新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)解答題培優(yōu)練習(xí)專題04 點到平面的距離(典型題型歸類訓(xùn)練)原卷版

專題04點到平面的距離(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：等體積法求點到平面的距離 2題型二：利用向量法求點到平面的距離 5三、專項訓(xùn)練 8一、必備秘籍1、等體積法求點到平面的距離（1）當(dāng)點到面的距離那條垂線不好作或找時，利用等體積法可以間接求點到面的距離，從而快速解決體積問題，是一種常用數(shù)學(xué)思維方法（2）在用變換頂點求體積時，變換頂點的原則是能在圖象中直接找到求體積所用的高，有時單一靠棱錐四個頂點之間來變換頂點無法達到目的時，還可以利用平行關(guān)系（線面平行，面面平行）轉(zhuǎn)換頂點，如當(dāng)線面平行時，線上任意一點到平面的距離是相等的，同理面面平行也可以變換頂點2、利用向量法求點到平面的距離如圖，已知平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0內(nèi)的定點，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0外一點.過點SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂線SKIPIF1<0，交平面SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0的方向向量，且點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離就是SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上的投影向量SKIPIF1<0的長度.SKIPIF1<0二、典型題型題型一：等體積法求點到平面的距離1．（23·24高二上·上海黃浦·階段練習(xí)）如圖，邊長為1的正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點，沿SKIPIF1<0把這個正方形折成一個四面體使SKIPIF1<0三點重合，重合后的點記為SKIPIF1<0.則在四面體SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為.

2．（23·24高二上·上海虹口·期中）如圖，已知點P在圓柱SKIPIF1<0的底面圓O的圓周上，SKIPIF1<0，圓O的直徑SKIPIF1<0，圓柱的高SKIPIF1<0．(1)求圓柱的體積；(2)求點A到平面SKIPIF1<0的距離．3．（17·18高二下·河北唐山·期末）如圖，已知長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，過B點作SKIPIF1<0的垂線交SKIPIF1<0于E，交SKIPIF1<0于F．

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求點A到平面SKIPIF1<0的距離；4．如圖，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.

(1)求證：SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0；(2)求點SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距離.5．（23·24高二上·江西九江·階段練習(xí)）如圖所示的五邊形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，沿SKIPIF1<0折疊成四棱錐SKIPIF1<0.(1)從條件①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0中任選兩個作為補充條件，證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0：(2)在（1）的條件下，求點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.6．（23·24高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是矩形，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點.

(1)證明：直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.7．（23·24高二上·上海楊浦·期中）如圖,SKIPIF1<0為菱形SKIPIF1<0外一點,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點.(1)求證:SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0;(2)若SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.題型二：利用向量法求點到平面的距離1．（23·24高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）已知三棱柱SKIPIF1<0的側(cè)棱與底面垂直，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M是SKIPIF1<0的中點，N是SKIPIF1<0的中點，P是SKIPIF1<0的中點，則點A到平面SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（23·24高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.3．（23·24上·滄州·階段練習(xí)）如圖所示，四棱錐SKIPIF1<0的底面是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，若邊SKIPIF1<0上存在異于SKIPIF1<0的一點SKIPIF1<0，使得直線SKIPIF1<0．

(1)求SKIPIF1<0的最大值；(2)當(dāng)SKIPIF1<0取最大值時，求異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值；(3)當(dāng)SKIPIF1<0取最大值時，求點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離．4．（23·24上·北辰·期中）如圖，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0且SKIPIF1<0且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0夾角的正弦值；(3)若點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，求點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離．5．（重慶市部分區(qū)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．

(1)求證：SKIPIF1<0；(2)求點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離．三、專項訓(xùn)練一、單選題1．（23·24高二上·陜西·階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（23·24高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0線段的中點，則直線SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（23·24高二上·湖南邵陽·階段練習(xí)）在棱長為1的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點，則直線SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（23·24上·邯鄲·階段練習(xí)）在正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0的中點，則點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（23·24上·紹興·階段練習(xí)）在棱長為1的正方體SKIPIF1<0中，E為SKIPIF1<0的中點，F(xiàn)為SKIPIF1<0的三等分點SKIPIF1<0靠近C點SKIPIF1<0，則點E到平面BDF的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（23·24高二上·北京·階段練習(xí)）如圖，在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點B到平面SKIPIF1<0的距離為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（23·24高二上·湖南益陽·階段練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點，則點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（23·24高二上·吉林長春·階段練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對立體幾何問題有著深入的研究，從其中的一些數(shù)學(xué)用語可見．譬如“塹堵”指底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，“陽馬”指底面是矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，“鱉臑”指四個面都是直角三角形的三棱錐．現(xiàn)有一如圖所示的“塹堵”SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．（23·24高三上·河北滄州·階段練習(xí)）在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點D是SKIPIF1<0的中點，點E是平面SKIPIF1<0的中心，則點E到平面SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空題10．（23·24高二上·寧夏固原·階段練習(xí)）在棱長為1的正方體SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為.

11．（23·24高二上·山西太原·階段練習(xí)）如下圖所示，在平行六面體SKIPIF1<0中，各棱長均為2，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點A到平面SKIPIF1<0的距離.

12．（23·24高二上·安徽·階段練習(xí)）如圖，四棱錐P-ABCD中，平面SKIPIF1<0平面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，SKIPIF1<0是等邊三角形，M，N分別為AB和PC的中點，則平面DMN上任意一點到底面ABCD中心距離的最小值為.

13．（23·24高二上·天津西青·階段練習(xí)）如圖，棱長為2的正方體SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點，點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為．

三、解答題14．（23·24高三上·四川成都·階段練習(xí)）已知正方形SKIPIF1<0的邊長為2，SKIPIF1<0為等邊三角形（如圖1所示）．沿著SKIPIF1<0折起，點SKIPIF1<0折起到點SKIPIF1<0的位置，使得側(cè)面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0．SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點（如圖2所示）．

(1)求證：SKIPIF1<0；(2)求點SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的距離．15．（23·24高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，已知一個組合體由一個圓錐SKIPIF1<0與一個圓柱SKIPIF1<0構(gòu)成（圓錐底面與圓柱上底面重合.平面SKIPIF1<0為圓柱的軸截面），已知圓錐高為3，圓柱高為5，底面直徑為8.(1)求這個組合體的體積(2)設(shè)SKIPIF1<0為半圓弧SKIPIF1<0的中點，求SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距離.16．（23·24高三上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，在正三棱柱SKIPIF1