新高考數(shù)學二輪復習熱點5-2 等比數(shù)列的通項及前n項和（6題型+滿分技巧+限時檢測）（原卷版）

熱點5-2等比數(shù)列的通項及前n項和主要考查等比數(shù)列的基本量計算和基本性質、等比數(shù)列的中項性質、判定與證明，這是高考熱點；等比數(shù)列的求和及綜合應用是高考考查的重點。這部分內容難度以中、低檔題為主，結合等差數(shù)列一般設置一道選擇題和一道解答題?！绢}型1等比數(shù)列的基本量計算】滿分技巧等比數(shù)列的運算技巧1、在等比數(shù)列的通項公式和前項和公式中，共涉及五個量：，，，，，其中首項和公比為基本量，且“知三求二”，常常列方程組來解答；2、對于基本量的計算，列方程組求解時基本方法，通常用約分或兩式相除的方法進行消元，有時會用到整體代換，如，都可以看作一個整體?！纠?】（2024·全國·模擬預測）已知正項等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式1-1】（2024·全國·模擬預測）已知正項等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式1-2】（2023·遼寧·高三統(tǒng)考期中）已知SKIPIF1<0為等比數(shù)列，其公比SKIPIF1<0，前7項的和為1016，則SKIPIF1<0的值為（）A．8B．10C．12D．16【變式1-3】（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（）A．1B．2C．3D．4【變式1-4】（2023·全國·模擬預測）已知正項等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【題型2等比數(shù)列性質的應用】滿分技巧1、等比數(shù)列性質應用問題的解題突破口等比數(shù)列的性質可以分為三類：一是通項公式的變形，二是等比中項公式的變形，三是前n項和公式的變形．根據(jù)題目條件，認真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口．2、應用等比數(shù)列性質解題時的2個注意點（1）在解決等比數(shù)列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質，特別是性質“若SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0”，可以減少運算量，提高解題速度．（2）在應用相應性質解題時，要注意性質成立的前提條件，有時需要進行適當變形．此外，解題時注意設而不求思想的運用．【例2】（2023·湖南永州·高三?？茧A段練習）在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．1B．2C．10D．100【變式2-1】（2023·全國·模擬預測）已知正項等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式2-2】（2023·陜西·校聯(lián)考模擬預測）等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為．【變式2-3】（2023·江蘇淮安·高三校聯(lián)考期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0是正項等比數(shù)列，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．24B．27C．36D．40【變式2-4】（2023·安徽六安·高三六安一中?？茧A段練習）已知函數(shù)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【題型3等比數(shù)列單調性及應用】滿分技巧等比數(shù)列前n項和的函數(shù)特征1、與的關系（1）當公比時，等比數(shù)列的前項和公式是，它可以變形為，設，則上式可以寫成的形式，由此可見，數(shù)列的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點；（2）當公比時，等比數(shù)列的前項和公式是，則數(shù)列的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點。2、與的關系當公比時，等比數(shù)列的前項和公式是，它可以變形為設，，則上式可寫成的形式，則是的一次函數(shù)?！纠?】（2023·福建廈門·高三廈門第二中學?？茧A段練習）已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項積為SKIPIF1<0，則下列選項判斷正確的是（）A．若SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列B．若SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列C．若數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，則SKIPIF1<0D．若數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，則SKIPIF1<0【變式3-1】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）等比數(shù)列SKIPIF1<0公比為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則“SKIPIF1<0”是“數(shù)列SKIPIF1<0為遞增數(shù)列”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【變式3-2】（2023·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習）（多選）設等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列結論正確的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0【變式3-3】（2023·云南曲靖·高三曲靖一中?？茧A段練習）（多選）設等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項積為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列選項正確的是（）A．SKIPIF1<0為遞減數(shù)列B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0中的最小項D．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的最小值為4045【變式3-4】（2023·全國·高三專題練習）（多選）已知等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，公比SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0B．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最小C．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最小D．存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0【題型4等比數(shù)列前n項和性質應用】滿分技巧等比數(shù)列前SKIPIF1<0項和的性質（1）在公比SKIPIF1<0或SKIPIF1<0且SKIPIF1<0為奇數(shù)時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……仍成等比數(shù)列，其公比為SKIPIF1<0；（2）對SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0；（3）若等比數(shù)列SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0項，則SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是數(shù)列SKIPIF1<0的偶數(shù)項和與奇數(shù)項和；（4）等比數(shù)列的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數(shù)，且SKIPIF1<0）【例4】（2023·陜西榆林·高三?？茧A段練習）已知各項均為實數(shù)的等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．150B．140C．130D．120【變式4-1】（2023·河北石家莊·高三統(tǒng)考期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，SKIPIF1<0為其前SKIPIF1<0項和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．27B．39C．81D．120【變式4-2】（2023·云南昆明·高三云南民族大學附屬中學?？茧A段練習）已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．8B．9C．16D．17【變式4-3】（2023·河北保定·高三保定市第三中學校聯(lián)考期末）（多選）已知數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，公差為SKIPIF1<0；數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，公比為SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（）A．存在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．B．若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列C．若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列D．當SKIPIF1<0時，存在實數(shù)A、SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0【變式4-4】（2023·安徽·高三懷遠第一中學校聯(lián)考階段練習）記SKIPIF1<0為等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和，SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（2）若SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．【題型5等比數(shù)列的判定與證明】滿分技巧1、定義法：SKIPIF1<0SKIPIF1<0為常數(shù)且SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列．2、等比中項法：SKIPIF1<0SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列．3、通項公式法：SKIPIF1<0SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列．4、前SKIPIF1<0項和公式法：若數(shù)列的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則該數(shù)列是等比數(shù)列．其中前兩種方法是證明等比數(shù)列的常用方法，而后兩種方法一般用于選擇題、填空題中．注意：（1）若要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可．（2）只滿足SKIPIF1<0的數(shù)列未必是等比數(shù)列，要使其成為等比數(shù)列還需要SKIPIF1<0.【例5】（2022·新疆·統(tǒng)考一模）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）證明：SKIPIF1<0是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式.【變式5-1】（2023·上?！じ呷？计谥校┮阎獢?shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為正整數(shù).（1）證明：SKIPIF1<0是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式及其前n項和SKIPIF1<0.【變式5-2】（2023·重慶·高三重慶一中?？茧A段練習）記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.（1）證明：數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；（2）若SKIPIF1<0成立，求SKIPIF1<0的最小值.【變式5-3】（2023·福建廈門·高三廈門外國語學校校考階段練習）設SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，已知SKIPIF1<0（1）求SKIPIF1<0，并證明：SKIPIF1<0是等比數(shù)列；（2）求滿足SKIPIF1<0的所有正整數(shù)SKIPIF1<0.【變式5-4】（2023·云南曲靖·高三?？茧A段練習）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）證明：數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，并求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；（2）求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．【題型6等比數(shù)列的實際應用】【例6】（2023·山東青島·青島第五十八中學校考一模）云岡石窟，古稱為武州山大石窟寺，是世界文化遺產(chǎn)．若某一石窟的某處“浮雕像”共7層，每一層的“浮雕像”個數(shù)是其下一層的2倍，共有1016個“浮雕像”，這些“浮雕像”構成一幅優(yōu)美的圖案，若從最下層往上每一層的“浮雕像”的個數(shù)構成一個數(shù)列SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（）A．8B．10C．12D．16【變式6-1】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考三模）小明的父母在他入讀初中一年級起的9月1日向銀行教育儲蓄賬戶存入1000元，并且每年在9月1日當天都存入一筆錢，每年比上年多存1000元，即第二年存入2000元，第三年存入3000元，……，連續(xù)存6年，每年到期利息連同本金自動轉存，在小明高中畢業(yè)的當年9月1日當天一次性取出，假設教育儲蓄存款的年利率為p，不考慮利率的變化．在小明高中畢業(yè)的當年9月1日當天，一次性取出的金額總數(shù)（單位：千元）為（）．A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式6-2】（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預測）已知某公司第1年的銷售額為a萬元，假設該公司從第2年開始每年的銷售額為上一年的SKIPIF1<0倍，則該公司從第1年到第11年（含第11年）的銷售總額為（）（參考數(shù)據(jù)：取SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0萬元B．SKIPIF1<0萬元C．SKIPIF1<0萬元D．SKIPIF1<0萬元【變式6-3】（2023·安徽·高三馬鞍山市第二十二中學校聯(lián)考階段練習）0.618是無理數(shù)SKIPIF1<0的近似值，被稱為黃金比值.我們把腰與底的長度比為黃金比值的等腰三角形稱為黃金三角形.如圖，SKIPIF1<0是頂角為SKIPIF1<0，底SKIPIF1<0的第一個黃金三角形，SKIPIF1<0是頂角為SKIPIF1<0的第二個黃金三角形，SKIPIF1<0是頂角為SKIPIF1<0的第三個黃金三角形，SKIPIF1<0是頂角為SKIPIF1<0的第四個黃金三角形SKIPIF1<0，那么依次類推，第2023個黃金三角形的周長大約為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式6-4】（2023·山東·統(tǒng)考一模）假設某市2023年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中、低價房.預計在今后的若干年內，該市每年新建住房面積平均比上年增長SKIPIF1<0.另外，每年新建住房中，中、低價房的面積均比上一年增加50萬平方米.求：（1）截至到2032年底，該市所建中、低價房的面積累計（以2023年為累計的第一年）為多少萬平方米？（2）哪一年底，當年建造的中、低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于SKIPIF1<0？（建議用時：60分鐘）1．（2023·甘肅天水·高三校聯(lián)考階段練習）在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．1B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．22．（2023·安徽合肥·高三合肥一中?？茧A段練習）在正項等比數(shù)列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．1B．2C．3D．SKIPIF1<03．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習）在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關”.其大意是：有人要去某關口，路程為378里，第一天健步行走，從第二天起由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.則此人第4天與第5天共走的里程數(shù)為（）A．24B．36C．42D．604．（2023·四川·高三校聯(lián)考階段練習）在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．48B．72C．96D．1125．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈三中?？计谀┤魯?shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的比值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．2D．36．（2023·全國·模擬預測）設等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和是SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．13B．12C．6D．37．（2023·河北保定·高三校聯(lián)考階段練習）設等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，設甲：SKIPIF1<0；乙：SKIPIF1<0，則（）A．甲是乙的充分不必要條件B．甲是乙的必要不充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【解析】等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以甲是乙的充要條件.故選：C8．（2023·安徽安慶·高三安慶市第十中學校考階段練習）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，若數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<09．（2023·安徽合肥·高三合肥一中?？茧A段練習）（多選）已知數(shù)列的SKIPIF1<0前n項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是常數(shù)），則（）A．數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列B．數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列C．SKIPIF1<