棱．【解析】面最少的棱柱是三棱柱，它有5個面；頂點最少的棱臺是三棱臺，它有3條側(cè)棱．答案：533、一個棱臺至少有________個面，面數(shù)最少的棱臺有________個頂點，有________條棱．【解析】面數(shù)最少的棱臺是三棱臺，共有5個面，6個頂點，9條棱．答案：5694、下列說法錯誤的是()A．有2個面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺B．多面體至少有3個面C．各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體D．九棱柱有9條側(cè)棱，9個側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形【解析】選項A錯誤，反例如圖①；一個多面體至少有4個面，如三棱錐有4個面，不存在有3個面的多面體，所以選項B錯誤；選項C錯誤，反例如圖②，上、下底面是全等的菱形，各側(cè)面是全等的正方形，它不是正方體；根據(jù)棱柱的定義，知選項D正確．①②5、以下關(guān)于多面體的命題種，真命題為（

）A．所有側(cè)面均為正三角形的四棱錐是正四棱錐B．所有側(cè)面均為正方形的四棱柱是正四棱柱C．所有側(cè)面均為正三角形的多面體是正四面體D．所有側(cè)面均為正方形的多面體是正方體【解析】對于A：所有側(cè)面均為正三角形的四棱錐是正四棱錐，故A正確；對于B：所有側(cè)面均為正方形的四棱柱不一定是正四棱柱，底面不一定為正方形，故B錯誤；對于C：所有側(cè)面均為正三角形的多面體是正四面體，也可能為正四棱錐，故C錯誤；對于D：所有側(cè)面均為正方形的多面體是直棱柱，故D錯誤．故選：A．練習(xí)三多面體的平面展開圖問題1、如圖所示的各圖形中，不是正方體表面展開圖的是（

）A． B．C． D．【解析】通過分析可知，A、C、D選項都是正方體表面展開圖；B選項不是正方體表面展開圖，因為有一個面會重合.故選：B2、一個無蓋的正方體盒子的平面展開圖如圖，A、B、C是展開圖上的三點，則在正方體盒子中，（

）A． B． C． D．【解析】由題意，把無蓋的正方體盒子展開后的平面圖還原成正方體，如圖所示，由此得到是等邊三角形，所以.故選：A.3、【多選】某人用如圖所示的紙片沿折痕折后粘成一個四棱錐形的“走馬燈”，正方形做燈底，且有一個三角形面上寫上了“年”字，當(dāng)燈旋轉(zhuǎn)