第44講 復數(shù)（八大題型）（講義）（原卷版）-2025數(shù)學一輪復習（含2024年高考真題+回歸教材）

2/16第03講復數(shù)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標導航 202知識導圖·思維引航 303考點突破·題型探究 4知識點1：復數(shù)的概念 4知識點2：復數(shù)的四則運算 4解題方法總結(jié) 6題型一：復數(shù)的概念 6題型二：復數(shù)的運算 7題型三：復數(shù)的幾何意義 8題型四：復數(shù)的相等與共軛復數(shù) 9題型五：復數(shù)的模 9題型六：復數(shù)的三角形式 10題型七：與復數(shù)有關的最值問題 11題型八：復數(shù)方程 1304真題練習·命題洞見 1305課本典例·高考素材 1406易錯分析·答題模板 15易錯點：復數(shù)運算法則的應用有誤 15答題模板：復數(shù)式的計算 16

考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）復數(shù)的有關概念（2）復數(shù)的幾何意義（3）復數(shù)的四則運算2024年I卷第2題，5分2024年II卷第1題，5分2023年I卷第2題，5分2023年II卷第1題，5分2022年I卷II卷第2題，5分2021年II卷第1題，5分2021年I卷第2題，5分高考對復數(shù)的考查相對穩(wěn)定，每年必考題型，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大．復數(shù)的運算、概念、復數(shù)的模、復數(shù)的幾何意義是?？键c，難度較低，預測高考在此處仍以簡單題為主．復習目標：（1）通過方程的解，認識復數(shù)．（2）理解復數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個復數(shù)相等的含義．（3）掌握復數(shù)的四則運算，了解復數(shù)加、減運算的幾何意義．

知識點1：復數(shù)的概念（1）叫虛數(shù)單位，滿足，當時，．（2）形如的數(shù)叫復數(shù)，記作．=1\*GB3①復數(shù)與復平面上的點一一對應，叫z的實部，b叫z的虛部；Z點組成實軸；叫虛數(shù)；且，z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對應點組成虛軸（不包括原點）．兩個實部相等，虛部互為相反數(shù)的復數(shù)互為共軛復數(shù)．=2\*GB3②兩個復數(shù)相等（兩復數(shù)對應同一點）=3\*GB3③復數(shù)的模：復數(shù)的模，也就是向量的模，即有向線段的長度，其計算公式為，顯然，．【診斷自測】（2024·湖南衡陽·模擬預測）若復數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．知識點2：復數(shù)的四則運算1、復數(shù)運算（1）（2）其中，叫z的模；是的共軛復數(shù)．（3）．實數(shù)的全部運算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運算法則）都適用于復數(shù)．注意：復數(shù)加、減法的幾何意義以復數(shù)分別對應的向量為鄰邊作平行四邊形，對角線表示的向量就是復數(shù)所對應的向量．對應的向量是．2、復數(shù)的幾何意義（1）復數(shù)對應平面內(nèi)的點；（2）復數(shù)對應平面向量；（3）復平面內(nèi)實軸上的點表示實數(shù)，除原點外虛軸上的點表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點都表示復數(shù)．（4）復數(shù)的模表示復平面內(nèi)的點到原點的距離．3、復數(shù)的三角形式（1）復數(shù)的三角表示式一般地，任何一個復數(shù)都可以表示成形式，其中是復數(shù)的模；是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復數(shù)的輻角．叫做復數(shù)的三角表示式，簡稱三角形式．（2）輻角的主值任何一個不為零的復數(shù)的輻角有無限多個值，且這些值相差的整數(shù)倍．規(guī)定在范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值．通常記作，即．復數(shù)的代數(shù)形式可以轉(zhuǎn)化為三角形式，三角形式也可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式．（3）三角形式下的兩個復數(shù)相等兩個非零復數(shù)相等當且僅當它們的模與輻角的主值分別相等．（4）復數(shù)三角形式的乘法運算①兩個復數(shù)相乘，積的模等于各復數(shù)的模的積，積的輻角等于各復數(shù)的輻角的和，即．②復數(shù)乘法運算的三角表示的幾何意義復數(shù)對應的向量為，把向量繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角（如果，就要把繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)角），再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋?，得到向量，表示的復?shù)就是積．（5）復數(shù)三角形式的除法運算兩個復數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差，即．【診斷自測】（2024·河北衡水·模擬預測）若為純虛數(shù)，，則（

）A． B． C．2 D．3解題方法總結(jié)復數(shù)的方程在復平面上表示的圖形(1)表示以原點O為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；(2)表示以為圓心，r為半徑的圓．題型一：復數(shù)的概念【典例1-1】（2024·新疆·三模）復數(shù)滿足，則的虛部為（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2024·湖北武漢·模擬預測）設復數(shù),則的虛部是（

）A． B． C． D．【方法技巧】無論是復數(shù)模、共軛復數(shù)、復數(shù)相等或代數(shù)運算都要認清復數(shù)包括實部和虛部兩部分，所以在解決復數(shù)有關問題時要將復數(shù)的實部和虛部都認識清楚．【變式1-1】（2024·重慶·三模）設復數(shù)z滿足，則z的虛部為（）A． B． C．3 D．【變式1-2】（2024·福建泉州·模擬預測）若，則的虛部為（

）A． B． C． D．【變式1-3】若復數(shù)滿足，且為純虛數(shù)，則.題型二：復數(shù)的運算【典例2-1】（2024·四川·模擬預測）已知復數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．【典例2-2】設i是虛數(shù)單位，則復數(shù)（

）A． B． C． D．【方法技巧】設，則（1）（2）（3）【變式2-1】（2024·青海海南·一模）已知，則（

）A． B．C． D．【變式2-2】（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）下列有關復數(shù)，的等式中錯誤的是（

）A． B．C． D．【變式2-3】已知復數(shù)，的模長為1，且，則的值是（

）A．1 B． C． D．題型三：復數(shù)的幾何意義【典例3-1】（2024·山西呂梁·三模）已知復數(shù)滿足，則復數(shù)在復平面對應的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【典例3-2】若復數(shù)滿足，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【方法技巧】復數(shù)的幾何意義在于復數(shù)的實質(zhì)是復平面上的點，其實部、虛部分別是該點的橫坐標、縱坐標，這是研究復數(shù)幾何意義的最重要的出發(fā)點．【變式3-1】（2024·陜西銅川·模擬預測）已知復數(shù)的實部為的虛部為，則在復平面內(nèi)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式3-2】（2024·浙江·模擬預測）若復數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位)，則z在復平面內(nèi)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式3-3】（2024·陜西銅川·模擬預測）已知復數(shù)的實部為的虛部為，則的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式3-4】（2024·河南信陽·模擬預測）在復平面內(nèi)，把復數(shù)對應的向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)，所得向量在上的投影向量對應復數(shù)是（

）A． B． C． D．題型四：復數(shù)的相等與共軛復數(shù)【典例4-1】（2024·天津武清·模擬預測）已知，且，則．【典例4-2】已知復數(shù)z的共軛復數(shù)是，若，則.【方法技巧】復數(shù)相等：共軛復數(shù)：．【變式4-1】（2024·山東聊城·二模）已知，且，則．【變式4-2】（2024·全國·模擬預測）為虛數(shù)單位，復數(shù)，復數(shù)的共軛復數(shù)為，則的虛部為．【變式4-3】已知，且滿足（其中為虛數(shù)單位），則．【變式4-4】已知a，，，則.題型五：復數(shù)的?！镜淅?-1】已知復數(shù)，且，則.【典例5-2】（2024·江西南昌·三模）已知復數(shù)滿足，則.【方法技巧】【變式5-1】復數(shù)的模為.【變式5-2】已知，則．【變式5-3】（2024·福建廈門·三模）復數(shù)滿足，，則.【變式5-4】已知復數(shù)數(shù)列滿足，則.題型六：復數(shù)的三角形式【典例6-1】一般地，任何一個復數(shù)（，）都可以表示成形式，其中是復數(shù)的模，是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復數(shù)的輻角，叫做復數(shù)的三角表示式，簡稱三角形式.為了與“三角形式”區(qū)分開來，（，）叫做復數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱“代數(shù)形式”.已知，，，其中，，則．(結(jié)果表示代數(shù)形式)【典例6-2】計算的結(jié)果是.【方法技巧】一般地，任何一個復數(shù)都可以表示成形式，其中是復數(shù)的模；是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復數(shù)的輻角．叫做復數(shù)的三角表示式，簡稱三角形式．【變式6-1】（2024·浙江紹興·模擬預測）已知，則在下列表達式中表示的是（

）A． B．C． D．【變式6-2】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）復數(shù)是虛數(shù)單位在復平面內(nèi)對應點為，設是以軸的非負半軸為始邊，以所在的射線為終邊的角，則，把叫做復數(shù)的三角形式，利用復數(shù)的三角形式可以進行復數(shù)的指數(shù)運算，，例如：，，復數(shù)滿足：，則可能取值為（

）A． B．C． D．【變式6-3】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i為虛數(shù)單位）是由法國數(shù)學家棣莫弗（1667-1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式6-4】（2024·湖北恩施·模擬預測）任意一個復數(shù)都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法國數(shù)學家棣莫弗（1667－1754年）創(chuàng)立的，指的是：設兩個復數(shù)，，則，已知復數(shù)，則（

）A． B． C． D．1題型七：與復數(shù)有關的最值問題【典例7-1】（2024·江蘇泰州·模擬預測）若復數(shù)，滿足，，則的最大值是（

）A． B． C．7 D．8【典例7-2】（2024·山東煙臺·三模）若復數(shù)z滿足，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【方法技巧】利用幾何意義進行轉(zhuǎn)化【變式7-1】（2024·高三·河北滄州·期中）已知復數(shù)，復數(shù)滿足，則的最大值為（

）A．7 B．6 C． D．【變式7-2】（2024·湖南長沙·三模）已知復數(shù)z滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式7-3】（2024·江蘇·模擬預測）若復數(shù)，則的最大值是（

）A． B． C． D．【變式7-4】（2024·湖北鄂州·一模）已知復數(shù)，滿足，（其中i是虛數(shù)單位），則的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．3【變式7-5】（2024·山東·模擬預測）復數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．【變式7-6】已知復數(shù)滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式7-7】（2024·安徽安慶·一模）設復數(shù)z滿足條件|z|＝1，那么取最大值時的復數(shù)z為（

）A．+i B．+i C．i D．i題型八：復數(shù)方程【典例8-1】（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知復數(shù)是關于的方程的一個根，則（

）A．25 B．5 C． D．41【典例8-2】（2024·江蘇·一模）已知是關于x的方程的根，則實數(shù)（

）A． B． C．2 D．4【方法技巧】復數(shù)方程是包含復數(shù)的方程，其中復數(shù)具有實部和虛部。解復數(shù)方程時，通常將利用復數(shù)的代數(shù)形式及三角形式進行求解?！咀兪?-1】（2024·上海嘉定·三模）已知復數(shù)x滿足方程，那么.【變式8-2】已知是關于x的方程的一個根，其中p，，則p＋q＝．【變式8-3】若是關于的實系數(shù)方程的一個復數(shù)根，則.【變式8-4】的平方根為【變式8-5】（2024·高三·上海浦東新·開學考試）若實系數(shù)方程的一個根是，則．1．（2024年高考全國甲卷數(shù)學（文）真題）設，則（

）A． B． C． D．22．（2024年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學真題）若，則（

）A． B． C． D．3．（2024年高考全國甲卷數(shù)學（理）真題）若，則（

）A． B． C．10 D．4．（2024年北京高考數(shù)學真題）已知，則（

）．A． B． C． D．5．（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）已知，則（

）A．0 B．1 C． D．21．利用公式，把下列各式分解成一次因式的積；（1）；（2）.2．若，則復平面內(nèi)滿足的點2的集合是什么圖形？3．已知－3＋2i是關于x的方程2x2＋px＋q＝0的一個根，求實數(shù)p、q的值．4．在復數(shù)范圍內(nèi)解下列方程：（1）；（2）.易錯點：復數(shù)運算法則的應用有誤易錯分析：(1)區(qū)分與(2)區(qū)分與【易錯題1】設有下面四個命題：若復數(shù)滿足，則；：若復數(shù)滿足，則；：若復數(shù)滿足，則；：