2024年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽北京賽區(qū)預(yù)賽一試試題（解析版）

2024年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽北京賽區(qū)預(yù)賽一試試題考試時間:8:009:20填空題(1-8題每題8分，第9題16分，第10，11題每題20分，共120分)1.設(shè)整數(shù)集合，若中所有三元子集的三個元素之積組成的集合為，則集合__________________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)總的乘積，絕對值最大的乘積，絕對值最小的乘積去分析集合中的各元素即可.【詳解】中所有三元子集共有個，中的每個元素在這些三元子集中均出現(xiàn)了次，故，，因?yàn)榧现械脑赜袀€負(fù)數(shù)個正數(shù)，故集合中的元素有個負(fù)數(shù)個正數(shù)，所以，不妨設(shè)，三個元素之積絕對值最大時，，，又為整數(shù)集合，所以，或者，；三個元素之積絕對值最小時，，又，所以，，因?yàn)榧现械脑赜袀€負(fù)數(shù)個正數(shù)，故、均為正整數(shù)，所以，，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查集合的子集，關(guān)鍵是理解題目的意思，并從“總的乘積，絕對值最大的乘積，絕對值最小的乘積”這些不同的角度去分析集合中的各元素.2.已知函數(shù)若關(guān)于的方程恰有三個不相等的實(shí)數(shù)根且滿足，則的取值范圍是__________________.【答案】【解析】【分析】求出嵌套函數(shù)解析式，作出其圖象，得到，化簡得，設(shè)右邊為新函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性得到范圍.【詳解】當(dāng)時，則，則，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，即方程恰有三個不相等的實(shí)數(shù)根等價于直線與函數(shù)的圖象有三個不同交點(diǎn)，因此.此時且，則，，從而，設(shè)，則其在上單調(diào)遞增，因此的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用分段函數(shù)的解析式求出的表達(dá)式，然后利用轉(zhuǎn)化法、數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解.3.從中任取兩個數(shù)，則的值中，個位數(shù)字為8的數(shù)有__________個.【答案】【解析】【分析】先找出個位數(shù)字，個位數(shù)字，得出周期性，再找出個位數(shù)字是8的情形即可.【詳解】當(dāng)時，個位數(shù)字分別是，個位數(shù)字分別是，周期都是4.個位數(shù)字為8的情形有，綜上，當(dāng)且僅當(dāng)時，，形如的數(shù)對的個數(shù)分別為：，下證這些數(shù)不重復(fù)：因?yàn)?，所以，若，則，故，因此，不存在重復(fù)的數(shù)故共有個.故答案為：.4.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，令，則的最大值是__________________.【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)差的幾何意義可求的最值.【詳解】因?yàn)?，所以，，?fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，是以為圓心，為半徑的圓上的點(diǎn)到兩點(diǎn)間的距離，到的距離為，所以，的最大值為.故答案為：.5.已知函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值為__________________.【答案】【解析】【分析】分類討論是有理數(shù)與無理數(shù)現(xiàn)兩種情況，結(jié)合分段函數(shù)的定義，利用換元法分析得，從而得解.【詳解】若為有理數(shù)，且，設(shè)，由，知，①當(dāng)時，不存在；②當(dāng)時，存在唯一的，此時；③當(dāng)時，設(shè)，其中，且m∈N*，此時，因?yàn)?，所以若為有理?shù)，則時，取最大值；若為無理數(shù)，且時，.綜上可知，在區(qū)間上的最大值為.故答案為：.6.對于，若非零實(shí)數(shù)滿足，且使最大，則的最小值為__________________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等式先配方出平方和，再利用柯西不等式，湊出，以等號成立的條件為依據(jù)，把轉(zhuǎn)化為一個變量的函數(shù)，求最值即可.【詳解】因?yàn)?，所以，由柯西不等式得，，?dāng)最大時，有，所以，，所以，當(dāng)，即時，上式取得最小值.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查柯西不等式，關(guān)鍵在于用柯西不等式湊出，當(dāng)反推柯西不等式時，需要結(jié)合不等式兩邊已有的式子，對相同未知數(shù)的系數(shù)進(jìn)行分析配湊.7.已知函數(shù)，且為奇函數(shù).若方程fx+m=0在上有四個不同實(shí)數(shù)解，則的平方值為__________________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)降冪公式、奇函數(shù)的性質(zhì)求解的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合整體思想進(jìn)行求解即可.【詳解】，為奇函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，所以，，，方程，即方程在上有四個不同的實(shí)數(shù)解，則或，即或，當(dāng)，即時，則，，，當(dāng)，即時，，，，所以，的平方值為.故答案為：.8.已知，且中任意兩個數(shù)的差的絕對值不等于4，也不等于9，則的最大值為__________________.【答案】1212【解析】【分析】根據(jù)，取，即可滿足中任何兩個數(shù)的差的絕對值不等于4，也不等于9，然后證明在中，最多有6個數(shù)作為余數(shù)入選，故.【詳解】因?yàn)?，取，即可滿足中任何兩個數(shù)的差的絕對值不等于4，也不等于9.下面證明以上滿足題設(shè)條件.

若或9，，并且，（1）當(dāng)時，有，而，因此；（2）當(dāng)時，為使或9，應(yīng)使得或9，進(jìn)而使得或，但，故滿足不了，因此；（3）當(dāng)時，為使或9，應(yīng)使得或9，進(jìn)而使得或，但，故滿足不了，因此；綜上所述，，這里，并且.故中任何兩個數(shù)的差的絕對值不等于4，也不等于9，此時.另一方面，在模13下考慮，將排成一個首尾相連的圓圈（這里1和10首尾相連），任意兩個相鄰的數(shù)的差的絕對值均為4或9，那么從中任取7個數(shù)，其中必定會有兩個數(shù)的差的絕對值均為4或9.因此在中，不可能同時有7個數(shù)作為余數(shù)入選，則.所以的最大值為1212.故答案為：1212.9.設(shè)多項(xiàng)式，其中.記為的正整數(shù)根的個數(shù)（含重根）.若無負(fù)整數(shù)根，的最大值是__________________.【答案】10【解析】【分析】先得到的整數(shù)根只能是，并舉例得到的情況，再說明時不合要求，從而得到結(jié)論.【詳解】當(dāng)時，，所以整數(shù)根只能是，注意到，滿足條件，此時的次數(shù)為，且展開式后任兩項(xiàng)的指數(shù)不同，因此每項(xiàng)的系數(shù)為，且1是的10重根，不為的根，即此時，理由如下：記，其中，，容易歸納證明：是一個所有系數(shù)屬于的多項(xiàng)式，再證明即為最大值，設(shè)，則，令，則，由知，，同時，矛盾，故的最大值為10.故答案為：10【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：看出，從而得到，為本題的關(guān)鍵點(diǎn).10.在棱長為4的正方體中，為棱上的一點(diǎn)，且為截面上的動點(diǎn)，則的最小值等于__________________.【答案】【解析】【分析】設(shè)E關(guān)于面的對稱點(diǎn)為，則，再建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出坐標(biāo)即可得到答案.【詳解】設(shè)E關(guān)于面的對稱點(diǎn)為，則面且，以A為原點(diǎn)，向量為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則平面的方程為，設(shè)，則，因?yàn)镋與關(guān)于面對稱，所以，即，又因?yàn)镋與在面的兩側(cè)，所以.因?yàn)槊妫?，從而，又，所以，從而，，故的最小值等?故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用坐標(biāo)法，結(jié)合點(diǎn)到平面距離公式進(jìn)行求解.11.數(shù)列定義如下：設(shè)寫成既約分?jǐn)?shù)后的分母為等于的最大質(zhì)因數(shù)，則的最大值等于__________________.【答案】4027【解析】【分析】由勒讓德公式可證明，進(jìn)而說明，然后在逐一檢驗(yàn)得是質(zhì)數(shù)，最后再取即可得出答案.【詳解】由勒讓德公式可知：，設(shè)，，因?yàn)?，所以，從而，又因?yàn)?，且，所以，又因?yàn)?，所以，故，由于，，，，，，，，故，取，有，?故答案為：.2024年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽北京賽區(qū)預(yù)賽二試試題考試時間:9:40-12:3012.設(shè)是三個正數(shù)，求證：.【答案】證明見解析【解析】【分析】不妨設(shè)，然后使用Jensen不等式證明.【詳解】由于原不等式是齊次不等式，故我們可以不妨設(shè).此時有，且.故我們需要證明的不等式即為.設(shè)，則，.對，有，所以由Jensen不等式得.這就得到，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于從齊次性入手進(jìn)行優(yōu)化假設(shè)，然后即可使用函數(shù)工具.13.如圖所示，銳角三條高線AD，BE，CF交于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作交直線BC于點(diǎn)G，設(shè)CFG的外接圓為與直線AC的另一個交點(diǎn)為P，過P作交直線AD于點(diǎn)Q，連接OD，OQ.求證:.【答案】證明見解析【解析】【分析】法一：首先證明，，三點(diǎn)共線，再證明點(diǎn)在直線上，再證明，，，四點(diǎn)共圓，最后證明垂直平分即可；法二：設(shè)CO交于另一點(diǎn)，證明四點(diǎn)共圓，最后證明即可.【詳解】如圖所示，連接，設(shè)是的直徑，連接，，.作，垂足為M.由為的垂心，易得(1)，，，四點(diǎn)共圓，(2)，，，四點(diǎn)共圓，(3)，，，四點(diǎn)共圓，(4)，，，四點(diǎn)共圓，首先證明:，，三點(diǎn)共線.證明：因?yàn)?，所以，，三點(diǎn)共線.其次證明：點(diǎn)在直線上，證明：因?yàn)槭堑闹睆?，所以，所以點(diǎn)在直線上.再次證明：，，，四點(diǎn)共圓.證明：因?yàn)槭堑闹睆?，所以，所以，最后證明：證明:因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以是中點(diǎn)，所以.法二：設(shè)CO交于另一點(diǎn)，那么由知在直線上.那么注意到知四點(diǎn)共圓.于是，另一方面，由是直徑知，故結(jié)合知.故GUQD為矩形.進(jìn)而在與中，.因此，故.14.有個球隊(duì)參加比賽，球隊(duì)之間的比賽計(jì)劃已經(jīng)安排好了.但是每場比賽的主場客場還沒有分配好.這時每個球隊(duì)都上報(bào)了自己能夠接受的客場比賽的最大次數(shù).最終組委會發(fā)現(xiàn)這些次數(shù)加在一起恰好是比賽的總場次，并且組委會還發(fā)現(xiàn)任意挑出若干支球隊(duì)，他們能夠接受的客場次數(shù)之和都要大于等于他們之間的比賽總場次.請問組委會能否安排好主客場使得每支球隊(duì)都滿意，請證明你的結(jié)論.【答案】能完成，證明見解析【解析】【分析】根據(jù)二部圖，匹配，定理的概念，再結(jié)合歸納法求解即可.【詳解】圖論相關(guān)概念：二部圖：如果頂點(diǎn)集合可分割為兩個互不相交的子集，并且圖中的每條邊所關(guān)聯(lián)的兩個頂點(diǎn)和分別屬于這兩個不同的頂點(diǎn)集，則稱圖為一個二部圖.匹配：設(shè)是一個二部圖，是圖的所有邊所構(gòu)成的集合.若包含于，而且中任何兩條邊沒有公共頂點(diǎn)，則稱是的一個匹配.相鄰：兩個頂點(diǎn)和連邊，稱頂點(diǎn)和相鄰.引理(定理)：對于一個二部圖且，存在一個匹配的充分必要條件為對于的任意子集，有，其中表示中至少與中一個點(diǎn)相鄰的點(diǎn)集.必要性：因?yàn)榇嬖诘降囊粋€匹配，所以對于中任意一點(diǎn)，均至少中一點(diǎn)與其相鄰，從而對于的任意子集，在中可以找到個點(diǎn)與中至少一點(diǎn)相鄰，設(shè)這個點(diǎn)構(gòu)成的集合為，那么，故.充分性：若對于的任意子集，有，下面對中點(diǎn)的個數(shù)進(jìn)行歸納：①當(dāng)時，顯然存在一個到的匹配；②假設(shè)對時，均存在一個到的匹配，③下面考慮時，（1）如果任取的元子集，均有，取中的一點(diǎn)，將和中與匹配的一點(diǎn)去掉，那么中還剩個點(diǎn)，記這個點(diǎn)構(gòu)成的集合為，對于的任意子集有，由歸納假設(shè)可知存在的一個匹配，加上去掉的一組點(diǎn)，構(gòu)成的一個匹配.（2）如果存在的元子集S，有，那么由歸納假設(shè)可知在圖中這組點(diǎn)構(gòu)成一個匹配，去掉這組點(diǎn)，記中去掉的點(diǎn)集為，中還剩個點(diǎn)，由歸納假設(shè)可知在圖存在匹配，與構(gòu)成的一個匹配.回到原題：結(jié)論是肯定的.設(shè)支球隊(duì)分別為，設(shè)能接受的最大客場次數(shù)為，設(shè)共有場比賽，第場比賽為，其中每場比賽的參賽雙方已經(jīng)確定，但尚未確定主客場，我們構(gòu)造二部圖，其中，中包含恰個，將與連邊當(dāng)且僅當(dāng)是的參賽球隊(duì).下說明存在的匹配，對于，任意1場比賽，設(shè)這些比賽構(gòu)成集合，并設(shè)這些比賽涉及的參賽球隊(duì)(即至少參加這之中1場比賽的球隊(duì))為，由條件，，因此，由定理，中存在的匹配.最后，我們把每場比賽的客場球隊(duì)設(shè)置為其在圖的匹配中匹配的對應(yīng)球隊(duì)，這樣，考慮到每支球隊(duì)在中出現(xiàn)的次數(shù)不超過其最大客場次數(shù)，因此每支球隊(duì)的客場次數(shù)都是被允許的.綜上所述，我們完成了主客場的安排.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：理解并熟練運(yùn)用二部圖，匹配，定理是解決本題的關(guān)鍵.15.設(shè)為個兩兩不同的正整數(shù)且恰有4048個質(zhì)因數(shù).如果中任意多個數(shù)相乘均不是一個整數(shù)的4049次方，求的最大值.【答案】【解析】【分析】法一：構(gòu)造出對，取，其中第個分量為1，每個向量有4048個，再證明；法二：設(shè)是一個質(zhì)數(shù)，再進(jìn)行合理構(gòu)造，最后利用費(fèi)馬小定理證明.【詳解】法一：設(shè)的4048個互不相同的質(zhì)因數(shù)為，設(shè)，記一組4048維向量.中任意多個數(shù)相乘均不是一個整數(shù)的4049次方等價于存在不全為零的一組數(shù)，使得的每個分量在模4049的意義下)，求的最大值等價于求能從最多多少個4048維向量中選出若干個向量的和不為0.下證:若不然，設(shè)前個向量為其中，有(的每個分量在模4049的意義下)，易知4049為質(zhì)數(shù)，由費(fèi)馬小定理可知，從而①對每一組不全為0的成立.將①式左邊看成關(guān)于的多項(xiàng)式二項(xiàng)式展開，由于1的任何次冪都是1，0的任何次冪都是項(xiàng)可看成，①式左邊常數(shù)項(xiàng)為，從而存在某個非常數(shù)項(xiàng)不為0.考慮最高次項(xiàng)，不妨設(shè)為，由于(1)式左邊次數(shù)最高為，所以，取，此時這組不全為0，那么無論如何取值①式均同余于0，這與組合零點(diǎn)定理矛盾.故最大值為，構(gòu)造:對，取，其中第個分量為1.每個向量有4048個.(注:由于在模4049的意義下，故向量可以相同).法二：設(shè)是一個質(zhì)數(shù).先給出的構(gòu)造：取，并取為.該構(gòu)造明顯是符合要求的，因?yàn)槿羧〕隽四硞€中