【青松雪】【高中數(shù)學(xué)】【沖刺985拔高系列講義】【專題07】解析幾何

第第頁沖刺“985”優(yōu)等生拔高講義——專治學(xué)霸各種不服【專題07】解析幾何專題目錄【問題一】與圓有關(guān)的最值問題【問題二】求解離心率的范圍問題【問題三】橢圓、雙曲線、拋物線與圓相結(jié)合問題【問題四】圓錐曲線的最值、范圍問題【問題五】圓錐曲線的定值、定點(diǎn)問題【問題大】圓錐曲線的存在、探索問題通過對(duì)近幾年高考試題分析比較發(fā)現(xiàn)，高考對(duì)直線與圓的考查，呈現(xiàn)逐年加重的趨勢(shì)，與圓有關(guān)的最值問題更是高考的熱點(diǎn)問題．由于圓既能與平面幾何相聯(lián)系，又能與圓錐曲線相結(jié)合，命題方式比較靈活，故與圓相關(guān)的最值問題備受命題者青睞．本文就此問題從內(nèi)容和處理方法上進(jìn)行歸納，以幫助同學(xué)們攻克這個(gè)難點(diǎn)．利用公式（）將直線的斜率與傾斜角緊密聯(lián)系到一起，通過正切函數(shù)的圖像可以解決已知斜率的范圍探求傾斜角的最值，或者已知傾斜角的范圍探求斜率的最值．處理方法：利用正切函數(shù)在上的函數(shù)圖象，借助函數(shù)的單調(diào)性求解．如圖所示，在和這兩個(gè)區(qū)間斜率都是隨著傾斜角的增大而增大，但是在整個(gè)區(qū)間不是單調(diào)的，做題時(shí)要特別注意這個(gè)特點(diǎn)．【例1】坐標(biāo)平面內(nèi)有相異兩點(diǎn)、，經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的傾斜角的取值范圍是（）A．B．C．D．【練習(xí)1】經(jīng)過作直線，若直線與連接、的線段總有公共點(diǎn)，則直線的斜率和傾斜角的取值范圍分別為________________，________________．在運(yùn)動(dòng)變化中，動(dòng)點(diǎn)到直線、圓的距離會(huì)發(fā)生變化，在變化過程中，就會(huì)出現(xiàn)一些最值問題，如距離最小，最大等．這些問題常常聯(lián)系到平面幾何知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合思想可直接得到相關(guān)結(jié)論，解題時(shí)便可利用這些結(jié)論直接確定最值問題．常見的結(jié)論有：①圓外一點(diǎn)到圓上距離最近為，最遠(yuǎn)為；②過圓內(nèi)一點(diǎn)的弦最長(zhǎng)為圓的直徑，最短為該點(diǎn)為中點(diǎn)的弦；③直線與圓相離，則圓上點(diǎn)到直線的最短距離為圓心到直線的距離，最近為；④過兩定點(diǎn)的所有圓中，面積最小的是以這兩個(gè)定點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓的面積；⑤直線外一點(diǎn)與直線上的點(diǎn)的距離中，最短的是點(diǎn)到直線的距離；⑥兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)分別在兩條平行線上運(yùn)動(dòng)，這兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)間的最短距離為兩條平行線間的距離．【例2】過點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn)，為圓心，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程是________________．【例3】若關(guān)于直線對(duì)稱，則由點(diǎn)向圓所作的切線長(zhǎng)的最小值是（）A．2B．3C．4D．6【練習(xí)2】在平面直角坐標(biāo)系中，圓，圓．若圓上存在一點(diǎn)，使得過點(diǎn)可作一條射線與圓依次交于點(diǎn)、，滿足，則半徑的取值范圍是（）A．B．C．D．與圓的面積的最值問題，一般轉(zhuǎn)化為尋求圓的半徑相關(guān)的函數(shù)關(guān)系或者幾何圖形的關(guān)系，借助函數(shù)求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有時(shí)可以通過轉(zhuǎn)化思想，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．【例4】在平面直角坐標(biāo)系中，、分別是軸和軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以為直徑的圓與直線相切，則圓面積的最小值為（）A．B．C．D．【例5】動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)，并且與直線相切，若動(dòng)圓與直線總有公共點(diǎn)，則圓的面積（）A．有最大值B．有最小值C．有最小值D．有最小值【練習(xí)3】設(shè)、，若直線與軸相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，且與圓相交所得弦的長(zhǎng)為2，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面積的最小值為（）A．3B．4C．2D．處理與圓有關(guān)的最值問題，應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解．【例6】已知實(shí)數(shù)、滿足方程，求：（1）的最大值和最小值；（2）的最大值和最小值；（3）的最大值和最小值．【練習(xí)4】設(shè)點(diǎn)，若在圓上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍是________________．根據(jù)題目條件列出關(guān)于所求目標(biāo)函數(shù)的關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系的特點(diǎn)選用參數(shù)法、配方法、判別式法等進(jìn)行求解．【例7】設(shè)、分別為和橢圓上的點(diǎn)，則、兩點(diǎn)間的最大距離是（）A．B．C．D．如果所求的表達(dá)式是滿足基本不等式的結(jié)構(gòu)特征，如或者的表達(dá)式求最值，常常利用題設(shè)條件建立兩個(gè)變量的等量關(guān)系，進(jìn)而求解最值．同時(shí)需要注意，“一正二定三相等”的驗(yàn)證．【例8】設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線和過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是________________．1、已知點(diǎn)（），點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（）A．B．2C．3D．2、已知是直線（）上一動(dòng)點(diǎn)，、是圓的兩條切線，、是切點(diǎn)，若四邊形的最小面積是2，則的值為（）A．3B．C．D．23、直線（、）與圓相交于、兩點(diǎn)，且是直角三角形（是坐標(biāo)原點(diǎn)），則點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的最大值是（）A．B．4C．D．QUOTE24、已知圓，若等邊的一邊為圓的一條弦，則的最大值為（）A．B．C．D．5、已知，，若直線與圓相切，則的取值范圍是________________．6、在平面直角坐標(biāo)系中，若動(dòng)點(diǎn)到兩直線和的距離之和為，則的最大值是________________．7、已知、為圓的兩條相互垂直的弦，垂足為，則四邊形面積的最大值為________________．8、在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心，且與直線（）相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________．9、過點(diǎn)的直線與圓相交于、兩點(diǎn)，則的最小值為________________．10、在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________________．11、設(shè)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則切線長(zhǎng)的最小值是________________．12、已知圓關(guān)于直線成軸對(duì)稱，則的取值范圍是________________．13、已知圓（），點(diǎn)是該圓面（包括⊙圓周及內(nèi)部）上一點(diǎn)，則的最小值等于________________．14、設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)（），則的最小值是________________．15、在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)在圓內(nèi)，動(dòng)直線過點(diǎn)且交圓于、兩點(diǎn)，若的面積的最大值為16，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________________．16、在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為．若直線上存在一點(diǎn)，使過所作的圓的兩條切線相互垂直，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________________．17、已知的三個(gè)頂點(diǎn)、、，其外接圓為⊙．（1）若直線過點(diǎn)，且被⊙截得的弦長(zhǎng)為2，求直線的方程；（2）對(duì)于線段上的任意一點(diǎn)，若在以為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn)、，使得點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求⊙的半徑的取值范圍．離心率的范圍問題是高考的熱點(diǎn)問題，各種題型均有涉及，因聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)較多，且處理的思路和方法比較靈活，關(guān)鍵在于如何找到不等關(guān)系式，從而得到關(guān)于離心率的不等式，進(jìn)而求其范圍．很多同學(xué)掌握起來比較困難，本文就解決本類問題常用的處理方法和技巧加以歸納．離心率是刻畫圓錐曲線幾何特點(diǎn)的一個(gè)重要尺度．常用的方法：①直接求出、，求解：已知標(biāo)準(zhǔn)方程或、易求時(shí)，可利用離心率公式來求解；②變用公式，整體求出：以橢圓為例，如利用，；③構(gòu)造、的齊次式，解出：根據(jù)題設(shè)條件，借助、、之間的關(guān)系，構(gòu)造出、的齊次式，進(jìn)而得到關(guān)于的方程，通過解方程得出離心率的值．根據(jù)平面圖形的關(guān)系，如三角形兩邊之和大于第三邊、折線段大于或等于直線段對(duì)稱的性質(zhì)中的最值等得到不等關(guān)系，然后將這些量結(jié)合曲線的幾何性質(zhì)用、、進(jìn)行表示，進(jìn)而得到不等式，從而確定離心率的范圍．【例1】已知橢圓的中心在，右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為，若在上存在點(diǎn)，使線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．【練習(xí)1】已知橢圓（）與圓，若在橢圓上存在點(diǎn)，使得由點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．根據(jù)試題本身給出的不等條件，如已知某些量的范圍，存在點(diǎn)或直線使方程成立，的范圍等，進(jìn)一步得到離心率的不等關(guān)系式，從而求解．【例2】已知橢圓（）上一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，為其右焦點(diǎn)，若，設(shè)，且，則橢圓離心率的取值范圍是________________．【練習(xí)2】過橢圓（）的左頂點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于另一個(gè)點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上的射影恰好為右焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率的取值范圍是________________．根據(jù)題設(shè)條件，如曲線的定義、等量關(guān)系等條件建立離心率和其他一個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式，通過確定函數(shù)的定義域后，利用函數(shù)求值域的方法求解離心率的范圍．【例3】已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A．B．C．D．【練習(xí)3】已知兩定點(diǎn)和，動(dòng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)，橢圓以、為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)，則橢圓的離心率的最大值為（）A．B．C．D．在求離心率的范圍時(shí)有時(shí)常用橢圓或雙曲線自身的性質(zhì)，如橢圓（，）中，，是橢圓上任意一點(diǎn)，則等．【例4】設(shè)、為橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，且，若橢圓上存在點(diǎn)使得，則橢圓的離心率的最小值為（）A．B．C．D．【練習(xí)4】已知、分別為雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，若的最小值為，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．1、將離心率為的雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)（）同時(shí)增加（）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到離心率為的雙曲線，則（）A．對(duì)任意的、，B．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，C．對(duì)任意的、，D．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，2、已知橢圓（）上有一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且滿足，設(shè)，且，則該橢圓的離心率的取值范圍為（）A．B．C．D．3、已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓和雙曲線有公共焦點(diǎn)，且左、右焦點(diǎn)分別為、，這兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為，是以為底邊的等腰三角形．若，橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則的取值范圍是（）A．B．C．D．4、已知、是雙曲線（，）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，以線段為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，與雙曲線交于點(diǎn)（點(diǎn)、均在第一象限），當(dāng)直線與直線平行時(shí)，雙曲線離心率取值為，則所在區(qū)間為（）A．B．C．D．5、如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，、、、為橢圓頂點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，若為鈍角，則該橢圓離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．6、若雙曲線（，）上不存在點(diǎn)使得右焦點(diǎn)關(guān)于直線（為雙曲線的中心）的對(duì)稱點(diǎn)在軸上，則該雙曲線離心率的取值范圍為（）A．B．C．D．7、橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上任一點(diǎn)，且的最大值的取值范圍是，其中，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．8、已知點(diǎn)、分別是雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，若是銳角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．9、從一塊短軸長(zhǎng)為的橢圓形玻璃鏡中劃出一塊面積最大的矩形，其面積的取值范圍是，則這一橢圓離心率的取值范圍是________________．10、已知、是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使，則橢圓的離心率的取值范圍是________________．11、已知是橢圓（）和雙曲線（，）的一個(gè)交點(diǎn)，、是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，、分別為橢圓和雙曲線的離心率，，則的最大值為________________．12、在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)及直線，曲線是滿足下列兩個(gè)條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡：①，其中是到直線的距離；②．（1）求曲線的方程；（2）若存在直線與曲線、橢圓（）均相切于同一點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍．13、橢圓（）的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，是橢圓上一點(diǎn)，且滿足．（1）求橢圓的離心率的取值范圍；（2）當(dāng)離心率取得最小值時(shí)，點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為，求此時(shí)橢圓的方程．14、橢圓（）與直線交于、兩點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求的值；（2）若橢圓的離心率滿足，求橢圓長(zhǎng)軸的取值范圍．通過近幾年各地高考試題可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)圓的考查在逐漸加深，并與圓錐曲線相結(jié)合在一起命題，成為一個(gè)新的動(dòng)向．與圓相關(guān)幾何性質(zhì)、最值問題、軌跡問題等都能與橢圓、雙曲線和拋物線相結(jié)合，可以呈現(xiàn)別具一格的新穎試題．為了深入明確命題動(dòng)向，本文總結(jié)如下．【例1】設(shè)、分別為和橢圓上的點(diǎn)，則、兩點(diǎn)間的最大距離是（）A．B．C．D．【練習(xí)1】已知橢圓（）的左焦點(diǎn)為，離心率為，點(diǎn)在橢圓上且位于第一象限，直線被圓截得的線段的長(zhǎng)為，．（1）求直線的斜率；（2）求橢圓的方程；（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，若直線的斜率大于，求直線（為原點(diǎn)）的斜率的取值范圍．【例2】已知橢圓．（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)為原點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在直線上，且，試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【練習(xí)2】已知橢圓（）過點(diǎn)，且離心率．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線（）交橢圓于、兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)與以線段為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．由于雙曲線具有漸近線，故漸近線與圓的位置關(guān)系便成為命題的?？键c(diǎn)．圓本身所具有的幾何性質(zhì)在探索等量關(guān)系也經(jīng)?？疾椋M(jìn)而求解雙曲線的幾何性質(zhì)，如離心率的求解．【例3】已知點(diǎn)（）是雙曲線的左焦點(diǎn)，離心率為，過且平行于雙曲線漸近線的直線與圓交于點(diǎn)，且點(diǎn)在拋物線上，則（）A．B．C．D．【練習(xí)3】雙曲線（，）的右焦點(diǎn)為，以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與雙曲線在第二象限的交點(diǎn)為，若此圓在點(diǎn)處的切線的斜率為，則雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．【例4】已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，為雙曲線的中心，是雙曲線右支上的點(diǎn)，的內(nèi)切圓的圓心為，且圓與軸相切于點(diǎn)，過作直線的垂線，垂足為，若為雙曲線的離心率，則（）A．B．C．D．與關(guān)系不確定【練習(xí)4】已知點(diǎn)、為雙曲線（）的左、右焦點(diǎn)，過作垂直于軸的直線，在軸上方交雙曲線于點(diǎn)，且，圓的方程是．（1）求雙曲線的方程；（2）過雙曲線上任意一點(diǎn)作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為、，求的值；（3）過圓上任意一點(diǎn)作圓的切線交雙曲線于、兩點(diǎn)，中點(diǎn)為，求證：．【例5】一個(gè)酒杯的軸截面是開口向上的拋物線的一段弧，它的口寬是的，杯深20，在杯內(nèi)放一玻璃球，當(dāng)玻璃球的半徑最大取________________時(shí)，才能使玻璃球觸及杯底．【練習(xí)5】已知圓的圓心為拋物線的焦點(diǎn)，直線與圓相切，則該圓的方程為（）A．B．C．D．【例6】已知拋物線（）的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為、，．（1）求拋物線的方程；（2）過拋物線上的點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，若、、（為原點(diǎn)）三點(diǎn)共線，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【練習(xí)6】已知拋物線（）的焦點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，且．（1）求的方程；（2）過的直線與相交于、兩點(diǎn)，若的垂直平分線與相較于、兩點(diǎn)，且、、、四點(diǎn)在同一圓上，求的方程．1、以橢圓（）的左右焦點(diǎn)、為直徑的圓若和橢圓有交點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．2、設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，、分別是兩圓：和上的點(diǎn)，則的最小值和最大值的分別為（）A．9和12B．8和11C．8和12D．10和123、已知為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是（）A．B．C．D．4、如圖，已知橢圓，雙曲線（，），若以的長(zhǎng)軸為直徑的圓與的一條漸近線交于、兩點(diǎn)，且與該漸近線的兩交點(diǎn)將線段三等分，則的離心率為（）A．B．5C．D．5、已知拋物線，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，記拋物線上任意一點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為（）A．5B．4C．3D．26、過雙曲線（，）的左焦點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，雙曲線左頂點(diǎn)為，若，則該雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．7、已知橢圓（）過點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4．（1）求橢圓的方程；（2）、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，⊙是以、為直徑的圓，直線與⊙相切，并與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，若，求的值．8、已知拋物線，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)（在第一象限）．（1）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；（2）過點(diǎn)作拋物線的切線與圓交于不同的兩點(diǎn)、，設(shè)到的距離為，求的取值范圍．9、已知橢圓（）的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且，判斷的面積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由．10、如圖，已知橢圓（）的離心率為，以橢圓的左頂點(diǎn)為圓心作圓（），設(shè)圓與橢圓交于點(diǎn)、．（1）求橢圓的方程；（2）求的最小值，并求此時(shí)圓的方程；（3）設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于、的任意一點(diǎn)，且直線、分別與軸交于點(diǎn)、，為坐標(biāo)原點(diǎn)．試問：是否存在使最大的點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．11、圓的切線與軸正半軸，軸正半軸圍成一個(gè)三角形，當(dāng)該三角形面積最小時(shí)，切點(diǎn)為（如圖），雙曲線過點(diǎn)且離心率為．（1）求的方程；（2）橢圓過點(diǎn)且與有相同的焦點(diǎn)，直線過的右焦點(diǎn)且與交于、兩點(diǎn)，若以線段為直徑的圓心過點(diǎn)，求的方程．12、如圖所示，已知、、是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，過橢圓中心，且，．（1）求橢圓的方程；（2）在橢圓上是否存點(diǎn)，使得？若存在，有幾個(gè)（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)）；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）過橢圓上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，作圓的兩條線，切點(diǎn)分別為、，若直線在軸、軸上的截距分別為、，證明：為定值．13、平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓（）的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別是、．以為圓心以3為半徑的圓與以為圓心以1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓，為橢圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn)．①求的值；②求面積的最大值．與圓錐曲線有關(guān)的范圍、最值問題，各種題型都有，既有對(duì)圓錐曲線的性質(zhì)、曲線與方程關(guān)系的研究，又對(duì)最值范圍問題有所青睞，它能綜合應(yīng)用函數(shù)、三角、不等式等有關(guān)知識(shí)，緊緊抓住圓錐曲線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，充分展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用，本文從下面幾個(gè)方面闡述該類題型的求解方法，以引起讀者注意．借助圓錐曲線定義將最值問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為易求、易解、易推理證明的問題來處理．【例1】已知、是橢圓內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值．【練習(xí)1】已知為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是（）A．B．C．D．建立目標(biāo)函數(shù)求解圓錐曲線的范圍、最值問題，是常規(guī)方法，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)淖兞繛樽宰兞浚纠?】已知橢圓（）的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，直線與以橢圓的右焦點(diǎn)為圓心，以橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．（1）求橢圓的方程．（2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)和，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的取值范圍．【練習(xí)2】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若斜率為（）的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且、、成等差數(shù)列，點(diǎn)，求的最大值．利用點(diǎn)在二次曲線上，將二元函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問題來處理．【例3】若點(diǎn)、分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上的任一點(diǎn)，則的最大值為________________．【練習(xí)3】拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又已知點(diǎn)，則的取值范圍是________________．該類問題往往有三種類型：①建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系和不等式關(guān)系，通過整體消元得到參數(shù)的取值范圍；②建立兩個(gè)參數(shù)的等量關(guān)系，通過分離參數(shù)，借助一邊變量的范圍，確定另一個(gè)參數(shù)的取值范圍；③建立兩個(gè)參數(shù)的等量關(guān)系，通過選取一個(gè)參數(shù)為自變量，令一個(gè)變量為參數(shù)（主元思想），從而確定參數(shù)的取值范圍．【例4】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓（）的離心率，且橢圓上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離最大值為4，過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)、．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【練習(xí)4】已知圓（），若橢圓（）的右頂點(diǎn)為圓的圓心，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）若存在直線，使得直線與橢圓分別交于、兩點(diǎn)，與圓分別交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，求圓的半徑的取值范圍．1、已知拋物線，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，記拋物線上任意一點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為（）A．5B．4C．3D．22、已知、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，的最大值和最小值分別為（）A．9和7B．8和7C．9和8D．17和83、拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)、在拋物線上，且，弦中點(diǎn)在其準(zhǔn)線上的射影為，則的最大值為（）A．B．C．D．4、設(shè)點(diǎn)、是橢圓上兩點(diǎn)，若過點(diǎn)、且斜率分別為、的兩直線交于點(diǎn)，且直線與直線的斜率之積為，，則的最小值為________________．5、已知為橢圓上的一個(gè)點(diǎn)，、分別為圓和圓上的點(diǎn)，則的最小值為________________．6、已知直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，、是拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，，則的面積的最大值為________________．7、已知兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)、和一個(gè)定點(diǎn)均在拋物線（）上（、與不重合）．設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，為其對(duì)稱軸上一點(diǎn)，若，且、、成等差數(shù)列．（1）求的坐標(biāo)（可用、和表示）；（2）若，，、兩點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為、，求四邊形面積的取值范圍．8、已知橢圓（）的一個(gè)焦點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)分別為、，經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）記與的面積分別為和，求的最大值．9、如圖，點(diǎn)在橢圓（）上，且點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4．（1）求橢圓方程；（2）設(shè)與（為坐標(biāo)原點(diǎn)）垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)（、不重合），求的取值范圍．10、已知橢圓（）經(jīng)過點(diǎn)，其離心率為，設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與圓相切，求證：（為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（3）以線段、為鄰邊作平行四邊形，若點(diǎn)在橢圓上，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的取值范圍．11、設(shè)橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，短軸長(zhǎng)為4，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)動(dòng)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且，求的面積的取值范圍．（3）過的直線與過的直線的交點(diǎn)在橢圓上，直線與橢圓的兩準(zhǔn)線分別交于、兩點(diǎn)，求的值．12、平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)、連線的斜率之積等于，若點(diǎn)的軌跡為曲線，過點(diǎn)作斜率不為零的直線交曲線于點(diǎn)、．（1）求曲線的方程；（2）求證：；（3）求面積的最大值．13、已知拋物線，過點(diǎn)作直線，交拋曲線于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求證：為定值；（2）求面積的最小值．14、設(shè)橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為，在軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)，滿足，且．（1）求橢圓的離心率；（2）若過、、三點(diǎn)的圓與直線相切，求橢圓的方程；（3）在（2）的條件下，過右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，線段的中垂線與軸相交于，求實(shí)數(shù)的取值范圍．15、如圖，設(shè)橢圓（）的左右焦點(diǎn)為、，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱，且．（1）求橢圓的離心率；（2）已知是過、、三點(diǎn)的圓上的點(diǎn)，若的面積為，求點(diǎn)到直線距離的最大值．圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容和熱點(diǎn)，知識(shí)綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生邏輯思維能力計(jì)算能力等要求很高，這些問題重點(diǎn)考查學(xué)生方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用．定值問題與定點(diǎn)問題是這類題目的典型代表，為了提高同學(xué)們解題效率，特別是高考備考效率，本文列舉了一些典型的定點(diǎn)和定值問題，以起到拋磚引玉的作用．求解直線和曲線過定點(diǎn)問題的基本思路是：把直線或曲線方程中的變量、當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就要對(duì)任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于、的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定點(diǎn)，或者可以通過特例探求，再用一般化方法證明．【例1】已知、是橢圓上的兩點(diǎn)，且，其中為橢圓的右焦點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出定值和定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【練習(xí)1】在直角坐標(biāo)系中，曲線與直線（）交于、兩點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，分別求在點(diǎn)和處的切線方程；（2）在軸上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有？說明理由．解析幾何中的定值問題是指某些幾何量（線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等）的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等和題目中的參數(shù)無關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個(gè)確定的值，求定值問題常見的方法有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．【例2】橢圓（）的離心率為，為的長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)斜率為的直線交于、兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，．（1）求的方程；（2）證明：為定值．【練習(xí)2】已知橢圓（），直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)、，線段的中點(diǎn)為．（1）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（2）若過點(diǎn)，延長(zhǎng)線段與交于點(diǎn)，四邊形能否平行四邊行？若能，求此時(shí)的斜率；若不能，說明理由．1、如圖，過橢圓（）內(nèi)一點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，當(dāng)平行于軸和垂直于軸時(shí)，被橢圓所截得的線段長(zhǎng)均為．（1）求橢圓的方程；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得對(duì)任意過點(diǎn)的動(dòng)直線都滿足？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)？若不存在，請(qǐng)說明理由．2、已知直線被圓截得的弦長(zhǎng)恰與橢圓（）的短軸長(zhǎng)相等，橢圓的離心率．（1）求橢圓的方程；（2）已知過點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得無論如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以為直徑的圓恒過定點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．3、已知橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，是等腰直角三角形．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；（3）過點(diǎn)分別作直線、交橢圓于、兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為、，且，探究：直線是否過定點(diǎn)？并說明理由．4、已知橢圓（）的離心率為，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的和等于6．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，設(shè)橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為、，是橢圓上異于、的任意一點(diǎn)，直線、分別交軸于點(diǎn)、，若直線與過點(diǎn)、的圓相切，切點(diǎn)為，證明：線段的長(zhǎng)為定值．5、如圖，橢圓（）的離心率是，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)．當(dāng)直線平行于軸時(shí)，直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為．（1）求橢圓的方程；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．6、已知橢圓（）的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）四邊形的頂點(diǎn)在橢圓上，且對(duì)角線、過原點(diǎn)，若．①求的最值；②求證：四邊形的面積為定值．7、已知橢圓（），過焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1，且焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形．（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，，．判斷是否為定值？若是，計(jì)算出該定值；不是，說明理由．8、已知直線過橢圓（）的右焦點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，且直線交橢圓于、兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）若直線交軸于點(diǎn)，且，，當(dāng)變化時(shí)，的值是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，說明由．9、已知橢圓（）的離心率為，直線與以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，、、是橢圓的頂點(diǎn)，是橢圓上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，設(shè)的斜率為，的斜率為，求證：為定值．10、已知橢圓（）過點(diǎn)，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)且斜率為（）的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，直線、分別交直線于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，記直線的斜率為，求證：為定值．圓錐曲線中的存在性問題、探索問題是高考?？碱}型之一，它是在題設(shè)條件下探索某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象（點(diǎn)、線、數(shù)等）是否存在或某個(gè)結(jié)論是否成立．由于題目多變，解法不一，我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中對(duì)這類題目訓(xùn)練較少，因而學(xué)生遇到這類題目時(shí)，往往感到無從下手，本文針對(duì)圓錐曲線中這類問題進(jìn)行了探討．【例1】已知橢圓（）的離心率，過點(diǎn)和的直線與坐標(biāo)原點(diǎn)距離為．（1）求橢圓的方程；（2）已知定點(diǎn)，若直線（）與橢圓相交于、兩點(diǎn)，試判斷是否存在值，使以為直徑的圓過定點(diǎn)？若存在求出這個(gè)值，若不存在說明理由．【練習(xí)1】如圖所示，橢圓（）的離心率是，點(diǎn)在短軸上，且．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【例2】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓（）的離心率且橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為3．（1）求橢圓的方程；（2）在橢圓上，是否存在點(diǎn)，使得直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)、，且的面積最大？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．【練習(xí)2】已知橢圓（）的離心率為，點(diǎn)和點(diǎn)（）都在橢圓上，直線交軸于點(diǎn)．（1）求橢圓的方程，并求點(diǎn)的坐標(biāo)（用、表示）；（2）設(shè)為原點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，直線交軸于點(diǎn)．問：在軸上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【例3】設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．（1）若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值．（2）是否存在經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，使得？若存在，求直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．【練習(xí)3】已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)在軸上，若右焦點(diǎn)到直線的距離為3．（1）求橢圓的方程；（2）是否存在斜率為（），且過定點(diǎn)的直線，使與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、，且？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．【例4】已知橢圓（）過點(diǎn)，其焦距為2．（1）求橢圓的方程；（2）已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為（），則橢圓在其上一點(diǎn)處的切線方程為，試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問題：①如圖（1），點(diǎn)為在第一象限中的任意一點(diǎn)，過作的切線，分別與軸和軸的正半軸交于、兩點(diǎn)，求面積的最小值；②如圖（2），過橢圓上任意一點(diǎn)作的兩條