新高考數學二輪復習熱點3-2 三角函數的圖象與性質（10題型+滿分技巧+限時檢測）（解析版）

熱點3-2三角函數的圖象與性質三角函數的圖象與性質是高考的熱點，函數SKIPIF1<0的圖象變換以及三角函數的周期性、對稱性、單調性之間邏輯關系則是重心。隨著新高考改革的推進，更加注重對以周期性為核心的三大性質之間的邏輯關系的考查，要求考生能用幾何直觀和代數運算來研究三角函數。高考中的相關試題多以選擇題、填空題的形式考查，難度中等或偏下?！绢}型1三角函數的識圖問題】滿分技巧圖象辨識題的主要解題思想是“對比選項，找尋差異，排除篩選”（1）求函數定義域（若各選項定義域相同，則無需求解）；（2）判斷奇偶性（若各選項奇偶性相同，則無需判斷）；（3）找特殊值：=1\*GB3①對比各選項，計算橫縱坐標標記的數值；=2\*GB3②對比各選項，函數值符號的差別，自主取值（必要時可取極限判斷符號）；（4）判斷單調性：可取特殊值判斷單調性.【例1】（2024·湖南長沙·統(tǒng)考一模）下圖是函數SKIPIF1<0的部分圖象，則該函數的解析式可以是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由圖可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，觀察各選項可知，本題考慮SKIPIF1<0即可，則SKIPIF1<0，把點SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0中，可得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：C.【變式1-1】（2024·天津寧河·高三統(tǒng)考期末）函數SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的圖象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0圖像關于原點對稱，故選項A和B錯誤，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以選項C錯誤，選項D正確，故選：D.【變式1-2】（2024·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）函數SKIPIF1<0的部分圖像大致為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于函數的定義域為SKIPIF1<0，故可排除ABD，故選：C【變式1-3】（2024·河北廊坊·高三文安縣第一中學校聯(lián)考期末）現有四個函數：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0的圖象（部分）如圖，則按照從左到如圖像對應的函數序號正確的一組是（）A．①③②④B．①④③②C．③①②④D．③①④②【答案】A【解析】設SKIPIF1<0，定義域為R，滿足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為偶函數，對應的圖象為圖SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，定義域為R，滿足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為奇函數，且當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，對應的圖象為圖SKIPIF1<0；設SKIPIF1<0，定義域為R，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為奇函數，且零點為SKIPIF1<0，對應的圖象為圖SKIPIF1<0；設SKIPIF1<0，定義域為R，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為奇函數，且零點為0和SKIPIF1<0，對應的圖象為圖4.故選：A.【變式1-4】（2023·福建泉州·高三?？茧A段練習）函數SKIPIF1<0的圖象大致為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解法一：因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為奇函數，其圖象關于原點對稱，排除A，D；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，排除C，故選B．解法二：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，排除A，C；又當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，排除D，故選：B．【題型2由三角函數的圖象求解析式】滿分技巧已知SKIPIF1<0的部分圖象求其解析式時，SKIPIF1<0比較容易看圖得出，困難的是求待定系數SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，常用如下兩種方法：（1）由SKIPIF1<0即可求出SKIPIF1<0；確定SKIPIF1<0時，若能求出離原點最近的右側圖象上升（或下降）的“零點”橫坐標SKIPIF1<0，則令SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0），即可求出SKIPIF1<0；（2）代入點的坐標，利用一些已知點（最高點、最低點或“零點”）坐標代入解析式，再結合圖形解出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，若對SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的符號或對SKIPIF1<0的范圍有要求，可用誘導公式變換使其符合要求。【例2】（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數SKIPIF1<0的部分圖象如圖所示，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由圖可知，點SKIPIF1<0在圖象上，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又知點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的增區(qū)間上，所以SKIPIF1<0；由五點作圖法可知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故選：D．【變式2-1】（2024·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）函數SKIPIF1<0的部分圖象如圖所示，則將SKIPIF1<0的圖象向右平移SKIPIF1<0個單位長度后，得到的函數圖象解析式為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由圖可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0的圖象向右平移SKIPIF1<0個單位長度后，可得SKIPIF1<0，故選：A.【變式2-2】（2024·廣東廣州·華南師大附中校考一模）函數SKIPIF1<0的部分圖像如圖所示，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值分別是（）A．2，SKIPIF1<0B．2，SKIPIF1<0C．2，SKIPIF1<0D．4，SKIPIF1<0【答案】B【解析】設SKIPIF1<0的周期為SKIPIF1<0，則由圖像知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得最大值，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：B【變式2-3】（2024·遼寧沈陽·高三沈陽實驗中學校聯(lián)考期末）函數SKIPIF1<0的部分圖象如圖，則（）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】A【解析】由圖象可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入解析式得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由圖象可知2為函數在原點右邊的第一個最大值點，故SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，滿足要求，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，不合要求，舍去，故選：A【變式2-4】（2024·河南信陽·統(tǒng)考二模）（多選）已知函數SKIPIF1<0的圖象如圖所示，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0的兩個交點，且SKIPIF1<0，則下列選項正確的是（）A．SKIPIF1<0的值為3B．SKIPIF1<0的值為2C．SKIPIF1<0的值可以為SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的值可以為SKIPIF1<0【答案】AD【解析】由函數SKIPIF1<0的圖象可知SKIPIF1<0,設SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，結合圖像可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故A正確，B錯誤；將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為函數下降零點，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，不符合題意，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，符合題意，故C錯誤，D正確；故選：AD.【題型3三角函數的圖象變換問題】滿分技巧函數y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，參數A，ω，φ，k的變化引起圖象的變換：（1）A的變化引起圖象中振幅的變換，即縱向伸縮變換；（2）ω的變化引起周期的變換，即橫向伸縮變換；（3）φ的變化引起左右平移變換，k的變化引起上下平移變換．圖象平移遵循的規(guī)律為：“左加右減，上加下減”．【注意】（1）平移變換和伸縮變換都是針對x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴于ωx加減多少值；（2）余弦型、正切型函數的圖象變換過程與正弦型函數的圖象變換過程相同。【例3】（2023·湖南衡陽·衡陽市八中?？家荒＃榱说玫胶瘮礢KIPIF1<0的圖象，只需把函數SKIPIF1<0的圖象上所有的點的（）A．橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變B．橫坐標縮短到原來的SKIPIF1<0倍，縱坐標不變C．縱坐標伸長到原來的2倍，橫坐標不變D．縱坐標縮短到原來的SKIPIF1<0倍，橫坐標不變【答案】B【解析】因為把函數SKIPIF1<0的圖象上所有的點的橫坐標縮短到原來的SKIPIF1<0倍，縱坐標不變，就能得到函數SKIPIF1<0的圖象，故選：B【變式3-1】（2024·廣東廣州·高三執(zhí)信中學?？茧A段練習）將函數SKIPIF1<0的圖象向右平移SKIPIF1<0個單位長度，得到函數SKIPIF1<0的圖象，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】依題意，函數SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0的圖象向右平移SKIPIF1<0個單位長度，得SKIPIF1<0的圖象，而SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：B【變式3-2】（2024·福建·高三校聯(lián)考期末）已知函數SKIPIF1<0，要得到函數SKIPIF1<0的圖象，只需將SKIPIF1<0的圖象（）A．向左平移SKIPIF1<0個單位長度B．向左平移SKIPIF1<0個單位長度C．向右平移SKIPIF1<0個單位長度D．向右平移SKIPIF1<0個單位長度【答案】D【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故將SKIPIF1<0的圖象向右平移SKIPIF1<0個單位長度可得SKIPIF1<0，即為SKIPIF1<0的圖象，故選：C【變式3-3】（2024·天津和平·高三統(tǒng)考期末）已知函數SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0圖象的一條對稱軸與一個對稱中心的最小距離為SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0圖象上所有的點向左平移SKIPIF1<0個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的SKIPIF1<0（縱坐標不變），得到的圖象所表示的函數為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則將SKIPIF1<0圖象上所有的點向左平移SKIPIF1<0個單位長度變?yōu)镾KIPIF1<0，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的SKIPIF1<0（縱坐標不變），得到的圖象所表示的函數為SKIPIF1<0，故選：A.【變式3-4】（2023·湖南長沙·高三長郡中學?？茧A段練習）要得到函數SKIPIF1<0的圖象，可以將函數SKIPIF1<0的圖象（）A．向右平移SKIPIF1<0個單位長度B．向左平移SKIPIF1<0個單位長度C．向右平移SKIPIF1<0個單位長度D．向左平移SKIPIF1<0個單位長度【答案】B【解析】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以將SKIPIF1<0的圖象向左平移SKIPIF1<0個單位可得到SKIPIF1<0的圖象，故選：B.【題型4三角函數的單調性及應用】滿分技巧1、求三角函數單調區(qū)間的2種方法（1）代換法：就是將比較復雜的三角函數含自變量的代數式整體當作一個角u(或t)，利用基本三角函數的單調性列不等式求解；（2）圖象法：畫出三角函數的正、余弦和正切曲線，結合圖象求它的單調區(qū)間求解三角函數的單調區(qū)間時，若x的系數為負，應先化為正，同時切莫忽視函數自身的定義域．2、已知單調區(qū)間求參數范圍的3種方法（1）子集法：求出原函數的相應單調區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式(組)求解；（2）反子集法：由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應正、余弦函數的某個單調區(qū)間的子集，列不等式(組)求解；（3）周期性法：由所給區(qū)間的兩個端點到其相應對稱中心的距離不超過eq\f(1,4)周期列不等式(組)求解。【例4】（2023·北京海淀·高三北大附中?？茧A段練習）已知函數SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞減B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞增C．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞減D．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞增【答案】C【解析】因為SKIPIF1<0，對于選項A：因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內不單調，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內不單調，故A錯誤；對于選項B：因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內不單調，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內不單調，故B錯誤；對于選項C：因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內單調遞減，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內單調遞減，故C正確；對于選項D：因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內單調遞減，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內單調遞減，故D錯誤；故選：C.【變式4-1】（2024·浙江溫州·溫州中學?？家荒＃┮阎瘮礢KIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調遞增，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由題意得，函數SKIPIF1<0的增區(qū)間為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.由題意可知：SKIPIF1<0.于是SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，故選：A.【變式4-2】（2024·山東威?！じ呷y(tǒng)考期末）已知函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函數，則SKIPIF1<0的取值范圍是.【答案】SKIPIF1<0【解析】根據題意，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；綜上所述，SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.【變式4-3】（2024·廣東·高三廣東實驗中學校聯(lián)考期末）已知函數SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，在SKIPIF1<0上單調遞增，則實數SKIPIF1<0的取值范圍是.【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時函數SKIPIF1<0單調遞減，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時函數SKIPIF1<0單調遞增，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增.由題知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，在SKIPIF1<0上單調遞增，故須使SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.【變式4-4】（2024·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）已知函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，在SKIPIF1<0上單調遞減，則實數SKIPIF1<0的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的單調增區(qū)間為SKIPIF1<0.SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的單調減區(qū)間為SKIPIF1<0，又函數在SKIPIF1<0上單調遞減，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.綜上，SKIPIF1<0，即實數SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0，故選：C【題型5三角函數的周期性及應用】滿分技巧周期的計算公式：函數的周期為，函數的周期為求解.【例5】（2023·河南周口·高三校聯(lián)考階段練習）下列函數中，以SKIPIF1<0為周期的函數是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】對于A，因為函數SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，所以函數SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，故選項A錯誤；對于B，因為函數SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，所以函數SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，故選項B錯誤；對于C，因為函數SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，所以根據圖象變換可知函數SKIPIF1<0最小正周期為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0也是它的一個周期，故選項C正確；對于D，作出函數SKIPIF1<0的圖象：根據圖象可知該函數不是周期函數，故選項D錯誤，故選：C．【變式5-1】（2023·重慶·重慶市石柱中學校校聯(lián)考一模）函數SKIPIF1<0的最小正周期為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以，函數的最小正周期為：SKIPIF1<0，故選：B【變式5-2】（2023·湖北荊州·高三沙市中學?？茧A段練習）函數SKIPIF1<0的最小正周期為.【答案】SKIPIF1<0【解析】由誘導公式可知，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不恒相等，故SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0.【變式5-3】（2024·廣東汕頭·金山中學?？寄M預測）“SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，即充分性不成立；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，即必要性成立；所以“SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的必要不充分條件，故選：B.【變式5-4】（2024·山東德州·高三統(tǒng)考期末）設函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的圖象大致如圖，則SKIPIF1<0的最小正周期為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由函數SKIPIF1<0的圖象，函數SKIPIF1<0的最小正周期SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，可排除A，D；又由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，若選B，則SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0不為整數，排除B項；若選C，則SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，排除C項，故選：C.【題型6三角函數的奇偶性及應用】滿分技巧與三角函數奇偶性相關的結論三角函數中，判斷奇偶性的前提是定義域關于原點對稱，奇函數一般可化為y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函數一般可化為y＝Acosωx＋b的形式．常見的結論有：（1）若y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數，則有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；若為奇函數，則有φ＝kπ(k∈Z)．（2）若y＝Acos(ωx＋φ)為偶函數，則有φ＝kπ(k∈Z)；若為奇函數，則有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．（3）若y＝Atan(ωx＋φ)為奇函數，則有φ＝kπ(k∈Z)．【例6】（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知函數SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0為奇函數”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由題意可知：SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為偶數，則SKIPIF1<0為奇函數；若SKIPIF1<0為奇數，則SKIPIF1<0為奇函數；即充分性成立；若SKIPIF1<0為奇函數，則SKIPIF1<0，即必要性成立；綜上所述：“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0為奇函數”的充要條件，故選：C.【變式6-1】（2024·河南·模擬預測）已知函數SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0為偶函數”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】函數SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為偶函數，所以充分性成立；SKIPIF1<0為偶函數時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，不能得到SKIPIF1<0，所以必要性不成立.故“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0為偶函數”的充分不必要條件.故選：A【變式6-2】（2024·廣東廣州·廣州六中?？既＃┤艉瘮礢KIPIF1<0為奇函數，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】若0在定義域內，由SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0；若0不在定義域內，由SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0無意義，得SKIPIF1<0．綜上，SKIPIF1<0，故選：C．【變式6-3】（2024·河南周口·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數SKIPIF1<0為偶函數，則SKIPIF1<0（）A．－2B．－1C．0D．2【答案】A【解析】由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，因為該函數是偶函數，所以定義域關于原點對稱，因此有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，定義域為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以該函數是偶函數，符合題意，故選：A【變式6-4】（2023·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習）若SKIPIF1<0為奇函數，則實數SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】對于函數SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，函數SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，因為函數SKIPIF1<0為奇函數，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0對任意的SKIPIF1<0恒成立，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得，SKIPIF1<0，故選：D.【變式6-5】（2023·北京海淀·高三專題練習）函數SKIPIF1<0，則（）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為奇函數B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為偶函數C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為偶函數D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為奇函數【答案】B【解析】SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，對A：若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為奇函數，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0不恒成立，故SKIPIF1<0不是奇函數；對B：若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為偶函數，B正確；對C：若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不是偶函數，故C錯誤；對D：若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為奇函數，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0不恒成立，故SKIPIF1<0不是奇函數；故選：B【題型7三角函數的對稱性及應用】滿分技巧三角函數對稱性問題的2種求解方法1、定義法：正(余)弦函數的對稱軸是過函數的最高點或最低點且垂直于x軸的直線，對稱中心是圖象與x軸的交點，即函數的零點；2、公式法：（1）函數y＝Asin(ωx＋φ)的對稱軸為x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)，對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)，0))；（2）函數y＝Acos(ωx＋φ)的對稱軸為x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)，對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)＋\f(π,2ω)，0))；（3）函數y＝Atan(ωx＋φ)的對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2ω)－\f(φ,ω)，0)).上述k∈Z【例7】（2024·重慶·高三統(tǒng)考期末）（多選）下列函數中，其圖象關于點SKIPIF1<0對稱的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】對于A，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，A不是；對于B，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，B是；對于C，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，C是；對于D，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，正切值不存在，D是.故選：BCD【變式7-1】（2024·山東菏澤·高三山東省鄄城縣第一中學校考階段練習）“函數SKIPIF1<0的圖象關于SKIPIF1<0對稱”是“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當函數SKIPIF1<0的圖象關于SKIPIF1<0對稱時，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以“函數SKIPIF1<0的圖象關于SKIPIF1<0對稱”是“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”的必要不充分條件．故選：B．【變式7-2】（2024·山東青島·高三青島二中校考期末）已知函數SKIPIF1<0的圖像關于原點中心對稱，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】函數SKIPIF1<0的圖像關于原點中心對稱,則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，故選：B【變式7-3】（2022·全國·高三校聯(lián)考階段練習）已知SKIPIF1<0是函數SKIPIF1<0的一條對稱軸，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】B【解析】由SKIPIF1<0是函數SKIPIF1<0的一條對稱軸，知SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：B.【變式7-4】（2024·陜西安康·安康中學校聯(lián)考模擬預測）若函數SKIPIF1<0的圖象在SKIPIF1<0內有且僅有兩條對稱軸，一個對稱中心，則實數SKIPIF1<0的最大值是．【答案】SKIPIF1<0【解析】由題意，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．根據題意，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以實數SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0．【題型8三角函數的最值問題】滿分技巧三角函數值域或最值的3種求法1、直接法：形如y＝asinx＋k或y＝acosx＋k的三角函數，直接利用sinx，cosx的值域求出；2、化一法：形如y＝asinx＋bcosx＋k的三角函數，化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，確定ωx＋φ的范圍，根據正弦函數單調性寫出函數的值域(最值)；3、換元法：（1）形如y＝asin2x＋bsinx＋k的三角函數，可先設sinx＝t，化為關于t的二次函數求值域(最值)；（2）形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函數，可先設t＝sinx±cosx，化為關于t的二次函數求值域(最值)【例8】（2022·河南·高三校聯(lián)考專題練習）函數SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】依題意，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故函數SKIPIF1<0的一個周期為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故函數SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，故選：D．【變式8-1】（2024·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）已知函數SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．1C．SKIPIF1<0D．2【答案】C【解析】由題意SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的最大值為SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時等號成立，故選：C.【變式8-2】（2024·廣東廣州·廣東實驗中學?？寄M預測）（多選）對于下列四種說法，其中正確的是（）A．SKIPIF1<0的最小值為4B．SKIPIF1<0的最小值為1C．SKIPIF1<0的最小值為4D．SKIPIF1<0最小值為SKIPIF1<0【答案】BD【解析】對于A中，由SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，即SKIPIF1<0，顯然不成立，所以A錯誤；對于B中，由SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，等號成立，所以B正確；對于C中，由SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0為單調遞減函數，所以SKIPIF1<0，所以C不正確；對于D中，由SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，根據對勾函數的性質，可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0為單調遞增函數，所以SKIPIF1<0，所以D正確，故選：BD.【變式8-3】（2024·江西贛州·高三南康中學校聯(lián)考期末）已知函數SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上有且只有一個最大值和一個最小值，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因為SKIPIF1<0得，則SKIPIF1<0，所以由題意可得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選：D【變式8-4】（2024·湖北武漢·高三統(tǒng)考期末）已知函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在最大值，但不存在最小值，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在最大值，但不存在最小值，所以當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，只需滿足SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，函數一定存在最大值，要讓函數無最小值，則SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故選：D【題型9三角函數零點綜合】【例9】（2024·全國·模擬預測）函數SKIPIF1<0與函數SKIPIF1<0的圖象所有交點的橫坐標之和為．【答案】10【解析】因為SKIPIF1<0，所以函數SKIPIF1<0的圖象關于直線SKIPIF1<0對稱，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，在SKIPIF1<0上單調遞增，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0所以函數SKIPIF1<0的圖象關于直線SKIPIF1<0對稱，且SKIPIF1<0的最大值為2．由于SKIPIF1<0的圖象和SKIPIF1<0的圖象都關于直線SKIPIF1<0對稱，所以先考慮兩個圖象在SKIPIF1<0上的情形，易知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，在SKIPIF1<0上單調遞增，在SKIPIF1<0上單調遞減，在SKIPIF1<0上單調遞增，在SKIPIF1<0上單調遞減．易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以可作出函數SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大致圖象如圖所示，所以SKIPIF1<0的圖象和SKIPIF1<0的圖象在SKIPIF1<0上有5個交點．根據對稱性可知兩函數圖象共有10個交點，且兩兩關于直線SKIPIF1<0對稱，因此所有交點的橫坐標之和為SKIPIF1<0．【變式9-1】（2024·全國·高三專題練習）已知函數SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有兩個零點，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為函數SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上有2個零點，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，故選：C.【變式9-2】（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）將函數SKIPIF1<0的圖象向右平移SKIPIF1<0個單位后得到函數SKIPIF1<0的圖象.若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有三個不同的零點，則實數SKIPIF1<0的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0，由題意得SKIPIF1<0，故當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，顯然當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的一個零點，要想SKIPIF1<0