2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何測(cè)評(píng)課后提升訓(xùn)練含解析新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

第一章測(cè)評(píng)(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中,向量AB'、AD'A.有相同起點(diǎn)的向量 B.等長(zhǎng)的向量C.共面對(duì)量 D.不共面對(duì)量解析向量AB'、AD'、由該平行六面體不是正方體可知,這三個(gè)向量不是等長(zhǎng)的向量,B不正確.又∵AD'∴AB',AD',答案C2.已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),則下列結(jié)論正確的是()A.a∥c,b∥c B.a∥b,a⊥c C.a∥c,a⊥b D.以上都不對(duì)解析∵a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),∴a·b=-4+0+4=0,∴a⊥b.∵-4-2=-6答案C3.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,BA+BC+DDA.D1B1C.DB1 D解析如圖所示,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,BA+BC+DD1=答案D4.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M為A1C1的中點(diǎn),若AB=a,AA1=c,BC=b,則BM可表示為(A.-12a+12bB.12a+12bC.-12a-12bD.12a-12b解析∵BM=BB1+B1M=c+12(BA+BC)=c+12(答案A5.在四棱錐P-ABCD中,AB=(4,-2,3),AD=(-4,1,0),AP=(-6,2,-8),則這個(gè)四棱錐的高h(yuǎn)等于()A.1 B.2 C.13 D.26解析設(shè)平面ABCD的法向量為n=(x,y,z),則n不妨令x=3,則y=12,z=4,可得n=(3,12,4),四棱錐的高h(yuǎn)=|AP·n答案B6.已知兩不重合的平面α與平面ABC,若平面α的法向量為n1=(2,-3,1),AB=(1,0,-2),AC=(1,1,1),則()A.平面α∥平面ABCB.平面α⊥平面ABCC.平面α、平面ABC相交但不垂直D.以上均有可能解析由題意,n1·AB=2×1+(-3)×0+1×(-2)=0,得n1⊥AB,n1·AC=2×1+(-3)×1+1×1=0,得n1⊥AC,所以n1⊥平面ABC,所以平面α的法向量與平面ABC的法向量共線,則平面α∥平面ABC.答案A7.直線AB與直二面角α-l-β的兩個(gè)面分別交于A,B兩點(diǎn),且A,B都不在棱l上,設(shè)直線AB與α,β所成的角分別為θ和φ,則θ+φ的取值范圍是()A.0°<θ+φ<90°B.0°<θ+φ≤90°C.90°<θ+φ<180°D.θ+φ=90°解析如圖,分別過(guò)點(diǎn)A,B向平面β,α作垂線,垂足為A1,B1,連接BA1,AB1.由已知α⊥β,所以AA1⊥β,BB1⊥α,因此∠BAB1=θ,∠ABA1=φ.由最小角定理得∠BAA1≥θ,而∠BAA1+φ=90°,故θ+φ=θ+90°-∠BAA1≤90°,當(dāng)AB⊥l時(shí),θ+φ=90°,應(yīng)選B.答案B8.長(zhǎng)方體A1A2A3A4-B1B2B3B4的底面為邊長(zhǎng)為1的正方形,高為2,則集合{x|x=A1B2·AiBj,i∈A.1 B.2 C.3 D.4解析∵長(zhǎng)方體A1A2A3A4-B1B2B3B4的底面為邊長(zhǎng)為1的正方形,高為2,∴建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,則A1(1,1,0),A2(0,1,0),A3(0,0,0),A4(1,0,0),B1(1,1,2),B2(0,1,2),B3(0,0,2),B4(1,0,2),則A1B2=與A1B1=(0,0,2)相等的向量為A2B2=A3與A1B4=(0,-1,2)相等的向量為A2B3,此時(shí)A與A4B1=(0,1,2)相等的向量為A3B2,此時(shí)A與A2B1=(1,0,2)相等的向量為A3B4,此時(shí)A與A1B2=(-1,0,2)此時(shí)A1B2·A1體對(duì)角線向量為A1B3=(-1,-1,2),此時(shí)A1B2A2B4=(1,-1,2),A1B2A3B1=(1,1,2),A1B2A4B2=(-1,1,2),A1B2綜上集合{x|x=A1B2·AiBj,i∈{1,2,3,4},j答案C二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)得3分,有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)a,b,c是空間一個(gè)基底,下列選項(xiàng)中正確的是()A.若a⊥b,b⊥c,則a⊥cB.則a,b,c兩兩共面,但a,b,c不行能共面C.對(duì)空間任一向量p,總存在有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使p=xa+yb+zcD.則a+b,b+c,c+a肯定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底解析由a,b,c是空間一個(gè)基底,知:在A中,若a⊥b,b⊥c,則a與c相交或平行,故A錯(cuò)誤;在B中,a,b,c兩兩共面,但a,b,c不行能共面,故B正確;在C中,對(duì)空間任一向量p,總存在有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使p=xa+yb+zc,故C正確;在D中,a+b,b+c,c+a肯定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底,故D正確.答案BCD10.已知向量a=(1,2,3),b=(3,0,-1),c=(-1,5,-3),下列等式中正確的是()A.(a·b)c=b·cB.(a+b)·c=a·(b+c)C.(a+b+c)2=a2+b2+c2D.|a+b+c|=|a-b-c|解析A.左邊為向量,右邊為實(shí)數(shù),明顯不相等,不正確;B.左邊=(4,2,2)·(-1,5,-3)=0,右邊=(1,2,3)·(2,5,-4)=2+10-12=0,∴左邊=右邊,因此正確.C.a+b+c=(3,7,-1),左邊=32+72+(-1)2=59,右邊=12+22+32+32+0+(-1)2+(-1)2+52+(-3)2=59,∴左邊=右邊,因此正確.D.由C可得左邊=59,∵a-b-c=(-1,-3,7),∴|a-b-c|=59,∴左邊=右邊,因此正確.故BCD正確.答案BCD11.已知ABCD-A1B1C1D1為正方體,下列說(shuō)法中正確的是()A.(A1A+A1B.A1C·(A1C.向量AD1與向量A1D.正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為|AB·解析已知ABCD-A1B1C1D1為正方體,所以(A1A+A1D1+A1B1∵A1B1-A1A=AB1,AB1⊥A∵△ACD1是等邊三角形,∴∠AD1C=60°,又A1B∥D1C,∴異面直線AD1與A1B所成的夾角為60°,但是向量AD1與向量A1B的夾角是120°,∵AB⊥AA1,∴AB·A故|AB·AA1·AD答案AB12.將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角A-BD-C,有如下四個(gè)結(jié)論:①AC⊥BD;②△ACD是等邊三角形;③AB與平面BCD所成的角為60°;④AB與CD所成的角為60°.其中正確的結(jié)論有()A.① B.② C.③ D.④解析如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,則D(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,0,1),A(0,1,0),所以AC=(0,-1,1),BD=(2,0,0),CD=(1,0,-1),AD=(1,-1,0),AB=(-1,-1,0),AC·BD故AC⊥BD,①正確.又|AC|=2,|CD|=2,|AD|=2,所以△ACD為等邊三角形,②正確.對(duì)于③,OA為平面BCD的一個(gè)法向量,cos<AB,OA=(-1,-1因?yàn)橹本€與平面所成的角∈[0°,90°],所以AB與平面BCD所成的角為45°,故③錯(cuò)誤.又cos<AB,CD=(-1,-1因?yàn)楫惷嬷本€所成的角為銳角或直角,所以AB與CD所成的角為60°,故④正確.答案ABD三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.棱長(zhǎng)為a的正四面體中,AB·BC+AC解析棱長(zhǎng)為a的正四面體中,AB=BC=a,且AB與BC的夾角為120°,AC⊥∴AB·BC+AC·BD=a·acos120答案-a14.已知空間向量a=(1,n,2),b=(-2,1,2).若2a-b與b垂直,則|a|=.

解析∵a=(1,n,2),b=(-2,1,2),∴2a-b=(4,2n-1,2).∵2a-b與b垂直,∴(2a-b)·b=0,∴-8+2n-1+4=0,解得n=52∴a=1,52,2,∴|a|=1+254答案315.設(shè)PA⊥Rt△ABC所在的平面α,∠BAC=90°,PB、PC分別與α成45°和30°角,PA=2,則PA與BC的距離是;點(diǎn)P到BC的距離是.

解析作AD⊥BC于點(diǎn)D,∵PA⊥面ABC,∴PA⊥AD.∴AD是PA與BC的公垂線.易得AB=2,AC=23,BC=4,AD=3,連接PD,則PD⊥BC,P到BC的距離PD=7.答案316.已知向量m=(a,b,0),n=(c,d,1),其中a2+b2=c2+d2=1,現(xiàn)有以下命題:①向量n與z軸正方向的夾角恒為定值(即與c,d無(wú)關(guān));②m·n的最大值為2;③<m,n>(m,n的夾角)的最大值為3π④若定義u×v=|u|·|v|sin<u,v>,則|m×n|的最大值為2.其中正確的命題有.(寫出全部正確命題的序號(hào))

解析①取z軸的正方向單位向量a=(0,0,1),則cos<n,a>=n·∴向量n與z軸正方向的夾角恒為定值π4,命題正確②m·n=ac+bd≤a2+當(dāng)且僅當(dāng)a=c,b=d時(shí)取等號(hào),因此m·n的最大值為1,命題錯(cuò)誤;③由②可得|m·n|≤1,∴-1≤m·n≤1,∴cos<m,n>=m·n|m||n∴<m,n>的最大值是3π4,④由③可知:-22≤cos<m,n>≤2∴π4≤<m,n>≤3π4,22≤sin<∴m×n=|m|×|n|×sin<m,n>≤1×2×1=2,命題正確.綜上可知,正確的命題序號(hào)是①③④.答案①③④四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.(10分)如圖所示,在四棱錐M-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,側(cè)棱AM的長(zhǎng)為3,且AM和AB,AD的夾角都是60°,N是CM的中點(diǎn),設(shè)a=AB,b=AD,c=AM,試以a,b,c為基向量表示出向量BN,并求BN的長(zhǎng).解BN=AD+=AD+12[=-12所以BN=-12a+12b+1|BN|2=BN2=-12a+12b+12=14(a2+b2+c2-2a·b-2a·c+2b·c)=17所以|BN|=172,即BN的長(zhǎng)為1718.(12分)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面邊長(zhǎng)為2.(1)設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為1,求證:AB1⊥BC1;(2)設(shè)AB1與BC1所成角為π3,求側(cè)棱的長(zhǎng)(1)證明AB因?yàn)锽B1⊥平面ABC,所以BB1·AB=0,又△ABC為正三角形,所以<AB,BC>=π-<BA,BC>=因?yàn)锳B1·BC1=(=AB=|AB|·|BC|·cos<AB,BC>+BB12=-所以AB1⊥BC1.(2)解由(1)知AB1·BC1=|AB|·|BC|·cos<又|AB1|=AB2+所以cos<AB1,所以|BB1|=2,即側(cè)棱長(zhǎng)為19.(12分)已知空間中三點(diǎn)A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),設(shè)a=AB,b=AC.(1)若|c|=3,且c∥BC,求向量c;(2)已知向量ka+b與b相互垂直,求k的值;(3)求△ABC的面積.解(1)∵空間中三點(diǎn)A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),設(shè)a=AB,b=AC,∴BC=(3,0,-4)-(1,-1,-2)=(2,1,-2),∵|c|=3,且c∥BC,∴c=mBC=m(2,1,-2)=(2m,m,-2m),∴|c|=(-2m)2∴m=±1,∴c=(2,1,-2)或c=(-2,-1,2).(2)由題得a=(-1,-1,0),b=(1,0,-2),∴ka+b=k(-1,-1,0)+(1,0,-2)=(1-k,-k,-2),∵向量ka+b與b相互垂直,∴(ka+b)·b=1-k+4=0,解得k=5.∴k的值是5.(3)AB=(-1,-1,0),AC=(1,0,-2),BC=(2,1,-2),cos<AB,AC>=AB·sin<AB,AC>=∴S△ABC=12×|AB|×|AC|×sin<AB,AC20.(12分)已知E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn).(1)用向量法證明E,F,G,H四點(diǎn)共面;(2)用向量法證明:BD∥平面EFGH;(3)設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn),求證:對(duì)空間任一點(diǎn)O,有OM=1證明(1)如圖,連接BG,BD=2EH,BC=2BF,則EG=EB由共面對(duì)量定理的推論知E、F、G、H四點(diǎn)共面.(2)因?yàn)镋H=12(AD-所以EH∥BD,又EH?平面EFGH,BD?平面EFGH,所以BD∥平面EFGH.(3)連接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG,由(2)知EH=12BD,同理FGEH∥FG,EH=FG,所以EG、FH交于一點(diǎn)M且被M平分,所以O(shè)M=12(OE+OG)=12121.(12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn),AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.解取BC的中點(diǎn)E,連接AE.由AB=AC得AE⊥BC,從而AE⊥AD,AE=AB以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AE的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.由題意知,A(0,0,0),P(0,0,4),M(0,2,0),C(5,2,0),N52,1,2,PM=(0,2,-4),PN=52,1,-2,AN=52,1,2.設(shè)n=(x,y,z)為平面PMN的法向量,則n·PM=0,n于是|cos<n,AN>|=|n·AN||n||AN|=8525∴直線AN與平面PMN所成的角的正弦值為8522.(12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q為AD的中點(diǎn),M是棱PC上的點(diǎn),PA=PD=2,BC=12AD=1,CD=3(1)求證:平面PBC⊥平面PQB;(2)當(dāng)PM的長(zhǎng)為何值時(shí),平面QMB與