新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第5章　§5.1　平面向量的概念及線性運(yùn)算（原卷版）

§5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算考試要求1.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.2.掌握向量的加法、減法運(yùn)算，并理解其幾何意義及向量共線的含義.3.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義．知識梳理1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小稱為向量的長度(或模)．(2)零向量：長度為0的向量，記作0．(3)單位向量：長度等于1個(gè)單位長度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共線向量，規(guī)定：零向量與任意向量平行．(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法a－b＝a＋(－b)數(shù)乘|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.常用結(jié)論1．一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up6(→))＝eq\o(A1An,\s\up6(→))，特別地，一個(gè)封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．2．若F為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．3．若A，B，C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，則eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0?P為△ABC的重心，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．4．對于任意兩個(gè)向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)|a|與|b|是否相等，與a，b的方向無關(guān)．()(2)若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b.()(3)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上．()(4)起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．()教材改編題1．(多選)下列命題正確的是()A．零向量是唯一沒有方向的向量B．零向量的長度等于0C．若a，b都為非零向量，則使eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0成立的條件是a與b反向共線D．若a＝b，b＝c，則a＝c2．下列各式化簡結(jié)果正確的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))3．已知a與b是兩個(gè)不共線的向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________.題型一平面向量的基本概念例1(1)(多選)下列說法中正確的是()A．單位向量都相等B．任一向量與它的相反向量不相等C．若|a|＝|b|，則a與b的長度相等，與方向無關(guān)D．若a與b是相反向量，則|a|＝|b|(2)如圖，在正△ABC中，D，E，F(xiàn)均為所在邊的中點(diǎn)，則以下向量和eq\o(FC,\s\up6(→))相等的是()A.eq\o(EF,\s\up6(→))B.eq\o(FB,\s\up6(→))C.eq\o(DF,\s\up6(→))D.eq\o(ED,\s\up6(→))思維升華平行向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)非零向量的平行具有傳遞性．(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)．(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．(4)eq\f(a,|a|)是與a同方向的單位向量．跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)下列命題中正確的是()A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))的長度與向量eq\o(BA,\s\up6(→))的長度相等B．向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反C．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)必相同D．兩個(gè)終點(diǎn)相同的向量，一定是共線向量(2)如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，則與eq\o(BC,\s\up6(→))相等的向量為()A.eq\o(BA,\s\up6(→))B.eq\o(CD,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))D.eq\o(OD,\s\up6(→))題型二平面向量的線性運(yùn)算命題點(diǎn)1向量加、減法的幾何意義例2已知單位向量e1，e2，…，e2023，則|e1＋e2＋…＋e2023|的最大值是________，最小值是________．命題點(diǎn)2向量的線性運(yùn)算例3在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA.記eq\o(CA,\s\up6(→))＝m，eq\o(CD,\s\up6(→))＝n，則eq\o(CB,\s\up6(→))等于()A．3m－2n B．－2m＋3nC．3m＋2n D．2m＋3n命題點(diǎn)3根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)例4在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，P為線段DE上的動(dòng)點(diǎn)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，λ，μ∈R，則λ＋μ等于()A．1B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,2)D．2思維升華平面向量線性運(yùn)算的常見類型及解題策略(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義．(2)求參數(shù)問題可以通過向量的運(yùn)算將向量表示出來，進(jìn)行比較，求參數(shù)的值．跟蹤訓(xùn)練2(1)五角星是指有五只尖角、并以五條直線畫成的星星圖形，有許多國家的國旗設(shè)計(jì)都包含五角星，如中華人民共和國國旗．如圖，在正五角星中，每個(gè)角的角尖為36°，則下列說法正確的是()A.eq\o(CH,\s\up6(→))＋eq\o(ID,\s\up6(→))＝0 B.eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(FE,\s\up6(→))C.eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FG,\s\up6(→))＝2eq\o(HG,\s\up6(→)) D.eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AJ,\s\up6(→))(2)P是△ABC所在平面上一點(diǎn)，滿足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，△ABC的面積是S1，△PAB的面積是S2，則()A．S1＝4S2 B．S1＝3S2C．S1＝2S2 D．S1＝S2(3)在△ABC中，P是BC上一點(diǎn)，若eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則2λ＋μ＝________.題型三共線定理及其應(yīng)用例5已知O，A，B是不共線的三點(diǎn)，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點(diǎn)共線；(2)若A，P，B三點(diǎn)共線，求證：m＋n＝1.思維升華利用共線向量定理解題的策略(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù)．(2)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.(3)若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是λ＋μ＝1.跟蹤訓(xùn)練3(1)若a，b是兩個(gè)不共線的向量，已知eq\o(MN,\s\up6(→))＝a－2b，eq\o(PN,\s\up6(→))＝2a＋kb，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝3a－b，若M，N，Q三點(diǎn)共線，則k等于()A．－1B．1C.eq\f(3,2)D．2(2)如圖，△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，AM與CN交于點(diǎn)D，eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))，則λ等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,6)課時(shí)精練1．化簡2(a－3b)－3(a＋b)的結(jié)果為()A．a(chǎn)＋4b B．－a－9bC．2a＋b D．a(chǎn)－3b2．(多選)下列命題中，正確的是()A．若a∥b，b∥c，則a∥cB．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0C．若兩個(gè)單位向量互相平行，則這兩個(gè)單位向量相等或相反D．如果非零向量a，b的方向相同或相反，那么a＋b的方向與a，b之一的方向一定相同3．設(shè)a，b是平面內(nèi)兩個(gè)向量，“|a|＝|a＋b|”是“|b|＝0”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4．已知向量a和b不共線，向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋mb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－3a＋3b，若A，B，D三點(diǎn)共線，則m等于()A．3B．2C．1D．－25．在邊長為1的正方形ABCD中，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，則|a－b＋c|等于()A．1B．2C．3D．46．如圖，BC，DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FO,\s\up6(→))，且eq\o(FC,\s\up6(→))＝λeq\o(FD,\s\up6(→))＋μeq\o(FE,\s\up6(→))，則λ＋μ等于()A．1 B．2C．3 D．47．已知向量e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，a＝2e1－e2與b＝e1＋λe2共線，則λ等于()A．2B．－2C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)8．已知△ABO中，OA＝OB＝1，∠AOB＝eq\f(π,3)，若OC與線段AB交于點(diǎn)P，且滿足eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，則λ＋μ的最大值為()A.eq\f(2,3)B．1C.eq\r(3)D．29．設(shè)向量a，b不平行，向量ta＋b與a＋3b平行，則實(shí)數(shù)t的值為________．10．已知△ABC的重心為G，經(jīng)過點(diǎn)G的直線交AB于D，交AC于E，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝μeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝________.11．已知平面上不共線的四點(diǎn)O，A，B，C，若eq\o(OA,\s\up6(→))－4eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(CA,\s\up6(→))|)等于()A.eq\f(1,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(4,3)12．已知M為△ABC的重心，D為BC的中點(diǎn)，則下列等式成立的是()A．|eq\o(MA,\s\up6(→))|＝|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝|eq\o(MC,\s\up6(→))|B.eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0C.eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))D．S△MBC＝eq\f(1,3)S△ABC13．設(shè)P，Q為△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，則△ABP的面積與△ABQ的面積之比為()A.eq\f(4,5)B.eq\f(8,5)C.eq\f(4,3)D.eq\f(3,10)14．在△ABC中，點(diǎn)D在線段AC上，且滿足|eq\o(AD,\s\up