新高考數(shù)學二輪復習解答題培優(yōu)練習專題02 直線與平面所成角線面角（含探索性問題）(典型題型歸類訓練)原卷版

專題02直線與平面所成角（線面角)（含探索性問題）(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：求線面角 2題型二：已知線面角求參數(shù) 5題型三：求線面角最值（范圍） 8三、專項訓練 10一、必備秘籍1、斜線在平面上的射影：過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足及斜足的直線叫做斜線在平面內的射影.注意：斜線上任意一點在平面上的射影一定在斜線的射影上.如圖，直線SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一條斜線，斜足為SKIPIF1<0，斜線上一點SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的射影為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0是斜線SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的射影.2、直線和平面所成角：（有三種情況）（1）平面的斜線與它在平面內的射影所成的銳角，叫這條直線與這個平面所成的角。由定義可知：斜線與平面所成角的范圍為SKIPIF1<0；（2）直線與平面垂直時，它們的所成角為SKIPIF1<0；（3）直線與平面平行（或直線在平面內）時，它們的所成角為0.結論：直線與平面所成角的范圍為SKIPIF1<0.3、向量法設直線SKIPIF1<0的方向向量為SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.二、典型題型題型一：求線面角1．（22·23上·河南·模擬預測）在三棱臺SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)記SKIPIF1<0的中點為M，過M的直線分別與直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于P，Q，求直線PQ與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．2．（22·23上·河南·模擬預測）已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使點A到點SKIPIF1<0處，SKIPIF1<0．

(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值．3．（23·24·柳州·模擬預測）如圖，三棱柱SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0是正三角形，側面SKIPIF1<0是菱形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是棱SKIPIF1<0的中點.

(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.4．（23·24上·南充·模擬預測）如圖所示，在圓錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為圓錐的頂點，SKIPIF1<0為底面圓圓心，SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0的直徑，SKIPIF1<0為底面圓周上一點，四邊形SKIPIF1<0是矩形．

(1)若點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值．5．（23·24上·浙江·一模）如圖，多面體SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0為正方形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0．

(1)若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點，求證：SKIPIF1<0；(2)求直線SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．題型二：已知線面角求參數(shù)1．（22·23下·撫順·模擬預測）如圖，在幾何體ABCDEF中，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，側面ABFE為正方形，SKIPIF1<0，M為AB的中點，SKIPIF1<0．

(1)證明：SKIPIF1<0；(2)若直線MF與平面DME所成角的正弦值為SKIPIF1<0，求實數(shù)λ的值．2．（22·23下·江蘇·一模）在三棱柱SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，側面SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點.

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上（異于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.3．（22·23下·廣州·三模）如圖，四棱錐SKIPIF1<0的底面為正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是線段SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的一點.

(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0點不是線段SKIPIF1<0的中點，求三棱錐SKIPIF1<0體積.4．（22·23·廈門·模擬預測）箏形是指有一條對角線所在直線為對稱軸的四邊形．如圖，四邊形SKIPIF1<0為箏形，其對角線交點為SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折到SKIPIF1<0的位置，形成三棱錐SKIPIF1<0．

(1)求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離；(2)當SKIPIF1<0時，在棱SKIPIF1<0上是否存在點SKIPIF1<0，使得直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0？若存在，求SKIPIF1<0的值；若不存在，請說明理由．5．（22·23·萬州·模擬預測）如圖1所示，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將四邊形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得SKIPIF1<0，得到如圖2所示的四棱錐．

(1)若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0；(2)點SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上一動點，且直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．6．（22·23下·荊門·模擬預測）在三棱柱SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線為SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0；(2)已知SKIPIF1<0上是否存在點SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0？若存在，求SKIPIF1<0的長度；若不存在，說明理由.題型三：求線面角最值（范圍）1．（22·23下·樂山·三模）在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點P滿足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則直線AP與平面SKIPIF1<0所成角的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（21·22下·山東·模擬預測）如圖，C是以SKIPIF1<0為直徑的圓O上異于A，B的點，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0為正三角形，E，F(xiàn)分別是SKIPIF1<0上的動點.(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若E，F(xiàn)分別是SKIPIF1<0的中點且異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的正切值為SKIPIF1<0，記平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線為直線l，點Q為直線l上動點，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的取值范圍.3．（20·21下·渝中·階段練習）如圖，在三棱臺SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是邊長為2的正三角形，側面SKIPIF1<0為等腰梯形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點．（1）證明：SKIPIF1<0；（2）記二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的取值范圍．4．（22·23·河南·二模）如圖所示，正六棱柱SKIPIF1<0的底面邊長為1，高為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的動點.

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)設直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍.5．（22·23·?？凇つM預測）如圖，四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.

(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.三、專項訓練一、單選題1．（22·23下·樂山·三模）在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點P滿足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則直線AP與平面SKIPIF1<0所成角的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（23·24上·亳州·階段練習）將邊長為1的正方形SKIPIF1<0及其內部繞SKIPIF1<0旋轉一周形成圓柱，如圖，SKIPIF1<0長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0長為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0與C在平面SKIPIF1<0的同側，則直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（23·24上·泰安·階段練習）三棱柱SKIPIF1<0的側棱與底面垂直，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，N是BC的中點，點P在SKIPIF1<0上，且滿足SKIPIF1<0，當直線PN與平面ABC所成的角最大時的正弦值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（22·23上·江西·階段練習）如圖，在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的動點，當直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值取最大值時，SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空題5．（22·23上·廈門·期末）正方體SKIPIF1<0中，E為線段SKIPIF1<0的中點，則直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為．6．（23·24上·濟寧·階段練習）已知正方體SKIPIF1<0的棱長為1，H為棱SKIPIF1<0上的動點，若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則直線CD與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的取值范圍為7．（21·22·全國·單元測試）如圖所示，在正方體SKIPIF1<0中，AB＝3，M是側面SKIPIF1<0內的動點，滿足SKIPIF1<0，若AM與平面SKIPIF1<0所成的角SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為.8．（22·23上·寧波·階段練習）已知圓柱SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，且滿足SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的最大值為.9．（21·22下·綿陽·期末）在正方體SKIPIF1<0SKIPIF1<0中，點Р在側面SKIPIF1<0(包括邊界)上運動，滿足SKIPIF1<0SKIPIF1<0記直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是三、解答題10．（21·22下·山東·模擬預測）如圖，C是以SKIPIF1<0為直徑的圓O上異于A，B的點，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0為正三角形，E，F(xiàn)分別是SKIPIF1<0上的動點.(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若E，F(xiàn)分別是SKIPIF1<0的中點且異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的正切值為SKIPIF1<0，記平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線為直線l，點Q為直線l上動點，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的取值范圍.11．（20·21下·渝中·階段練習）如圖，在三棱臺SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是邊長為2的正三角形，側面SKIPIF1<0為等腰梯形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點．（1）證明：SKIPIF1<0；（2）記二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的取值范圍．12．（22·23·河南·二模）如圖所示，正六棱柱SKIPIF1<0的底面邊長為1，高為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的動點.

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)設直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍.13．（22·23·海口·模擬預測）如圖，四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.

(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.14．（23·24上·沈陽·階段練習）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且M是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值.15．（23·24上·東莞·階段練習）如圖1，梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0分別作SKIPIF1<0，垂足分別為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，將梯形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，得空間幾何體SKIPIF1<0，如圖2．(1)在圖2中，若SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)在圖2中，若SKIPIF1<0，在線段SKIPIF1<0上求一點SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值最大，并求出這個最大值．16．（23·24上·河東·期中）如圖，在四棱線SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點．(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)設SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上（異于點SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．17．（23·24上·廣東·階段練習）已知正方形SKIPIF1<0的邊長為4（圖1），SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點，以SKIPIF1<0為棱將正方形SKIPIF1<0