新高考數(shù)學一輪復習知識總結(jié) 概率（含解析）

第十章概率知識點一：有限樣本空間與隨機事件1．隨機試驗的特點(1)試驗可以在相同條件下重復進行；(2)試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；(3)每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果．2.有限樣本空間：隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，用ω表示，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間，用Ω表示，稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，ω3，…，ωn}為有限樣本空間．3.樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，稱Ω為必然事件，稱?為不可能事件．知識點二．事件的關系與運算事件關系或運算含義符號表示包含A發(fā)生導致B發(fā)生A?B并事件(和事件)A與B至少一個發(fā)生A∪B或A＋B交事件(積事件)A與B同時發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時發(fā)生A∩B＝?互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生A∩B＝?，且A∪B＝Ω知識點三．概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1對任意事件A，都有P(A)≥0；性質(zhì)2必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1；P(?)＝0；性質(zhì)3如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；性質(zhì)4如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；性質(zhì)5如果A?B，那么P(A)≤P(B)；性質(zhì)6設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．知識點四：古典概型1.基本事件：試驗結(jié)果中不能再分的最簡單的隨機事件稱為基本事件.基本事件的特點：(1)每個基本事件的發(fā)生都是等可能的.(2)因為試驗結(jié)果是有限個，所以基本事件也只有有限個.(3)任意兩個基本事件都是互斥的，一次試驗只能出現(xiàn)一個結(jié)果，即產(chǎn)生一個基本事件.(4)基本事件是試驗中不能再分的最簡單的隨機事件，其他事件都可以用基本事件的和的形式來表示.2.古典概型的定義：(1)有限性：試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；(2)等可能性：每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等；我們把具有上述兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.3.計算古典概型的概率的基本步驟為：(1)計算所求事件A所包含的基本事件個數(shù)m；(2)計算基本事件的總數(shù)n；(3)應用公式SKIPIF1<0計算概率.4.古典概型的概率公式：P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ)，其中n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù)．要點四：隨機數(shù)的產(chǎn)生知識點五.隨機數(shù)的概念隨機數(shù)是在一定范圍內(nèi)隨機產(chǎn)生的數(shù)，并且得到這個范圍內(nèi)任何一個數(shù)的機會是均等的.它可以幫助我們模擬隨機試驗，特別是一些成本高、時間長的試驗，用隨機模擬的方法可以起到降低成本，縮短時間的作用.2.隨機數(shù)的產(chǎn)生方法：一般用試驗的方法，如把數(shù)字標在小球上，攪拌均勻，用統(tǒng)計中的抽簽法等抽樣方法，可以產(chǎn)生某個范圍內(nèi)的隨機數(shù).在計算器或計算機中可以應用隨機函數(shù)產(chǎn)生某個范圍的偽隨機數(shù)，當作隨機數(shù)來應用.3.隨機模擬法(蒙特卡羅法)：用計算機或計算器模擬試驗的方法，具體步驟如下：(1)用計算器或計算機產(chǎn)生某個范圍內(nèi)的隨機數(shù)，并賦予每個隨機數(shù)一定的意義；(2)統(tǒng)計代表某意義的隨機數(shù)的個數(shù)M和總的隨機數(shù)個數(shù)N；(3)計算頻率SKIPIF1<0作為所求概率的近似值.類型一隨機事件的概率例1．某射手在相同條件下進行射擊，結(jié)果如下：(1)問該射手射擊一次，擊中靶心的概率約是多少?(2)假設該射手射擊了300次，估計擊中靶心的次數(shù)是多少?【思路點撥】弄清頻率和概率的含義及它們之間的關系是解題的關鍵．【解析】(1)由表可知概率約為0.9；(2)估計擊中靶心的次數(shù)為300×0.9＝270(次)．【總結(jié)升華】本題中利用概率知識估計擊中靶心的次數(shù)是一種非?？茖W的決策方法．類型二互斥事件與對立事件例2.某人在如圖所示的直角邊長為4m的三角形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點)處都種了一株相同品種的作物．根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗，一株該種作物的年收獲量SKIPIF1<0(單位:kg)與它的“相近”作物株數(shù)SKIPIF1<0之間的關系如下表所示:SKIPIF1<01234SKIPIF1<051484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1m．(1)完成下表，并求所種作物的平均年收獲量:SKIPIF1<051484542頻數(shù)4(2)在所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量至少為48kg的概率．分析:根據(jù)題意找出產(chǎn)量SKIPIF1<0對應的“相近”作物株數(shù)的頻數(shù)，并利用加權(quán)平均數(shù)公式計算平均年收獲量；至少為48kg的概率是指SKIPIF1<0與SKIPIF1<0兩種概率的和，利用互斥事件的概率公式求解．解:(1)所種作物的總株數(shù)為SKIPIF1<0．其中“相近”作物株數(shù)為1的作物有2株，“相近”作物株數(shù)為2的作物有4株，．‘相近”作物株數(shù)為3的作物有6株，“相近”作物株數(shù)為4的作物有3株，列表如下:SKIPIF1<051484542頻數(shù)2463所種作物的平均年收獲量為SKIPIF1<0(2)由(1)，知SKIPIF1<0．故在所種作物中隨機選取一株，它的年收獲量至少為48kg的概率為SKIPIF1<0解后反思:求至少為48kg的概率時，可利用互斤事件的概率公式求解，也可先求出年收獲量少于48kg的概率，再利用對立事件的概率公式求解．例3黃種人群中各種血型的人所占的比例如下:血型ABABO該血型的人所占比例(%)2829835已知同種血型的人可以互相輸血，O型血可以輸給任一種血型的人，其他不同血型的人不能互相輸血．小明是B型血，若小明因病需要輸血，問:(1)任找一個人，其血可以輸給小明的概率是多少?(2)任找一個人，其血不能輸給小明的概率是多少?解:(1)記“血型為A型、B型、AB型、O型”分別為事件SKIPIF1<0．由已知，得SKIPIF1<0．因為B型、O型血可以輸給B型血的人，所以“可以輸給B型血的人”為事件SKIPIF1<0．根據(jù)互斥事件的概率加法公式，有SKIPIF1<0．故任找一個人，其血可以輸給小明的概率是SKIPIF1<0．(2)方法1:由于A型、AB型血不能輸給B型血的人，故“不能輸給B型血的人”為事件SKIPIF1<0．根據(jù)互斥事件的概率加法公式，有SKIPIF1<0．故任找一個人，其血不能輸給小明的概率是SKIPIF1<0．方法2:由(1)，知不能輸血給B型血的人的概率為SKIPIF1<0．故任找一個人，其血不能輸給小明的概率是SKIPIF1<0．解后反思:帶有“不”“不大于”“至少”等字眼的問題通常可以用對立事件的概率公式計算概率．類型三古典概型及其應用例4甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運動服的概率為______解析:甲、乙兩名運動員選擇運動服顏色有(紅，紅)，(紅，白)，(紅，藍)，(白，白)，(白，紅)，(白，藍)，(藍，藍)，(藍，白)，(藍，紅)，共9種．因為同色的有(紅，紅)，(白，白)，(藍，藍)，共3種，所以所求概率SKIPIF1<0答案:SKIPIF1<0解后反思:列舉時要按照一定的順序，做到不重不漏．例5海關對同時從SKIPIF1<0三個不同地區(qū)進口的某種商品進行抽樣檢測，從各地區(qū)進口此種商品的數(shù)量(單位:件)如表所示．工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進行檢測．地區(qū)ABC數(shù)量50150100(1)求這6件樣品中來自SKIPIF1<0各地區(qū)商品的數(shù)量；(2)若在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構(gòu)進行進一步檢測，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率．解:(1)因為樣本容量與總體中的個體數(shù)的比是SKIPIF1<0所以樣本中包含三個地區(qū)的個體數(shù)量分別是SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0三個地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別為1，3，2．(2)設6件來自SKIPIF1<0三個地區(qū)的樣品分別為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．則從這6件樣品中抽取的2件商品構(gòu)成的所有基本事件為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0共15個．每個樣品被抽到的機會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．記事件D:“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”，則事件D包含的基本事件有:SKIPIF1<0，共4個，所以SKIPIF1<0即這2件商品來自相同地區(qū)的概率為SKIPIF1<0．解后反思:在SKIPIF1<0中，關鍵是確定SKIPIF1<0的值，現(xiàn)階段主要是通過列舉法來解決，這種方法常采用兩種途徑，一是將事件的所有情況一一列舉出來；二是利用“樹狀圖”或“圖表”將所有情況一一標出．例6甲、乙、丙3個盒中分別裝有大小相等、形狀相同的卡片若干張．甲盒中裝有2張卡片，分別寫有字母SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；乙盒中裝有3張卡片，分別寫有字母SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；丙盒中裝有2張卡片，分別寫有字母SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．現(xiàn)要從3個盒中各隨機取出1張卡片，求:(1)取出的3張卡片中恰好有1張、2張、3張寫有元音字母的概率各是多少?(2)取出的3張卡片上全是輔音字母的概率．解:根據(jù)題意可以畫出如圖所示的樹狀圖．由樹狀圖可以得到，所有可能出現(xiàn)的基本事件有12個，它們出現(xiàn)的可能性相等．(1)只有1個元音字母的結(jié)果有5個，所以SKIPIF1<0；有2個元音字母的結(jié)果有4個，所以SKIPIF1<0；有3個元音字母的結(jié)果有1個，所以SKIPI