《近世代數(shù)》第二章 群論目錄 2.5變換群

§５．變換群5.1引言5.2變換群5.3Cayley定理5.1引言集合到自己的映射稱為變換．變換是一個(gè)特殊的映射,所以關(guān)于映射的知識全部適用于變換,比如單、滿變換、一一變換,變換的乘法(合成)關(guān)于記號:設(shè)是上變換,仍然使用：對于本書規(guī)定的變換的一種特殊的符號:：不采用.兩種記號有什么區(qū)別?有n個(gè)元素,上的變換有多少個(gè)?一一變換有多少個(gè)?記,對照群的定義,回答它構(gòu)成群嗎?如果不,附加什么條件?5.2變換群定理1上全體一一變換關(guān)于映射的乘法構(gòu)成群.舉一個(gè)例子說明一些問題例１＝｛１，２｝．：，：，：，：，是的所有的變換．其中，是一一變換．(1){，}構(gòu)成群(2){}構(gòu)成群嗎?定義一個(gè)集合的若干個(gè)一一變換對于乘法作成的一個(gè)群叫做的一個(gè)變換群．按照定義,上面的{}雖然是群,但不是的變換群.{，}和{}都是的變換群定理2假定是集合的若干個(gè)變換所作成的集合，并且包含恒等變換．若是對于上述乘法來說作成一個(gè)群，那么只包含的一一變換,因而是的變換群．證明(1)恒等變換就是單位元(2)令是的任意元，那么因?yàn)槭侨海心嬖?，使得?是可逆變換,因而是的一一變換．例2假如是一個(gè)平面的所有的點(diǎn)作成的集合，那么平面的一個(gè)繞一個(gè)定點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)可以看成的一個(gè)一一變換．我們叫包含所有繞一個(gè)定點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，那么作成一個(gè)變換群．因?yàn)榧偃缥覀冇脕肀硎巨D(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)，就有Ⅰ．，是閉的；Ⅱ．結(jié)合律當(dāng)然成立；Ⅳ．；Ⅴ．．但顯然不包括的全部一一變換．注:變換群一般是非交換群．變換群在數(shù)學(xué)上，尤其在幾何上的實(shí)際應(yīng)用極廣．但就是在群的理論上這種群也有它的重要性.5.3Cayley定理定理３任何一個(gè)群都同一個(gè)變換群同構(gòu)．證明假定是一個(gè)群，的元是，，，…．我們在里任意取出一個(gè)元來，利用構(gòu)造集合的一個(gè)變換如下:：,

我們把所有這樣得來的的變換放在一起，作成一個(gè)集合，，，…．我們將證明為此,構(gòu)造如下:(1)是滿射．…………(2)是單射.………(3)是同態(tài)………所以進(jìn)一步,是一個(gè)群．注意到是的恒等變換，定理2，是的一個(gè)變換群．證完．

這個(gè)定理告訴我們，任意一個(gè)抽象群都能夠在變換群里找到一個(gè)具體的實(shí)例．換一句話說，我們不必害怕，以后會