2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心素養(yǎng)測評第6章6.2均值不等式含解析新人教B版

PAGE7-核心素養(yǎng)測評三十均值不等式(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.若mn=1,其中m>0,則m+3n的最小值等于 ()A.2QUOTE B.2 C.2QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因?yàn)閙n=1,其中m>0,所以n>0,所以m+3n≥2QUOTE=2QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)m=QUOTE,n=QUOTE時取等號,所以m+3n的最小值等于2QUOTE.2.(2024·宿州模擬)已知函數(shù)y=x-4+QUOTE(x>-1),當(dāng)x=a時,y取得最小值b,則2a+3b等于 ()A.9 B.7 C.5 D.3【解析】選B.因?yàn)閤>-1,所以x+1>0,所以y=x-4+QUOTE=x+1+QUOTE-5≥2QUOTE-5=1,當(dāng)且僅當(dāng)x+1=QUOTE,即x=2時取等號,所以y取得最小值b=1,此時x=a=2,所以2a+3b=7.3.若log2x+log2y=1,則2x+y的最小值為 ()A.1 B.2 C.2QUOTE D.4【解析】選D.因?yàn)閘og2x+log2y=1,所以log2xy=1,所以xy=2,所以2x+y≥2QUOTE=4,當(dāng)且僅當(dāng)2x=y,即x=1,y=2時取等號.所以2x+y的最小值為4.4.(2024·溫州模擬)若ab>0,則QUOTE的最小值為 ()A.2QUOTE B.QUOTE C.3 D.2【解析】選A.因?yàn)閍b>0,所以QUOTE=QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=2QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE,即a=QUOTEb時取等號.5.若a,b都是正數(shù),且a+b=1,則(a+1)(b+1)的最大值為 ()A.QUOTE B.2 C.QUOTE D.4【解析】選C.由題意可知(a+1)(b+1)≤QUOTE=QUOTE=QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=QUOTE時取等號.6.(2024·濱州模擬)已知a>0,b>0,4a+b=2,則QUOTE+QUOTE的最小值是 ()A.4 B.QUOTE C.5 D.9【解析】選B.因?yàn)閍>0,b>0,4a+b=2,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE(4a+b)=QUOTE≥QUOTE=QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE,即a=QUOTE,b=QUOTE時取等號.7.已知非負(fù)數(shù)x,y滿意xy+y2=1,則x+2y的最小值是 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號()A.QUOTE B.2 C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選B.已知非負(fù)數(shù)x,y滿意xy+y2=1,則有:y(x+y)=1,由已知可得:y≠0,由y>0,x為非負(fù)數(shù),當(dāng)x=0時,y=1,則x+2y=2;當(dāng)x≠0時,y>0,x+y>0,則x+2y=y+(x+y)≥2QUOTE=2,當(dāng)且僅當(dāng)y=x+y時取等號.即x=0,y=1時取等號.二、填空題(每小題5分,共15分)8.某公司購買一批機(jī)器投入生產(chǎn),據(jù)市場分析,每臺機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位:萬元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時間x(單位:年)的關(guān)系式為y=-x2+18x-25(x∈N*),則當(dāng)每臺機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)________年時,年平均利潤最大,最大值是________萬元.

【解析】每臺機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)x年的年平均利潤為QUOTE=18-QUOTE,而x>0,故QUOTE≤18-2QUOTE=8,當(dāng)且僅當(dāng)x=5時等號成立,此時年平均利潤最大,最大值為8萬元.答案:589.已知a>b>0,則a2+QUOTE的最小值是________. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號

【解析】因?yàn)閍>b>0,所以b(a-b)≤QUOTE=QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時等號成立.所以a2+QUOTE≥a2+QUOTE=a2+QUOTE≥2QUOTE=16,當(dāng)且僅當(dāng)a=2QUOTE時等號成立.所以當(dāng)a=2QUOTE,b=QUOTE時,a2+QUOTE取得最小值16.答案:1610.(2024·陽泉模擬)函數(shù)y=QUOTE(x<1)的最大值為________,此時x的值為________. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號

【解析】函數(shù)y=QUOTE=QUOTE=x+1+QUOTE=(x-1)+QUOTE+2(x<1),因?yàn)?1-x)+QUOTE≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時,取等號,所以(x-1)+QUOTE≤-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時,取等號.故函數(shù)y=QUOTE的最大值為0.答案:00(15分鐘25分)1.(5分)(多選)設(shè)a>0,b>0,則下列不等式中肯定成立的是 ()A.a+b+QUOTE≥2QUOTE B.QUOTE≥QUOTEC.QUOTE≥a+b D.(a+b)QUOTE≥4【解析】選ACD.因?yàn)閍>0,b>0,所以a+b+QUOTE≥2QUOTE+QUOTE≥2QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)a=b且2QUOTE=QUOTE,即a=b=QUOTE時取等號,故A成立;因?yàn)閍+b≥2QUOTE>0,所以QUOTE≤QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號,所以QUOTE≥QUOTE不肯定成立,故B不成立,因?yàn)镼UOTE≤QUOTE=QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號,QUOTE=QUOTE=a+b-QUOTE≥2QUOTE-QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號,所以QUOTE≥QUOTE,所以QUOTE≥a+b,故C肯定成立,因?yàn)?a+b)QUOTE=2+QUOTE+QUOTE≥4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號,故D肯定成立.2.(5分)正數(shù)a,b滿意QUOTE+QUOTE=1,若不等式a+b≥-x2+4x+18-m對隨意實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ()A.[3,+∞) B.(-∞,3]C.(-∞,6] D.[6,+∞)【解析】選D.因?yàn)閍>0,b>0,QUOTE+QUOTE=1,所以a+b=(a+b)QUOTE=10+QUOTE+QUOTE≥16,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE,即a=4,b=12時取等號.依題意,16≥-x2+4x+18-m,即x2-4x-2≥-m對隨意實(shí)數(shù)x恒成立.又x2-4x-2=(x-2)2-6,所以x2-4x-2的最小值為-6,所以-6≥-m,即m≥6.3.(5分)(2024·聊城模擬)已知兩圓x2+y2+4ax+4a2-4=0和x2+y2-2by+b2-1=0恰有三條公切線,若a∈R,b∈R,且ab≠0,則QUOTE+QUOTE的最小值為 ()A.3 B.1 C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.由題意得兩圓相外切,兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x+2a)2+y2=4,x2+(y-b)2=1,圓心分別為(-2a,0),(0,b),半徑分別為2和1,所以QUOTE=3,所以4a2+b2=9,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE≥QUOTE+QUOTE=1.當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE時,等號成立,所以QUOTE+QUOTE的最小值為1.4.(5分)已知正數(shù)x,y滿意x+y=5,則QUOTE+QUOTE的最小值為________. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號

【解析】正數(shù)x,y滿意x+y=5,所以(x+1)+(y+2)=8,則QUOTE+QUOTE=QUOTE[(x+1)+(y+2)]QUOTE+QUOTE=QUOTE≥QUOTE=QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)x+1=y+2,即x=3,y=2時,上式取得最小值QUOTE.答案:QUOTE5.(5分)(2024·朝陽模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a2+b2+ab=c2,且△ABC的面積為QUOTEc,則ab的最小值為________. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號

【解析】在△ABC中,a2+b2+ab=c2,結(jié)合余弦定理a2+b2-2