河南省南陽市高三上學期期末數(shù)學（文）試題

2021屆河南省南陽市高三上學期期末數(shù)學（文）試題一、單選題1．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)不等式的解法，化成同底，利用單調性即可求出集合，然后利用對數(shù)不等式的解法求出集合，注意定義域，最后根據(jù)并集的定義求出所求．【詳解】解：，，所以，故選：．2．，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用復數(shù)的除法化簡復數(shù)z，再利用復數(shù)的模的公式求解.【詳解】因為，所以，故選：B3．黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值是，大約為，這個比例被公認為是最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割.在直角三角形中，為斜邊，如果一直角邊是將斜邊進行黃金分割成兩部分中的較長部分，則成等比數(shù)列.現(xiàn)有一直角三角形恰好滿足上面的特性，其斜邊長為，則它的兩直角邊平方差的絕對值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設直角三角形的三邊分別為a，b，c，則，利用等比中項的定義得到，從而得到關于a的方程，利用求根公式求出a的值，即可得到b的值，求解兩直角邊平方差的絕對值即可．【詳解】設直角三角形的三邊分別為a，b，c，則，所以①，

又因為a，b，c成等比數(shù)列，則有，代入①中，可得，

即，所以，

則有(負值舍去)，

所以，則，

，所以．

故選：A．4．（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，利用兩角和的余弦公式求解.【詳解】，，故選：C5．如圖的程序框圖的算法思路來源于我國古代數(shù)學名著《九章算術》中的“更相減損術”．執(zhí)行該程序框圖，若輸入，，的值分別為，，，則輸出和的值分別為A．， B．， C．， D．，【答案】A【詳解】模擬執(zhí)行程序框圖，可得：，，不滿足，不滿足，，滿足，，滿足，，

不滿足，滿足，輸出的值為2，的值為4，故選A.6．若函數(shù)不存在極值點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導函數(shù)沒有變號零點，結合指數(shù)函數(shù)的性質，即可得解.【詳解】,由于函數(shù)f(x)不存在極值點，所以不存在變號零點，所以恒成立，即，故選：D.7．已知圓為直線上任一點，過點作圓的切線（為切點），則最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)切線滿足的關系知，，求最小值等價于求點C到直線l的距離，根據(jù)點到直線的距離公式求得此時的，即可求得.【詳解】由題知，圓C是以為圓心，1為半徑的圓，如圖所示，根據(jù)切線滿足的關系知，，求最小值等價于求點C到直線l的距離，此時，故選：A8．已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項和，且，則數(shù)列最大項與最小項的和是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由①，②，作差求出數(shù)列的通項公式，再結合單調性確定最大值最小值，進而可得答案．【詳解】解：因為，①，②，①②得，所以，，所以，所以，滿足，所以數(shù)列的通項公式為，所以，令，且所以在上單調遞減，在，上單調遞減，為漸近線，所以（3），（4），所以，故選：C．9．年月日黨的十八屆五中全會決定:堅持計劃生育的基本國策，完善人口發(fā)展戰(zhàn)略，全面實施一對夫婦可生育兩個孩子政策﹐積極開展應對人口老齡化行動.某夫婦已經(jīng)有一個小孩.夫婦倆決定再要一個小孩，假定生男、生女是等可能的.若這個家庭現(xiàn)在的小孩是個女孩，則第二胎還是女孩的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用列舉法求出基本事件總數(shù)有2種，第二胎還是女孩的情況只有1種，由此能求出第二胎還是女孩的概率．【詳解】解：某夫婦已經(jīng)有一個小孩．夫婦倆決定再要一個小孩，假定生男、生女是等可能的．若這個家庭現(xiàn)在的小孩是個女孩，則基本事件有：（女男），（女女），其兩種情況，第二胎還是女孩的情況只有一種：（女女），第二胎還是女孩的概率是．故選：A．10．設分別是雙曲線左、右焦點，是雙曲線右支上一點，且，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線定義結合條件，求得，是雙曲線右支上一點，則其應滿足，從而求得離心率取值范圍.【詳解】由雙曲線定義知，，又，故，是雙曲線右支上一點，則其應滿足，即，故離心率的取值范圍是故選：B11．已知，且，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，得到，代入，求得t，然后得到a，b代入，利用換底公式和對數(shù)運算求解.【詳解】設，則，所以，解得，所以，，，，，故選：D12．已知函數(shù)，若方程有三個不等根，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出函數(shù)的圖象，將方程有三個不等根轉化為的交點問題得到的范圍，設，由，得到，由求解.【詳解】當時，，，所以是減函數(shù)，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：因為方程有三個不等根，所以，設，則，所以，即，即，所以，又因為，所以的取值范圍是，故選：C【點睛】方法點睛：函數(shù)零點個數(shù)問題：若方程可解，通過解方程即可得出參數(shù)的范圍，若方程不易解或不可解，則將問題轉化為構造兩個函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的關系求解，這樣會使得問題變得直觀、簡單，這也體現(xiàn)了數(shù)形結合思想的應用．二、填空題13．設滿足約束條件，則的最大值是__________【答案】【分析】作出約束條件表示的可行域，把目標函數(shù)轉化為斜截式，通過平行移動求最大值.【詳解】作出約束條件表示的可行域，如圖，目標函數(shù)轉化為，平行移動直線，可知，當直線過點時，在軸上的截距最大，此時.故答案為：2.14．已知:，其中，則在上的投影的最小值是__________．【答案】【分析】利用投影的定義得到在上的投影是，再利用基本不等式求解.【詳解】因為:，所以在上的投影是，當且僅當，即時，等號成立，所以在上的投影的最小值是2.故答案為：15．已知圓錐的底面周長是，母線長是，則該圓錐內切球的表面積是__________．【答案】【分析】先求得圓錐底面半徑，再利用軸截面的面積建立關于內切球半徑的等式，進而得解．【詳解】解：設圓錐底面半徑為r，則，解得，

設內切球半徑為R，則利用軸截面等面積法可得，解得，

該圓錐內切球的表面積為．

故答案為：．16．已知函數(shù)對任意都有，若在上的取值范圍是，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【分析】由輔助角公式可得，由題意可知的最大值為，可求得，然后結合已知函數(shù)的值域及正弦函數(shù)的圖象的性質可求實數(shù)的取值范圍．【詳解】解：，其中，因為函數(shù)對任意，都有，所以的最大值為，所以，即，，所以，所以，因為，所以，若在，上的值域為，所以結合正弦函數(shù)的性質可知，，解得，即實數(shù)的取值范圍是，．故答案為：，．【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用函數(shù)對任意，都有求得函數(shù)的最大值，從而求得的值，才能解決函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)性質解決問題.三、解答題17．已知，在中，角所對的邊分別為（1）求的值（2）若，求邊上的高的長【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用同角三角函數(shù)基本關系式可求的值，由，可得，利用同角三角函數(shù)基本關系式可求的值．（2）由正弦定理可求的值，利用兩角和的正弦公式可求的值，解三角形可求的值．【詳解】解析：，而由正弦定理可知：故由，得又.18．已知，在三棱錐中，，且（1）求證:平面平面（2）若是三棱錐外接球上任一點，求三棱錐體積的最大值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取的中點，連接，只需證明平面即可；（2）首先得出點為三棱錐外接球的球心，所以為球的直徑，則過三角形的截面圓為球的大圓因此當且僅當點是垂直于平面的球的直徑端點時，三棱錐體積最大，進而可求得結果.【詳解】（1）取的中點，連接，由題意，易得，在中，由得因為，所以，即，又為中點，所以，而平面平面，所以平面，又平面，故平面平面.（2）由（1）知：，所以點為三棱錐外接球的球心.同時，為球的直徑，則過三角形的截面圓為球的大圓,因此，當且僅當點是垂直于平面的球的直徑端點時，三棱錐體積最大.即三棱錐體積的最大值為.19．高三年級計劃從甲、乙兩個班中選擇一個班參加學校的知識競賽，設甲班的成績?yōu)?，乙班的成績?yōu)?，兩個班以往次競賽的成績(滿分分)統(tǒng)計如下:（1）請計算甲、乙兩班的平均成績和方差，從求得數(shù)據(jù)出發(fā)確定派哪個班參加競賽更合適(方差保留一位小數(shù))（2）若，則稱甲、乙屬于“同一階層”.若從上述次考試中任取三次，求至少有兩次甲、乙屬于“同一階層”的概率.附：方差【答案】（1）130，130，69.3，75.3，派甲班參加比賽更合適；（2）.【分析】（1）分別計算出甲、乙兩班的均值和方差，進行比較即可確定排哪個班級參賽；（2）上述次考試中有的成績?yōu)榧?、乙屬于“同一階層”，然后枚舉出所有的次考試中任選三次的情況，找出其中至少有兩次甲、乙屬于“同一階段”的情況即可求得概率.【詳解】解析：由于，，所以派甲班參加比賽更合適上述次考試中有的成績?yōu)榧?、乙屬于“同一階層”，從次考試中任選三次，總共有共種結果其中至少有兩次甲、乙屬于“同一階段”的有次，則至少有兩次甲、乙屬于“同一階段”的概率為20．已知:橢圓的左、右焦點分別為為其上頂點，長軸長為.（1）求橢圓的方程;（2）在橢圓上是否存在一點(位于第一象限)，使得，若存在，求出點的坐標，并求的面積.若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在，，.【分析】（1）根據(jù)已知條件，求得a,b的值，得到標準方程；（2）由已知得，由此并結合橢圓的方程求得B的坐標，進而利用三角形面積公式計算即得.【詳解】解析：由題意可得：,因為,解得所以橢圓的方程為：;設,,∴直線和的斜率存在，且,即,,又點是橢圓上位于第一象限的一點，因此有,解之得,即,故.21．已知函數(shù)（1）當時，求函數(shù)在處的切線方程;（2）若的最小值為，求函數(shù)的解析式.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題知，進而求導，根據(jù)導數(shù)幾何意義求解即可；（2）分,兩類情況討論求解，其中當時得，進而構造函數(shù)結合函數(shù)單調性和求函數(shù)零點即可.【詳解】解：（1）當時，，而在處的切線方程為：即當時，在上為增函數(shù)，無最小值;當時，由，得時，為減函數(shù)，時，為增函數(shù)，令由，得易知在上遞增，在上遞減，且只有一解函數(shù)的解析式為【點睛】時得，進而構造函數(shù)結合函數(shù)單調性和求函數(shù)零點.22．在平面直角坐標系中，已知直線經(jīng)過點，傾斜角，在極坐標系（與直角坐標系取相同的長度單位，以原點為極點，以軸正半軸為極軸）中，圓的極坐標方程為.（1）寫出直線的參數(shù)方程，并把圓的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）設與圓相交于、兩點，求的值.【答案】（1）：（為參數(shù)），C：；（2）【分析】（1）根據(jù)直線經(jīng)過的點及直線的傾斜角，求出直線的參數(shù)方程，利用極坐標與直角坐標的互化方法，求出圓的直角坐標方程；（2）設、兩點對應的參數(shù)為和，以直線的參數(shù)方程代入圓的方程，整理可得，由根與系數(shù)的關系可得與，根據(jù)直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，計算即可.【詳解】解：（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），即（為參數(shù)），由，得，，圓C的直角坐標方程為（2）設、兩點對應的參數(shù)為和，把（為參數(shù)），代入，化簡整理得，，則，，.【點睛】本題考查了直線的參數(shù)方程及參數(shù)的幾何意義，考查了極坐標方程與直角坐標方程的互化，考查了轉化能力與計算能力，屬于中