專題06 染色問(wèn)題

例1．如圖所示的幾何體由三棱錐P-ABC與三棱柱ABC-A1B1C1組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對(duì)這個(gè)幾何體的表面涂色(底面A1B1C1不涂色)，要求相鄰的面均不同色，則不同的涂色方案共有()A．6種B．9種C．12種例2．如圖，用四種不同的顏色給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法有()例3．現(xiàn)有6種不同的顏色，給圖中的6個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方法共有()A．720種B．1440種C．2880種D．4320種例4．將5種不同的花卉種植在如圖所示的四個(gè)區(qū)域中，每個(gè)區(qū)域種植一種花卉，且相鄰區(qū)域花卉不同，則不同的種植方法種數(shù)是().2A．420B．180例5．用紅、黃、藍(lán)、綠、橙五種不同顏色給如圖所示的5塊區(qū)域A、B、C、D、E涂色，要求同一區(qū)域用同一種顏色，有共公邊的區(qū)域使用不同顏色，則共有涂色方法()例6．如圖，某傘廠生產(chǎn)的太陽(yáng)傘的傘篷是由太陽(yáng)光的七種顏色組成，七種顏色分別涂在傘篷的八個(gè)區(qū)域內(nèi)，且恰有一種顏色涂在相對(duì)區(qū)域內(nèi)，則不同顏色圖案的此類太陽(yáng)傘最多有.A．40320種B．5040種C．20160種D．2520種例7．如圖所示，將四棱錐S-ABCD的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種色可供使用，則不同的染色方法種數(shù)為()A．240B例8．如圖所示，將33×33方格紙中每個(gè)小方格染三種顏色之一，使得每種顏色的小方格的個(gè)數(shù)相等.若相鄰兩個(gè)小方格的顏色不同，稱他們的公共邊為“分割邊”，則分割邊條數(shù)的最小值為()A．33例9．如圖給三棱柱ABC-DEF的頂點(diǎn)染色，定義由同一條棱連接的兩個(gè)頂點(diǎn)叫相鄰頂點(diǎn)，規(guī)定相鄰頂點(diǎn)不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的染色方法有.例10．現(xiàn)用五種不同的顏色，要對(duì)如圖中的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求公共邊的兩塊不能用同一種顏色，共有種不同著色方法例11．如圖所示的五個(gè)區(qū)域中，中心區(qū)E域是一幅圖畫，現(xiàn)要求在其余四個(gè)區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇．要求每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色且相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為.例12．從紅、黃、藍(lán)、黑四種顏色中選出3種顏色，給如圖所示的六個(gè)相連的圓涂色，若每種顏色只能涂?jī)蓚€(gè)圓，且相鄰兩個(gè)圓所涂顏色不能相同，則不同的涂色方案的種數(shù)是.例13．如圖一個(gè)正方形花圃被分成5份．若給這5個(gè)部分種植花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花，已知現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色不同的花，則不同的種植方法有種例14．現(xiàn)有五種不同的顏色，要對(duì)圖形中的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩塊不能用同一種顏色，不同的涂色方法有種.例15．現(xiàn)將如圖所示的5個(gè)小正方形涂上紅、黃兩種顏色，其中3個(gè)涂紅色，2個(gè)涂黃色，若恰有兩個(gè)相鄰的小正方形涂紅色，則不同的涂法共有種(用數(shù)字作答).例16．四色猜想是近代數(shù)學(xué)難題之一，四色猜想的內(nèi)容是：“任何一張地圖最多用四種顏色就能使具有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色”，如圖，一張地圖被分成了五個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域只使用一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇（四種顏色不一定用完則滿足四色猜想的不同涂色種數(shù)為例17．如圖，將標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5的五塊區(qū)域染上紅、黃、綠三種顏色中的一種，使得相鄰區(qū)域(有公共邊)的顏色不同，則不同的染色方法有種.5例18．某城市在中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分.現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有種.（用數(shù)字作答）例19．給圖中A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)區(qū)域進(jìn)行染色，每個(gè)區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色.若有4種顏色可供選擇，則共有種不同的染色方案.例20．如圖，用4種不同的顏色對(duì)圖中5個(gè)區(qū)域涂色（4種顏色全部使用要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法有種.（用數(shù)字作答）例21．給如圖染色，滿足條件每個(gè)小方格染一種顏色，有公共邊的小方格顏色不能相同，則用4種顏色染色的方案有種，用5種顏色染色的方案共有種.例22．如圖，用四種不同的顏色給三棱柱ABC-A,B,C,的六個(gè)頂點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色．若每個(gè)底面的頂點(diǎn)涂色所使用的顏色不相同，則不同的涂色方法共有種；若每條棱的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有種.專題6染色問(wèn)題例1．如圖所示的幾何體由三棱錐P-ABC與三棱柱ABC-A1B1C1組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對(duì)這個(gè)幾何體的表面涂色(底面A1B1C1不涂色)，要求相鄰的面均不同色，則不同的涂色方案共有()A．6種B．9種C．12種【解析】先涂三棱錐P-ABC的三個(gè)側(cè)面，有CCC=6種情況，然后涂三棱柱的三個(gè)側(cè)面，有CCC=2種情況，共有6×2=12種不同的涂法.故選：C.例2．如圖，用四種不同的顏色給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法有()【解析】由題意，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別有4，3，2種涂法，（1）當(dāng)A與F相同時(shí)，A有1種涂色方法，此時(shí)B有2種涂色方法，①若C與F相同，則C有1種涂色方法，此時(shí)D有3種涂色方法；2②若C與F不同，則D有2種涂色方法.（2）當(dāng)A與G相同時(shí)，A有1種涂色方法，①若C與F相同，則C有1種涂色方法，此時(shí)B有2種涂色方法，D有2種涂色方法；②若C與F不同，則C有2種涂色方法，此時(shí)B有2種涂色方法，D有1種涂色方法.（3）當(dāng)A既不同于F又不同于G時(shí)，A有1種涂色方法.①若B與F相同，則C與A相同時(shí)，D有2種涂色方法，C與A不同時(shí)，C和D均只有1種涂色方法；②若B與F不同，則B有1種涂色方法，（i）若C與F相同，則C有1種涂色方法，此時(shí)D有2種涂色方法；（i）若C與F不同，則必與A相同，C有1種涂色方法，此時(shí)D有2種涂色方法.綜上，共有240+192+168=600種涂色方法.故選：C.例3．現(xiàn)有6種不同的顏色，給圖中的6個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方法共有()A．720種B．1440種C．2880種D．4320種【解析】根據(jù)題意分步完成任務(wù)：第一步：完成3號(hào)區(qū)域：從6種顏色中選1種涂色，有6種不同方法；第二步：完成1號(hào)區(qū)域：從除去3號(hào)區(qū)域的1種顏色后剩下的5種顏色中選1種涂色，有5種不同方法；第三步：完成4號(hào)區(qū)域：從除去3、1號(hào)區(qū)域的2種顏色后剩下的4種顏色中選1種涂色，有4種不同方法；第四步：完成2號(hào)區(qū)域：從除去3、1、4號(hào)區(qū)域的3種顏色后剩下的3種顏色中選1種涂色，有3種不同方法；第五步：完成5號(hào)區(qū)域：從除去1、2號(hào)區(qū)域的2種顏色后剩下的4種顏色中選1種涂色，有4種不同方法；第六步：完成6號(hào)區(qū)域：從除去1、2、5號(hào)區(qū)域的3種顏色后剩下的3種顏色中選1種涂色，有3種不同方法；故選：D.例4．將5種不同的花卉種植在如圖所示的四個(gè)區(qū)域中，每個(gè)區(qū)域種植一種花卉，且相鄰區(qū)域花卉不同，則不同的種植方法種數(shù)是().A．420B．180【解析】由題意，由于規(guī)定一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，可分步進(jìn)行區(qū)域A有5種涂法，B有4種涂法，A，D同色，D有1種涂法，C有3種涂法，有5×4×3=60種，共有180種不同的涂色方案.故選：B.例5．用紅、黃、藍(lán)、綠、橙五種不同顏色給如圖所示的5塊區(qū)域A、B、C、D、E涂色，要求同一區(qū)域用同一種顏色，有共公邊的區(qū)域使用不同顏色，則共有涂色方法()【解析】法一：A有5種顏色可選，B有4種顏色可選，D有3種顏色可選，若CA同色，E有4種顏色可選；4若CB同色，E有4種顏色可選；若C與A、B都不同色，則C有2種顏色可選，此時(shí)E有4種顏色可選，故共有法二：當(dāng)使用5種顏色時(shí)，有A=120種涂色方法；當(dāng)使用4種顏色時(shí)，必有兩塊區(qū)域同色，可以是AC，BC，AE，BE，CE，共有5A=600種涂色方法；當(dāng)使用3種顏色時(shí)，只能是AC同色且BE同色，AE同色且BC同色，ACE同色，BCE同色，共有4A=240種涂色方法，故選：D.例6．如圖，某傘廠生產(chǎn)的太陽(yáng)傘的傘篷是由太陽(yáng)光的七種顏色組成，七種顏色分別涂在傘篷的八個(gè)區(qū)域內(nèi)，且恰有一種顏色涂在相對(duì)區(qū)域內(nèi)，則不同顏色圖案的此類太陽(yáng)傘最多有.A．40320種B．5040種C．20160種D．2520種【解析】先從7種顏色中任意選擇一種，涂在相對(duì)的區(qū)域內(nèi)，有C=7種方法，再將剩余的6種顏色全部涂在剩余的6個(gè)區(qū)域內(nèi)，共有A種方法，由于圖形是軸對(duì)稱圖形，所以上述方法正好重復(fù)一次，所以不同的涂色方法，共有=2520種不同的涂法.故選：D.例7．如圖所示，將四棱錐S-ABCD的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種色可供使用，則不同的染色方法種數(shù)為()A．240B【解析】由題設(shè)，四棱錐S-ABCD的頂點(diǎn)S、A、B所染的顏色互不相同，它們共有5×4×3=60種染色方法.設(shè)5種顏色為1，2，3，4，5，當(dāng)S、A、B染好時(shí)，不妨設(shè)其顏色分別為1、2、3，若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法，若C染5，則D可染3或4，有2種染法.可見(jiàn)，當(dāng)S、A、B已染好時(shí)，C、D還有7種染法，故不同的染色方法有60×7=420（種）.故選：C例8．如圖所示，將33×33方格紙中每個(gè)小方格染三種顏色之一，使得每種顏色的小方格的個(gè)數(shù)相等.若相鄰兩個(gè)小方格的顏色不同，稱他們的公共邊為“分割邊”，則分割邊條數(shù)的最小值為()A．33【解析】記分隔邊的條數(shù)為L(zhǎng)，首先將方格按照按圖分三個(gè)區(qū)域，分別染成三種顏色，粗線上均為分隔邊，此時(shí)共有56條分隔邊，即L=56，6其次證明：L≥56，將將方格的行從上至下依次記為A1,A2,…,A33，列從左至右依次記為B1,B2,…B33，行Ai中方格出現(xiàn)的顏色數(shù)記為n(Ai)，列Bi中方格出現(xiàn)的顏色個(gè)數(shù)記為n(Bi)，三種顏色分別記為c1,c2,c3，對(duì)于一種顏色cj，設(shè)n(cj)為含有cj色方格的行數(shù)與列數(shù)之和，定義當(dāng)Ai行含有cj色方格時(shí)，δ(Ai,cj)=1，否則ij，i,j，δ(A,c)ij，i,j，由于染cj色的格有×332=363個(gè)，設(shè)含有cj色方格的行有a個(gè)，列有b個(gè)，則cj色的方格一定再這個(gè)a行和b列的交叉方格中，由于在行Ai中有n(Ai)種顏色的方格，于是至少有n(Ai)-1條分隔邊，類似的，在列Bi中有n(Bi)種顏色的方格，于是至少有n(Bi)-1條分隔邊，-66③下面分兩種情形討論，(1)有一行或一列所有方格同色，不妨設(shè)有一行均為c1色，則方格的33列均含有c1的方格，又c1色的方格有363個(gè),故至少有11行有c1色由①③④得23)-66≥44+39+39-66=56，(2)沒(méi)有一行也沒(méi)有一列的所有方格同色,7從而，由式②知：綜上，分隔邊條數(shù)的最小值為56.故選：B.例9．如圖給三棱柱ABC-DEF的頂點(diǎn)染色，定義由同一條棱連接的兩個(gè)頂點(diǎn)叫相鄰頂點(diǎn)，規(guī)定相鄰頂點(diǎn)不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的染色方法有.【解析】首先先給頂點(diǎn)A,B,C染色，有A=24種方法，再給頂點(diǎn)D染色，①若它和點(diǎn)B染同一種顏色，點(diǎn)E和點(diǎn)C染相同顏色，點(diǎn)F就有2種方法，若點(diǎn)E和點(diǎn)C染不同顏色，則點(diǎn)E有2種方法，點(diǎn)F也有1種方法，則D,E,F的染色方法一共有2+2×1=4種方法，②若點(diǎn)D和點(diǎn)B染不同顏色，且與點(diǎn)C顏色不同，則點(diǎn)D有1種方法，點(diǎn)E與點(diǎn)C顏色不同，則點(diǎn)E有1種方法，則點(diǎn)F有1種方法，此時(shí)有1種方法；若最后E與C相同，則F有2種方法，則共有2種方法；點(diǎn)D與點(diǎn)C顏色相同，則點(diǎn)D有1種方法，則點(diǎn)E有2種方法，則點(diǎn)F有2種方法，共有2×2=4種方法，所以點(diǎn)D和點(diǎn)B染不同，顏色共有1+2+4=7種方法，所以點(diǎn)D,E,F的染色方法一共有4+7=11種，所以共有24×11=264種方法.故答案為：264例10．現(xiàn)用五種不同的顏色，要對(duì)如圖中的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求公共邊的兩塊不能用同一種顏色，共有種不同著色方法【解析】先排I，有5種方法；然后排II,IV，最后排III：①當(dāng)II,IV相同時(shí)，方法有4×4種，故方法數(shù)有5×4×4=80種.②當(dāng)II,IV不同時(shí)，方法有4×3×3種，故方法數(shù)有5×4×3×3=180種.綜上所述，不同的著色方法數(shù)有80+180=260種.故答案為：260例11．如圖所示的五個(gè)區(qū)域中，中心區(qū)E域是一幅圖畫，現(xiàn)要求在其余四個(gè)區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇．要求每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色且相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為 .【解析】分三種情況：（1）用四種顏色涂色，有A=24種涂法；（2）用三種顏色涂色，有2A=48種涂法；（3）用兩種顏色涂色，有A=12種涂法；所以共有涂色方法24+48+12=84.故答案為：84例12．從紅、黃、藍(lán)、黑四種顏色中選出3種顏色，給如圖所示的六個(gè)相連的圓涂色，若每種顏色只能涂?jī)蓚€(gè)圓，且相鄰兩個(gè)圓所涂顏色不能相同，則不同的涂色方案的種數(shù)是.【解析】從紅、黃、藍(lán)、黑四種顏色中選出3種顏色有4種選法.因?yàn)槊糠N顏色只能涂?jī)蓚€(gè)圓，且相鄰兩個(gè)圓所涂顏色不能相同，分兩類：一類是，前三個(gè)圓用3種顏色，有A=6種方法，后3個(gè)圓也有3種顏色，有CC=4種方法，此時(shí)不同方法有6×4=24方法；二類是，前3個(gè)圓2種顏色，后3個(gè)圓2種顏色，共有CC=6方法.綜上可知，所有的涂法共有4×(24+6)=120種方法.故答案為：120例13．如圖一個(gè)正方形花圃被分成5份．若給這5個(gè)部分種植花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花，已知現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色不同的花，則不同的種植方法有 種【解析】先對(duì)E部分種植，有4種不同的種植方法；再對(duì)A部分種植，又3種不同的種植方法；對(duì)C部分種植進(jìn)行分類：①若與A相同，D有2種不同的種植方法，B有2種不同的種植方法，共有4×3×2×2=48（種②若與A不同，C有2種不同的種植方法，D有1種不同的種植方法，B有1種不同的種植方法，綜上所述，共有72種種植方法.故答案為：72.例14．現(xiàn)有五種不同的顏色，要對(duì)圖形中的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩塊不能用同一種顏色，不同的涂色方法有種.【解析】依題意，I、II、III區(qū)域有共同邊顏色互不相同，按I、II、III、IV順序著色，則區(qū)域I有5種著色方法，區(qū)域II有4種著色方法，區(qū)域III有3種著色方法，IV只與II、III相鄰，因此區(qū)域IV有3種著色方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的著色方法種數(shù)為故答案為：180例15．現(xiàn)將如圖所示的5個(gè)小正方形涂上紅、黃兩種顏色，其中3個(gè)涂紅色，2個(gè)涂黃色，若恰有兩個(gè)相鄰的小正方形涂紅色，則不同的涂法共有種(用數(shù)字作答).【解析】當(dāng)涂紅色兩個(gè)相鄰的小正方形在兩端時(shí)是有A.A=4，當(dāng)涂紅色兩個(gè)相鄰的小正方形在不在兩端時(shí)是有A=2，則不同的涂法種數(shù)共有4+2=6種.故答案為：6.例16．四色猜想是近代數(shù)學(xué)難題之一，四色猜想的內(nèi)容是：“任何一張地圖最多用四種顏色就能使具有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色”，如圖，一張地圖被分成了五個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域只使用一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇（四種顏色不一定用完則滿足四色猜想的不同涂色種數(shù)為【解析】設(shè)五個(gè)區(qū)域分別為A,B,C,D,E，依題意由公共邊的兩個(gè)區(qū)域顏色不同，用四種顏色進(jìn)行涂色則有兩個(gè)區(qū)域顏色相同，可以是A與C，A與E，B與E同色，有涂色方法3A=72；或用三種顏色涂色，則有2組顏色同色，為A與C同色，B與E同色，有涂色方法A=24，根據(jù)分類加法原理，共有涂色方法72+24=96.故答案為：96.例17．如圖，將標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5的五塊區(qū)域染上紅、黃、綠三種顏色中的一種，使得相鄰區(qū)域(有公共邊)的顏色不同，則不同的染色方法有種.【解析】對(duì)于1，有三種顏色可以安排；若2和3顏色相同，有兩種安排方法，4有兩種安排，5有一種安排，此時(shí)共有3×2×2×1=12；若2和3顏色不同，則2有兩種，3有一種.當(dāng)5和2相同時(shí)，4有兩種；當(dāng)5和2不同，則4有一種，此時(shí)共有3×2×(2+1)=18，綜上可知，共有12+18=30種染色方法.故答案為：30.例18．某城市在中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分.現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有種.（用數(shù)字作答）【解析】由題意，6個(gè)部分.栽種4種不同顏色的花，必有2組顏色相同的花，若2、5同色，則3、6同色或4、6同色，所以共有2A=48種栽種方法；若2、4同色，則3、6同色，所以共有A=24種栽種方法；若3、5同色，則2、4同色或4、6同色，所以共有2A=48種栽種方法；所以共有48+24+48=120種栽種方法.故答案為：120例19．給圖中A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)區(qū)域進(jìn)行染色，每個(gè)區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色.若有4種顏色可供選擇，則共有種不同的染色方案.【解析】解：要完成給圖中A、B、C、D、E、F六個(gè)區(qū)域進(jìn)行染色，染色方法可分兩類，第一類是僅用三種顏色染色，即AF同