圓與圓的位置關(guān)系同步練習(xí)

圓與圓的位置關(guān)系同步練習(xí)

一、選擇題

1.已知集合4={(x,y)|x(x-1)+y(y-1)Wr},集合B={(居、)|/+y2叱產(chǎn)},若

AQB,則實數(shù)廠可以取的一個值是()

A.V2+1B.V3C.2D.1+y

2.兩圓相交于兩點(1,3)和(巾,1),兩圓的圓心都在直線光—y+1=0上，則m+c=

()

A.-1B.2C.3D.0

3.若圓(久-a)2+(y-bp=b2+1始終平分圓(x+l)2+(y+l)2=4的周長，則a,

匕滿足的關(guān)系是()

A.a2+2a+2b—3=0B.a2+2a+2h+5=0

C.a2+b2+2a+2b+5=0D.a2—2a—2b+5=0

4.圓心為(2,0)的圓C與圓x2+V+4%—6y+4=()相外切，則圓c的方程為()

A.x2+y2—4%+2=0B.x2+y2-4x=0

C.x2+y2+4x+2=0D,x2+y2+4x=0

5.圓(x+3/+(y+4)2=16與圓/+V=4的位置關(guān)系為()

A.相離B.內(nèi)切C.外切D.相交

6.圓久2+y2=2與圓/+/+2久-2y=0的位置關(guān)系是()

A.相交B.內(nèi)切C.外切D.相離

7.已知圓Ci：x2+y2—2mx+m2=4,圓金：x2+y2+2x—2my=8—m2(m>3),

則兩圓的位置關(guān)系是()

A.相交B.內(nèi)切C.外切D.相離

8.已知圓G：/+y2—2ax+@2—1=o和圓C2；/+/一2"+82-4=0恰有

三條公共切線，則J(a—3尸+(b—4尸的最小值為()

A.1+V2B.2C.3-V2D.4

9.已知圓G：(%+2)2+V=1與圓C2：Q-砌2+*=4相交，則實數(shù)。的取值范圍

是()

A.3<a<5B.—5<a<—3

C.-1<a<1或一5<a<—3D.-1<a<1或3<a<5

10.已知圓C：x2+y2=1,點M為直線x—2y—6=0上一動點，過點M向圓C作

切線MA,MB,A,B為切點、,則直線AB經(jīng)過定點()

A.6/)B.&-|)C.(一UD,(-|,0

11.若圓01：(%—I/+(y+2)2=4與圓。2：Q-4)2+(y-2)2=產(chǎn)&>o)相切，

貝懺=()

A.3或7B.1或5C.3D.5

12.已知點4(—2,0),8(2,0),若圓(x—3/+y2>°)上存在點p。不同于點A,

B),使得方.麗=0，則實數(shù)廠的取值范圍是()

A.(1,5)B.[1,5]C.(1,3]D.[3,5)

13.圓的：久2+y2+2久+4y+1=0與圓。2：久2+y2-4%—4丫-1=0的公切線有()

條

A.2條B.1條C.4條D.3條

14.圓/+川一以+6)/=0和圓x2+3/2-6刀=0交于48兩點，則直線的方程是

()

A.x+3y=0B.3%—y=0C.3x—y—9=0D.3x+y+9=0

二、填空題

15.已知圓G：(%-2)2+(y-3)2=1,圓C2：(%-4)2+(y-5)2=1,M,N分別為

圓Ci，。2上的動點，點P是％軸上的動點，則|PM|+|PN|的最小值為.

16.圓G；/+*一4%+3=0與圓。2；(%++(y-4)2=a恰有三條公切線，則

實數(shù)a的值是.

17.圓/+*=16和圓(％-4)2+(y+3產(chǎn)=R2(R>0)在一個交點處的切線互相垂

直，則/?=.

18.已知圓G：x2+y2+2%+2y—2=0,圓C2：x2+y2—4%—2y+1=0,則兩圓

的位置關(guān)系為(填“內(nèi)含”、“內(nèi)切”、“相交”、“外切”或“外離”)，

它們的公切線條數(shù)為.

19.在平面直角坐標系xOy中，A,2為X軸正半軸上的兩個動點，P(異于原點0)為y

軸上的一個定點.若以AB為直徑的圓與圓/+(y—2)2=1相外切，且乙4PB的大

小恒為定值，則線段。尸的長為.

三、解答題

20.已知圓C］：久2+*—4刀+2y=0與圓C2：x2+y2—2y—4=0.

(1)求證兩圓相交；

(2)求兩圓公共弦所在直線的方程；

(3)求過兩圓的交點且圓心在直線2x+4y=1上的圓的方程.

21.已知圓M：(x-a)2+y2-5與兩條坐標軸都相交，且與直線x+2y-5-0相切.

(1)求圓M的方程；

(2)若動點A在直線x=5上，過A引圓M的兩條切線AB,AC,切點分別為B,C,

求證：直線3c恒過定點.

22.若實數(shù)x,y滿足/+y2+2%-4y+1=0,求下列各式的最大值和最小值.

⑴占

(2)3%-4y；

⑶/+y2.

23.已知圓M:小+(y—4)2=1,直線l：2x-y=0,點尸在直線/上，過點尸作圓M

的切線PA,PB,切點為A,B；

(1)若NAPB=60。，求點尸的坐標；

(2)若點尸的坐標為(1,2),過P作直線與圓M交于C,。兩點，當CD=加時，求

直線CD的方程；

(3)求證：經(jīng)過A,P,M三點的圓與圓M的公共弦必過定點，并求出定點的坐標.

答案和解析

1.【答案】A

【解答】解：A=1(x,y)+(7一|)Wr+4，B={(x,y)|%2+p<產(chǎn)}.

根據(jù)選項分析，A,B分別表示兩個圓及其內(nèi)部，要滿足4UB,即兩圓內(nèi)切或內(nèi)含.

故圓心距|。1。21=y<\rr-r2\,

即日工廠一口1

7I111

=產(chǎn)-2?r?r+-+r+->-

?r2—2r-1>0

=r21+&或r<1-&(舍).

顯然，rNl+金，故只有A項正確.

2.【答案】C

【解答】

解：已知兩圓相交于兩點(1,3)和(6,1),且兩圓的圓心都在直線x—y+|=0上，

公共弦的斜率為：—1,經(jīng)過(1,3)點的公共弦為:y—3=-l(x—1),所以x+y—4=0,

又因為On,1)在公共弦上，所以m+l-4=0,

解得m=3；

兩點(1,3)和(3,1)的中點在連心線x-y+|=0±,

即(2,2)在連心線x—y+9=0上，所以c=0,

所以m+c=3.

故選C.

3.【答案】B

【解答】

解：；圓(x-a/+(y-b)2=b2+1始終平分圓(x+l)2+(y+I)2=4的周長，

二兩圓的公共弦必過(久+I)2+(y+I)2=4的圓心，

兩圓相減得相交弦的方程為—2(a+l)x-2(6+l)y+a2+l=0,

將圓心坐標(―1,—1)代入可得a?+2a+2b+5=0.

故選8.

4.【答案】B

【解答】

解：圓/+y2+4刀—6y+4=0,即Q+2)2+(y—3)2=9的圓心為M(-2,3),半徑

為r=3,

\CM\=J(2+2>+(—3產(chǎn)=5,

???圓C的半徑為5—3=2,

.,.圓C的標準方程為：(x—2)2+y2=4,即/+*—4*=0.

故選反

5.【答案】D【解答】

解：根據(jù)題意,圓(％+3)2+(y+4)2=16的圓心為(-3,-4),半徑萬=4,

圓/+V=4的圓心為(0,0),半徑72=2,

兩圓的圓心距d=V9+16=5,

有萬一萬=2<d<q+上=6,兩圓相交；

故選。.

6.【答案】A

【解析】解：圓心分別為(0,0),(-1,1),半徑分別為夜，V2,

圓心距為：V2,兩圓半徑之和為2V^

所以兩圓相交.

故選：A.

7.【答案】D

【解答】

解：將兩圓方程分別化為標準式得到圓G：(x-?n)2+必=生圓c2：(x+1)2+(y一

m)2=9,

則圓心Ci(m,O),C2(-l,m),半徑6=2,r2=3,

兩圓的圓心距QG=+1尸+m2=V2m2+2m+1>V2x32+2x3+1=5=

2+3,

則圓心距大于半徑之和，

故兩圓相離.

故選：D.

8.【答案】B

9.【答案】C

【解答】

解：圓CI：(X+2)2+y2=1的圓心C](—2,0),半徑q=l,

圓C2：(x-a)2+y2-4的圓心。2(。,0),半徑上=2,

圓6：(x+2)2+y2=1與圓C2：(%—a)2+y2=4相交，

,t,ri_r2<ICj,C21<q+「2,

即2-1<y/(a+2)2+02<1+2,

解得一1<a<1或-5<a<—3,

故選C.

10.【答案】B

【解答】

解：因為P是直線x—2y—6=0上的任一點，設(shè)P(6+2m,m),

圓/+丫2=1的兩條切線為pa、pB,切點分別為A、B,

所以。AJ.P4,OB1PB,

則點A、2在以。尸為直徑的圓上，圓心為即是圓M和圓C的公共弦，

圓心M的坐標是(3+犯])，且半徑的平方是產(chǎn)=(6+2?2+、,

圓M方程為：(久—3—m)2+(y—/)2=空苧空，①

又一+y2=1,②，

(2)—①得，(6+2m)x+my—1=0,

即公共弦A3所在的直線方程是：m(x+2y)+(6%-1)=0,

由仁箕:,解得…="』

所以直線恒過定點

故選8.

11.【答案】A

【解答】

解：根據(jù)題意，圓。1：(%-I)2+(y+2)2=4,其圓心為(1,—2),半徑R=2,

圓。2：-4)2+(y-2)2=產(chǎn)，其圓心為(4,2),半徑為r,

則圓心距|。1。2|=J(4-1尸+(2+24=5,

若兩圓相切，則有|。1。2|=r+2=5或|。]。2|=r-2=5,解可得r=3或r=7；

故選：A.

12.【答案】A

【解答】

解：根據(jù)直徑對的圓周角為90。,結(jié)合題意可得以為直徑的圓和圓(%-3)2+V="

有交點，

顯然兩圓相切時不滿足條件，故兩圓相交.

而以A3為直徑的圓的方程為尤2+y2=4,兩個圓的圓心距為3,

故|r-2|<3<|r+2],求得l<r<5,

故選A.

13.【答案】D

【解答】

解：圓G：/+y2+2x+4y+1=0,可化為(x+l)2+(y+2)2=4,圓心為的(—1,—2),

半徑為q=2

圓C2：x2+y2-4x-4y-l=0,可化為(x-2/+(y-2尸=9,圓心為。2(2,2),半

徑為太=3,

因為IGC2I=J(2+l)2+(—2—2)2=9=q+上，

所以兩圓外切，

所以兩圓的公切線的條數(shù)為3,

故選。.

14.【答案】A

【解析】解：圓：/+V—4x+6y=0和圓：/+一6%=0交于A、B兩點，

兩圓相減可得：直線AB的方程是：x+3y=0.

15.【答案】2V17-2

【解答】

解：由題得圓G關(guān)于x軸的對稱圓的圓心坐標4(2,-3),半徑為1,

圓C2的圓心坐標(4,5),半徑為1,

\PM\+|PN|的最小值為圓A與圓C2的圓心距減去兩個圓的半徑和，

即：J(4—2)2+(5+3)2—2=2V17-2.

故答案為：2g—2.

16.【答案】16

【解答】

解：圓G：/+y2一4%+3=o與圓(X+1)2+(y-4)2=<2恰有三條公切線，

則圓C1與圓。2外切，

則圓C1的圓心為：(2,0),半徑勺=1；圓的圓心為：(—1,4),半徑「2=迎；

則J(2+1尸+42=r1+r2=1+Va,

解之得a=16.

故答案為16.

17.【答案】3

【解答】解：由題意知兩圓的一個交點與兩圓圓心構(gòu)成直角三角形，

兩圓的圓心分別為(0,0),(4,-3),圓心距d=5,兩圓的半徑分別為4,R,

則52=R2+42,

解得R=3.

18.【答案】相交2

【解析】解：圓G：x2+y2+2x+2y-2=0,可化為(x+1/+(y+1)2=4,其圓

心坐標G(—L—1),半徑為2,

圓C2：/+V-4x—2y+1=0,可化為(光—2)2+(y—1)2=4,其圓心坐標C2(2,1)，

半徑為2,

又IGC2I=J(2+1)2+(1+1)2=V13<2+2=4,.

則兩圓的位置關(guān)系為：相交，

故它們的公切線有2條.

19.【答案】V3

【解答】

解:設(shè)以AB為直徑的圓的圓心為。2(/0)，A點在B點左側(cè)，圓。2的半徑為「(變量),

OP=t(常數(shù))，r>0,t>0,

則tanZOPAn：二=1二

VV

a+ra-r

522rt

/.tanZAPB=/一口

產(chǎn)+爐一r2.

??,Va2+4=丁+1,???a2=(r+l)2-4,

24

/.tanZAPB=

???乙4PB的大小恒為定值，t2-30,

t=V3,OP=V3.

答案為舊.

20.【答案】(1)證明：圓G：%2+y2—4%+2y=0與圓。2：%2+y2-2y—4=0化為

標準方程分別為圓C1：-2)2+(y+1)2=5與圓。2：%2+(y-I)2=5

???的(2,-1)與圓。2(0,1)，半徑都為遙

???圓心聞巨為0<7(2-0)2+(-1-I)2=2V2<2V5

???兩圓相交；

(2)解：將兩圓的方程作差即可得出兩圓的公共弦所在的直線方程，即

(%2+y2—4%+2y)—(%2+y2—2y-4)=0

即X—y—1=0

(3)解：由(2)得y=x—1代入圓G：/+丫2_4%+2y=0,化簡可得2/—4%—1=0

2±V6

???x=---------

2

也2+V6rj-4-A/6SM2—V6ri_LV6

3%=---nj，y=—;芻％=----町，y=-----

2z2272

設(shè)所求圓的圓心坐標為(a,b),則

2+V6V62—V6V6

(。---2-)+(力一了)=(。----2-)+。+了)

2a+4b=1

32+V6.,1V6.7

r2=(rE+(”F=2

???過兩圓的交點且圓心在直線2x+4y=1上的圓的方程為(％-|)2+(y+|)2=|

21.【答案】解：(1)圓Af：(x—a)2+y2=5的圓

心坐標為(a,0),半徑為近，

???圓M與直線久+2y—5=0相切，.??詈=逐,

即a=0或a=10.

又圓M與兩條坐標軸都相交，???a=0.

則圓M的方程為：x2+y2=5；

證明：(2)設(shè)4(5,血)，則A,B,O,C四點共圓,

A。的中點為G，1)，\AO\=^25+m2,

則以AO為直徑的圓的方程為0-j)2+(y-y)2=;(25+m2),

整理得：x2+y2—5x—my=0.

又圓M：x2+y2=5,

兩圓聯(lián)立可得公共弦5。所在直線方程為5%+my-5=0.

???直線3C恒過定點(1,0).

22.【答案】(1)最大值為0,最小值為-弟

(2)最大值為-1,最小值為-21；

(3)最大值為9+4通，最小值為9-4V5

【解析】(1)(方法1)令￡=匕則/or-y-4左=0.

x,y滿足％2+y2+2%一4y+1=0,.,?圓心(-1,2)到直線k%-y-4fc=0的距離不大

于圓的半徑2,即霄<2,解得—

Vfc2+121

???士的最大值為0,最小值為-9

X—4Z1

(方法2)令￡=匕則y=k(x—4)代入圓的方程，整理得(1+卜2)/+(2—4k-

8fc2)x+16/c2+16/c+l=0,

???上述方程有實數(shù)根，.??4=(2-4k-8k2)2_4(1+1),(16k2+16k+1)20,化簡

整理得2M2+20k<0,解得—gwkwo,.?.土的最大值為0,最小值為—等

(2)(方法1)設(shè)3%-4y=匕則3%-4y-k=0,圓心(一1,2)到該直線的距離不大于圓的

半徑，即止潦四<2,解得—21<k<-l,,-.3%-4y的最大值為一1,最小值為-21.

(方法2)設(shè)k=3x-4y,即y=|x-三代入圓的方程，整理得25/—(16+6k)x+k2+

16k+16=0,???上述方程有實數(shù)根,二