考研數(shù)學(xué)二（二次型）模擬試卷1（共243題）

考研數(shù)學(xué)二（二次型）模擬試卷1（共9套）（共243題）考研數(shù)學(xué)二（二次型）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、二次型f(x1，x2，x3)=x12+5x22+x32一4x1x2+2x2x3的標(biāo)準(zhǔn)形可以是()A、y12+4y22。B、y12一6y22+2y32。C、y12一y22。D、y12+4y22+y32。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：用配方法，有f=x12一4x1x2+422+x22+2x2x3+x32=(x1一2x2)2+(x1+x3)2，可見二次型的正慣性指數(shù)p=2，負(fù)慣性指數(shù)q=0。故選A。2、二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(2x1+3x2+x3)2一5(x2+x3)2的規(guī)范形為()A、y12+y22+4y32。B、y22一y32。C、y12一y22—y32。D、y12一y22+y32。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：將二次型中的括號(hào)展開，并合并同類項(xiàng)可得f(x1，x2，x3)=5x12+5x22一432+14x1x2+4x1x3—4x2x3，則該二次型矩陣為則由｜λE一A｜==λ(λ+6)(λ一12)可知，矩陣A的特征根為12，一6，0。因此該二次型的正慣性指數(shù)p=1，負(fù)慣性指數(shù)q=1。3、二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+4x32一4x1x2+4x1x3—8x2x3的規(guī)范形為()A、f=z12+z22+z32。B、f=z12一z22。C、f=z12+z22一z32。D、f=z12。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：利用配方法將該二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形f(x1，x2，x3)=(x1一2x2+2x3)2，則該二次型的規(guī)范形為f=z12。故選D。4、下列矩陣中A與B合同的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：合同的定義CTAC=B，矩陣C可逆。合同的必要條件是r(A)=r(B)且行列式｜A｜與｜B｜同號(hào)。A，B合同的充要條件是A與B的正、負(fù)慣性指數(shù)相同，A與B的正、負(fù)特征值的個(gè)數(shù)相同。A選項(xiàng)的矩陣秩不相等。B選項(xiàng)中行列式正、負(fù)號(hào)不同，故排除。C選項(xiàng)中矩陣A的特征值為1，2，0，而矩陣B的特征值為1，3，0，所以二次型xTAx與xTBx有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)，因此A和B合同。而D選項(xiàng)中，A的特征值為1，±2，B的特征值為一1，一2，一2，因此xTAx與xTBx正、負(fù)慣性指數(shù)不同，故不合同。故選C。5、設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，將A的第i列和第j列對(duì)換得到B，再將B的第i行和第j行對(duì)換得到C，則A與C()A、等價(jià)但不相似。B、合同但不相似。C、相似但不合同。D、等價(jià)，合同且相似。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)矩陣作初等行、列變換，用左、右乘初等矩陣表示，由題設(shè)AEij=B，EijB=C，故可得C=EijB=EijAEij。因Eij=EijT=Eij—1，故C=EijAEij=Eij—1AEij=EijTAEij，所以A與C等價(jià)，合同且相似。故選D。6、設(shè)A，B均為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，若A與B合同，則()A、A與B有相同的秩。B、A與B有相同的特征值。C、A與B有相同的特征向量。D、A與B有相同的行列式。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：合同的矩陣也等價(jià)，故必有相同的秩。故選A。7、下列矩陣中，正定矩陣是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：二次型正定的必要條件是aij＞0。在選項(xiàng)D中，由于a33=0，易知f(0，0，1)=0，與x≠0，xTAx＞0相矛盾。因?yàn)槎涡驼ǖ某浞直匾獥l件是順序主子式全大于零，而在選項(xiàng)A中，二階主子式在選項(xiàng)B中，三階主子式△3=｜A｜=一1。因此選項(xiàng)A、B、D均不是正定矩陣。故選C。二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)8、二次型f(x1，x2，x3)=(a1x1+a2x2+a3x3)(b1x1+b2x2+b3x3)的矩陣為______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：f(x1，x2，x3)=(a1x1+a2x2+a3x3)(b1x1+b2x2+b3x3)所以原二次型矩陣為9、設(shè)f(x1，x2)=，則二次型的對(duì)應(yīng)矩陣是______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：把行列式展開就可以得到二次型的一般表達(dá)式。=3x1x2+5x12+2x22+3x1x2=(x1，x2)。因此對(duì)應(yīng)的矩陣為。10、二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=2x22+2x32+4x1x2+8x2x3—4x1x3的規(guī)范形是______。標(biāo)準(zhǔn)答案：z12+z22一z32知識(shí)點(diǎn)解析：二次型的矩陣，特征多項(xiàng)式｜λE—A｜==(λ一6)(λ一2)(λ+4)，所以矩陣A的特征值是2，6，一4，即正交變換下的二次型的標(biāo)準(zhǔn)形是2y12+6y22一4y32，因此其規(guī)范形是z12+z22一z32。11、已知正、負(fù)慣性指數(shù)均為1的二次型f=xTAx通過合同變換x=Py化為f=yTBy，其中B=，則a=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：一2知識(shí)點(diǎn)解析：合同矩陣對(duì)應(yīng)的二次型具有相同的規(guī)范形，所以由二次型f=xTAx的正、負(fù)慣性指數(shù)均為1可知，矩陣B的秩r(B)=2，從而有｜B｜=一(a—1)2(a+2)=0。若a=1，則r(B)=1，不合題意，舍去。若a=一2，則由｜λE—B｜==λ(λ一3)(λ+3)得B的特征值為0，3，一3，此時(shí)正、負(fù)慣性指數(shù)均為1。12、實(shí)對(duì)陣矩陣A與矩陣B=合同，則二次型xTAx的規(guī)范形為______。標(biāo)準(zhǔn)答案：y12+y22一y32知識(shí)點(diǎn)解析：矩陣A與B合同，說明二次型xTAx與xTBx有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)。矩陣B的特征多項(xiàng)式為｜λE—B｜==(λ一2)(λ2一1)，所以矩陣B的特征值為1，2，一1。于是二次型xTBx的正慣性指數(shù)2，負(fù)慣性指數(shù)1，故二次型xTAx的規(guī)范形是y12+y22一y32。三、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)13、二次型f(x1，x2，x3)=5x12+5x22+cx32一2x1x2+6x1x3—6x2x3的秩為2。求參數(shù)c及此二次型對(duì)應(yīng)矩陣的特征值。標(biāo)準(zhǔn)答案：二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為由二次型的秩為2，可得｜A｜=0，由此解得c=3，容易驗(yàn)證，此時(shí)A的秩為2。又因｜λE—A｜==λ(λ一4)(λ一9)，所以特征值為λ1=0，λ2=4，λ3=9。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)二次型f=x12+x22+x32—4x1x2—4x1x3+2ax2x3經(jīng)正交變換化為3y12+3y22+by32，求a，b的值及所用正交變換。標(biāo)準(zhǔn)答案：二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣分別是由于是用正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，故A與B不僅合同而且相似。由1+1+1=3+3+b得b=一3。對(duì)λ=3，則有｜3E—A｜==一2(a+2)2=0，因此a=一2(二重根)。由(3E—A)x=0，得特征向量α1=(1，一1，0)T，α2=(1，0，一1)T。由(一3E一A)x=0，得特征向量α3=(1，1，1)T。因?yàn)棣?3是二重特征值，對(duì)α1，α2正交化有β1=α1=(1，一1，0)T，單位化，有則令C=(γ1，γ2，γ3)=經(jīng)正交交換x=Cy，二次型化為3y12+3y22一3y32。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩為2。15、求a的值；標(biāo)準(zhǔn)答案：二次型矩陣A=。二次型的秩為2，則二次型矩陣A的秩也為2，從而因此a=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、求正交變換x=Qy，把f(x1，x2，x3)化為標(biāo)準(zhǔn)形；標(biāo)準(zhǔn)答案：由上題中結(jié)論a=0，則A=，由特征多項(xiàng)式｜λE—A｜==(λ一2)[(λ一1)2一1]=λ(λ一2)2，得矩陣A的特征值λ1=λ2=2，λ3=0。當(dāng)λ=2，由(2E—A)x=0得特征向量α1=(1，1，0)T，α2=(0，0，1)T。當(dāng)λ=0，由(0E—A)x=0得特征向量α3=(1，一1，0)T。容易看出α1，α2，α3已兩兩正交，故只需將它們單位化γ1=(1，1，0)T，γ2=(0，0，1)T，γ3=(1，—1，0)T那么令Q=(γ1，γ2，γ3)=則在正交變換x=Qy下，二次型f(x1，x2，x3)化為標(biāo)準(zhǔn)形f(x1，x2，x3)=xTAx=yTΛy=2y12+2y22。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、求方程f(x1，x2，x3)=0的解。標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(x1，x2，x3)=x12+x22+2x32+2x1x2=(x1+x2)2+2x32=0，得所以方程f(x1，x2，x3)=0的通解為k(1，一1，0)T，其中k為任意常數(shù)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、已知三元二次型f=xTAx的秩為2，且求此二次型的表達(dá)式，并求正交變換x=Qy化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。標(biāo)準(zhǔn)答案：二次型xTAx的秩為2，即r(A)=2，所以λ=0是A的特征值。所以3是A的特征值，(1，2，1)T是與3對(duì)應(yīng)的特征向量；一1也是A的特征值，(1，一1，1)T是與一1對(duì)應(yīng)的特征向量。因?yàn)閷?shí)對(duì)稱矩陣不同特征值的特征向量相互正交，設(shè)λ=0的特征向量是(x1，x2，x3)T，則有由方程組解出λ=0的特征向量是(1，0，一1)T，那么所以因此xTAx=(x12+10x22+x32+16x1x2+2x1x3+16x2x3)，則令所以經(jīng)正交變換x=Qy，有xTAx=yTΛy=3y12一y32。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)矩陣有一個(gè)特征值是3，求y，并求可逆矩陣P，使(AP)T(AP)為對(duì)角矩陣。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?是A的特征值，故｜3E—A｜=8(3一y一1)=0，解得y=2。于是由于AT=A，要(AP)T(AP)=PTA2P=Λ，而A2=是對(duì)稱矩陣，即要A2～Λ，故可構(gòu)造二次型xTA2x，再化其為標(biāo)準(zhǔn)形。由配方法，有xTA2x=x12+x22+5x32+5x42+8x3x4=y12+y22+5y32+y42，其中y1=x1，y2=x2，y3=x3+x4，y4=x4，即其中于是(AP)T(AP)=PTA2P=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交變換x=Qy下的標(biāo)準(zhǔn)形為y12+y22，且Q的第三列為。20、求矩陣A；標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意知QTAQ=Λ，其中Λ=，則A=QΛQT，設(shè)Q的其他任一列向量為(x1，x2，x3)T。因?yàn)镼為正交矩陣，所以(x1，x2，x3)=0，即x1+x3=0，其基礎(chǔ)解系含兩個(gè)線性無關(guān)的解向量，即為α1=(—1，0，1)T，α2=(0，1，0)T。把α1單位化得β1=(—1，0，1)T，所以則有A=QΛQT=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、證明A+E為正定矩陣，其中E為三階單位矩陣。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?A+E)T=AT+E=A+E，所以A+E為實(shí)對(duì)稱矩陣。又因?yàn)锳的特征值為1，1，0，所以A+E特征值為2，2，1，都大于0，因此A+E為正定矩陣。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析已知，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩為2。22、求實(shí)數(shù)a的值；標(biāo)準(zhǔn)答案：ATA=，由r(ATA)=2可得｜ATA｜==(a+1)2(a2+3)=0，所以a=一1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、求正交變換x=Qy將f化為標(biāo)準(zhǔn)形。標(biāo)準(zhǔn)答案：由上題中結(jié)果，令矩陣B=，則｜λE—B｜==λ(λ一2)(λ一6)=0，解得矩陣B的特征值為λ1=0，λ2=2，λ3=6。由(λiE—B)x=0，得對(duì)應(yīng)特征值λ1=0，λ2=2，λ3=6的特征向量分別為η1=(一1，一1，1)T，η2=(一1，1，0)T，η3=(1，1，2)T。將η1，η2，η3單位化可得則令Q=(α1，α2，α3)=則正交變換x=Qy可將原二次型化為2y22+6y32。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)二二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a—1)x32+2x1x3—2x2x3。24、求二次型f的矩陣的所有特征值；標(biāo)準(zhǔn)答案：二次型的矩陣為A=，則有=(λ—a)[(λ一a)(λ一a+1)一2]=(λ一a)(λ一a+2)(λ一a一1)，所有特征值是λ1=a，λ2=a—2，λ3=a+1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、若二次型f的規(guī)范形為y12+y22，求a的值。標(biāo)準(zhǔn)答案：若規(guī)范形為y12+y22，說明有兩個(gè)特征值為正，一個(gè)為0。則由于a—2＜a＜a+1，所以a一2=0，即a=2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)方陣A1與B1合同，A2與B2合同，證明與合同。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳1與B1合同，所以存在可逆矩C1，使得B1=C1TA1C1。同理，存在可逆矩C2，使得B2=C2TA2C2。令，則C可逆，且所以與合同。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（二次型）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、二次型f(x1，x2，x3)=x12+5x22+x32一4x1x2+2x2x3的標(biāo)準(zhǔn)形可以是()A、y12+4y22。B、y12一6y22+2y32。C、y12一y22。D、y12+4y22+y32。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：用配方法，有f=x12一4x1x2+4x22+x22+2x2x3+x32=(x1—2x2)2+(x2+x3)2，可見二次型的正慣性指數(shù)p=2，負(fù)慣性指數(shù)q=0。所以選A。2、二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+4x32一4x1x2+4x1x3—8x2x3的規(guī)范形為()A、f=z12+z22+z32。B、f=z12一z22。C、f=z12+z22一z32。D、f=z12。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：利用配方法將該二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形f(x1，x2，x3)=(x1—2x2+2x3)2，則該二次型的規(guī)范形為f=z12。故選D。3、設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，將A的第i列和第j列對(duì)換得到B，再將B的第i行和第j行對(duì)換得到C，則A與C()A、等價(jià)但不相似。B、合同但不相似。C、相似但不合同。D、等價(jià)，合同且相似。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)矩陣作初等行、列變換，用左、右乘初等矩陣表示，由題設(shè)AEij=B，EijB=C，故可得C=EijB=EijAEij。因Eij=EijT=Eij－1，故C=EijAEij=Eij－1AEij=EijTAEij，所以A與C等價(jià)，合同且相似。故應(yīng)選D。4、下列矩陣中，正定矩陣是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：二次型正定的必要條件是：aij＞0。在選項(xiàng)D中，由于a33=0，易知f(0，0，1)=0，與x≠0，xTAx＞0相矛盾。因?yàn)槎涡驼ǖ某浞直匾獥l件是順序主子式全大于零，而在選項(xiàng)A中，二階主子式△2==0，在選項(xiàng)B中，三階主子式△3=｜A｜=一1。因此選項(xiàng)A、B、D均不是正定矩陣。故選C。5、關(guān)于次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列說法正確的是()A、是正定的。B、其矩陣可逆。C、其秩為1。D、其秩為2。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：二次型的矩陣所以r(A)=1，故選項(xiàng)C正確，而選項(xiàng)A，B，D都不正確。6、已知實(shí)二二次型f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2正定，矩陣A=(aij)3×3，則()A、A是正定矩陣。B、A是可逆矩陣。C、A是不可逆矩陣。D、以上結(jié)論都不對(duì)。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2=xTATAx=(Ax)T(Ax)。因?yàn)閷?shí)二次型f正定，所以對(duì)任意x≠0，f＞0的充要條件是Ax≠0，即齊次線性方程組Ax=0只有零解，故A是可逆矩陣。所以選B。7、設(shè)A，B均為n階正定矩陣，下列各矩陣中不一定是正定矩陣的是()A、A－1+B－1。B、AB。C、A*+B*。D、2A+3B。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：A，B為正定矩陣，則A－1，B－1仍是正定矩陣，故A－1+B－1也是正定矩陣。類似地，選項(xiàng)C、D中的矩陣均為正定矩陣。故應(yīng)選B。事實(shí)上，由于(AB)T=BTAT=BA，但AB=BA不一定成立，故AB不一定是正定矩陣。二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)8、二次型f(x1，x2，x3)=(a1x1+a2x2+a3x3)(b1x1+b2x2+b3x3)的矩陣為________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：f(x1，x2，x3)=(a1x1+a2x2+a3x3)(b1x1+b2x2+b3x3)所以原二次型矩陣為。9、二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=2x22+2x32+4x1x2+8x2x3—4x1x3的規(guī)范形是_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：z12+z22一z32知識(shí)點(diǎn)解析：二次型的矩陣A=，特征多項(xiàng)式｜λE—A｜==(λ一6)(λ一2)(λ+4)，所以矩陣A的特征值是2，6，一4，即正交變換下的二次型的標(biāo)準(zhǔn)形是2y12+6y22一4y32，因此其規(guī)范形是z12+z22一z32。10、實(shí)對(duì)陣矩陣A與矩陣B=合同，則二次型xTAx的規(guī)范形為_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y12+y22一y32知識(shí)點(diǎn)解析：矩陣A與B合同，說明二次型xTAx與xTBx有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)。矩陣B的特征多項(xiàng)式為｜λE一B｜==(λ一2)(λ2一1)，所以矩陣B的特征值為1，2，一1。于是二次型xTBx的正慣性指數(shù)2，負(fù)慣性指數(shù)1，故二次型xTAx的規(guī)范形是y12+y22一y32。11、設(shè)f=x12+x22+5x32+2ax1x2—2x1x3+4x2x3為正定二次型，則未知系數(shù)a的范圍是_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：＜a＜0知識(shí)點(diǎn)解析：二次型的矩陣為其各階主子式為a11=1，=一a(5a+4)。因?yàn)閒為正定二次型，所以必有1一a2＞0且一a(5a+4)＞0，因此＜a＜0。故當(dāng)＜a＜0時(shí)，A正定，從而f正定。12、設(shè)α=(1，0，1)T，A=ααT，若B=(kE+A)*是正定矩陣，則k的取值范圍是_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：k＞0或k＜一2知識(shí)點(diǎn)解析：矩陣A=ααT的秩為1，且tr(A)=αTα=2，故矩陣A的特征值是2，0，0，從而矩陣kE+A的特征值是k+2，k，k。矩陣B=(kE+A)*=｜kE+A｜(kE+A)－1的特征值是k2，k(k+2)，k(k+2)。矩陣B正定的充要條件是特征值均大于零，即k2＞0且k(k+2)＞0，解得k＞0或k＜一2。三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)13、二次型f(x1，x2，x3)=5x12+5x22+cx32一2x1x2+6x1x3—6x2x3的秩為2。求參數(shù)c及此二次型對(duì)應(yīng)矩陣的特征值；標(biāo)準(zhǔn)答案：二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為由二次型的秩為2，可得｜A｜=0，由此解得c=3，容易驗(yàn)證，此時(shí)A的秩為2。又因｜λE—A｜==λ(λ一4)(λ一9)，所以特征值為λ1=0，λ2=4，λ3=9。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析已知二次型f(x1，x2，x3)=(1—a)x12+(1—a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩為2。14、求a的值；標(biāo)準(zhǔn)答案：二次型矩陣A=。二次型的秩為2，則二次型矩陣A的秩也為2，從而｜A｜==一8a=0，因此a=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、求正交變換x=Qy，把f(x1，x2，x3)化為標(biāo)準(zhǔn)形；標(biāo)準(zhǔn)答案：由上問中結(jié)論a=0，則A=，由特征多項(xiàng)式｜λE—A｜==(λ一2)[(λ一1)2—1]=λ(λ一2)2，得矩陣A的特征值λ1=λ2=2，λ3=0。當(dāng)λ=2，由(2E—A)x=0得特征向量α1=(1，1，0)T，α1=(0，0，1)T。當(dāng)λ=0，由(0E—A)x=0得特征向量α3=(1，一1，0)T。容易看出α1，α2，α3已兩兩正交，故只需將它們單位化：γ1=(1，1，0)T，γ2=(0，0，1)T，γ3=(1，1，0)T。那么令Q=(γ1，γ2，γ3)=，則在正交變換x=Qy下，二次型f(x1，x2，x3)化為標(biāo)準(zhǔn)形f(x1，x2，x3)=xTAx=yTy=2y12+2y22。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、求方程f(x1，x2，x3)=0的解。標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(x1，x2，x3)=x12+x22+2x32+2x1x2=(x1+x2)2+2x32=0，得所以方程f(x1，x2，x3)=0的通解為k(1，一1，0)T，其中k為任意常數(shù)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、已知三元二次型f=xTAx的秩為2，且求此二次型的表達(dá)式，并求正交變換x=Qy化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。標(biāo)準(zhǔn)答案：二次型xTAx的秩為2，即r(A)=2，所以λ=0是A的特征值。所以3是A的特征值，(1，2，1)T是與3對(duì)應(yīng)的特征向量；一1也是A的特征值值，(1，一1，1)T是與一1對(duì)應(yīng)的特征向量。因?yàn)閷?shí)對(duì)稱矩陣不同特征值的特征向量相互正交，設(shè)λ=0的特征向量是(x1，x2，x3)T，則有由方程組解出λ=0的特征向量是(1，0，一1)T。因此xTAx=(x12+10x22+x32+16x1x2+2x1x3+16x2x3)，令Q=，則經(jīng)正交變換x=Qy，有xTAx=yTy=3y12一y32。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析已知A=，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩為2。18、求實(shí)數(shù)a的值；標(biāo)準(zhǔn)答案：ATA=，由r(ATA)=2可得｜ATA｜==(a+1)2(a2+3)=0，所以a=一1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、求正交變換x=Qy將f化為標(biāo)準(zhǔn)形。標(biāo)準(zhǔn)答案：由上問中結(jié)果，令矩陣B=，｜λE—B｜==λ(λ一2)(λ一6)=0，解得矩陣B的特征值為λ1=0，λ2=2，λ3=6。由(λiE—B)x=0，得對(duì)應(yīng)特征值λ1=0，λ2=2，λ3=6的特征向量分別為η1=(一1，一1，1)T，η2=(一1，1，0)T，η3=(1，1，2)T。將η1，η2，η3單位化可得：令Q=(α1，α2，α3)=，則正交變換x=Qy可將原二次型化為2y22+6y32。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)方陣A1與B1合同，A2與B2合同，證明：合同。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳1與B1合同，所以存在可逆矩C1，使得B1=C1TA1C1。同理，存在可逆矩C2，使得B2=C2TA2C2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)D=為正定矩陣，其中A，B分別為m階，n階對(duì)稱矩陣，C為m×n矩陣。21、計(jì)算PTDP，其中P=。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)橹R(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、利用上問的結(jié)果判斷矩陣B一CTA－1C是否為正定矩陣，并證明結(jié)論。標(biāo)準(zhǔn)答案：由上問中結(jié)果知矩陣D與矩陣M=合同，又因D是正定矩陣，所以矩陣M為正定矩陣，從而可知M是對(duì)稱矩陣，那么B一CTA－1C是對(duì)稱矩陣。對(duì)m維零向量x=(0，0，…，0)T和任意n維非零向量y=(y1，y2，…yn)T，都有＞0，即yT(B一CTA－1C)y＞0，依定義，yT(B一CTA－1C)y為正定二次型，所以矩陣B—CTA－1C為正定矩陣。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、用正交變換將二次型f(x1，x2，x3)=x12一2x22一2x32一4x1x2+4x1x3+8x2x3化為標(biāo)準(zhǔn)形，并給出所施行的正交變換。標(biāo)準(zhǔn)答案：二次型的矩陣為A=，特征多項(xiàng)式為｜λE一A｜==(λ一2)2(λ+7)，矩陣A的特征值為λ1=一7，λ2=λ3=2。由(λiE一A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λi=一7和λ2=λ3=2對(duì)應(yīng)的特征向量分別為α1=(1，2，一2)T，α2=(一2，1，0)T，α3=(2，0，1)T，由于實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量正交，所以先將α2，α3正交化，即β2=α2=(一2，1，0)T，β3=α3一(2，4，5)T，再將α1，β2，β3單位化，即則二次型xTAx在正交變換x=Qy下的標(biāo)準(zhǔn)形為一7y12+2y22+2y32。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一2x1x2—2x1x3+2ax2x3通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形2y12+2y22+by32。24、求常數(shù)a，b及所用的正交變換矩陣Q；標(biāo)準(zhǔn)答案：二次型矩陣及其對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣分別為由矩陣B可知矩陣A的特征值為2，2，b。由矩陣A的跡tr(A)=3=2+2+b可得b=一1。由于2是A的二重特征值，而實(shí)對(duì)稱矩陣A必可相似對(duì)角化，所以矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值2的線性無關(guān)的特征向量有兩個(gè)。于是矩陣2E一A的秩為1，而2E－A=，所以a=一1。由(λiE—A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ1=λ2=2和λ3=一1對(duì)應(yīng)的特征向量分別為α1=(1，0，一1)T，α2=(0，1，一1)T，α3=(1，1，1)T，由于實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量正交，所以先將α1，α2正交化，即β1=α1=(1，0，一1)T，β2=α2一(一1，2，一1)T，再將β1，β2，α3單位化，即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、求f在xTx=3下的最大值。標(biāo)準(zhǔn)答案：二次型f=xTAx在正交變換x=Qy下的標(biāo)準(zhǔn)形為2y12+2y22一y32。條件xTx=3等價(jià)于yTQTQy=y12+y22+y32=3，此時(shí)f=2y12+2y22一y32=6—3y32的最大值為6，所以f在xTx=3下的最大值是6。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=3x12+3x22+5x32+4x1x3—4x2x3。26、寫出二次型的矩陣表達(dá)式；標(biāo)準(zhǔn)答案：二次型的矩陣為則二次型的矩陣表達(dá)式為f=xTAx。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、求正交矩陣P，作變換x=Py將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。標(biāo)準(zhǔn)答案：矩陣A的特征多項(xiàng)式為｜λE—A｜==(λ—1)(λ一3)(λ一7)，矩陣A的特征值為λ1=1，λ2=3，λ3=7。由(λiE—A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ1=1，λ2=3，λ3=7對(duì)應(yīng)的特征向量分別為α1=(一1，1，1)T，α2=(1，1，0)T，α3=(1，一1，2)T，由于實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量正交，所以可直接將α1，α2，α3單位化，即且二次型xTAx在正交變換x=Py下的標(biāo)準(zhǔn)形為f=y12+3y22+7y32。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（二次型）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，已知r(A)=2，并且A滿足A2－2A=0．則下列各標(biāo)準(zhǔn)二次型(1)2y12+2y22．(2)2y12．(3)2y12+2y32．(4)2y22+2y32．中可用正交變換化為f的是()．A、(1)．B、(3)，(4)．C、(1)，(3)，(4)．D、(2)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：兩個(gè)二次型可以用正交變換互相轉(zhuǎn)化的充要條件是它們的矩陣相似，也就是特征值一樣．從條件可知，A的特征值0，2，2．(1)，(3)，(4)這3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)二次型的矩陣的特征值都是0，2，2．(2)中標(biāo)準(zhǔn)二次型的矩陣的特征值是0，0，2．2、A=，則()中矩陣在實(shí)數(shù)域上與A合同．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：用特征值看：兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣合同<=>它們的特征值正負(fù)性相同．｜A｜=－3，對(duì)于2階實(shí)對(duì)稱矩陣，行列式小于0即兩個(gè)特征值一正一負(fù)，于是只要看哪個(gè)矩陣行列式是負(fù)數(shù)就和A合同．計(jì)算得到只有D中的矩陣的行列式是負(fù)數(shù)．3、矩陣A=合同于A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由矩陣A的特征多項(xiàng)式知矩陣A的特征值為1，3，－2．即二次型正慣性指數(shù)p=2，負(fù)慣性指數(shù)q=1．故應(yīng)選B．4、設(shè)A，B均為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則A與B合同的充要條件是A、A，B有相同的特征值．B、A，B有相同的秩．C、A，B有相同的行列式．D、A，B有相同的正負(fù)慣性指數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：A是充分條件．特征值一樣=>有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)=>合同．但不是必要條件．例如，特征值不同，但AB．B是必要條件．由CTAC=B，C可逆=>r(A)=r(B)，但不是充分條件．例如，雖r(A)=r(B)，但正負(fù)慣性指數(shù)不同．故A與B不合同．C既不必要也不充分．例如，行列式不同但合同，又如，雖行列式相同但不合同．故應(yīng)選D．二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)5、二次型f(x1，x2，x3)=(a1x1+a2x2+a3x3)2的矩陣是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：f(x1，x2，x3)=a12x12+a22x22+a32x32+2a1a2x1x2+2a1a3x1x3+2a2a3x2x3，二次型矩陣A=6、若二次型2x12+x22+x32+2x1x2+2tx2x3的秩為2，則t=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：r(f)=2，即r(A)=2．因｜A｜中有2階子式≠0，故r(A)=2<=>｜A｜=0．由7、設(shè)三元二次型x12+x22+5x32+2tx1x2－2x1x3+4x2x3是正定二次型，則t∈________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：二次型矩陣A=，順序主子式△1=1，△2==1－t2＞0，△3=｜A｜=－5t2－4t＞0，所以t∈(，0)．三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)8、用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)型(1)f(x1，x2，x3)=x12+2x22+2x1x2－2x1x3+2x2x3．(2)f(x1，x2，x3)=x1x2+x1x3+x2x3．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)f(x1，x2，x3)=x12+2x22+2x1x2－2x1x3+2x2x3=[x12+2x1x2－2x1x3+(x2－x3)2]－(x2－x3)2+2x22+2x2x3=(x1+x2－x3)2+x22+4x2x3－x32=(x1+x2－x3)2+x22+4x2x3+4x32－5x32=(x1+x2－x3)2+(x2+2x3)2－5x3)2．原二次型化為f(x1，x2，x3)=y12+y22－5y32．從上面的公式反解得變換公式：變換矩陣(2)這個(gè)二次型沒有平方項(xiàng)，先作一次變換f(x1，x2，x3)=y12－y22+2y1y3．雖然所得新二次型還不是標(biāo)準(zhǔn)的，但是有平方項(xiàng)了，可以進(jìn)行配方了：y12－y22+2y1y3=(y1+y3)2－y22－y32．則f(x1，x2，x3)=z12－z22－z32．變換矩陣知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析9、已知二次型f(x1，x2，x3)=(1－a)x12+(1－a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩為2．(1)求a．(2)求作正交變換X=QY，把f(x1，x2，x3)化為標(biāo)準(zhǔn)形．(3)求方程f(x1，x2，x3)=0的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)此二次型的矩陣為則r(A)=2，｜A｜=0．求得｜A｜=－8a，得a=0．(2)得A的特征值為2，2，0．對(duì)特征值2求兩個(gè)正交的單位特征向量：得(A－2E)X=0的同解方程組x1－x2=0，求出基礎(chǔ)解系η1=(0，0，1)T，η2=(1，1，0)T．它們正交，單位化：α1=η1，α2=．方程x1－x2=0的系數(shù)向量(1，－1，0)T和η1，η2都正交，是屬于特征值0的一個(gè)特征向量，單位化得作正交矩陣Q=(α1，α2，α3)，則作正交變換X=QY，則f化為Y的二次型f=2y12+2y22．(3)f(X)=x12+x22+2x32+2x1x2=(x1+x2)2+2x32．于是f(x1，x2，x3)=0<=>求得通解為：，c任意．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、A=，求作一個(gè)3階可逆矩陣P，使得PTAP是對(duì)角矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)這樣的題，可能會(huì)想到構(gòu)造正交矩陣Q，使得Q－1AQ是對(duì)角矩陣，則QTAQ=Q－1AQ是對(duì)角矩陣．這樣做首先會(huì)遇到特征值計(jì)算的困難，如本題中的矩陣用本課程的知識(shí)是不能求出特征值的．即使可以求出，這個(gè)方法的計(jì)算量也比較大．一個(gè)比較簡單的方法是利用與A對(duì)應(yīng)的二次型用配方法標(biāo)準(zhǔn)化，則變換矩陣就是所求．f(x1，x2，x3)=XTAX=x12+4x22－2x32－4x1x2+4x2x3=(x1－2x2)2－2x32+4x2x3=(x1－2x2)2－2(x2－x3)2+2x22．原二次型化為f(x1，x2，x3)=y12－2y22+2y32．從上面的公式反解得變換公式：變換矩陣知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、設(shè)A是一個(gè)可逆實(shí)對(duì)稱矩陣，記Aij是它的代數(shù)余子式．二次型(1)用矩陣乘積的形式寫出此二次型．(2)f(x1，x2，…，xn)的規(guī)范形和XTAX的規(guī)范形是否相同?為什么?標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由于A是實(shí)對(duì)稱矩陣，它的代數(shù)余子式Aij=Aji，i，j，并且A－1也是實(shí)對(duì)稱矩陣，其(i，j)位的元素就是4ij｜A｜，于是f(x1，x2，…，xn)=XTA－1X．(2)A－1的特征值和A的特征值互為倒數(shù)關(guān)系，因此A－1和A的正的特征值的個(gè)數(shù)相等，負(fù)的特征值的個(gè)數(shù)也相等，于是它們的正，負(fù)慣性指數(shù)都相等，從而A－1和A合同，f(x1，x2，…，xn)和XTAX有相同的規(guī)范形．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a－1)x32+2x1x3－2x2x3．①求f(x1，x2，x3)的矩陣的特征值．②如果f(x1，x2，x3)的規(guī)范形為y12+y22，求a．標(biāo)準(zhǔn)答案：①f(x1，x2，x3)的矩陣為求出B的特征多項(xiàng)式｜λE－B｜=λ3+λ2－2λ=λ(λ+2)(λ－1)，B的特征值為－2，0，1，于是A的特征值為a－2，a，a+1．②因?yàn)閒(x1，x2，x3)的規(guī)范形為y12+y22時(shí)，所以A的正慣性指數(shù)為2，負(fù)慣性指數(shù)為0，于是A的特征值2個(gè)正，1個(gè)0，因此a=2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、已知A是正定矩陣，證明｜A+E｜＞1．標(biāo)準(zhǔn)答案：此題用特征值較簡單．設(shè)A的特征值為λ1，λ2，…，λn，則A+E的特征值為λ1+1，λ2+1，…，λn+1．因?yàn)锳正定，所以λi＞0，λi+1＞1(i=1，2，…，n)．于是｜A+E｜=(λ1+1)(λ2+1)…(λn+1)＞1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、已知二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2．a(chǎn)1，a2，…，an滿足什么條件時(shí)f(x1，x2，…，xn)正定?標(biāo)準(zhǔn)答案：記y1=x1+a1x2，y2=x2+a2x3，…，yn=xn+anx1，則簡記為Y=AX．則f(x1，x2，…，xn)=YTY=XTATAX．于是，實(shí)對(duì)稱矩陣ATA就是f(x1，x2，…，xn)的矩陣．從而f正定就是ATA正定．ATA正定的充要條件是A可逆．計(jì)算出｜A｜=1+(－1)n－1a1a2…an．于是，f正定的充要條件為a1a2…an≠(－1)n．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)A和B都是m×n實(shí)矩陣，滿足r(A+B)=n，證明ATA+BTB正定．標(biāo)準(zhǔn)答案：用正定的定義證明．顯然ATA，BTB都是n階的實(shí)對(duì)稱矩陣，從而ATA+BTB也是n階實(shí)對(duì)稱矩陣．由于r(A+B)=n，n元齊次線性方程組(A+B)X=0沒有非零解．于是，當(dāng)α是一個(gè)非零n維實(shí)的列向量時(shí)，(A+n)α≠0，因此Aα與Bα不會(huì)全是零向量，從而αT(ATA+BTB)α=αTATAα+αTBTBα=‖Aα‖2+‖Bα‖2＞0．根據(jù)定義，ATA+BTB正定．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)A是3階實(shí)對(duì)稱矩陣，滿足A2+2A=0，并且r(A)=2．(1)求A的特征值．(2)當(dāng)實(shí)數(shù)后滿足什么條件時(shí)A+kE正定?標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣，所以A的特征值都是實(shí)數(shù)．假設(shè)λ是A的一個(gè)特征值，則λ2+2λ是A2+2A的特征值．而A2+2A=0，因此λ2+2λ=0，故λ=0或－2．又因?yàn)閞(A－0E)=r(A)=2，特征值0的重?cái)?shù)為3－r(A－0E)=1，所以－2是A的二重特征值．A的特征值為0，－2，－2．(2)A+kE的特征值為k，k－2，k－2．于是當(dāng)k＞2時(shí)，實(shí)對(duì)稱矩陣A+kE的特征值全大于0，從而A+kE是正定矩陣．當(dāng)k≤2時(shí)，A+kE的特征值不全大于0，此時(shí)A+kE不正定．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)C=，其中A，B分別是m，n階矩陣．證明C正定<=>A，B都正定．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然C是實(shí)對(duì)稱矩陣<=>A，B都是實(shí)對(duì)稱矩陣．于是A，B的特征值合起來就是C的特征值．如果C正定，則C的特征值都大于0，從而A，B的特征值都大于0，A，B都正定．反之，如果A，B都正定，則A，B的特征值都大于0，從而C的特征值都大于0，C正定．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、二次型f(x1，x2，x3)=XTAX在正交變換X=QY下化為y12+y22，Q的第3列為．①求A．②證明A+E是正定矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：①條件說明于是A的特征值為1，1，0，并且Q的第3列=(1，0，1)T是A的特征值為0的特征向量．記α1=(1，0，1)T，它也是A的特征值為0的特征向量．A是實(shí)對(duì)稱矩陣，它的屬于特征值1的特征向量都和α1正交，即是方程式x1+x3=0的非零解．α2=(1，0，－1)T，α3=(0，1，0)T是此方程式的基礎(chǔ)解系，它們是A的特征值為1的兩個(gè)特征向量．建立矩陣方程A(α1，α2，α3)=(0，α2，α3)，兩邊做轉(zhuǎn)置，得解此矩陣方程②A+E也是實(shí)對(duì)稱矩陣，特征值為2，2，1，因此是正定矩陣．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、如果A正定，則Ak，A－1，A*也都正定．標(biāo)準(zhǔn)答案：從特征值看．設(shè)A的特征值為λ1，λ2，…，λn．λi＞0，i=1，2，…，n．則Ak的特征值為λ1k，λ2k，…，λnk．λik＞0，，i=1，2，…，n．設(shè)A－1的特征值為λ1－1，λ2－1，…，λn－1．λi－1＞0，i=1，2，…，n．設(shè)A*的特征值為｜A｜／λ1，｜A｜／λ2，…，｜A｜／λn．｜A｜／λi＞0，i=1，2，…，n．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)A，B都是n階正定矩陣，則：AB是正定矩陣<=>A，B乘積可交換．標(biāo)準(zhǔn)答案：“<=”先證明AB對(duì)稱．(AB)T=BTAT=BA=AB．再證明AB的特征值全大于0．存在可逆實(shí)矩陣C，使得A=CCT．則AB=CCTB，相似于CTBC，特征值一樣，而CTBC是正定的，特征值全大于0．“=>”AB正定，則對(duì)稱．于是BA=BTAT=(AB)T=AB．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)A是一個(gè)n階正定矩陣，B是一個(gè)n階實(shí)的反對(duì)稱矩陣，證明A+B可逆．標(biāo)準(zhǔn)答案：證明(A+B)X=0沒有非零解．設(shè)n維實(shí)列向量α滿足(A+B)α=0，要證明α=0．注意B是反對(duì)稱矩陣，αTBα=0(因?yàn)棣罷Bα=(αTBα)T=－αTBα．)αTAα=αTAα+αTBα=αT(A+B)α=0由A的正定性得到α=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、求正交變換化二次型x12+x22+x32－4x1x2－4x2x3－4x1x3為標(biāo)準(zhǔn)形．標(biāo)準(zhǔn)答案：二次型矩陣A=，由特征多項(xiàng)式得特征值為λ1=λ2=3，λ3=－3．由(3E－A)x=0得基礎(chǔ)解系α1=(－1，1，0)T，α2=(－1，0，1)T，即λ=3的特征向量是α1，α2．由(－E－A)x=0得基礎(chǔ)解系α3=(1，1，1)T．對(duì)α1，α2經(jīng)Schmidt正交化，有單位化，得那么，令x=Qy，其中Q=(γ1，γ2，γ3)，則有f(x1，x2，x3)=xTAx=yTΛy=3y12+3y22－332．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，若對(duì)任意的n維列向量α恒有αTAα=0，證明A=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：n維向量α恒有αTAα=0，那么令α1=(1，0，0，…，0)T，有類似地，令αi=(0，0，…，0，1，0，…，0)T(第i個(gè)分量為1)，由αiTAαi=αii=0(i=1，2，…，n)．令α12=(1，1，0，…，0)T，則有故a12=0．類似可知aij=0(i，j=1，2，…，n)．所以A=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)A是m×n實(shí)矩陣，r(A)=n，證明ATA是正定矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：由(ATA)T=AT(AT)T=ATA，知ATA是實(shí)對(duì)稱矩陣．又r(A)=n，α≠0，恒有Aα≠0．從而αT(ATA)α=(Aα)T(Aα)=‖Aα‖2＞0．故ATA正定．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、已知A=是正定矩陣，證明△=＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：令，C=C1C2，則C是可逆矩陣，且則AB．由于A正定，故B正定，從而B的順序主子式△＞0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（二次型）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)A、A與B既合同又相似．B、A與B合同但不相似．C、A與B不合同但相似．D、A與B既不合同又不相似．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：A與B都是實(shí)對(duì)稱矩陣，判斷是否合同和相似只要看它們的特征值：特征值完全一樣時(shí)相似，特征值正負(fù)性一樣時(shí)合同．此題中A的特征值和B的特征值都是4，0，0，0，從而A與B既合同又相似．2、下列矩陣中，正定矩陣是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：正定的必要條件aii＞0，可排除A、D．B中△2=0與順序主子式全大于0相矛盾，排除B．故應(yīng)選C．3、設(shè)．則A與BA、合同且相似．B、合同但不相似．C、不合同但相似．D、不合同也不相似．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由｜λE－A｜=λ3－3λ2，知矩陣A的特征值為3，0，0．又因A是實(shí)對(duì)稱矩陣，A必能相似對(duì)角化，所以A～B．因?yàn)锳，B有相同的特征值，從而有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)，所以AB．故應(yīng)選A．4、二次型xTAx正定的充要條件是A、負(fù)慣性指數(shù)為零．B、存在可逆矩陣P，使P－1AP=E．C、A的特征值全大于零．D、存在n階矩陣C，使A=CTC．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：A是正定的必要條件．若f(x1，x2，x3)=x12+5x32，雖q=0，但f不正定．B是充分條件．正定并不要求特征值全為1．雖A=不和單位矩陣E相似，但二次型xTAx正定．D中沒有矩陣C可逆的條件，也就推導(dǎo)不出A與E合同，例如C=，A=CTC=，則xTAx不正定．故應(yīng)選C．二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)5、二次型f(x1，x2，x3)=x22+2x1x3的負(fù)慣性指數(shù)q=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：令(Ⅰ)：因?yàn)椤?，故(Ⅰ)是坐標(biāo)變換，那么經(jīng)此變換二次型化為f=y22+2(y1+y3)(y1－y3)=2y12+y22－2y32．所以負(fù)慣性指數(shù)q=1．6、已知二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+cx32+2ax1x2+2x1x3經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形y12+2y32，則a=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣分別是在正交變換下二次型矩陣A和標(biāo)準(zhǔn)形矩陣Λ不僅合同，而且相似．于是由7、已知A=，矩陣B=A+kE正定，則k的取值為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：k＞0知識(shí)點(diǎn)解析：由矩陣A的特征值為3，0，0，知矩陣B的特征值為k+3，k，k．又B正定三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)8、已知二次型2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)可用正交變換化為y12+2y22+5y32，求a和所作正交變換．標(biāo)準(zhǔn)答案：原二次型的矩陣A和化出二次型的矩陣B相似．于是｜A｜=｜B｜=10．而｜A｜=2(9－a2)，得a2=4，a=2．A和B的特征值相同，為1，2，5．對(duì)這3個(gè)特征值求單位特征向量．對(duì)于特征值1：得(A－E)X=0的同解方程組得屬于1的一個(gè)特征向量η1=(0，1，－1)T，單位化得γ1=對(duì)于特征值2：得(A－2E)X=0的同解方程組得屬于2的一個(gè)單位特征向量γ2=(1，0，0)T．對(duì)于特征值5：得(A－5E)X=0的同解方程組得屬于5的一個(gè)特征向量η3=(0，1，1)T，單位化得γ3=令Q=(γ1，γ2，γ3)，則正交變換X=QY把原二次型化為y12+2y22+532．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析9、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22－2x32+2bx1x3，(b＞0)其中A的特征值之和為1，特征值之積為－12．(1)求a，b．(2)用正交變換化f(x1，x2，x3)為標(biāo)準(zhǔn)型．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由條件知，A的特征值之和為1，即a+2+(－2)=1，得a=1．特征值之積=－12，即｜A｜=－12，而得b=2(b＞0)．則(2)得A的特征值為2(二重)和－3(一重)．對(duì)特征值2求兩個(gè)單位正交的特征向量，即(A－E)X=0的非零解．得(A－2E)X=0的同解方程組x1－2x3=0，求出基礎(chǔ)解系η1=(0，1，0)T，η2=(2，0，1)T．它們正交，單位化：α1=η1，α2=．方程x1－2x3=0的系數(shù)向量(1，0，－2)T和η1，η2都正交，是屬于－3的一個(gè)特征向量，單位化得作正交矩陣Q=(α1，α2，α3)，則作正交變換X=QY，則它把f化為Y的二次型f=2y12+2y22－3y32．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、二次型f(x1，x2，x3)=XTAX在正交變換X=QY下化為10y12－4y22－4y32，Q的第1列為(1)求A．(2)求一個(gè)滿足要求的正交矩陣Q．標(biāo)準(zhǔn)答案：標(biāo)準(zhǔn)二次型10y12－4y22－4y32的矩陣為則Q－1AQ=QTAQ=B，A和B相似．于是A的特征值是10，－4，－4．(1)Q的第1列α1=是A的屬于10的特征向量，其倍η1=(1，2，3)T也是屬于10的特征向量．于是A的屬于－4的特征向量和(1，2，3)T正交，因此就是方程x1+2x2+3x3=0的非零解．求出此方程的一個(gè)正交基礎(chǔ)解系η2=(2，－1，0)T，η3=(1，2，)T．建立矩陣方程A(η1，η2，η3)=(10η1，－4η2，－4η3)，用初等變換法解得(2)將η2，η3單位化得α2=(2，－1，0)T，α3=(3，6，－5)T．則正交矩陣Q=(α1，α2，α3)滿足要求．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、二次型f(x1，x2，x3)=x12+ax22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3的正慣性指數(shù)為2，a應(yīng)滿足什么條件?標(biāo)準(zhǔn)答案：用其矩陣的特征值做．f(x1，x2，x3)的矩陣為A的特征值為0和[λ2－(a+2)λ+2a－2]的兩個(gè)根．于是正慣性指數(shù)為2<=>[λ2－(a+2)λ+2a－2]的兩個(gè)根都大于0<=>(a+2)和2a－2都大于0(用韋達(dá)定理)．于是得a＞1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、判斷A與B是否合同，其中標(biāo)準(zhǔn)答案：從特征值的正負(fù)性是否一致看．B的特征值是2正1負(fù)，看A的特征值是否也是2正1負(fù)．先求A的行列式．于是A的3個(gè)特征值的乘積為－4，因此它們或是2正1負(fù)，或是3個(gè)負(fù)．再看A的跡tr(A)=1+4－2=3，則A的3個(gè)特征值之和為3．于是A的3個(gè)特征值不會(huì)都是負(fù)的，一定是2正1負(fù)．于是A與B特征值的正負(fù)性一致，它們合同．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、a為什么數(shù)時(shí)二次型x12+3x22+2x32+2ax2x3可用可逆線性變量替換化為2y12－3y22+5y32?標(biāo)準(zhǔn)答案：就是看a為什么數(shù)時(shí)它們的矩陣合同．寫出這兩個(gè)二次型的矩陣B的特征值是2正1負(fù)．又看出1是A的特征值，于是A的另兩個(gè)特征值應(yīng)該1正1負(fù)，即｜A｜＜0．求得｜A｜=6－a2，于是a滿足的條件應(yīng)該為：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、已知二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+4x32+2λx1x2－2x1x3+4x2x3．當(dāng)λ滿足什么條件時(shí)f(x1，x2，x3)正定?標(biāo)準(zhǔn)答案：用順序主子式．此二次型的矩陣它的順序主子式的值依次為1，4－λ2，4(2－λ－λ2)．于是，A應(yīng)滿足條件4－λ2＞0，2－λ－λ2＞0，解出λ∈(－2，1)時(shí)二次型正定．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)(1)求作對(duì)角矩陣D，使得B～D．(2)實(shí)數(shù)k滿足什么條件時(shí)B正定?標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，它可相似對(duì)角化，從而B也可相似對(duì)角化，并且以B的特征值為對(duì)角線上元素的對(duì)角矩陣和B相似．求B的特征值：｜λE－A｜=λ(λ－2)2，A的特征值為0，2，2，于是B的特征值為k2和(k+2)2，(k+2)2．則B～D．(2)當(dāng)k為≠0和－2的實(shí)數(shù)時(shí)，B是實(shí)對(duì)稱矩陣，并且特征值都大于0，從而此時(shí)B正定．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)A是m階正定矩陣，B是m×n實(shí)矩陣，證明：BTAB正定<=>r(B)=n．標(biāo)準(zhǔn)答案：“=>”BTAB是n階正定矩陣，則r(BTAB)=n，從而r(B)=n．“<=”顯然BTAB是實(shí)矩陣，并且(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，因此，BTAB是實(shí)對(duì)稱矩陣．因?yàn)閞(B)=n，所以齊次線性方程組BX=0只有零解，即若X是n維非零實(shí)列向量，則BX≠0．再由A的正定性，得到XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)＞0．由定義知，BTAB正定．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)A，B是兩個(gè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣，并且A正定．證明：(1)存在可逆矩陣P，使得PTAP，PTBP都是對(duì)角矩陣；(2)當(dāng)｜ε｜充分小時(shí)，A+εB仍是正定矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因?yàn)锳正定，所以存在實(shí)可逆矩陣P1，使得P1TAP1=E．作B1=P1TBP1，則B1仍是實(shí)對(duì)稱矩陣，從而存在正交矩陣Q，使得QTB1Q是對(duì)角矩陣．令P=P1Q，則PTAP=QTP1TAP1Q=E，PTBP=QTP1TBP1Q=QTB1Q．因此P即所求．(2)設(shè)對(duì)(1)中求得的可逆矩陣P，對(duì)角矩陣PTBP對(duì)角線上的元素依次為λ1，λ3，…，λn，記M=max{｜λ1｜，｜λ2｜，…，｜λn｜}．則當(dāng)｜ε｜＜1／M時(shí)，E+εPTBP仍是實(shí)對(duì)角矩陣，且對(duì)角線上元素1+ελi＞0，i=1，2，…，n．于是E+εPTBP正定，PT(A+εB)P=E+εPTBP，因此A+εB也正定．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)D=是正定矩陣，其中A，B分別是m，n階矩陣．記P=(1)求PTDP．(2)證明B－CTA－1C正定．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)(2)因?yàn)镈為正定矩陣，P是實(shí)可逆矩陣，所以PTDP正定．于是由上例的結(jié)果，得B－CTA－1C正定．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、證明對(duì)于任何m×n實(shí)矩陣A，ATA的負(fù)慣性指數(shù)為0．如果A秩為n，則ATA是正定矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)慣性定理6．4，只用證明ATA的特征值都不為負(fù)數(shù)，并且在A秩為n時(shí)ATA的特征值都大于0．設(shè)λ是A的一個(gè)特征值，η是屬于它的一個(gè)特征向量，即有ATAη=λη，于是ηTATAη=ληTη，即(Aη，Aη)=λ(η，η)．則λ=(Aη，Aη)／(η，η)≥0．如果A秩為n，則AX=0沒有非零解，從而Aη≠0，(Aη，Aη)＞0，因此λ=(Aη，Aη)／(η，η)＞0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)A是正定矩陣，B是實(shí)對(duì)稱矩陣，證明AB相似于對(duì)角矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：A是正定矩陣，存在可逆實(shí)矩陣C，使得A=CCT，則AB=CCTB．于是C－1ABC=C－1CCTBC=CTBC．即AB相似于CTBC．而CTBC是實(shí)對(duì)稱矩陣，相似于對(duì)角矩陣．由相似的傳遞性，AB也相似于對(duì)角矩陣．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)A是一個(gè)n階實(shí)矩陣，使得AT+A正定，證明A可逆．標(biāo)準(zhǔn)答案：矩陣可逆，有好幾個(gè)充分必要條件，本題從哪個(gè)條件著手呢?行列式不好用，雖然AT+A正定可得｜AT+A｜≠0，但是由此不能推出｜A｜≠0．用秩也不好下手．用“AX=0沒有非零解”則切合條件．設(shè)n維實(shí)列向量α滿足Aα=0，要證明α=0．αT(AT+A)α=αTATα+αTAα=(Aα)Tα+αTAα=0．由AT+A的正定性得到α=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、二次型f(x1，x2，x3)=5x12+5x22+cx32－2x1x2－6x2x3+6x1x3的秩為2，求c及此二次型的規(guī)范形，并寫出相應(yīng)的變換．標(biāo)準(zhǔn)答案：二次型矩陣A=，由二次型的秩為2，即矩陣A的秩r(A)=2，則有｜A｜=24(c－3)=0=>c=3．用配方法求規(guī)范形和所作變換．f(x1，x2，x3)=5x12+5x22+3x32－2x1x2+6x1x3－6x2x3=3(x3+x1－x2)2－3(x1－x2)2+5x12+5x22－2x1x2=3(x1－x2+x3)2+2x12+2x22+4x1x2=3(x1－x2+x3)2+2(x1+x2)2則f(x1，x2，x3)=y12+y22，為規(guī)范二次型．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、若A是n階正定矩陣，證明A－1，A*也是正定矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：因A正定，所以AT=A．那么(A－1)T=(AT)－1=A－1，即A－1是實(shí)對(duì)稱矩陣．設(shè)A的特征值是λ1，λ2，…，λn，那么A－1的特征值是，由A正定知λi＞0(i=1，2，…，n)．因此A－1的特征值＞0(i=1，2，…，n)．從而A－1正定．A*=｜A｜A－1，｜A｜＞0，則A*也是實(shí)對(duì)稱矩陣，并且特征值為都大于0．從而A*正定．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)A是n階正定矩陣，證明｜A+2E｜＞2n．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)矩陣A的特征值是λ1，λ2，…，λn．因?yàn)锳正定，故特征值λi＞0(i=1，2，…，n)．又A+2E的特征值是λ1+2，λ2+2，…，λn+2，所以｜A+2E｜=(λ1+2)(λ2+2)…(λn+2)＞2n．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（二次型）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設(shè)A，B為n階可逆矩陣，則()．A、存在可逆矩陣P1，P2，使得P1-1AP1，P2-1BP2為對(duì)角矩陣B、存在正交矩陣Q1，Q2，使得Q1TAQ1，Q2TBQ2為對(duì)角矩陣C、存在可逆矩陣P，使得P-1(A＋B)P為對(duì)角矩陣D、存在可逆矩陣P，Q，使得PAQ＝B標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳，B都是可逆矩陣，所以A，B等價(jià)，即存在可逆矩陣P，Q，使得PAQ＝B，選D．2、n階實(shí)對(duì)稱矩陣A正定的充分必要條件是()．A、A無負(fù)特征值B、A是滿秩矩陣C、A的每個(gè)特征值都是單值D、A-1是正定矩陣標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：A正定的充分必要條件是A的特征值都是正數(shù)，選項(xiàng)A不對(duì)；若A為正定矩陣，則A一定是滿秩矩陣，但A是滿秩矩陣只能保證A的特征值都是非零常數(shù)，不能保證都是正數(shù)，選項(xiàng)B不對(duì)；選項(xiàng)C既不是充分條件又不是必要條件；顯然選項(xiàng)D既是充分條件又是必要條件．3、下列說法正確的是()．A、任一個(gè)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的B、若兩個(gè)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形相同，則兩個(gè)二次型對(duì)應(yīng)的矩陣的特征值相同C、若一個(gè)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形系數(shù)中沒有負(fù)數(shù)，則該二次型為正定二次型D、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不唯一，但規(guī)范形是唯一的標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：選項(xiàng)A不對(duì)，如f＝χ1χ2，令則f＝y(tǒng)12－y22；若令則f＝y(tǒng)12－9y22；選項(xiàng)B不對(duì)，兩個(gè)二次型標(biāo)準(zhǔn)形相同只能說明兩個(gè)二次型正、負(fù)慣性指數(shù)相同，不能得到其對(duì)應(yīng)的矩陣的特征值相同；選項(xiàng)C不對(duì)，若一個(gè)二次型標(biāo)準(zhǔn)形系數(shù)沒有負(fù)數(shù)，只能說明其負(fù)慣性指數(shù)為0，不能保證其正慣性指數(shù)為n；選D，因?yàn)槎涡偷囊?guī)范形由其正、負(fù)慣性指數(shù)決定，故其規(guī)范形唯一．4、設(shè)A為可逆的實(shí)對(duì)稱矩陣，則二次型XTAX與XTA-1X()．A、規(guī)范形與標(biāo)準(zhǔn)形都不一定相同B、規(guī)范形相同但標(biāo)準(zhǔn)形不一定相同C、標(biāo)準(zhǔn)形相同但規(guī)范形不一定相同D、規(guī)范形和標(biāo)準(zhǔn)形都相同標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳與A-1合同，所以XTAX與XTA-1X規(guī)范形相同，但標(biāo)準(zhǔn)形不一定相同，即使是同一個(gè)二次型也有多種標(biāo)準(zhǔn)形，選B．5、設(shè)n階矩陣A與對(duì)角矩陣合同，則A是()．A、可逆矩陣B、實(shí)對(duì)稱矩陣C、正定矩陣D、正交矩陣標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳與對(duì)角陣A合同，所以存在可逆矩陣P，使得PTAP＝A，從而A＝(PT)-1AP-1＝(P-1)TAP-1，AT＝[(P-1)TAP-1]T＝(P-1)TAP-1＝A，選B．6、設(shè)A，B都是n階矩陣，且存在可逆矩陣P，使得AP＝B，則()．A、A，B合同B、A，B相似C、方程組AX＝0與BX＝0同解D、r(A)＝r(B)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)镻逆，所以r(A)＝r(B)，選D．7、設(shè)A，B為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則A與B合同的充分必要條件是()．A、r(A)＝r(B)B、｜A｜＝｜B｜C、A～BD、A，B與同一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣合同標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳，B與同一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣合同，則A，B合同，反之若A，B合同，則A，B的正負(fù)慣性指數(shù)相同，從而A，B與合同，選D．8、設(shè)，則A與B()．A、相似且合同B、相似不合同C、合同不相似D、不合同也不相似標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由｜λE－A｜＝0得A的特征值為1，3，－5，由｜λE－B｜＝0得B的特征值為1，1，－1，所以A與B合同但不相似，選C．9、設(shè)A，B為三階矩陣，且特征值均為－2，1，1，以下命題：(1)A～B；(2)A，B合同；(3)A，B等價(jià)；(4)｜A｜＝｜B｜中正確的命題個(gè)數(shù)為()．A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳，B的特征值為－2，1，1，所以｜A｜＝｜B｜＝－2，又因?yàn)閞(A)＝r(B)＝3，所以A，B等價(jià)，但A，B不一定相似或合同，選B．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)10、二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(χ1－2χ2)2＋4χ2χ3的矩陣為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：A＝知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋4χ22－4χ1χ2＋4χ2χ3，所以A＝11、設(shè)，則α1，α2，α3經(jīng)過施密特正交規(guī)范化后的向量組為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令β3＝α3，正交規(guī)范化的向量組為12、設(shè)二次型2χ12＋χ22＋χ32＋2χ1χ2＋aχ2χ3的秩為2，則a＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：±知識(shí)點(diǎn)解析：該二次型的矩陣為A＝，因?yàn)樵摱涡偷闹葹?，所以｜A｜＝0，解得a＝±．13、設(shè)5χ12＋χ22＋tχ32＋4χ1χ2－2χ1χ3－2χ2χ3為正定二次型，則t的取值范圍是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：t＞2知識(shí)點(diǎn)解析：二次型的矩陣為A＝，因?yàn)槎涡蜑檎ǘ涡?，所以?＞0，＝1＞0，｜A｜＞0，解得t＞2．三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)14、用配方法化二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋χ2χ3為標(biāo)準(zhǔn)二次型．標(biāo)準(zhǔn)答案：令，即X＝PY，其中則f(χ1，χ2，χ3)＝XTAXYT(PTAP)Y＝y(tǒng)12＋y22－y32．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、用配方法化二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋2χ1χ2＋2χ1χ3－4χ32為標(biāo)準(zhǔn)形．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋2χ1χ2＋2χ1χ3－4χ32＝(χ1＋χ2＋χ3)2－(χ2＋χ3)2－4χ32，即X＝PY，其中P＝，則f(χ1，χ2，χ3)＝XTAXy12－y22－4y32．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX，A的主對(duì)角線上元素之和為3，又AB＋B＝O，其中B＝(1)求正交變換X＝QY將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形；(2)求矩陣A．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由AB＋B＝O得(E＋A)B＝O，從而r(E＋A)＋r(B)≤3，因?yàn)閞(B)＝2，所以r(E＋A)≤1，從而λ＝－1為A的特征值且不低于2重，顯然λ＝－1不可能為三重特征值，則A的特征值為λ1＝λ2＝1，λ3＝5．由(E＋A)B＝O得B的列組為(E＋A)X＝0的解，故α1＝，α2＝＝－1對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)解．令α3＝為λ3＝5對(duì)應(yīng)的特征向量，因?yàn)锳T＝A，所以解得α3＝，令規(guī)范化得令Q＝(γ1，γ2，γ3)，則f＝XTAX－y12－y22＋5y32．(2)由QTAQ＝得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、用正交變換法化二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋χ22＋χ32－4χ1χ2－4χ1χ3－4χ2χ3為標(biāo)準(zhǔn)二次型．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX其中由｜λE－A｜＝＝(λ＋3)(λ－3)2＝0得λ1＝－3，λ2＝λ3＝3．由(－3E－3A)X＝0得λ1＝－3對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為α1＝；由(3E－A)X＝0得λ2＝λ3＝3對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為將α2，α3正交化得單位化得則f(χ1，χ2，χ3)＝XTAXYT(QTAQ)Y＝－3y12＋3y22＋3y32．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(a－1)χ12＋(a－1)χ22＋2χ32＋2χ1χ2(a＞0)的秩為2．(1)求a；(2)用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)A＝，因?yàn)槎涡偷闹葹?，所以r(A)＝2，從而a＝2．(2)A＝，由｜λE－A｜＝0得λ1＝λ2＝2，λ3＝0．當(dāng)λ＝2時(shí)，由(2E－A)X＝0得λ＝2對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為當(dāng)λ＝0時(shí)，由(0E－A)X＝0得λ＝0對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為α3＝．因?yàn)棣?，α2兩兩正交，單位化得則f＝XTAXYT(QTAQ)Y＝2y12＋2y22．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣A的秩為r，且滿足A2＝A(A稱為冪等陣)．求：(1)二次型XTAX的標(biāo)準(zhǔn)形；(2)｜E＋A＋A2＋…＋An｜的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因?yàn)锳2＝A，所以｜A｜｜E－A｜＝0，即A的特征值為O或者1，因?yàn)锳為實(shí)對(duì)稱矩陣，所以A可對(duì)角化，由r(A)＝r得A的特征值為λ＝1(r重)，λ＝0(n－r重)，則二次型XTAX的標(biāo)準(zhǔn)形為y12＋y22＋…＋yr2．(2)令B＝E＋A＋A2＋…＋An，則B的特征值為λ＝n＋1(r重)，λ＝1(n－r重)，故｜E＋A＋A2＋…＋An｜＝｜B｜＝(n＋1)r．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱可逆矩陣，f(χ1，χ2，…，χn)＝(1)記X＝(χ1，χ2，…，χn)T，把二次型f(χ1，χ2，…，χn)寫成矩陣形式；(2)二次型g(X)＝XTAX是否與f(χ1，χ2，…，χn)合同?標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)f(X)＝(χ1，χ2…χn)因?yàn)閞(A)＝n，所以｜A｜≠0，于是A*＝A-1，A*，A-1都是實(shí)對(duì)稱矩陣．(2)因?yàn)锳可逆，所以A的n個(gè)特征值都不是零，而A與A-1合同，故二次型f(χ1，χ2，…，χn)與g(X)＝XTAX規(guī)范合同．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)A是三階實(shí)對(duì)稱矩陣，且A2＋2A＝O，r(A)＝2．(1)求A的全部特征值；(2)當(dāng)k為何值時(shí)，A＋kE為正定矩陣?標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由A2＋2A＝O得r(A)＋r(A＋2E)≤3，從而A的特征值為0或－2，因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣且r(A)＝2，所以λ1＝0，λ2＝λ3＝－2．(2)A＋kE的特征值為k，k－2，k－2，當(dāng)k＞2時(shí)，A＋kE為正定矩陣．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋4χ22＋2χ32＋2tχ1χ2＋2χ1χ3為正定二次型，求t的范圍．標(biāo)準(zhǔn)答案：二次型的矩陣為A＝，因?yàn)樵摱涡蜑檎ǘ涡?，所以有解得－＜t＜．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)A是n階正定矩陣，證明：｜E＋A｜＞1．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳是正定矩陣，所以存在正交陣Q，使得QTAQ＝其中λ1＞0，λ2＞0，…，λn＞0，因此QT(A＋E)Q＝于是｜QT(A＋E)Q｜＝｜A＋E｜＝(λ1＋1)(λ2＋1)…(λn＋1)＞1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形：f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋2χ22－5χ32＋2χ1χ2－2χ1χ3＋2χ2χ3．標(biāo)準(zhǔn)答案：令則f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX，f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋2χ22－5χ32＋2χ1χ2－2χ1χ3＋2χ2χ3＝(χ1＋χ2－χ3)2＋(χ2＋2χ3)2－10χ32，設(shè)，顯然P可逆，且f(χ1，χ2，χ3)YT(PTAP)Y＝y(tǒng)12＋y22－10y32．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形：f(χ1，χ2，χ3)＝2χ1χ2＋2χ1χ3＋6χ2χ3．標(biāo)準(zhǔn)答案：令或X＝P1Y，其中且P1可逆，則f(χ1，χ2，χ3)2y12－2y22＋8y1y3＋4y2y3＝2(y1＋2y3)2－2(y2－y3)2－6y32，再令或Y＝P2Z，其中且P1可逆，令P＝P1P2＝，P可逆，且f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX＝ZT(PTAP)Z＝2z12－2z22－6z32．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋aχ22＋χ32－4χ1χ2－8χ1χ3－4χ2χ3經(jīng)過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形5y12＋by22－4y32，求：(1)常數(shù)a，b；(2)正交變換的矩陣Q．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)令則f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX，矩陣A的特征值為λ1＝5，λ2＝b，λ3＝－4，從而A＝，特征值為λ1＝λ2＝5，λ3＝－4．(2)將λ1＝λ2＝5代入(λE－A)X＝0，即(5E－A)X＝0，由5E－A＝得λ1＝λ2＝5對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為將λ3＝－4代入(2E－A)X＝0，即(4E＋A)X＝0，由4E＋A＝得λ3＝－4對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為α3＝．令單位化得所求的正交變換矩陣