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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)(是虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,則 D.若,,則3.已知向量,則向量在向量方向上的投影為()A. B. C. D.4.已知復(fù)數(shù)z=(1+2i)(1+ai)(a∈R),若z∈R,則實(shí)數(shù)a=()A. B. C.2 D.﹣25.已知復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.6.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積()A. B. C. D.7.下圖是民航部門統(tǒng)計(jì)的某年春運(yùn)期間,六個(gè)城市售出的往返機(jī)票的平均價(jià)格(單位元),以及相比于上一年同期價(jià)格變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖,以下敘述不正確的是()A.深圳的變化幅度最小,北京的平均價(jià)格最高B.天津的往返機(jī)票平均價(jià)格變化最大C.上海和廣州的往返機(jī)票平均價(jià)格基本相當(dāng)D.相比于上一年同期,其中四個(gè)城市的往返機(jī)票平均價(jià)格在增加8.設(shè)集合(為實(shí)數(shù)集),,,則()A. B. C. D.9.若,則()A. B. C. D.10.已知數(shù)列中,,(),則等于()A. B. C. D.211.“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件12.據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的數(shù)據(jù),2019年11月全國CPI(居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)),同比上漲4.5%,CPI上漲的主要因素是豬肉價(jià)格的上漲,豬肉加上其他畜肉影響CPI上漲3.27個(gè)百分點(diǎn).下圖是2019年11月CPI一籃子商品權(quán)重,根據(jù)該圖,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.CPI一籃子商品中所占權(quán)重最大的是居住B.CPI一籃子商品中吃穿住所占權(quán)重超過50%C.豬肉在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為2.5%D.豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為0.18%二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知關(guān)于空間兩條不同直線m、n,兩個(gè)不同平面、,有下列四個(gè)命題:①若且,則;②若且,則;③若且,則;④若,且,則.其中正確命題的序號為______.14.點(diǎn)到直線的距離為________15.已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)、,其中為左焦點(diǎn).點(diǎn)為兩曲線在第一象限的交點(diǎn),、分別為曲線、的離心率,若是以為底邊的等腰三角形,則的取值范圍為________.16.設(shè)函數(shù),若在上的最大值為,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù),曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)).(1)求與的普通方程;(2)若與相交于,兩點(diǎn),且,求的值.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為;直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線與曲線分別交于兩點(diǎn).(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;(2)若點(diǎn)的極坐標(biāo)為,,求的值.19.(12分)某房地產(chǎn)開發(fā)商在其開發(fā)的某小區(qū)前修建了一個(gè)弓形景觀湖.如圖,該弓形所在的圓是以為直徑的圓,且米,景觀湖邊界與平行且它們間的距離為米.開發(fā)商計(jì)劃從點(diǎn)出發(fā)建一座景觀橋(假定建成的景觀橋的橋面與地面和水面均平行),橋面在湖面上的部分記作.設(shè).(1)用表示線段并確定的范圍;(2)為了使小區(qū)居民可以充分地欣賞湖景,所以要將的長度設(shè)計(jì)到最長,求的最大值.20.(12分)已知函數(shù),.(1)求函數(shù)的極值;(2)當(dāng)時(shí),求證:.21.(12分)在數(shù)列中,已知,且,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,證明:.22.(10分)已知曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程與直線的普通方程;(2)已知點(diǎn),直線與曲線交于、兩點(diǎn),求.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】
將整理成的形式,得到復(fù)數(shù)所對應(yīng)的的點(diǎn),從而可選出所在象限.【詳解】解:,所以所對應(yīng)的點(diǎn)為在第一象限.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)對應(yīng)的坐標(biāo).易錯(cuò)點(diǎn)是誤把當(dāng)成進(jìn)行計(jì)算.2.C【解析】
在A中,與相交或平行;在B中,或;在C中,由線面垂直的判定定理得;在D中,與平行或.【詳解】設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,則:在A中,若,,則與相交或平行,故A錯(cuò)誤;在B中,若,,則或,故B錯(cuò)誤;在C中,若,,則由線面垂直的判定定理得,故C正確;在D中,若,,則與平行或,故D錯(cuò)誤.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,是中檔題.3.A【解析】
投影即為,利用數(shù)量積運(yùn)算即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)向量與向量的夾角為,由題意,得,,所以,向量在向量方向上的投影為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考察了向量的數(shù)量積運(yùn)算,難度不大,屬于基礎(chǔ)題.4.D【解析】
化簡z=(1+2i)(1+ai)=,再根據(jù)z∈R求解.【詳解】因?yàn)閦=(1+2i)(1+ai)=,又因?yàn)閦∈R,所以,解得a=-2.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及概念,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.5.B【解析】
利用復(fù)數(shù)除法、加法運(yùn)算,化簡求得,再求得【詳解】,故.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、加法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題.6.C【解析】
畫出幾何體的直觀圖,利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可.【詳解】解:幾何體的直觀圖如圖,是正方體的一部分,P?ABC,正方體的棱長為2,
該幾何體的表面積:.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求解幾何體的直觀圖的表面積,判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.7.D【解析】
根據(jù)條形圖可折線圖所包含的數(shù)據(jù)對選項(xiàng)逐一分析,由此得出敘述不正確的選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng),根據(jù)折線圖可知深圳的變化幅度最小,根據(jù)條形圖可知北京的平均價(jià)格最高,所以A選項(xiàng)敘述正確.對于B選項(xiàng),根據(jù)折線圖可知天津的往返機(jī)票平均價(jià)格變化最大,所以B選項(xiàng)敘述正確.對于C選項(xiàng),根據(jù)條形圖可知上海和廣州的往返機(jī)票平均價(jià)格基本相當(dāng),所以C選項(xiàng)敘述正確.對于D選項(xiàng),根據(jù)折線圖可知相比于上一年同期,除了深圳外,另外五個(gè)城市的往返機(jī)票平均價(jià)格在增加,故D選項(xiàng)敘述錯(cuò)誤.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)條形圖和折線圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析,屬于基礎(chǔ)題.8.A【解析】
根據(jù)集合交集與補(bǔ)集運(yùn)算,即可求得.【詳解】集合,,所以所以故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集與補(bǔ)集的混合運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.9.D【解析】
直接利用二倍角余弦公式與弦化切即可得到結(jié)果.【詳解】∵,∴,故選D【點(diǎn)睛】本題考查的知識要點(diǎn):三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換,同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題型.10.A【解析】
分別代值計(jì)算可得,觀察可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列,問題得以解決.【詳解】解:∵,(),
,
,
,
,
…,
∴數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列,
,
,
故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的周期性和運(yùn)用:求數(shù)列中的項(xiàng),考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11.A【解析】
首先利用二倍角正切公式由,求出,再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可;【詳解】解:∵,∴可解得或,∴“”是“”的充分不必要條件.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,二倍角正切公式的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.12.D【解析】
A.從第一個(gè)圖觀察居住占23%,與其他比較即可.B.CPI一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,再判斷.C.食品占19.9%,再看第二個(gè)圖,分清2.5%是在CPI一籃子商品中,還是在食品中即可.D.易知豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為2.1%+2.5%=4.6%.【詳解】A.CPI一籃子商品中居住占23%,所占權(quán)重最大的,故正確.B.CPI一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,權(quán)重超過50%,故正確.C.食品占中19.9%,分解后后可知豬肉是占在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為2.5%,故正確.D.豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為2.1%+2.5%=4.6%,故錯(cuò)誤.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查統(tǒng)計(jì)圖的識別與應(yīng)用,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.③④【解析】
由直線與直線的位置關(guān)系,直線與平面的位置關(guān)系,面面垂直的判定定理和線面垂直的定義判斷.【詳解】①若且,的位置關(guān)系是平行、相交或異面,①錯(cuò);②若且,則或者,②錯(cuò);③若,設(shè)過的平面與交于直線,則,又,則,∴,③正確;④若,且,由線面垂直的定義知,④正確.故答案為:③④.【點(diǎn)睛】本題考查直線與直線的位置關(guān)系,直線與平面的位置關(guān)系,面面垂直的判定定理和線面垂直的定義,考查空間線面間的位置關(guān)系,掌握空間線線、線面、面面位置關(guān)系是解題基礎(chǔ).14.2【解析】
直接根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求出?!驹斀狻恳罁?jù)點(diǎn)到直線的距離公式,點(diǎn)到直線的距離為?!军c(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用。15.【解析】
設(shè),由橢圓和雙曲線的定義得到,根據(jù)是以為底邊的等腰三角形,得到,從而有,根據(jù),得到,再利用導(dǎo)數(shù)法求的范圍.【詳解】設(shè),由橢圓的定義得,由雙曲線的定義得,所以,因?yàn)槭且詾榈走叺牡妊切?,所以,即,因?yàn)椋?,因?yàn)椋?,所以,即,而,因?yàn)?,所以在上遞增,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓,雙曲線的定義和幾何性質(zhì),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.16.【解析】
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由在上,可得在上單調(diào)遞增,則函數(shù)最大值為,即可求出參數(shù)的值.【詳解】解:定義域?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞增,故在上的最大值為故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1),(2)0【解析】
(1)分別把兩曲線參數(shù)方程中的參數(shù)消去,即可得到普通方程;(2)把直線的參數(shù)方程代入的普通方程,化為關(guān)于的一元二次方程,再由根與系數(shù)的關(guān)系及此時(shí)的幾何意義求解.【詳解】(1)由曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),消去參數(shù),可得;由曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),消去參數(shù),可得,即.(2)把為參數(shù))代入,得.,..解得:,即,滿足△..【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程,特別是直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,是中檔題.18.(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為即,直線的普通方程為;(2).【解析】
(1)利用代入法消去參數(shù)方程中的參數(shù),可得直線的普通方程,極坐標(biāo)方程兩邊同乘以利用即可得曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程,根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義,利用韋達(dá)定理可得結(jié)果.【詳解】(1)由,得,所以曲線的直角坐標(biāo)方程為,即,直線的普通方程為.(2)將直線的參數(shù)方程代入并化簡、整理,得.因?yàn)橹本€與曲線交于,兩點(diǎn).所以,解得.由根與系數(shù)的關(guān)系,得,.因?yàn)辄c(diǎn)的直角坐標(biāo)為,在直線上.所以,解得,此時(shí)滿足.且,故..【點(diǎn)睛】參數(shù)方程主要通過代入法或者已知恒等式(如等三角恒等式)消去參數(shù)化為普通方程,通過選取相應(yīng)的參數(shù)可以把普通方程化為參數(shù)方程,利用關(guān)系式,等可以把極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化,這類問題一般我們可以先把曲線方程化為直角坐標(biāo)方程,用直角坐標(biāo)方程解決相應(yīng)問題.19.(1),;(2)米.【解析】
(1)過點(diǎn)作于點(diǎn)再在中利用正弦定理求解,再根據(jù)求解,進(jìn)而求得.再根據(jù)確定的范圍即可.(2)根據(jù)(1)有,再設(shè),求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值即可.【詳解】解:過點(diǎn)作于點(diǎn)則,在中,,,由正弦定理得:,,,,,因?yàn)?化簡得,令,,且,因?yàn)?故令即,記,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,又,當(dāng)時(shí),取最大值,此時(shí),的最大值為米.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用,需要根據(jù)題意建立角度與長度間的關(guān)系,進(jìn)而求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)三角函數(shù)值求解對應(yīng)的最值即可.屬于難題.20.(1)的極小值為,無極大值.(2)見解析.【解析】
(1)對求導(dǎo),確定函數(shù)單調(diào)性,得到函數(shù)極值.(2)構(gòu)造函數(shù),證明恒成立,得到,,得證.【詳解】(1)由題意知,,令,得,令,得.則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以的極小值為,無極大值.(2)當(dāng)時(shí),要證,即證.令,則,令,得,令,得,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),,所以,即.因?yàn)闀r(shí),,所以當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),不等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,極值,不等式的證明,構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵.21.(1);(2)見解析.【解析】
(1)由已知變形得到,從而是等差數(shù)列,然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可;(2)先求出數(shù)列的通項(xiàng),再利用裂項(xiàng)相消法求出即可.【詳解】(1)由已知,,即,又,則數(shù)列是以1為首項(xiàng)3為公差的等差數(shù)列,所以,即.(2)因?yàn)椋瑒t,所以,又是遞增數(shù)列,所以,綜上,.【點(diǎn)睛】本題考查由遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和,考查學(xué)生的
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