高一數(shù)學(xué)下學(xué)期考點(diǎn)精講+精練(人教A版2019必修第二冊(cè))第05練復(fù)數(shù)的三角表示(原卷版+解析)

第5練復(fù)數(shù)的三角表示eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,關(guān))eq\o\ac(○,練)一、單選題1．復(fù)數(shù)的輻角主值是（

）A． B． C． D．2．（

）A．1 B．-1 C． D．3．若復(fù)數(shù)（，），則把這種形式叫做復(fù)數(shù)z的三角形式，其中r為復(fù)數(shù)z的模，為復(fù)數(shù)z的輻角，則復(fù)數(shù)的三角形式正確的是（

）A． B．C． D．4．棣莫弗公式（為虛數(shù)單位）是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（

）A．3 B． C． D．6．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．7．復(fù)數(shù)表示成三角形式正確的是（

）A． B．C． D．8．________.A． B．C． D．9．設(shè)是正整數(shù)，分別記方程、的非零復(fù)數(shù)根在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)組成的集合為與．若存在，當(dāng)取遍集合中的元素時(shí)，所得的不同取值個(gè)數(shù)有5個(gè)，則的值可以是（

）A．6 B．5 C．4 D．310．將復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到的向量為，那么對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是A． B． C． D．11．歐拉是瑞士著名數(shù)學(xué)家，他首先發(fā)現(xiàn)：（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，i為虛數(shù)單位），此結(jié)論被稱為“歐拉公式”，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．根據(jù)歐拉公式可知，＝（

）A．1 B．0 C．－1 D．1＋i12．（

）A． B． C． D．13．已知復(fù)數(shù)滿足且，則的值為（

）A． B． C． D．14．如果非零復(fù)數(shù)有一個(gè)輻角為，那么該復(fù)數(shù)的（

）A．輻角唯一 B．輻角主值唯一C．輻角主值為 D．輻角主值為15．已知復(fù)數(shù)可以寫成，這種形式稱為復(fù)數(shù)的三角式，其中叫復(fù)數(shù)z的輻角，．若復(fù)數(shù)，其共扼復(fù)數(shù)為，則下列說法①?gòu)?fù)數(shù)z的虛部為；②；③z與在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱；④復(fù)數(shù)z的輻角為；其中正確的命題個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)16．下列表示復(fù)數(shù)的三角形式中①；②；③；④；正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．417．________.A． B．C． D．18．復(fù)數(shù)的三角形式為（

）A． B．C． D．19．已知復(fù)數(shù)可以寫成，這種形式稱為復(fù)數(shù)的三角式，其中叫復(fù)數(shù)z的輻角，．若復(fù)數(shù)，其共扼復(fù)數(shù)為，則下列說法①?gòu)?fù)數(shù)z的虛部為；②；③z與在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱；④復(fù)數(shù)z的輻角為；其中正確的命題個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)20．若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則為（

）A． B．120° C．240° D．210°二、多選題21．著名的歐拉公式為：，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，它使用了幾個(gè)基本的數(shù)學(xué)常數(shù)描述了實(shí)數(shù)集和復(fù)數(shù)集的聯(lián)系．其廣義一般式是，該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量坐標(biāo)為，則下列說法正確的是（

）A．B．若復(fù)數(shù)滿足，則C．若復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)表示的向量相互垂直，則D．復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)表示的向量相互垂直22．棣莫佛（，1667~1754）出生于法國(guó)香檳，十八歲去了英國(guó)倫敦，他在概率論和三角學(xué)方面，發(fā)表了許多重要論文，英國(guó)著名詩人波普（A.Pope，1688~1744）在《人類小品》中寫道：“是誰教那蜘蛛/不用直線或直尺幫忙/畫起平行線來/和棣莫佛一樣穩(wěn)穩(wěn)當(dāng)當(dāng)”.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根據(jù)這個(gè)公式可得（

）A．B．C．D．存在8個(gè)不同的復(fù)數(shù)，使三、填空題23．復(fù)數(shù)的輻角主值為__________．24．復(fù)數(shù)，則_______.25．歐拉公式（其中為虛數(shù)單位）是由著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，即當(dāng)時(shí)，，根據(jù)歐拉公式，若將所表示的復(fù)數(shù)記為，則將復(fù)數(shù)表示成三角形式為________．26．歐拉公式（為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它不僅出現(xiàn)在數(shù)學(xué)分析里，而且在復(fù)變函數(shù)論里也占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于第______象限.27．萊昂哈德·歐拉是近代著名的數(shù)學(xué)家，歐拉對(duì)數(shù)學(xué)的研究非常廣泛.復(fù)變函數(shù)中的歐拉公式(，其中是虛數(shù)單位)可以實(shí)現(xiàn)指數(shù)式和復(fù)數(shù)式的互化，那么把化成指數(shù)式為___________.28．復(fù)數(shù)的三角形式為__________．29．復(fù)數(shù)的三角形式為__________．30．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式是_____________.31．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的輻角可以表示為________.32．在復(fù)平面內(nèi)，把與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則復(fù)數(shù)是_____________.(用代數(shù)形式表示).33．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的向量是，將繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到向量，則向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為______(結(jié)果用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式表示).34．______________.35．已知復(fù)數(shù)?滿足，若和的幅角之差為，則___________.36．計(jì)算：____________．37．若復(fù)數(shù)，，則的輻角的主值為______．四、解答題38．畫出下列復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量，并把這些復(fù)數(shù)表示成三角形式：（1）；（2）.39．如圖，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，把繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°，得到.求向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)（用代數(shù)形式表示）.40．設(shè)對(duì)應(yīng)的向量為，將繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向和順時(shí)針方向分別旋轉(zhuǎn)45°和60°，求所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)（用代數(shù)形式表示）41．把復(fù)數(shù)與對(duì)應(yīng)的向量，分別按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)和后，與向量重合且模相等，已知，求復(fù)數(shù)的代數(shù)式和它的輻角主值.42．如圖，分別以的兩邊為邊向外作正三角形及，設(shè)交于用復(fù)數(shù)證明：且.第5練復(fù)數(shù)的三角表示eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,關(guān))eq\o\ac(○,練)一、單選題1．復(fù)數(shù)的輻角主值是（

）A． B． C． D．【解析】由輻角主值的定義，知復(fù)數(shù)的輻角主值是.故選：B.2．（

）A．1 B．-1 C． D．【解析】故選：C.3．若復(fù)數(shù)（，），則把這種形式叫做復(fù)數(shù)z的三角形式，其中r為復(fù)數(shù)z的模，為復(fù)數(shù)z的輻角，則復(fù)數(shù)的三角形式正確的是（

）A． B．C． D．【解析】復(fù)數(shù)的模為1，輻角為，所以復(fù)數(shù)的三角形式為.故選：A4．棣莫弗公式（為虛數(shù)單位）是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解析】由題意，所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，因?yàn)?，，所以該?fù)數(shù)在在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.故選：C.5．（

）A．3 B． C． D．【解析】.故選：B6．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【解析】由可設(shè)：，，（其中），當(dāng)時(shí)，.故選：.7．復(fù)數(shù)表示成三角形式正確的是（

）A． B．C． D．【解析】∵，，，又，∴，∴，故選：C．8．________.A． B．C． D．【解析】原式=.故選：C9．設(shè)是正整數(shù)，分別記方程、的非零復(fù)數(shù)根在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)組成的集合為與．若存在，當(dāng)取遍集合中的元素時(shí)，所得的不同取值個(gè)數(shù)有5個(gè)，則的值可以是（

）A．6 B．5 C．4 D．3【解析】由，得，即，故，0，1，2，4，5，因此集合.當(dāng)時(shí)，同理得，此時(shí)不存在，當(dāng)取遍集合中的元素時(shí)，所得的不同取值個(gè)數(shù)有5個(gè)，同理可知，時(shí)，也不滿足題意，故ACD錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，得：，當(dāng)時(shí)，當(dāng)取遍集合中的元素時(shí)，所得的不同取值個(gè)數(shù)有5個(gè)，故B正確.故選B.10．將復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到的向量為，那么對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是A． B． C． D．【解析】復(fù)數(shù)的三角形式是,向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是故選：A11．歐拉是瑞士著名數(shù)學(xué)家，他首先發(fā)現(xiàn)：（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，i為虛數(shù)單位），此結(jié)論被稱為“歐拉公式”，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．根據(jù)歐拉公式可知，＝（

）A．1 B．0 C．－1 D．1＋i【解析】由題意可知＝，故選C12．（

）A． B． C． D．【解析】故選：D.13．已知復(fù)數(shù)滿足且，則的值為（

）A． B． C． D．【解析】設(shè)，，即，，解得：，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，則，故選：D14．如果非零復(fù)數(shù)有一個(gè)輻角為，那么該復(fù)數(shù)的（

）A．輻角唯一 B．輻角主值唯一C．輻角主值為 D．輻角主值為【解析】輻角主值的范圍是，，任何一個(gè)復(fù)數(shù)都有唯一的輻角主值，非0復(fù)數(shù)有一個(gè)輻角為，則該復(fù)數(shù)有唯一的一個(gè)輻角主值．故選：B．15．已知復(fù)數(shù)可以寫成，這種形式稱為復(fù)數(shù)的三角式，其中叫復(fù)數(shù)z的輻角，．若復(fù)數(shù)，其共扼復(fù)數(shù)為，則下列說法①?gòu)?fù)數(shù)z的虛部為；②；③z與在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱；④復(fù)數(shù)z的輻角為；其中正確的命題個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解析】對(duì)于①，復(fù)數(shù)的虛部為，所以①錯(cuò)誤；對(duì)于②，因?yàn)?，所以，所以，，所以，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③，和在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，兩點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，所以③正確；對(duì)于④，，所以復(fù)數(shù)z的輻角為，所以④正確，故選：B16．下列表示復(fù)數(shù)的三角形式中①；②；③；④；正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】∵，，，∴輻角主值為，∴，故①③的表示是正確的，②④的表示不正確，故選：B．17．________.A． B．C． D．【解析】原式=.故選：C18．復(fù)數(shù)的三角形式為（

）A． B．C． D．【解析】因?yàn)?，輻角主值為，所以故選：C.19．已知復(fù)數(shù)可以寫成，這種形式稱為復(fù)數(shù)的三角式，其中叫復(fù)數(shù)z的輻角，．若復(fù)數(shù)，其共扼復(fù)數(shù)為，則下列說法①?gòu)?fù)數(shù)z的虛部為；②；③z與在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱；④復(fù)數(shù)z的輻角為；其中正確的命題個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解析】對(duì)于①，復(fù)數(shù)的虛部為，所以①錯(cuò)誤；對(duì)于②，因?yàn)?，所以，所以，，所以，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③，和在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，兩點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，所以③正確；對(duì)于④，，所以復(fù)數(shù)z的輻角為，所以④正確，故選：B20．若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則為（

）A． B．120° C．240° D．210°【解析】由，得復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，且，所以.故選：C.二、多選題21．著名的歐拉公式為：，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，它使用了幾個(gè)基本的數(shù)學(xué)常數(shù)描述了實(shí)數(shù)集和復(fù)數(shù)集的聯(lián)系．其廣義一般式是，該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量坐標(biāo)為，則下列說法正確的是（

）A．B．若復(fù)數(shù)滿足，則C．若復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)表示的向量相互垂直，則D．復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)表示的向量相互垂直【解析】∵，∴，故A正確；∵，∴．故B正確；∵對(duì)應(yīng)的向量坐標(biāo)為，對(duì)應(yīng)的向量坐標(biāo)為，∴，即，又，，∴，或．故C不正確；∵，復(fù)數(shù)，兩者對(duì)應(yīng)向量坐標(biāo)為、，∴兩向量垂直．故D正確，故選：ABD.22．棣莫佛（，1667~1754）出生于法國(guó)香檳，十八歲去了英國(guó)倫敦，他在概率論和三角學(xué)方面，發(fā)表了許多重要論文，英國(guó)著名詩人波普（A.Pope，1688~1744）在《人類小品》中寫道：“是誰教那蜘蛛/不用直線或直尺幫忙/畫起平行線來/和棣莫佛一樣穩(wěn)穩(wěn)當(dāng)當(dāng)”.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根據(jù)這個(gè)公式可得（

）A．B．C．D．存在8個(gè)不同的復(fù)數(shù)，使【解析】根據(jù)題意，在，令可得.對(duì)于A，設(shè)，則有，變形可得，則，A正確；對(duì)于B，設(shè)，則有，變形可得，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，若，即，則有，，則，在區(qū)間上，有8個(gè)解，即存在8個(gè)不同的復(fù)數(shù)，使，D正確；故選：AD.三、填空題23．復(fù)數(shù)的輻角主值為__________．【解析】因?yàn)?，所以?shù)的輻角主值為，故答案為：.24．復(fù)數(shù)，則_______.【解析】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上，所以，故答案為：.25．歐拉公式（其中為虛數(shù)單位）是由著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，即當(dāng)時(shí)，，根據(jù)歐拉公式，若將所表示的復(fù)數(shù)記為，則將復(fù)數(shù)表示成三角形式為________．【解析】因?yàn)?，所?故答案為：26．歐拉公式（為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它不僅出現(xiàn)在數(shù)學(xué)分析里，而且在復(fù)變函數(shù)論里也占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于第______象限.【解析】由歐拉公式可得，則表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為.點(diǎn)在第三象限，即表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于第三象限.故答案為：三.27．萊昂哈德·歐拉是近代著名的數(shù)學(xué)家，歐拉對(duì)數(shù)學(xué)的研究非常廣泛.復(fù)變函數(shù)中的歐拉公式(，其中是虛數(shù)單位)可以實(shí)現(xiàn)指數(shù)式和復(fù)數(shù)式的互化，那么把化成指數(shù)式為___________.【解析】因?yàn)榘鸦芍笖?shù)式需滿足，又,如當(dāng)時(shí)，，故答案為：(答案不唯一)28．復(fù)數(shù)的三角形式為__________．【解析】=.故答案為：.29．復(fù)數(shù)的三角形式為__________．【解析】因?yàn)?，所以z的三角形式可以寫作.故答案為：.30．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式是_____________.【解析】.故答案為：.31．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的輻角可以表示為________.【解析】復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，∴，，，∵輻角主值為，∴復(fù)數(shù)的輻角可以表示為：，，故答案為：，．32．在復(fù)平面內(nèi)，把與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則復(fù)數(shù)是_____________.(用代數(shù)形式表示).【解析】由題意得.故答案為：33．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的向量是，將繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到向量，則向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為______(結(jié)果用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式表示).【解析】向量與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)，把繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，可得與對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，故答案為：．34．______________.【解析】.故答案為：.35．已知復(fù)數(shù)?滿足，若和的幅角之差為，則__