高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊(cè)第三章 圓錐曲線的方程同步單元必刷卷（培優(yōu)卷）（全解全析）（含答案）

第三章圓錐曲線的方程同步單元必刷卷（培優(yōu)卷）全解全析1．C【分析】根據(jù)橢圓方程可知值，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得到值，即可求出代入離心率公式求解.【詳解】由已知可得，，則，所以，則離心率．故選：C.2．C【分析】結(jié)合拋物線的定義求得正確答案.【詳解】拋物線開口向左，依題意，拋物線上的點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為3，所以，拋物線方程為，令，得，解得，故選：C3．C【分析】根據(jù)拋物線的定義即可求解.【詳解】由拋物線的定義可知，，所以．故選：C.4．A【分析】由題意，根據(jù)雙曲線的定義，求得點(diǎn)的軌跡方程，聯(lián)立直線與雙曲線，求交點(diǎn)，可得答案.【詳解】由題意，點(diǎn)的軌跡是以兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，則，即方程為，對(duì)于A，聯(lián)立方程，消去可得，則，則方程無(wú)實(shí)數(shù)解，故直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)，故A符合題意；對(duì)于B，聯(lián)立方程，消去可得，解得，故直線與雙曲線的右支有一個(gè)交點(diǎn)，則B不符合題意；對(duì)于C，聯(lián)立方程，消去可得，則，解得，由，則直線與雙曲線的右支存在一個(gè)交點(diǎn)，故C不符合題意；對(duì)于D，聯(lián)立方程，消去可得，則，解得，由，則直線與雙曲線的右支存在一個(gè)交點(diǎn)，故D不符合題意.故選：A.5．D【分析】由題意可以得到為的傾斜角減去的傾斜角，利用兩角差的正切公式即可較易得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，，直線，的傾斜角分別為，，由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)為第二象限的點(diǎn)，即，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，又因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以，所以．故選：D.6．A【分析】利用已知條件列出方程組，求解得關(guān)于，的等式關(guān)系，轉(zhuǎn)化為離心率的式子，即可求得．【詳解】解：如圖，正方形的頂點(diǎn)A，B為雙曲線的焦點(diǎn)，頂點(diǎn)C，D在雙曲線上則，故由正方形得：，所以，則即：，兩邊同除得：，解得：或（舍）故選：A.7．C【分析】首先利用兩點(diǎn)間距離表示，再結(jié)合基本不等式求最值，并且求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線上的點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí),，所以.故選：C8．B【分析】利用雙曲線的光學(xué)性質(zhì)及雙曲線定義，用表示，再在兩個(gè)直角三角形中借助勾股定理求解作答.【詳解】依題意，直線都過(guò)點(diǎn)，如圖，有，，設(shè)，則，顯然有，，，因此，，在，，即，解得，即，令雙曲線半焦距為c，在中，，即，解得，所以E的離心率為.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求雙曲線離心率的三種方法：①定義法，通過(guò)已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；②齊次式法，由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；③特殊值法：通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率.9．CD【分析】根據(jù)曲線的形狀求出參數(shù)的取值范圍，可判斷A選項(xiàng)；利用集合的包含關(guān)系可判斷BCD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若曲線為橢圓，則，解得且，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)榛?，所以，“”是“曲線是橢圓”的必要不充分條件，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，又因?yàn)椋?，“曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓”是“”的必要不充分條件，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，所以，“曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓”是“”的充要條件，D對(duì).故選：CD.10．BD【分析】由雙曲線的定義，可判定A錯(cuò)誤；由，結(jié)合雙曲線的方程，得到，所以B正確；結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，可判定C錯(cuò)誤；結(jié)合，得到，可判定D正確．【詳解】由題意，點(diǎn)是雙曲線上異于的任意一點(diǎn)，設(shè)，對(duì)于A中，由雙曲線的定義知，，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，，可得，又由，所以，可得，所以B正確；對(duì)于C中，若P在第一象限，則當(dāng)時(shí)，，為等腰三角形；當(dāng)時(shí)，，也為等腰三角形，故點(diǎn)P在第一象限且使得為等腰三角形的點(diǎn)P有兩個(gè)．同理可得，在第二、三、四象限且使得為等腰三角形的點(diǎn)P也各有兩個(gè)，因此使得為等腰三角形的點(diǎn)P共有八個(gè)，所以C錯(cuò)誤．對(duì)于D中，由，得，從而，所以D正確．故選：BD．11．AD【分析】根據(jù)拋物線方程求得直線方程，結(jié)合三角形的知識(shí)求得的最大值，結(jié)合拋物線的定義求得的最小值以及判斷出以線段為直徑的圓與y軸相切.【詳解】由題意得，則焦點(diǎn)，準(zhǔn)線l的方程是，故A正確；，當(dāng)點(diǎn)M在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)等號(hào)成立，∴的最大值為，故B錯(cuò)誤；如圖所示，過(guò)點(diǎn)M，E分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為A，B，則，當(dāng)點(diǎn)M在線段上時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值為5，故C不正確；設(shè)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為D，則，∴以線段為直徑的圓與y軸相切，D正確.故選：AD12．CD【分析】設(shè)點(diǎn),表示出，由求得曲線的方程，判斷A;設(shè)，求得P到直線的距離的最大值，求出面積的最大值，判斷B;由橢圓定義可將化為，利用三點(diǎn)共線知識(shí)求得的最大值，判斷C;利用三點(diǎn)共線知識(shí)求得的最大值,判斷D.【詳解】由題意得，設(shè)點(diǎn)，則,因?yàn)?，故，整理，得，即?dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為，故A錯(cuò)誤；設(shè)點(diǎn)，所在直線方程為，則P到直線的距離為，當(dāng)時(shí)即時(shí)，d取最大值，而,故面積的最大值為，B錯(cuò)誤；由以上分析知為橢圓的焦點(diǎn)，由橢圓的定義，得，故，而，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且點(diǎn)P位于第四象限時(shí)等號(hào)成立，所以，故C正確；由題意知,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且點(diǎn)P位于第一象限時(shí)等號(hào)成立，即的最大值為，D正確，故選︰．13．【分析】根據(jù)漸近線方程可得，又，可得與的值，進(jìn)而可得雙曲線方程.【詳解】由題可設(shè)雙曲線方程為，由漸近線方程為，可得，，又因?yàn)?，即，解得，則，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：.14．【分析】根據(jù)拋物線的定義可得四邊形ABCD為平行四邊形，進(jìn)而可求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解.【詳解】如圖所示，由已知，．得．因?yàn)檩S，，，所以四邊形ABCD為平行四邊形，且，所以，解得，代入得，所以．故答案為：.15．①③④【分析】對(duì)于①利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；對(duì)于②，分別設(shè)兩條曲線上的切線方程，然后根據(jù)公切線的定義建立方程，將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，研究函數(shù)的零點(diǎn)即可；對(duì)于③，利用拋物線的焦半徑公式轉(zhuǎn)化求的最小值，進(jìn)而建立函數(shù)，然后再研究函數(shù)的單調(diào)性即可；對(duì)于④，先設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)軸，進(jìn)而建立目標(biāo)函數(shù)，然后研究該函數(shù)單調(diào)性即可.【詳解】解：選項(xiàng)①，對(duì)于曲線，，當(dāng)時(shí)，，，故直線與曲線相切與點(diǎn)；聯(lián)立，可得，故此時(shí)直線與切于點(diǎn)，故直線l：是曲線和的公切線，故①正確；對(duì)于②，設(shè)公切線分別與切于點(diǎn)，則曲線的切線為：，曲線的切線為，根據(jù)與表示同一條直線，則有，解得，令，則有，可得在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，即存在一條公切線故曲線和的公切線有且僅有2條，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，如圖所示，可得，根據(jù)拋物線的焦半徑公式可得，故有：，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，則有：，令，可得，再次求導(dǎo)可得：，故在上單調(diào)遞增，又，可得：當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；故，則，故，故③正確；對(duì)于④，當(dāng)軸時(shí)，設(shè)，則，則有：，記，則有，令，解得：，故當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；故有，故，故選項(xiàng)④正確.故答案為：①③④.16．.【分析】設(shè)設(shè)，，然后將直線方程代入雙曲線方程并化簡(jiǎn)，進(jìn)而根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及建立關(guān)于的方程，進(jìn)而解得答案.【詳解】由題意，設(shè)，易知，設(shè)，則，代入雙曲線方程得：，易知，，…①，由，代入①得：，所以，，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】由，由此可知題目應(yīng)涉及到根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而設(shè)出直線方程然后與雙曲線聯(lián)立，然后解決問(wèn)題.17．(1)；(2)（i）0；（ii）16.【分析】（1）結(jié)合已知條件，設(shè)，利用直接法求軌跡方程即可.（2）(i)首先設(shè)出直線的方程，然后聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理以及向量的共線關(guān)系即可求解；(ii)結(jié)合韋達(dá)定理以及距離公式表示出，然后利用基本不等式即可求解.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，則，且，由得：，即化簡(jiǎn)得，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為：.（2）(i)設(shè)直線的方程為：．設(shè)，，又，聯(lián)立，消去得，，，由韋達(dá)定理知，由，得：，，整理得：，，故．(ii)．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為．18．(1)(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)右焦點(diǎn)和漸近線方程，可列出關(guān)于的方程，進(jìn)而求解即可；（2）先設(shè)出和直線與直線的交點(diǎn)，先表示出坐標(biāo)，再由，列出方程組，最后消參可得定曲線方程.（1）解：由于雙曲線右焦點(diǎn)為，漸近線為，所以，，解得，所以雙曲線的方程為：（2）證明：設(shè)，直線與直線的交點(diǎn)為，設(shè)直線為，由題可知：，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，所以，由可得，那么，所以，由于是中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以且，解得，因?yàn)橹本€與直線的交點(diǎn)為，根據(jù)斜率相等可得，代入的坐標(biāo)得化簡(jiǎn)得，將兩式相乘得，即為，所以直線與直線的交點(diǎn)在定曲線上.19．(1)(2)條件選擇見(jiàn)解析，存在滿足題意【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)條件可得出關(guān)于、的等式，化簡(jiǎn)可得出點(diǎn)的軌跡方程；（2）選①，分析可知直線的斜率存在，分兩種情況討論：時(shí)，直接驗(yàn)證；時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)、，將該直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，寫出直線的方程，求出直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)，綜合可得出結(jié)論；選②，假設(shè)存在滿足題意，分析可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)、，將該直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，根據(jù)可得出關(guān)于的等式，求出的值，即可得出結(jié)論.（1）解：設(shè)，又、，則，，由，得，化簡(jiǎn)得，點(diǎn)的軌跡方程為．（2）解：若選①，若直線軸，則該直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，所以，直線的斜率存在．當(dāng)時(shí)，與重合，此時(shí)對(duì)軸上任意一點(diǎn)，、、三點(diǎn)共線．當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)、，聯(lián)立得，，則，由韋達(dá)定理可得，，則直線的斜率，所以，直線的方程為，化簡(jiǎn)得，所以，直線過(guò)定點(diǎn)，存在滿足題意．綜上，滿足題意的點(diǎn)的坐標(biāo)為；若選②，假設(shè)存在滿足題意，若直線軸，則該直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)、，聯(lián)立得，，則，由韋達(dá)定理可得，，，所以，，即對(duì)任意的恒成立，則.所以，存在滿足題意．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過(guò)定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來(lái)證明.20．(1)(2)存在定點(diǎn)，.【分析】（1）由題意可得，再利用直線的斜率為時(shí)，設(shè)，列出方程求得，進(jìn)而求得，可得答案；（2）設(shè)，則，表示出直線，的方程，求出，坐標(biāo)，利用以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，進(jìn)而求得答案.【詳解】（1）由題意可知，則橢圓方程即，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，，故設(shè)，，解得，將代入得，即，故，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，則，則，由橢圓方程可得，∴直線方程為︰，令可得，直線方程為：，令得，假設(shè)存在定點(diǎn)，使得，則定點(diǎn)必在以為直徑的圓上，以為直徑的圓為,即，∵，即∴，令，則，解得，∴以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，即存在定點(diǎn)，使得．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線和橢圓的位置關(guān)系中的定點(diǎn)問(wèn)題，能很好地考查學(xué)生的思維能力和計(jì)算能力，解答時(shí)要注意明確解題思路準(zhǔn)確計(jì)算，解答的關(guān)鍵是通過(guò)，推出以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，從而求出定點(diǎn)的坐標(biāo).21．（1）；（2）.【分析】（1）依據(jù)題意可得，簡(jiǎn)單計(jì)算即可.（2）假設(shè)點(diǎn)，然后分別求出直線、方程，進(jìn)一步得到坐標(biāo)，并表示，最后結(jié)合橢圓方程，簡(jiǎn)單計(jì)算即可.【詳解】解：（1）由條件得，解得，，所以橢圓方程為；（2）設(shè)，由題意直線，的斜率均存在，則：①：②∴，，則.因?yàn)樵跈E圓上，所以有