考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷3（共251題）

考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷3（共9套）（共251題）考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、把x→0+時(shí)的無(wú)窮小量α=cost2dt，β=sint3dt排列起來(lái)，使排在后面的是前面一個(gè)的高階無(wú)窮小，則正確的排列次序是（）A、α，β，γB、α，γ，βC、β，α，γD、β，γ，α標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)樗援?dāng)x→0+時(shí)，α是x的一階無(wú)窮小，β是x的三階無(wú)窮小，γ是x的二階無(wú)窮小，故選B。2、設(shè)f（x）可導(dǎo)，F(xiàn)（x）=f（x）（1+|sinx|），則f（0）=0是F（x）在x=0處可導(dǎo)的（）A、充分必要條件B、充分條件但非必要條件C、必要條件但非充分條件D、既非充分條件也非必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：而由φ（x）在x=0處可導(dǎo)的充分必要條件是φ+’（0）與φ—’（0）都存在且相等可知，若f（0）=0，則必有φ+’（0）=φ—’（0）；若φ+’（0）=φ—’（0），即有f（0）=—f（0），從而f（0）=0。因此f（0）=0是φ（x）在x=0處可導(dǎo)的充分必要條件，也是F（x）在x=0處可導(dǎo)的充分必要條件。故選A。3、設(shè)函數(shù)f（x）連續(xù)，且f’（0）＞0，則存在δ＞0，使得（）A、f（x）在（0，δ）內(nèi)單調(diào)增加B、f（x）在（—δ，0）內(nèi)單調(diào)減少C、對(duì)任意的x∈（0，8有f（x）＞f（0）D、對(duì)任意的x∈（一δ，0）有f（x）＞f（0）標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由導(dǎo)數(shù)定義，知f’（0）=根據(jù)極限的保號(hào)性，存在δ＞0，使對(duì)任意x∈于是當(dāng)x∈（一δ，0）時(shí)，有f（x）＜f（0）；當(dāng)x∈（0，δ）時(shí)，有f（x）＞f（0）。故選C。4、函數(shù)y=f（x）在（一∞，+∞）連續(xù)，其二階導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖1—2—2所示，則y=f（x）的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：只須考查f"（x）=0的點(diǎn)與f"（x）不存在的點(diǎn)。f"（x1）=f"（x4）=0，且在x=x1，x4兩側(cè)f"（x）變號(hào)，故凹凸性相反，則（x1，f（x1）），（x4，f（x4））是y=f（x）的拐點(diǎn)。x=0處f"（0）不存在，但f（x）在x=0連續(xù)，且在x=0兩側(cè)f"（x）變號(hào)，因此（0，f（0））也是y=f（x）的拐點(diǎn)。雖然f"（x3）=0，但在x=x3兩側(cè)f"（x）＞0，y=f（x）是凹的。（x3，f（x3））不是y=f（x）的拐點(diǎn)。因此共有三個(gè)拐點(diǎn)。故選C。5、設(shè)下述命題成立的是（）A、f（x）在[—1，1]上存在原函數(shù)B、令F（x）=f—1xf（t）dt，則f’（0）存在C、g（x）在[—1，1]上存在原函數(shù)D、g’（0）存在標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由=0=g（0）可知，g（x）在x=0處連續(xù)，所以g（x）在[—1，1]上存在原函數(shù)。故選C。以下說(shuō)明A、B、D均不正確。由=0可知，x=0是f（x）的跳躍間斷點(diǎn)，所以在包含x=0的區(qū)間上f（x）不存在原函數(shù)。由f—’（0）==0，f+’（0）==1，可知f’（0）不存在。由不存在，可知g’（0）不存在。6、由曲線y=（0≤x≤π）與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積為（）A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由曲線y=f（x）繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算公式，得故選B。7、設(shè)函數(shù)f（x），g（x）均有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足f（0）＞0，g（0）＜0，且f’（0）=g’（0）=0，則函數(shù)z=f（x）g（y）在點(diǎn)（0，0）處取得極小值的一個(gè)充分條件是（）A、f"（0）＜0，g"（0）＞0B、f"（0）＜0，g"（0）＜0C、f"（0）＞0，g"（0）＞0D、f"（0）＞0，g"（0）＜0標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由z=f（x）g（y），得當(dāng)f"（0）＜0，g"（0）＞0時(shí)，B2—AC＜0，且A＞0，此時(shí)z=f（x）g（y）在點(diǎn)（0，0）處取得極小值。因此正確選項(xiàng)為A。8、設(shè)f（x）為連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)（t）=∫1tdy∫yef（x）dx，則F’（2）等于（）A、2f（2）B、f（2）C、—f（2）D、0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：交換累次積分的積分次序，得F（t）=∫1tdy∫ytf（x）dx=∫1tdx∫1xf（x）dy=∫1t（x—1）f（x）dx，于是F’（t）=（t—1）f（t），從而F’（2）=f（2）。故選B。9、設(shè)0≤an＜（n=1，2，…），則下列級(jí)數(shù)中一定收斂的是（）A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由0≤an＜可知，0≤an2＜，而由收斂及正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知，級(jí)數(shù)an2收斂，從而（一1）nan2絕對(duì)收斂，故選D。10、微分方程y"+y=x2+1+sinx的特解形式可設(shè)為（）A、y*=ax2+bx+c+x（Asinx+Beosx）B、y*=x（ax2+bx+c+Asinx+Bcosx）C、y*=ax2+bx+c+AsinxD、y*=ax2+bx+c+Acosx標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)應(yīng)齊次方程y"+y=0的特征方程為λ2+1=0，特征根為λ=±i．對(duì)于方程y"+y=x2+1=e0(x2+1)，0不是特征根，從而其特解形式可設(shè)為y1*=ax2+bx+c，對(duì)于方程y"+y=sinx，i為特征根，從而其特解形式可設(shè)為y2*=x(Asinx+Bcosx)，因此y"+y=x2+1+sinx的特解形式可設(shè)為y*=ax2+bx+c+x（Asinx+Bcosx）。二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)11、設(shè)a1，a2，…，am為正數(shù)（m≥2），則（a1n+a2n+…，amn）=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：max{a1，a2，…，am}知識(shí)點(diǎn)解析：假設(shè)a1為最大值，則原式=a1=a1．1=a1。因此（a1n+a2n+…+amn）=max{a1，a2，…，am}。12、已知?jiǎng)ty"=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：13、函數(shù)y=ln（1—2x）在x=0處的n階導(dǎo)數(shù)y（n）（0）=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：—2n（n—1）!知識(shí)點(diǎn)解析：將ln（1+t）按照泰勒展開(kāi)式展開(kāi)成級(jí)數(shù)的形式令t=—2x代入第n項(xiàng)可得比較系數(shù)可得y=ln（1—2x）在x=0處的n階導(dǎo)數(shù)為y（n）（0）=一2n（n—1）!。14、設(shè)某商品的收益函數(shù)為R（p），收益彈性為1+p3，其中p為價(jià)格，且R（1）=1，則R（p）=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由彈性的定義得15、設(shè)f（x）=max{1，x2}，則∫1xf（t）dt=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由題意可知當(dāng)n＜—1時(shí)，∫1xf（t）dt=∫1—1f（t）dt+∫—1xf（t）dt=∫1—11dt+∫—1xt2dt=—2+t3|—1x當(dāng)—1≤x≤1時(shí)，∫1xf（t）dt=∫1x1dt=x—1。當(dāng)x＞1時(shí)，∫1xf（t）dt=∫1xt2dt=所以，16、設(shè)函數(shù)f（u）可微，且f’（2）=2，則z=f（x2+y2）在點(diǎn)（1，1）處的全微分dz|（1，1）=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：4（dx+dy）知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知，dz=f’（x2+y2）（2xdx+2ydy），則dz|（1，1）=f’（2）（2dx+2dy）=4（dx+dy）。17、D是頂點(diǎn)分別為（0，0），（1，0），（1，2）和（0，1）的梯形閉區(qū)域，則（1+x）sinydσ=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：+sin1+cos1—2sin2—cos2知識(shí)點(diǎn)解析：積分區(qū)域可以表示為D={（x，y）|0≤y≤1+x，0≤x≤1}，則（1+x）sinydσ=∫01dx∫01+x（1+x）sinydy=∫01[（1+x）一（1+x）cos（1+x）]dx，利用換元法，令1+x=t，x∈[0，1]時(shí)，t∈[1，2]，則18、若數(shù)列（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a1+a2n）+…發(fā)散，則級(jí)數(shù)an________。標(biāo)準(zhǔn)答案：發(fā)散知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)級(jí)數(shù)性質(zhì)可知，收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)后仍然收斂。假設(shè)an收斂，則級(jí)數(shù)（a1+a1）+（a3+a4）+…+（a2n—1+a2n）+…收斂，與題設(shè)矛盾，故an發(fā)散。19、已知y1=e3x—xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的3個(gè)解，則該方程的通解為y=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1e3x+C2ex一xe2x，C1，C2為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：顯然y1一y3=e3x和y2一y3=ex是對(duì)應(yīng)的二階常系數(shù)線性齊次微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，且y*=一xe2x是非齊次微分方程的一個(gè)特解。由解的結(jié)構(gòu)定理，該方程的通解為y=C1e3x+C2ex一xe2x，其中C1，C2為任意常數(shù)。三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)20、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、證明當(dāng)x＞0時(shí)，（x2—l）lnx≥（x—1）2。標(biāo)準(zhǔn)答案：令f（x）=（x2一1）lnx—（x—1）2，易知f（1）=0。又可見(jiàn)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f"’（x）＜0，當(dāng)1＜x＜+∞時(shí)，f"’（x）＞0。因此，當(dāng)0＜x＜+∞時(shí)，f"（x）＞f"（1）=2＞0。又由f’（x）是單調(diào)增函數(shù)，且f’（1）=0，所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f’（x）＜0；當(dāng)1＜x＜+∞時(shí)，f’（x）＞0。因此，由f（x）≥f（1）=0（0＜x＜+∞），即證得當(dāng)x＞0時(shí)，（x2—1）lnx≥（x—1）2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、求不定積分ln（1+x2）dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)曲線y=ax2（x≥0，常數(shù)a＞0）與曲線y=1—x2交于點(diǎn)A，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A的直線與曲線y=ax2圍成一平面圖形D，求：（Ⅰ）D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積V（a）；（Ⅱ）a的值，使V（a）為最大。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意知，y=ax2與y=1—x2的交點(diǎn)為，直線OA的方程為（Ⅰ）旋轉(zhuǎn)體的體積當(dāng)a＞0時(shí)，得V（a）的唯一駐點(diǎn)a=4。當(dāng)0＜a＜4時(shí)，V"（a）＞0;當(dāng)a＞4時(shí)，V’（a）＜0。故a=4為V（a）的唯一極大值點(diǎn)，即為最大值點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、求函數(shù)u=x2+y2+z2在約束條件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值與最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：?jiǎn)栴}可轉(zhuǎn)化為一個(gè)約束函數(shù)的情況，求u=x2+y2+x4+2x2y2+y4在條件x+y+x2+y2=4下的最值，設(shè)F（x，y，λ）=u=x4+y4+2x2y2+x2+y2+λ（x+y+x2+y2—4），令解得（x1，y1）=（1，1），（x2，y2）=（—2，—2），代入z=x2+y2，得z1=2，z2=8。同理可得原函數(shù)最大值為72，最小值為6。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、計(jì)算二重積分|x2+y2—1|dσ，其中D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}。標(biāo)準(zhǔn)答案：記D1={（x，y）|x2+y2≤1，（x，y）∈D}，D2={（x，y）|x2+y2＞1，（x，y）∈D}，因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、{設(shè)a1=2，an+1=，（n=1，2，…）。證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅰ）顯然an＞0（n=1，2，…），由初等不等式：對(duì)任意的非負(fù)數(shù)x，y必有x+y≥。易知因此{(lán)an}單調(diào)遞減且有下界，故極限an存在。（Ⅱ）由{an}單調(diào)遞減，知≥0，則原級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)。由an≥1，得0≤≤an—an+1。而級(jí)數(shù)（an一an+1）的部分和Sn=（ak—ak+1）=a1一an+1，且an+1存在，則級(jí)數(shù)（an一an+1）收斂。由比較判別法知收斂。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、求級(jí)數(shù)的和。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、設(shè)y=y（x）是區(qū)間（一π，π）內(nèi)過(guò)的光滑曲線，當(dāng)一π＜x＜0時(shí)，曲線上任一點(diǎn)處的法線都過(guò)原點(diǎn)，當(dāng)0≤x＜π時(shí)，函數(shù)y（x）滿足y"+y+x=0。求函數(shù)y（x）的表達(dá)式。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意，當(dāng)一π＜x＜0時(shí)，法線均過(guò)原點(diǎn)，所以有y=，即ydy=一xdx，得y2=一x2+C。又代入y2=一x2+C得C=π2，從而有x2+y2=π2，即y=當(dāng)0≤x＜π時(shí)，y"+y+x=0，得其對(duì)應(yīng)齊次微分方程y"+y=0的通解為，即y=y*=C1cosx+C2sinx。設(shè)其特解為y1=Ax+B，則有0+Ax+B+x=0，得A=一1，B=0，故y1=一x是方程的特解，因此y"+y+x=0的通解為y=C1cosx+C2sinx一x。因?yàn)閥=y（x）是（一π，π）內(nèi)的光滑曲線，故y在x=0處連續(xù)且可導(dǎo)，所以由已知得y|x=0=π，y’|x=0=0，故得C1=π，C2=1，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)α～β(x→a)，則等于()．A、eB、e2C、1D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣痢?，所以?，于是，選(D)．2、下列命題成立的是()．A、若f(x)在x0處連續(xù)，則存在δ＞0，使得f(x)在｜x－x0｜＜δ內(nèi)連續(xù)B、若f(x)在x0處可導(dǎo)，則存在δ＞0，使得f(x)在｜x－x0｜＜δ內(nèi)可導(dǎo)C、若f(x)在x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，在x0處連續(xù)且f’(x)存在，則f(x)在x0處可導(dǎo)，且f’(0)＝f’(x)D、若f(x)在x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，在x0處連續(xù)且f’(x)不存在，則f(x)在x0處不可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)f(x)＝顯然f(x)在x＝0處連續(xù)，對(duì)任意的x0≠0，因?yàn)閒(x)不存在，所以f(x)在x0處不連續(xù)，(A)不對(duì)；同理f(x)在x＝0處可導(dǎo)，對(duì)任意的x0≠0，因?yàn)閒(x)在x0處不連續(xù)，所以f(x)在x0處也不可導(dǎo)，(B)不對(duì)；因?yàn)椋絝’(ξ)，其中ξ介于x0與x之間，且f’(x)存在，所以也存在，即f(x)在x0處可導(dǎo)且f’(x0)＝f’(x)，選(C)；令f’(x)不存在，(D)不對(duì)．3、設(shè)f(x)，g(x)是連續(xù)函數(shù)，當(dāng)x→0時(shí)，f(x)與g(x)是等價(jià)無(wú)窮小，令F(x)＝∫0xf(x－t)dt，G(x)＝∫01xg(xt)dt，則當(dāng)x→0時(shí)，F(xiàn)(x)是G(x)的()．A、高階無(wú)窮小B、低階無(wú)窮小C、同階但非等價(jià)無(wú)窮小D、等價(jià)無(wú)窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：F(x)＝∫0xf(x－t)dt＝－∫0xf(x－t)d(x－t)＝∫0xf(u)du，G(x)＝∫01xg(xt)dt＝∫0xg(u)du，則＝1，選(D)．4、設(shè)冪級(jí)數(shù)an(x－2)n在x＝6處條件收斂，則冪級(jí)數(shù)(x－2)2n的收斂半徑為()．A、2B、4C、D、無(wú)法確定標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閍n(x－2)n在x＝6處條件收斂，所以級(jí)數(shù)anxn的收斂半徑為R＝4，又因?yàn)榧?jí)數(shù)anxn有相同的收斂半徑，所以的收斂半徑為R＝4，于是(x－2)2n的收斂半徑為R＝2，選(A)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)5、當(dāng)x→0時(shí)，x－sinxcos2x～cxx，則c＝______，k＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：，3知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閤→0時(shí)，sinx＝x－＋ο(x3)，cos2x＝1－＋ο(x2)＝1－2x2＋ο(x2)，sinxcos2x＝x－3＋ο(x3)，所以x－sinxcos2x＝x3＋ο(x3)～x3，故c＝，k＝3．6、當(dāng)x→0時(shí)，－1～cos2x－1，則a＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－3知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?1＋x2，cos2x－1＝(cosx＋1)(cosx－1)～－x2，且(1＋－1～cos2x－1，所以a＝－3．7、設(shè)函數(shù)y＝y(tǒng)(x)由確定，則y＝y(tǒng)(x)在x＝ln2處的法線方程為_(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：(x－ln2)知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x＝ln2時(shí)，t＝±1；當(dāng)t＝±1時(shí)，y＝0．(1)當(dāng)t＝－1時(shí)，由＝－1，∫0yeu2du＋∫t21arcsinudu＝0兩邊對(duì)t求導(dǎo)數(shù)得－2tarcsint2＝0，則，則法線方程為y＝(x－ln2)．(2)當(dāng)t＝1時(shí)，由＝1．∫0yeu2du＋∫t21arcsinudu＝0兩邊對(duì)t求導(dǎo)得ey2－2tarcsint2＝0，則，法線方程為y＝(x－ln2)，即法線方程為y＝(x－ln2)．8、＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：9、I(x)＝du在區(qū)間[－1，1]上的最大值為_(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln3知識(shí)點(diǎn)解析：I’(x)＜0，當(dāng)x∈時(shí)，I’(x)＞0，所以x＝為f(x)在[－1，1]上的最小值點(diǎn)，又I(1)＝∫01＝ln(u2－u＋1)｜01＝0，I(－1)＝∫0－1du＝ln(u2－u＋1)｜－10＝－(0－ln3)＝ln3，故I(x)在[－1，1]上的最大值為ln3．10、＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：3e知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)11、設(shè)f(x)在[1，＋∞)內(nèi)可導(dǎo)，f’(x)＜0且f(x)＝a＞0，令an＝－∫1nf(x)dx．證明：{an)收斂且0≤≤f(1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒’(x)＜0，所以f(x)單調(diào)減少．又因?yàn)閍n＋1－an＝f(n＋1)－∫nn＋1f(x)dx＝f(n＋1)－f(ξ)≤0(ξ∈[n，n＋1])，所以{an}單調(diào)減少．因?yàn)閍n＝∫kk＋1[f(k)－f(x)]dx＋f(n)，而∫kk＋1[f(k)－f(x)]dx≥0(k＝1，2，…，n－1)且f(x)＝a＞0，所以存在X＞0，當(dāng)x＞X時(shí)，f(x)＞0．由f(x)單調(diào)遞減得f(x)＞0(x∈[1，＋∞))，故an≥f(n)＞0，所以an存在．由an＝f(1)＋[f(2)－∫12f(x)dx]＋…＋[f(n)－∫n－1nf(x)dx]，而f(k)－∫k－1kf(x)dx≤0(k＝2，3，…，n)，所以an≤f(1)，從而0≤an≤f(1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、求極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、設(shè)f(x)連續(xù)，φ(x)＝∫01f(xt)dt，且＝A．求φ’(x)，并討論φ’(x)在x＝0處的連續(xù)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x≠0時(shí)，φ(x)＝∫01f(xt)dt＝∫01f(xt)d(xt)＝∫0xf(u)du，φ’(x)＝[xf(x)－∫0xf(u)du]．當(dāng)x＝0時(shí)，φ(0)＝∫01f(0)dt＝0，因?yàn)椋溅铡?0)，所以φ’(x)在x＝0處連續(xù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、設(shè)f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，且｜f(x)｜≤a，｜f’’(x)｜≤b，其中a，b都是非負(fù)常數(shù)，c為(0，1)內(nèi)任意一點(diǎn)．(1)寫(xiě)出f(x)在x＝c處帶Lagrange型余項(xiàng)的一階泰勒公式；(2)證明：｜f’(c)｜≤2a＋．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)f(x)＝f(c)＋f’(c)(x－c)＋(x－c)2，其中ξ介于c與x之間．(2)分別令x＝0，x＝1，得f(0)＝f(c)－f’(c)c＋c2，ξ1∈(0,c)，f(1)＝f(c)＋f’(c)(1－c)＋(1－c2)，ξ2∈(c,1)，兩式相減，得f’(c)＝f(1)－f(0)＋(1－c)2，利用已知條件，得｜f’(c)｜≤2a＋[c2＋(1－c)2]，因?yàn)閏2＋(1－c)2≤1，所以｜f’(c)｜≤2a＋．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)f(x)＝3x3＋Ax－3(x＞0)，A為正常數(shù)，問(wèn)A至少為多少時(shí)，f(x)≥20？標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)≥20等價(jià)于A≥20x3－3x5，令φ(z)＝20x2－3x5，由φ’(x)＝60x2－15x4＝0，得x＝2，φ’’(x)＝120x－60x3，因?yàn)棣铡?2)＝－240＜0，所以x＝2為φ(x)的最大值點(diǎn)，最大值為φ(2)＝64，故A至少取64時(shí)，有f(x)≥20．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)＝0，f(1)＝1，證明：對(duì)任意的a＞0，b＞0，存在ξ，η∈(0，1)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)在[0，1]上連續(xù)，f(0)＝0，f(1)＝1，且f(0)＜＜f(1)，所以由端點(diǎn)介值定理，存在c∈(0，1)，使得f(c)＝由微分中值定理，存在ξ∈(0，c)，η∈(c，1)，使得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)S(x)＝∫0x｜c(diǎn)ost｜dt．(1)證明：當(dāng)nπ≤x＜(n＋1)π時(shí)，2n≤S(x)＜2(n＋1)；(2)求．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)當(dāng)nπ≤x＜(n＋1)π時(shí)，∫0nπ｜c(diǎn)ost｜dt≤∫0x｜c(diǎn)ost｜dt＜∫0(n＋1)π｜c(diǎn)ost｜dt，∫0nπ｜c(diǎn)ost｜dt＝n∫0π｜c(diǎn)ost｜dt＝n｜c(diǎn)ost｜dt＝2ncostdt＝2n，∫0(n＋1)π｜c(diǎn)ost｜dt＝2(n＋1)，則2n≤S(x)＜2(n＋1)(2)由nπ≤x＜(n＋1)π，得，從而，根據(jù)夾逼定理得．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)可導(dǎo)，且f(a)＝f(b)＝0．證明：｜f(x)｜≤∫ab｜f’(x)｜dx(a＜x＜b)標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榍襢(a)＝f(b)＝0，所以兩式相加得｜f(x)｜≤∫ab｜f’(x)｜dx．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)u＝u(x，y，z)連續(xù)可偏導(dǎo)，令(1)若，證明：u僅為θ與φ的函數(shù)．(2)若，證明：u僅為r的函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因?yàn)椋評(píng)是不含r的函數(shù)，即u僅為θ與φ的函數(shù)．從而＝t(r2cos2θcosφsinφ)＋t(r2sin2θcosφsinφ)＋t(－r2sinφcos(φ)＝0，故u僅是r的函數(shù)，即u不含θ與φ．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、計(jì)算∫01dxdy．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)f(x，y)，g(x，y)在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，且g(x，y)≥0．證明：存在(ξ，η)∈D，使得f(x,y)g(x,y)dσ＝f(ξ,η)g(x,y)dσ．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x，y)在D上連續(xù)，所以f(x，y)在D上取到最大值M和最小值m，故m≤f(x，y)≤M，又由g(x，y)≥0得mg(x，y)≤f(x，y)g(x，y)≤Mg(x，y)積分得mg(x,y)dσ≤f(x,y)g(x,y)dσ≤Mg(x,y)dσ(1)當(dāng)g(x，y)dσ＝0時(shí)，f(x，y)g(x，y)dσ＝0，則對(duì)任意的(ξ，η)∈D，有f(x,y)g(x,y)dσ＝f(ξ,η)g(x,y)dσ(2)當(dāng)g(x,y)dσ＞0時(shí)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)(n＝1，2，…；an＞0，bn＞0)，證明：(1)若級(jí)數(shù)bn收斂，則級(jí)數(shù)an收斂；(2)若級(jí)數(shù)an發(fā)散，則級(jí)數(shù)bn發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由，則數(shù)列單調(diào)遞減有下界，根據(jù)極限存在準(zhǔn)則，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)f(x)＝，且a0＝1,an＋1＝an＋n(n＝0，1，2，…)．(1)求f(x)滿足的微分方程；(2)求．標(biāo)準(zhǔn)答案：＝f(x)＋xex．則f(x)滿足的微分方程為f’(x)－f(x)＝xex，f(x)＝因?yàn)閍0＝1，所以f(0)＝1，從而C＝1，于是f(x)＝ex．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)函數(shù)f(x，y)可微，＝ecoty，求f(x，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：＝coty，解得f(0，y)＝Csiny．由f(0，)＝1，得C＝1，即f(0，y)＝siny．又由＝－f(x，y)，得lnf(x，y)＝－x＋lnφ(y)，即f(x，y)＝φ(y)e－x，由f(0，y)＝siny，得φ(y)＝siny，所以f(x，y)＝e－xsiny．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、質(zhì)量為1g的質(zhì)點(diǎn)受外力作用作直線運(yùn)動(dòng)，外力和時(shí)間成正比，和質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度成反比，在t＝10s時(shí)，速度等于50cm／s．外力為39．2cm／s2，問(wèn)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始1min后的速度是多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意得F＝，因?yàn)楫?dāng)t＝10時(shí)，v＝50，F(xiàn)＝39．2，所以k＝196，從而F＝，分離變量得vdv＝196tdt，所以v2＝98t2＋C，由v｜t＝10＝50，得C＝－8550，于是．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)x→0時(shí)，etanx一ex是與xn同階的無(wú)窮小，則n為()A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析2、設(shè)f(x)在(一∞，+∞)上可導(dǎo)，且對(duì)任意的x1和x2，當(dāng)x1＞x2時(shí)都有f(x1)＞f(x2)，則A、對(duì)任意x，f’(x)＞0．B、對(duì)任意x，f’(一x)≤0．C、函數(shù)f(一x)單調(diào)增加．D、函數(shù)一f(一x)單調(diào)增加．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析3、設(shè)f(x)連續(xù)，且f’(0)＞0，則存在δ＞0，使得()A、f(x)在(0，δ)內(nèi)單調(diào)增加．B、f(x)在(一δ，0)內(nèi)單調(diào)減少．C、對(duì)任意的x∈(0，δ)有f(x)＞f(0)．D、對(duì)任意的x∈(一δ，0)有f(x)＞f(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析4、設(shè)f(x)，φ(x)在點(diǎn)x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)且x→0時(shí)，f(x)是φ(x)的高階無(wú)窮小，則x→0時(shí)，∫0xf(t)sintdt是∫0xtφ(t)dt的()無(wú)窮小A、低階B、高階C、同階非等價(jià)D、等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析5、設(shè)D是xay平面上以(1，1)，(一1，1)和(一1，一1)為頂點(diǎn)的三角形域，D1是D在第一象限的部分，則等于()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析6、設(shè)0＜a＜1，區(qū)域D由x軸，y軸，直線x+y=a及x+y=1所圍成，且則()A、I＜K＜J．B、K＜J＜I．C、I＜J＜K．D、J＜I＜K．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析7、設(shè)常數(shù)k＞0，則級(jí)數(shù)V()A、發(fā)散．B、絕對(duì)收斂．C、條件收斂．D、收斂或發(fā)散與k的取值有關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析8、以下命題中正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)9、=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、已知f’(3)=2，則=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程確定，則曲線y=y(x)向上凸的x取值范圍為_(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：(一∞，1)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、=______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、∫02dx∫x2e－y2dy=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、設(shè)則該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑等于______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、已知yt一et是差分方程yt+1+ayt－1一2et的一個(gè)特解，則a=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2e—e2知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)16、設(shè)f(x)=ex2，f[φ(x)]=1一x，且φ(x)≥0，求φ(x)及其定義域．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、已知f(x)在(0，+∞)上可導(dǎo)，f(x)＞0，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)求∫f(x)dx標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、求曲線的一條切線l，使該曲線與切線z及直線x=0，x=2所圍成圖形面積最?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且f(0)≠0，求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)f(x，y)=∫0xye－t2，求標(biāo)準(zhǔn)答案：一2e－x2y2知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、計(jì)算｜x2+y2一2y｜dxdy．其中D：x2+y2≤4．標(biāo)準(zhǔn)答案：9π知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)z=z(x，y)由方程x2一6xy+10y2一2yz—z2+18=0確定的函數(shù)，求z=z(x，y)的極值點(diǎn)和極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：點(diǎn)(9，3)為z=z(x，y)的極小值點(diǎn)，極小值為z(9，3)=3；點(diǎn)(一9，一3)為z=z(x，y)的極大值點(diǎn)，極大值為2(一9，一3)=一3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：收斂域一1＜x＜1，和函數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、將展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、求微分方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、設(shè)f(x)連續(xù)，∫01f(xt)dt=f(x)+1，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)=Cx+2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、下列函數(shù)f(x)中其原函數(shù)及定積分∫-11f(x)dx都存在的是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：像這類(lèi)題需逐一分析．上述四個(gè)選項(xiàng)的f(x)均不連續(xù)．對(duì)于(A)：顯然x=0是f(x)的第一類(lèi)間斷點(diǎn)，因此在任意一個(gè)不包含點(diǎn)x=0在內(nèi)的區(qū)間上，f(x)一定存在原函數(shù)．因?yàn)楫?dāng)x≠0時(shí)｜x｜’=f(x)，因此當(dāng)x≠0時(shí)，f(x)的全體原函數(shù)｜x｜+C在x=0處不可導(dǎo)，從而在任意一個(gè)包含x=0在內(nèi)的區(qū)間上，｜x｜+C不是f(x)的原函數(shù)，所以f(x)在上述區(qū)間上不存在原函數(shù)．但定積分∫-11f(x)dx存在，因?yàn)閒(x)在上述區(qū)間上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)．故(A)不對(duì)．對(duì)于(B)：顯然x=0是f(x)的振蕩間斷點(diǎn)即第二類(lèi)間斷點(diǎn)，但是該f(x)存在原函數(shù)F(x)=(容易驗(yàn)證，當(dāng)一∞＜x＜+∞時(shí)F’(x)=f(x))．而定積分∫-11f(x)dx不存在，因?yàn)樵趚=0的鄰域內(nèi)f(x)無(wú)界．故(B)不對(duì)．對(duì)于(C)：顯然x=0是f(x)的無(wú)窮間斷點(diǎn)即第二類(lèi)間斷點(diǎn)，此f(x)在包含x=0在內(nèi)的區(qū)間上不存在原函數(shù)．定積分∫-11f(x)dx也不存在．故(C)也不對(duì)．對(duì)于(D)：顯然x=0是f(x)的第二類(lèi)間斷點(diǎn)，容易驗(yàn)證該f(x)在(一∞，+∞)上存在原函數(shù)F(x)=定積分∫-11f(x)dx也存在(因?yàn)閒(x)在(一∞，+∞)上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn))．故D正確，應(yīng)選D．2、積分∫aa+2πcosxln(2+cosx)dx的值A(chǔ)、與a有關(guān)．B、是與a無(wú)關(guān)的負(fù)數(shù)．C、是與a無(wú)關(guān)的正數(shù)．D、為零．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于被積函數(shù)ln(2+cosx)．cosx是以2π為周期的偶函數(shù)，因此原式=∫02π(2+cosx)cosxdx=∫-ππl(wèi)n(2+cosx)cosxdx=2∫0πl(wèi)n(2+cosx)cosxdx=2∫0πl(wèi)n(2+cosx)d(sinx)=2[sinxln(2+cosx)｜0π—∫0πsinxdln(2+cosx)]=[∫0π．又因?yàn)樵赱0，π]上，2+cosx＞0，sin2x＞0，因此該積分是與a無(wú)關(guān)的正數(shù)．故選C．3、設(shè)F’(x)=f(x)，則A、當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)一定是偶函數(shù)．B、當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)；F(x)一定是奇函數(shù)．C、當(dāng)f(x)是以T為周期的函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)一定也是以T為周期的函數(shù)．D、當(dāng)f(x)是以T為周期的函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)一定不是以T為周期的函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：令F(x)=+1，則f(x)=x2是偶函數(shù)，但F(x)不是奇函數(shù)，故可排除(B)．令F(x)=sinx+x，則f(x)=cosx+1，f(x)是周期函數(shù)，但F(x)不是周期函數(shù)，故可排除(C)．令F(x)=sinx，則f(x)=cosx，f(x)和F(x)都是周期函數(shù)，故可排除(D)．當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)=∫0xf(t)dt+C，而F(一x)=∫0-xf(t)dt+Cf(一u)d(一u)+C=∫0xf(u)du+C=F(x)，故F(x)是偶函數(shù)，應(yīng)選A．4、設(shè)f(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)，則下列命題正確的是A、若f(x)為偶函數(shù)，則∫-aaf(x)dx≠0．B、若f(x)為奇函數(shù)，則∫-aaf(x)dx≠2∫0af(x)dx．C、若f(x)為非奇非偶函數(shù)，則∫-aaf(x)dx≠0．D、若f(x)為以T為周期的周期函數(shù)，且是奇函數(shù)，則F(x)=∫0xf(t)dt是以T為周期的周期函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于f(x)=0既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)，且∫-aa0dx=0，所以不選A，B．若f(x)為非奇非偶函數(shù)，也可能有∫-aaf(x)dx=0．例如f(x)=在(一∞，+∞)上為非奇非偶函數(shù)，但∫-11f(x)dx=一∫-103xdx+∫011dx=0，因此不選C，由排除法應(yīng)選D．事實(shí)上，利用“若f(x)為以T為周期的周期函數(shù)，則∫a+Tf(x)dx的值與a無(wú)關(guān)”與奇函數(shù)的積分性質(zhì)可得，x有F(x+T)—F(x)=∫0x+T—F(x)=∫0x+Tf(t)dt—∫0xf(t)dt=∫xx+Tf(t)dt=f(t)dt=0，所以F(x)=∫0xf(t)dt是以T為周期的周期函數(shù)．二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)5、=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：6、=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：7、∫(lnlnx+)dx=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：xlnlnx+C知識(shí)點(diǎn)解析：原式=∫(lnlnx+x．)dx=∫lnlnxdx+xd(lnlnx)=∫d(xlnlnx)=xlnlnx+C．8、(cosx一sinx)dx=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：+C知識(shí)點(diǎn)解析：9、設(shè)f(x)連續(xù)，f’(x)≠0，則=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令cotx=t，則x→0+時(shí)t→+∞，x=時(shí)t=0，故再令t=，則t→+∞時(shí)x→0+，t→0+時(shí)x→+∞，于是11、∫01=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、ln(sinx)dx=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：13、∫0a(a＞0)=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：利用分部積分法．三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)求下列不定積分：14、標(biāo)準(zhǔn)答案：原式=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、標(biāo)準(zhǔn)答案：原式=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、(x＞1)；標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、∫e2x(1+tanx)2dx；標(biāo)準(zhǔn)答案：注意到(1+tanx)2=+2tanx，這樣被積函數(shù)分成了兩項(xiàng)．于是∫e2x(1+tanx)2dx=∫e2x(+2tanx)dx=∫e2xd(tanx)+2∫e2xtanxdx=e2xtanx一2∫e2xtanxdx+2e2xtanxdx=e2xtanx+C．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、ln(1+x2)dx；標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、∫max{x3，x2，1}dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于被積函數(shù)是max{x3，x2，1}，所以首先要對(duì)x的不同取值范圍定出被積函數(shù)的表達(dá)式；其次，為使求得的原函數(shù)處處連續(xù)，要對(duì)任意常數(shù)進(jìn)行“調(diào)整”．求解如下：令f(x)=max{x3，x2，1}=，則當(dāng)x＜一1時(shí)，∫f(x)dx=∫x2dx=x3+C2；當(dāng)一1＜x＜1時(shí)，∫f(x)ddx=∫dx=x+C2；當(dāng)x＞1時(shí)，∫f(x)dx=∫x3dx=x4+C3．由于原函數(shù)的連續(xù)性，有令C2=C，則C1=一+C，故∫max{x3，x2，1}dx=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析求下列定積分：20、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、∫01()4dx標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、標(biāo)準(zhǔn)答案：利用定積分的分段積分法與推廣的牛頓一萊布尼茲公式得知識(shí)點(diǎn)解析：先用湊微分法求或用變量替換．令t=tanx，則x=arctant，dx．于是現(xiàn)用牛頓．萊布尼茨公式即得注意所得的積分值為負(fù)，無(wú)疑是錯(cuò)誤的，但錯(cuò)在哪里呢?這是因?yàn)楹瘮?shù)處無(wú)意義，可知上的原函數(shù)，它在積分區(qū)間[0，]上也不連續(xù)，故不符合牛頓．萊布尼茨公式及其推廣的條件．用換元法．令t=tanx，則α=tan0=0，β=tan=一1．于是這當(dāng)然也是錯(cuò)的，錯(cuò)在哪里呢?因?yàn)楫?dāng)t∈[一1，0]時(shí)，x=arctant之值不落在原積分區(qū)間[0，]上．求下列定積分：23、∫-11xln(1+ex)dx；標(biāo)準(zhǔn)答案：原式=∫01xln(1+ex)dx+∫-10xln(1+ex)dx．又∫-10xln(1+ex)dxtln[1n(1+et)一t]dt=一∫01tln(1+et)dt+∫01t2dt=一∫01xln(1+ex)dx+∫01x2dx，因此，原式=∫01x2dx=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、∫-11標(biāo)準(zhǔn)答案：原式=由積分區(qū)間的對(duì)稱性及函數(shù)奇偶性可知知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、∫01ln(1+)dx；標(biāo)準(zhǔn)答案：用分部積分法可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析求下列定積分：26、∫01標(biāo)準(zhǔn)答案：令x=tant，則dx=sec2tdt，故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、∫01標(biāo)準(zhǔn)答案：用分部積分法，可在(0，+∞)內(nèi)求得不定積分由xlnx=0，可定義被積函數(shù)在x=0處的值為0，于是被積函數(shù)在[0，+∞)上連續(xù)．又由x2lnx=0，令則在[0，+∞)上，有=F(x)+C．因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、∫02標(biāo)準(zhǔn)答案：令x一1=sint，則dx=costdt，故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、已知是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，求∫x3f’(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：由分部積分得∫x3f’(x)dx=x3f(x)一3∫x2f(x)dx．=x2cosx—xsinx一3(xsinx+2cosx)+C=x2cosx一4xsinx一6cosx+C．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，滿足f(x)F(x)=，F(xiàn)(x)＜0，F(xiàn)(0)=一1．求f(x)(x＞0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)等式兩邊積分，得又由F(x)＜0，F(xiàn)(0)=一1，可知C=0，于是F(x)=．因而，f(x)=F’(x)=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析31、設(shè)f’(lnx)=且f(0)=0，求函數(shù)f(x)和f(lnx)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令lnx=t或x=et，則上式積分得f(t)=由f(t)在t=0處連續(xù)，即f(0+)=f(0-)=f(0)=0，得C1=0，C2=一1．故所求的函數(shù)為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析32、設(shè)f’(x)=arcsin(x一1)2，f(0)=0，求∫01f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫01f(x)dx=∫01f(x一1)=(x—1)f(x)｜01一∫01(x一1)f’(x)dx=f(0)一∫01(x一1)f’(x)dx=一∫01(x一1)arcsin(x一1)∫01dx知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析求下列積分(其中n=1，2，3，…)：33、In=cosnxarctanexdx；標(biāo)準(zhǔn)答案：利用公式[f(x)+f(一x)]dx，并令f(x)=cosnxarctanex可得In=[cosnxarctanex+cosn(一x)arctane-x]dx在上面利用了恒等式arctanex+arctan，x∈(一∞，+∞)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析34、Jn=cosncosnxdx．標(biāo)準(zhǔn)答案：建立Jn的遞推公式．首先其實(shí)上述公式對(duì)n=1，2，3，…都成立．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè){an}與{bn}為兩個(gè)數(shù)列，下列說(shuō)法正確的是()．A、若{an}與{bn}都發(fā)散，則{anbn}一定發(fā)散B、若{an}與{bn}都無(wú)界，則{anbn}一定無(wú)界C、若{an}無(wú)界且D、若an為無(wú)窮大，且則bn一定是無(wú)窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：A不對(duì)，如an=2+(－1)n，bn=－2－(－1)n，顯然{an}與{bn}都發(fā)散，但anbn=3，顯然{anbn}收斂；B，C都不對(duì)，如an=n[1+(－1)n]，bn=n[1－(－1)n]，顯然{an}與{bn}都無(wú)界，但anbn=0，顯然{anbn}有界且；正確答案為D．2、f(x)在x0處可導(dǎo)，則｜f(x)｜在x0處()．A、可導(dǎo)B、不可導(dǎo)C、連續(xù)但不一定可導(dǎo)D、不連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由f(x)在x0處可導(dǎo)得｜f(x)｜在x0處連續(xù)，但｜f(x)｜在x0處不一定可導(dǎo)，如f(x)=x在x=0處可導(dǎo)，但｜f(x)｜=｜x｜在x=0處不可導(dǎo)，選C．3、下列說(shuō)法正確的是()．A、設(shè)f(x)在x0二階可導(dǎo)，則f’’(x)在x=x0處連續(xù)B、f(x)在[a，b]上的最大值一定是其極大值C、f(x)在(a，b)內(nèi)的極大值一定是其最大值D、若f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)在(a，b)內(nèi)有唯一的極值點(diǎn)，則該極值點(diǎn)一定為最值點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：令不存在，所以A不對(duì)；若最大值在端點(diǎn)取到則不是極大值，所以B不對(duì)；C顯然不對(duì)，選D．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)4、設(shè)f(x)連續(xù)，且f(1)=1，則=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：5、設(shè)∫0yetdt+∫0xcostdt=xy確定函數(shù)y=y(x)，則=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：∫0yetdt+∫0xcostdt=xy兩邊對(duì)x求導(dǎo)得6、______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：7、設(shè)f(x)=∫0xecostdt．求∫0πf(x)cosxdx．標(biāo)準(zhǔn)答案：e－1－e知識(shí)點(diǎn)解析：∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)d(sinx)=f(x)sinx｜0π－∫0πf’(x)sinxdx=－∫0πecosxsinxdx=ecosx｜0π=e－1－e．8、以y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)為特解的三階常系數(shù)齊次線性微分方程為_(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：y’’－3y’’+4y’－2y=0知識(shí)點(diǎn)解析：特征值為λ1=1，λ2,3=1±i，特征方程為(λ－1)(λ－1+i)(λ－1－i)=0，即λ3－3λ2+4λ－2=0，所求方程為y’’－3y’’+4y’－2y=0．三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)9、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、設(shè)求f(x)的間斷點(diǎn)并指出其類(lèi)型．標(biāo)準(zhǔn)答案：首先其次f(x)的間斷點(diǎn)為x=kπ(k=0，±1，…)，因?yàn)?，所以x=0為函數(shù)f(x)的第一類(lèi)間斷點(diǎn)中的可去間斷點(diǎn)，x=kπ(k=±1，…)為函數(shù)f(x)的第二類(lèi)間斷點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、確定a，b，使得x－(a+bcosx)sinx，當(dāng)x→0時(shí)為階數(shù)盡可能高的無(wú)窮?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：令y=x－(a+bcosx)sinx，y’=1+bsin2x～(a+bcosx)cosx，y’’=bsin2x+sin2x+(a+bcosx)sinx=asinx+2bsin2x，y’’’=acosx+4bcos2x，顯然y(0)=0，y’’(0)=0，所以令y’(0)=y’’(0)=0得故當(dāng)時(shí)，x－(a+bcosx)sinx為階數(shù)盡可能高的無(wú)窮?。R(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，f(0)=0，f(1)=0．證明：12、存在使得f(η)=η；標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=f(x)－X，φ(x)在[0，1]上連續(xù)，φ(1)=－1＜0，由零點(diǎn)定理，存在使得φ(η)=0，即f(η)=η．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、對(duì)任意的k∈(－∞，+∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)－k[f(ξ)－ξ]=1．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)F(x)=e－kxφ(x)，顯然F(x)在[0，η]上連續(xù)，在(0，η)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)=F(η)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(0，η)，使得F’(ξ)=0，整理得f’(ξ)－k[f(ξ)－ξ]=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、當(dāng)x＞0時(shí)，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=(+1)ln(1+x)－2arctanx，f(0)=0．所以從而f’(x)≥0(x＞0)．由得f(x)≥f(0)=0(x＞0)，即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，且f’’(x)＜0．證明：∫01f(x2)dx≤標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒公式，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)f(x)∈C[a，b]，在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，且f’’(x)≥0，φ(x)是區(qū)間[a，b]上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且∫abφ(x)dx=1．證明：∫abf(x)φ(x)dx≥f∫abxφ(x)dx]．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒’’(x)≥0，所以有f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x－x0)．取x0=∫abxφ(x)dx，因?yàn)棣?x)≥0，所以aφ(x)≤xφ(x)≤bφ(x)，又∫abφ(x)dx=1，于是有a≤∫abxφ(x)dx=x0≤b．把x0=∫abxφ(x)dx代入f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x－x0)中，再由φ(x)≥0，得f(x)φ(x)≥f(x0)φ(x)+f’(x0)[xφ(x)－x0φ(x)]，上述不等式兩邊再在區(qū)間[a，b]上積分，得∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、求二元函數(shù)z=f(x，y)=x2y(4－x－y)在由x軸、y軸及x+y=6所同圍成的閉區(qū)域D上的最小值和最大值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)求f(x，y)在區(qū)域D的邊界上的最值，在L1：y=0(0≤x≤6)上，z=0；在L2：x=0(0≤Y≤6)上，z=0；在L3：Y=6－x(0≤x≤6)上，z=－2x2(6－x)=2x3－12x2，由=6x2－24x=0得x=4，因?yàn)閒(0，6)=0，f(6，0)=0，f(4，2)=－64，所以f(x，y)在Lundefined知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)二元函數(shù)f(x，y)=｜x－y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在點(diǎn)(0，0)處的某鄰域內(nèi)連續(xù)．證明：函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微的充分必要條件是φ(0，0)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：(必要性)設(shè)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微，則f’x(0，0)，f’y(0，0)存在．因?yàn)樗驭?0，0)=0．(充分性)若φ(0，0)=0，則f’x(0，0)=0，f’y(0，0)=0．因?yàn)榧磃(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、計(jì)算二重積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，計(jì)算其中D是由y=x3，y=1，x=－1圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)f(x)的一個(gè)原函數(shù)為F(x)，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，ln(1+x)＜x，于是為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，而收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)(n=1，2，…；an＞0，bn＞0)，證明：23、若級(jí)數(shù)收斂；標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由則數(shù)列單調(diào)遞減有下界，根據(jù)極限存在準(zhǔn)則，無(wú)論A=0還是A＞0，若級(jí)數(shù)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、若級(jí)數(shù)發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：(2)若A=0，由級(jí)數(shù)斂散性相同，故若級(jí)數(shù)發(fā)散．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)f(x)在(－∞，+∞)內(nèi)一階連續(xù)可導(dǎo)，且發(fā)散.標(biāo)準(zhǔn)答案：由，所以存在δ＞0，當(dāng)｜x｜＜δ時(shí)，f’(x)＞0，于是存在N＞0，當(dāng)n＞N時(shí)，由萊布尼茨審斂法知收斂，因?yàn)榘l(fā)散．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，f(0)=1，且f’(x)+f(x)－∫0xf(t)dt=0．(1)求f(x)；(2)證明：當(dāng)x≥0時(shí)，e－x≤f(x)≤1．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)(x+1)f’(x)+(x+1)f(x)－∫0xf(t)dt=0，兩邊求導(dǎo)數(shù)，得(x+1)f’’(x)=－(x+2)f’(x)=>再由f(0)=1，f’(0)+f(0)=0，得f’(0)=－1，所以C=－1，于是(2)當(dāng)x≥0時(shí)，因?yàn)閒’(x)＜0且f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1．令g(x)=f(x)－e－x．g(0)=0，g’(x)=f’(x)+e－x=由=>g(x)≥0=>f(x)≥e－x(x≥0)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、用變量代換x=sint將方程化為y關(guān)于t的方程，并求微分方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：的通解為y=C1e－2t+C2e2t，故原方程的通解為y=C1e－2arcsinx+C2e2arcsinx．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、高度為h(t)(t為時(shí)間)的雪堆在融化過(guò)程中，其側(cè)面滿足已知體積減少的速度與側(cè)面積所成比例系數(shù)為0．9，問(wèn)高度為130的雪堆全部融化需要多少時(shí)間(其中長(zhǎng)度單位是cm，時(shí)間單位為h)?標(biāo)準(zhǔn)答案：t時(shí)刻雪堆體積側(cè)面積根據(jù)題意得因?yàn)閔(0)=130，所以C=130，則得t=100，即經(jīng)過(guò)100小時(shí)全部融化．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、已知一ax一b)=0，其中a，b是常數(shù)，則A、a=1，b=1．B、a=一1，b=1．C、a=1，b=一1．D、a=一1，b=一1．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：這是從已知極限值去確定函數(shù)式中的待定常數(shù)．可通過(guò)直接計(jì)算，導(dǎo)出式中的常數(shù)所滿足的方程組，然后解出a和b．作為選擇題，也可把四個(gè)選項(xiàng)中的各組常數(shù)值代入，看哪一組常數(shù)可以使極限為零，這種解法留給讀者自己完成．由，得1—a=0，a+b=0，即a=1，b=一1．故選(C)．由極限的四則運(yùn)算法則知設(shè)有定義在(一∞，+∞)上的函數(shù)：則2、其中在定義域上連續(xù)的函數(shù)是_________；A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x＞0與x＜0時(shí)上述各函數(shù)分別與某初等函數(shù)相同，故連續(xù)．從而只需再考察哪個(gè)函數(shù)在點(diǎn)x=0處連續(xù)．注意到若f(x)=其中g(shù)(x)在(一∞，0]連續(xù)，h(x)在[0，+∞)連續(xù)．因當(dāng)x∈(一∞，0]時(shí)f(x)=g(x)→f(x)在x=0左連續(xù)．若又有g(shù)(0)=h(0)，則f(x)=h(x)在x∈[0，+∞)上成立．于是f(x)在x=0右連續(xù)．因此f(x)在x=0連續(xù)．3、(Ⅱ)以x=0為第二類(lèi)間斷點(diǎn)的函數(shù)是_________．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：關(guān)于(A)：由于故x=0是f(x)的第一類(lèi)間斷點(diǎn)(跳躍間斷點(diǎn))．關(guān)于(C)：由于=e≠h(0)，故x=0是h(x)的第一類(lèi)間斷點(diǎn)(可去間斷點(diǎn))．已證(B)中g(shù)(x)在x=0連續(xù)．因此選(D)．我們也可直接考察(D)．由于故x=0是m(x)的第二類(lèi)間斷點(diǎn)．二、填空題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)4、極限=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：sin1一cos1知識(shí)點(diǎn)解析：極限是f(x)=xsinx在[0，1]區(qū)間上的一個(gè)積分和，由于f(x)在[0，1]可積，于是I=∫01f(x)dx=∫01xsinxdx=一∫01xdcosx=一xcosx｜01+∫01cosxdx=一cos1+sinx｜01=sin1一cos1．三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)5、求下列極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：本題兩個(gè)極限都是1∞型未定式，可用上面介紹的做法求解．其中用了等價(jià)無(wú)窮小因子替換：—1～x2lna(x→0)，ax一1～xlna(x→0)．因此w=e—2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析6、求下列極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：其中用了等價(jià)無(wú)窮小因子替換：ln(1一x)～一x(x→0)，tant～t(t→0)．因此w==e0=1．(Ⅱ)屬∞0型．利用恒等變形及基本極限=1可得w==1．20=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析7、設(shè)f(x)在[0，+∞)連續(xù)，且滿足．標(biāo)準(zhǔn)答案：先作恒等變形轉(zhuǎn)化為求型未定式，然后用洛必達(dá)法則．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析8、設(shè)f(x)可導(dǎo)，且f(0)=0，f’(0)≠0，求w=．標(biāo)準(zhǔn)答案：此極限是型未定式．由洛必達(dá)法則可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析9、已知w==1，求常數(shù)a≥0與b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：本題是型未定式．用洛必達(dá)法則，并結(jié)合等價(jià)無(wú)窮小因子替換可求得w．設(shè)f(x)=，當(dāng)a＞0時(shí)f(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)；當(dāng)a=0時(shí)f(x)在x≠0有定義，且f(x)==x｜x｜，補(bǔ)充定義f(0)=0，則f(x)=x｜x｜在(—∞，+∞)上連續(xù)．從而，當(dāng)a≥0時(shí)∫0xf(t)dt可導(dǎo)，且知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、確定常數(shù)a，b，c的值，使=4．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于當(dāng)x→0時(shí)對(duì)常數(shù)a，b都有ax2+bx+1一e—2x→0，又已知分式的極限不為零，所以當(dāng)x→0時(shí)必有分母→0，故必有c=0．由于故必有a=4．綜合得a=4，b=—2，c=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、設(shè)(Ⅰ)f(x)=；求f(x)，g(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)需要對(duì)參數(shù)x用夾逼定理分段進(jìn)行討論．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、求w=．標(biāo)準(zhǔn)答案：記xn=是f(x)=tanx在[0，1]區(qū)間上的一個(gè)積分和．由于f(x)在[0，1]上連續(xù)，故可積，于是=一lncosx｜01=—lncos1．因此，我們對(duì)xn用適當(dāng)放大縮小法，將求xn轉(zhuǎn)化為求積分和的極限．因知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、求下列數(shù)列極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)先用等價(jià)無(wú)窮小因子替換：現(xiàn)把它轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限后再用洛必達(dá)法則即得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、當(dāng)x→0時(shí)下列無(wú)窮小是x的n階無(wú)窮小，求階數(shù)n：(Ⅰ)一1；(Ⅱ)(1+tan2x)sinx一1；(Ⅲ)；(Ⅳ)∫0xsint．sin(1一cost)2dt．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)一1～x4—2x2～一2x2(x→0)，即當(dāng)x→0時(shí)一1是x的2階無(wú)窮小，故n=2．(Ⅱ)(1+tan2x)sinx一1一ln[(1+tan2x)sinx一1+1]=sinxln(1+tan2x)～sinxtan2x～x．x2=x3(x→0)，即當(dāng)x→0時(shí)(1+tan2x)sinx一1是x的3階無(wú)窮小，故n=3．(Ⅲ)由1—的4階無(wú)窮小，即當(dāng)x→0時(shí)是x的4階無(wú)窮小，故n=4．即當(dāng)x→0時(shí)∫0xsint．sin(1一cost)2dt是x的6階無(wú)窮小，故n=6．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)函數(shù)f(x)存x=0的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)≠0，f’(0)≠0，若af(h)+bf(2h)一f(0)當(dāng)h→0時(shí)是比h高階的無(wú)窮小，試確定a、b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)條件知[af(h)+bf(2h)一f(0)]=(a+b—1)f(0)=0．由于f(0)≠0，故必有a+b一1=0．利用a+b=1和導(dǎo)數(shù)的定義，又有=af’(0)+2bf’(0)=(a+2b)f’(0)=(1+b)f’(0)．因f’(0)≠0，故1+b=0，即b=一1．于是a=2，b=一1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、試確定a和b的值，使f(x)=有無(wú)窮間斷點(diǎn)x=0，有可去間斷點(diǎn)x=1．標(biāo)準(zhǔn)答案：為使x=0為f(x)的無(wú)窮間斷點(diǎn)，必須有=∞，因而a=0，b≠1．將a=0代入上面極限式中，為使x=1是f(x)的可去間斷點(diǎn)，必須有(常數(shù))．因(ex一b)=0，即b=e．綜合即得a=0，b=e．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)f(x)=試確定常數(shù)a，使f(x)在x=0處右連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意a=．利用當(dāng)x→0+時(shí)的等價(jià)無(wú)窮小關(guān)系ln(1一x)～一x可得所以a=e0=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)f(x)是在(一∞，+∞)上連續(xù)且以T為周期的周期函數(shù)，求證：方程f(x)一的閉區(qū)間上至少有一個(gè)實(shí)根．標(biāo)準(zhǔn)答案：a∈(一∞，+∞)，考慮閉區(qū)間[a，a+]，作輔助函數(shù)F(x)=f(x)一f(x一)，則于是，若f(a)=(a—均為方程F(x)=0的根；若f(a)≠f(a—上連續(xù)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零值定理知，至少存在一點(diǎn)ξ∈(a，a+的閉區(qū)間上至少有一個(gè)實(shí)根．知識(shí)點(diǎn)解析：考慮輔助函數(shù)F(x)=f(x)一f(x一)，要證明F(x)在任意一區(qū)間[0，a+]上必有零點(diǎn)．20、設(shè)f(x)在(一∞，+∞)連續(xù)，存在極限f(x)=B．證明：(Ⅰ)設(shè)A＜B，則對(duì)ξ∈(一∞，+∞)，使得f(ξ)=μ；(Ⅱ)f(x)在(一∞，+∞)上有界．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用極限的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為有界區(qū)間的情形．(Ⅰ)由f(x)=A<μ及極限的不等式性質(zhì)可知，X1使得f(X1)＜μ．由X2>X1使得f(X2)＞μ．因f(x)在[X1，X2]連續(xù)，f(X1)＜μ＜f(X2)，由連續(xù)函數(shù)介值定理知(一∞，+∞)，使得f(ξ)=μ．(Ⅱ)因f(x)=B，由存在極限的函數(shù)的局部有界性定理可知，X1，使得當(dāng)x∈(一∞，X1)時(shí)f(x)有界；X2(＞X1)，使得當(dāng)x∈(X2，+∞)時(shí)f(x)有界．又由有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性定理可知，f(x)在[X1，X2]上有界．因此f(x)在(一∞，+∞)上有界．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、函數(shù)f（x）=的間斷點(diǎn)及類(lèi)型是（）A、x=1為第一類(lèi)間斷點(diǎn)，x=—1為第二類(lèi)間斷點(diǎn)B、x=±1均為第一類(lèi)間斷點(diǎn)C、x=1為第二類(lèi)間斷點(diǎn)，x=—1為第一類(lèi)間斷點(diǎn)D、x=±1均為第二類(lèi)間斷點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：分別就|x|=1，|x|＜1，|x|＞1時(shí)求極限得出f（x）的分段表達(dá)式：所以，x=±1均為f（x）的第一類(lèi)間斷點(diǎn)，故選B。2、設(shè)F（x）=g（x）φ（x），x=a是φ（x）的跳躍間斷點(diǎn)，g’（a）存在，則g（a）=0，g’（a）=0是F（x）在x=a處可導(dǎo)的（）A、充分必要條件B、充分非必要條件C、必要非充分條件D、非充分非必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因φ（x）在x=a處不可導(dǎo)，所以不能對(duì)F（x）用乘積的求導(dǎo)法則，須用定義求F’（a）。題設(shè)φ（x）以x=a為跳躍間斷點(diǎn)，則存在A+，A+≠A—。當(dāng)g（a）=0時(shí)，這表明，g（a）=0時(shí)，F(xiàn)’（a）存在下面證明若F’（a）存在，則g（a）=0。反證法，若g（a）≠0，φ（x）=由商的求導(dǎo)法則，φ（x）在x=a可導(dǎo)，這與題設(shè)矛盾，則g（a）=0，g’（a）=0是F（x）在x=a處可導(dǎo)的充要條件。故選A。3、設(shè)f（x）在（0，+∞）內(nèi)二階可導(dǎo)，滿足f（0）=0，f"（x）＜0（x＞0），又設(shè)b＞a＞0，則a＜x＜b時(shí)，恒有（）A、af（x）＞xf（a）B、f（x）＞xf（b）C、xf（x）＞bf（b）D、xf（x）＞af（a）標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：將A，B選項(xiàng)分別改寫(xiě)成于是，若能證明或xf（x）的單調(diào)性即可。又因令g（x）=xf’（x）—f（x），則g（0）=0，g’（x）=xf"（x）＜0（x＞0），那么g（x）＜g（0）=0（x＞0），即故在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)減小。所以當(dāng)a＜x＜b時(shí)，故選B。4、設(shè)f（x）具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f’（1）=0，則（）A、f（1）是f（x）的極大值B、f（1）是f（x）的極小值C、（1，f（1））是曲線f（x）的拐點(diǎn)坐標(biāo)D、f（1）不是f（x）的極值，（1，f（1））也不是曲線f（x）的拐點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：選取特殊f（x）滿足:f"（x）=（x—1）2，如取f（x）=（x—1）4，則f（x）滿足題中條件，f（x）在x=1處取極小值，而其余均不正確。故選B。5、若f（x）的導(dǎo)函數(shù)是sinx，則f（x）有一個(gè)原函數(shù)為（）A、1+sinxB、1—sinxC、1+cosxD、1—cosx標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由f’（x）=sinx，得f（x）=∫f’（x）dx=∫sinxdx=—cosx+C1，所以f（x）的原函數(shù)是F（x）=∫f（x）dx=∫（—cosx+C1）dx=—sinx+C1x+C2，其中C1，C2為任意常數(shù)。令C1=0，C2=1得F（x）=1—sinx。故選B。6、方程∫0x=0根的個(gè)數(shù)為（）A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)F（x）=∫0x+∫cosx0e—t2dt，則F（x）在（一∞，+∞）內(nèi)連續(xù)，又F（0）=∫10e—t2dt＜0，＞0，由零點(diǎn)定理得F（x）=0至少有一個(gè)根。又易知且當(dāng)x∈（一∞，+∞）時(shí)，≥1（等號(hào)僅當(dāng)x=0成立），又0＜≤1，—1≤sinx≤1，所以有—1≤sinx≤1，又F’（0）=1＞0，因此F’（x）＞0，從而有F（x）在（一∞，+∞）嚴(yán)格單調(diào)遞增，由此F（x）=0最多有一個(gè)實(shí)根。綜上，F(xiàn)（x）=0在（一∞，+∞）上有且僅有一個(gè)實(shí)根，故選B。7、設(shè)函數(shù)z=f（x，y）的全微分為dx=xdx+ydy，則點(diǎn)（0，0）（）A、不是f（x，y）的連續(xù)點(diǎn)B、不是f（x，y）的極值點(diǎn)C、是f（x，y）的極大值點(diǎn)D、是f（x，y）的極小值點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)dz=xdx+ydy可得，又在（0，0）處，，AC—B2=1＞0，根據(jù)二元函數(shù)極值點(diǎn)的判斷方法可知，（0，0）為函數(shù)z=f（x，y）的一個(gè)極小值點(diǎn)。因此正確選項(xiàng)為D。8、設(shè)f（x，y）為連續(xù)函數(shù)，則dθ∫01f（rcosθ，rsinθ）rdr等于（）A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)可知，積分區(qū)域D如圖1—4—5所示，則9、級(jí)數(shù)（a＞0，β＞0）的斂散性（）A、α與β取值有關(guān)B、α與α取值有關(guān)C、與α和β的取值都有關(guān)D、與α和β的取值都無(wú)關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于（1）當(dāng)0＜β＜1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。（2）當(dāng)β＞1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。（3）當(dāng)β=1時(shí)，原級(jí)數(shù)為，當(dāng)α＞1時(shí)收斂，當(dāng)a≤1時(shí)發(fā)散，故選C。10、微分方程y"一λ2y=eλx+e—λx（λ＞0）的特解形式為（）A、a（eλx+e—λx）B、ax（eλx+e—λx）C、x（aeλx+be—λx）D、x2（aeλx+be—λx）標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為r2一λ2=0，其特征根為r1，2=±A，所以y"一λ2y=eλx的特解為y1*=axeλx，y"一λ2y=eλ2x的特解為y2*=bxe—λx，根據(jù)疊加原理可知原方程的特解形式為y*=y1*+y2*=x（aeλx+be—λx），因此選C。二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)11、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、設(shè)f（x）=x（x+1）（x+2）…（x+n），則f’（0）=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：n!知識(shí)點(diǎn)解析：由于f’（x）=（x+1）（x+2）…（x+n）+x[（x+2）…（x+n）+…+（x+1）（x+2）…（x+n—1）]，所以f’（0）=n!。13、曲線處的切線方程為_(kāi)_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：在點(diǎn)處的切線的斜率為，在曲線方程兩端分別對(duì)x求導(dǎo)，得因此所求的切線方程為14、設(shè)a＞0，則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知，原式可化為根據(jù)定積分的幾何意義可得（半徑為a的半圓的面積），所以15、設(shè)函數(shù)f（u）可微，且f’（0）=，則z=f（4x2一y2）在點(diǎn)（1，2）處的全微分dz|（1，2）=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：4dx—2dy知識(shí)點(diǎn)解析：直接利用微分的形式計(jì)算，因?yàn)?6、設(shè)D為不等式0≤x≤3，0≤y≤1所確定的區(qū)域，則minm（x，y）dxdy=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知，min（x，y）dxdy=∫01dy∫y3ydx+∫01dy∫0yxdx=。17、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：首先設(shè)an=，則當(dāng)滿足條件＜1時(shí)，即|x|＜時(shí)，該冪級(jí)數(shù)是收斂的。因此，此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是。18、微分方程y"一y’+=0的通解為_(kāi)_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=（C1+C2x），C1，C2為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：二階齊次微分方程的特征方程為λ2一λ+=0，解方程得λ1=λ2=因此齊次方程的通解為y=（C1+C2x），C1，C2為任意常數(shù)。三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)19、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)g（x）=其中f（x）在x=0處二階可導(dǎo)，且f（0）=f’（0）=1。（Ⅰ）a，b為何值時(shí)，g（x）在x=0處連續(xù)；（Ⅱ）a，b為何值時(shí)，g（x）在x=0處可導(dǎo)。標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅰ）若要g（x）在x=0處連續(xù)，必須=g（0），即b=—1。故b=—1，a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，g（x）在x=0處連續(xù)。（Ⅱ）若要g（x）在x=0處可導(dǎo)，則必須g（x）在x=0處連續(xù)（b=—1），且g—’（0）=g+’（0），所以所以當(dāng)a=[f"（0）一1]，b=—1時(shí)，g（x）在x=0處可導(dǎo)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、證明，—1＜x＜1。標(biāo)準(zhǔn)答案：故f’（x）≥0，而f（0）=0，所以有f（x）≥0，即得故f’（x）≤0，因此仍有f（x）≥f（0）=0，即得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、（Ⅰ）比較∫01|lnt|[ln（1+t）n]dt與∫01tn|lnt|dt（n=1，2，…）的大小，說(shuō)明理由。（Ⅱ）記un=∫01|lnt|[ln（1+t）]ndt（n=1，2，…），求極限un。標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅰ）令f（t）=ln（1+t）—t。當(dāng)0≤t≤1時(shí)，f’（t）=一1≤0，故當(dāng)0≤t≤1時(shí)，f（t）≤f（0）=0，即當(dāng)0≤t≤1時(shí)，0≤ln（1+t）≤t≤1，從而[ln（1+t）]n≤tn（n=1，2，…）。又由|lnt|≥0得∫01|lnt|[ln（1+t）]ndt≤∫0ttn|lnt|dt（n=1，2，…）。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，0≤un=∫01|lnt|[ln（1+t）]ndt≤∫01tn|lnt|dt，因?yàn)椤?1tn|lnt|dt=—∫01tn（lnt）dt