雙曲線專項(xiàng)訓(xùn)練- 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁雙曲線專項(xiàng)訓(xùn)練-高三數(shù)學(xué)上學(xué)期一輪復(fù)習(xí)檢測卷一、單選題1．過點(diǎn)的直線與雙曲線的公共點(diǎn)只有1個(gè)，則滿足條件的直線有（

）A．2條 B．3條 C．4條 D．5條2．雙曲線：的左，右頂點(diǎn)分別為，曲線上的一點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，若直線的斜率為，直線的斜率為，則（

）A．3 B． C． D．3．雙曲線的上焦點(diǎn)到雙曲線一條漸近線的距離為，則雙曲線兩條漸近線的斜率之積為（

）A． B．4 C． D．24．若雙曲線的離心率為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，則直線OE（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．不確定5．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過焦點(diǎn)且垂直于軸的弦為，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．6．已知雙曲線：的左，右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，且，則的周長為（

）A．20 B．22 C．28 D．367．已知點(diǎn)是雙曲線右支上的一點(diǎn)，點(diǎn)分別是圓和圓上的點(diǎn)．則的最小值為（

）A．3 B．5 C．7 D．98．雙曲線的兩焦點(diǎn)分別為，過的直線與其一支交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在第四象限.以為圓心，的實(shí)軸長為半徑的圓與線段分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則的漸近線方程是（

）A． B．C． D．二、多選題9．已知雙曲線：，左右焦點(diǎn)分別為，若圓與雙曲線的漸近線相切，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線的離心率B．若軸，則C．若雙曲線上一點(diǎn)滿足，則的周長為D．存在雙曲線上一點(diǎn)，使得點(diǎn)到C的兩條漸近線的距離之積為10．已知雙曲線的焦距為4，兩條漸近線的夾角為，則下列說法正確的是（

）A．的離心率為 B．的標(biāo)準(zhǔn)方程為C．的漸近線方程為 D．直線經(jīng)過的一個(gè)焦點(diǎn)11．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，橢圓的上頂點(diǎn)為，且，雙曲線和橢圓有相同的焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率為，為曲線與的一個(gè)公共點(diǎn)．若，則（

）A． B． C． D．三、填空題12．雙曲線C：的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，點(diǎn)在雙曲線C上，且滿足，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．13．已知雙曲線：與橢圓：有公共的焦點(diǎn)，，且與在第一象限的交點(diǎn)為M，若的面積為1，則a的值為．14．設(shè)、為雙曲線Γ：左、右焦點(diǎn)，且Γ的離心率為，若點(diǎn)M在Γ的右支上，直線與Γ的左支相交于點(diǎn)N，且，則.四、解答題15．設(shè)雙曲線，斜率為1的直線l與交于兩點(diǎn)，當(dāng)l過的右焦點(diǎn)F時(shí)，l與的一條漸近線交于點(diǎn)，(1)求的方程；(2)若l過點(diǎn)，求.16．已知雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，離心率為．(1)求雙曲線的方程；(2)直線與雙曲線有唯一的公共點(diǎn)，求的值．17．已知雙曲線：（，）的右頂點(diǎn)，斜率為1的直線交于、兩點(diǎn)，且中點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)證明：為直角三角形；(3)若過曲線上一點(diǎn)作直線與兩條漸近線相交，交點(diǎn)為，，且分別在第一象限和第四象限，若，，求面積的取值范圍.18．某高校的志愿者服務(wù)小組受“進(jìn)博會”上人工智能展示項(xiàng)目的啟發(fā)，會后決定開發(fā)一款“貓捉老鼠”的游戲．如下圖：A、B兩個(gè)信號源相距10米，O是AB的中點(diǎn)，過O點(diǎn)的直線l與直線AB的夾角為．機(jī)器貓?jiān)谥本€l上運(yùn)動(dòng)，機(jī)器鼠的運(yùn)動(dòng)軌跡始終滿足；接收到A點(diǎn)的信號比接收到B點(diǎn)的信號晚秒（注：信號每秒傳播米）．在時(shí)刻時(shí)，測得機(jī)器鼠距離O點(diǎn)為4米．(1)以O(shè)為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），求時(shí)刻時(shí)機(jī)器鼠所在位置的坐標(biāo)；(2)游戲設(shè)定：機(jī)器鼠在距離直線l不超過1.5米的區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)，有“被抓”的風(fēng)險(xiǎn)．如果機(jī)器鼠保持目前的運(yùn)動(dòng)軌跡不變，是否有“被抓”風(fēng)險(xiǎn)？19．已知離心率為的雙曲線：過橢圓：的左，右頂點(diǎn)A，B.(1)求雙曲線的方程；(2)是雙曲線上一點(diǎn)，直線AP，BP與橢圓分別交于D，E，設(shè)直線DE與x軸交于，且，記與的外接圓的面積分別為，，求的取值范圍.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．C【分析】易知直線的斜率存在，設(shè)：，聯(lián)立雙曲線方程可得，分類討論當(dāng)、時(shí)，求出對應(yīng)的k，即可下結(jié)論.【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然與雙曲線沒有公共點(diǎn).當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，若即，此時(shí)直線和雙曲線的公共點(diǎn)只有1個(gè).當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，整理可得，因?yàn)?，所以有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，又不是的根，且此時(shí)直線和雙曲線的公共點(diǎn)只有1個(gè).綜上可知，直線和雙曲線的公共點(diǎn)只有1個(gè)時(shí)，對應(yīng)直線有4條.故選：C.2．B【分析】依題求出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)，得，寫出，利用點(diǎn)在雙曲線上，化簡的表達(dá)式，計(jì)算即得.【詳解】如圖，,不妨設(shè)，則，依題意，，因點(diǎn)在雙曲線上，故有，于是，.故選：B.3．A【分析】由點(diǎn)到直線的距離公式、焦點(diǎn)、漸近線以及的關(guān)系即可求解.【詳解】由對稱性，不妨設(shè)，雙曲線的漸近線是，則由題意，解得，故所求為.故選：A.4．C【分析】根據(jù)給定條件，求出，進(jìn)而求出直線的斜率，再與漸近線的斜率比較即可得解.【詳解】由雙曲線的離心率為，得，則，，因此點(diǎn)E的坐標(biāo)為，雙曲線C的漸近線斜率為，而直線的斜率，所以直線OE與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)．故選：C5．C【分析】根據(jù)幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于的齊次方程，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的方程，即可求解.【詳解】由題意可知，雙曲線的通徑長為，如圖所示，則AB=2b2a，若，所以由于，所以，解得，因?yàn)?，所以．故選：C6．C【分析】先根據(jù)雙曲線定義列出，，然后結(jié)合求出的周長.【詳解】由題意知，，所以，又，所以，所以的周長為．故選：C．7．B【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)分析可得，再結(jié)合雙曲線的定義運(yùn)算求解.【詳解】由雙曲線可知，且圓的圓心為，半徑，的圓心為，半徑，由圓的性質(zhì)可知：，可得，可知，為雙曲線的焦點(diǎn)，則，可得，所以的最小值為5.故選：B.8．C【分析】設(shè)，則，由已知結(jié)合雙曲線定義，在中由勾股定理求得，在中，利用勾股定理得，進(jìn)而可求答案．【詳解】解：如圖，由題意得：，設(shè)，則，所以，，由雙曲線的定義得：，所以，，則，因?yàn)?，在中，，即，解得，所以，，在中，，即，可得，所以，所以，即，故雙曲線的漸近線方程為．故選：C．9．BC【分析】求出漸近線方程，圓心、半徑，根據(jù)已知列出方程，求出的值，即可得出離心率；求出的方程，代入雙曲線得出點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出B項(xiàng)；根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合已知求出的值，即可得出C項(xiàng)；設(shè)，求出距離之積，結(jié)合雙曲線的方程，即可判斷D項(xiàng).【詳解】對于A項(xiàng)，由，可得雙曲線的漸近線方程為.圓的圓心為，半徑為.因?yàn)殡p曲線的漸近線與圓相切，所以有到的距離，解得，所以雙曲線的方程為，，，，所以，離心率，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)，由A知，，所以的方程為.代入雙曲線方程可得，，所以，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，由已知，根據(jù)雙曲線的定義可知，，所以有.又，所以的周長為，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，設(shè)，雙曲線的漸近線方程為，則點(diǎn)到直線的距離，到直線的距離，所以.又在雙曲線上，所以有，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.10．AD【分析】依題意可得，再根據(jù)兩條漸近線的夾角為及，即可求出雙曲線的方程、離心率、漸近線及焦點(diǎn)坐標(biāo)；【詳解】依題意得，則，因?yàn)閮蓷l漸近線的夾角為，所以兩條漸近線的傾斜角分別為，所以，所以，所以雙曲線方程為，所以離心率，漸近線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為、，顯然直線過點(diǎn)；故選：AD11．BC【分析】結(jié)合橢圓和雙曲線的定義即可求解.【詳解】設(shè)焦距為，橢圓的長軸長為，短軸長為，雙曲線的長軸長為，短軸長為，則在中，，根據(jù)對稱性，設(shè)橢圓與雙曲線的交點(diǎn)在第二象限，由雙曲線的定義知：，由橢圓的定義知：，則，又，，則，則，又，解得，則，A錯(cuò)誤；，B正確；，C正確；，D錯(cuò)誤.故選：BC12．【分析】設(shè)，，進(jìn)而根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示得，再根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上待定系數(shù)求解即可．【詳解】解：由題，設(shè)，，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，解得，因?yàn)?，解得，所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：．13．【分析】根據(jù)雙曲線和橢圓的定義求解、的長，再結(jié)合余弦定理求出，進(jìn)而得到，再根據(jù)面積公式求解即可.【詳解】設(shè)，分別為左、右焦點(diǎn)，根據(jù)橢圓以及雙曲線定義可得所以，，所以，由余弦定理可得，所以，故，因此的面積為，解得．故答案為：.14．3【分析】根據(jù)離心率公式求出，畫出草圖，結(jié)合雙曲線定義可解．【詳解】如圖，畫出草圖．由的離心率為，且，可得，解得.因?yàn)?，所以由雙曲線的定義，可得.故答案為：．15．(1)(2)【分析】（1）由雙曲線的性質(zhì)得到右焦點(diǎn)，由點(diǎn)斜式寫出直線方程，由點(diǎn)同時(shí)在漸近線和直線上組成方程組，解出即可；（2）方法一：直曲聯(lián)立，求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間距離公式求解弦長；方法二：直曲聯(lián)立，用韋達(dá)定理表示出，再代入弦長公式求解即可.【詳解】（1）的右焦點(diǎn)為，當(dāng)l過的右焦點(diǎn)F時(shí)，直線l的方程為，由于點(diǎn)在漸近線上，所以，由于點(diǎn)在直線l上，所以，得，解得，所以雙曲線的方程是.（2）方法一：因?yàn)閘過點(diǎn)且斜率為1，故直線，由得，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，故，所以，方法二：因?yàn)閘過點(diǎn)且斜率為1，故直線，由得，即，設(shè)Ax1則，所以.16．(1)(2)或2．【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得雙曲線的方程.（2）將直線的方程和雙曲線的方程聯(lián)立，對進(jìn)行分類討論，從而求得的值.【詳解】（1）雙曲線的焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，而離心率，且，，方程為.（2）聯(lián)立，得,即，當(dāng)時(shí)，顯然有一個(gè)解，此時(shí)，負(fù)根舍去；當(dāng)時(shí)，，，負(fù)根舍去，綜上，或2．17．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）設(shè)出、兩點(diǎn)坐標(biāo)，借助點(diǎn)差法計(jì)算即可得；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，可得與、兩點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，通過計(jì)算即可得為直角三角形；（3）設(shè)直線方程為：，，，，結(jié)合題意計(jì)算可得，又，，可得，聯(lián)立直線與漸近線方程，可得與兩點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，代入化簡可得，結(jié)合面積公式計(jì)算即可用表示該三角形面積，構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)借助對勾函數(shù)性質(zhì)可得函數(shù)單調(diào)性即可得面積范圍.【詳解】（1）設(shè)Mx1,y1，N，兩點(diǎn)在雙曲線上，，由①－②得，即，，，即，，又，，雙曲線的方程為：；（2）由已知可得，直線的方程為：，即，聯(lián)立，，則，，，，為直角三角形；（3）由題意可知，若直線有斜率則斜率不為0，故設(shè)直線方程為：，設(shè)，，，，，，點(diǎn)在雙曲線上，，，③，又，，，④，聯(lián)立，，⑤，⑥，，分別在第一象限和第四象限，，，由④式得：，⑦，將⑤⑥代入⑦得：，，令，，由對勾函數(shù)性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第（3）小問關(guān)鍵點(diǎn)在于借助向量的線性關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)在對應(yīng)曲線及直線上，通過計(jì)算用表示出該三角形面積，難點(diǎn)在于計(jì)算.18．(1)(2)沒有“被抓”風(fēng)險(xiǎn)【分析】（1）根據(jù)題意和雙曲線定義，可得機(jī)器鼠所在的點(diǎn)的軌跡方程，利用與其聯(lián)立，計(jì)算即得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）依題考慮與直線平行且距離不超過的直線，判斷機(jī)器鼠是否有“被抓”風(fēng)險(xiǎn)，就可以轉(zhuǎn)化為與是否有交點(diǎn)問題，而這可以通過方程聯(lián)立，計(jì)算方程根的判別式的符號得到.【詳解】（1）如圖，設(shè)機(jī)器鼠在點(diǎn)處，則由題意，得，所以，P為以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為8，焦距為10的雙曲線右支上的點(diǎn)，該雙曲線的方程為，由，即：，將其與雙曲線方程聯(lián)立，解得：，故得，即在時(shí)刻時(shí)，機(jī)器鼠所在位置的坐標(biāo)為．（2）因?yàn)榕c直線l平行且距離不超過1.5的直線方程為，則由可得：．考慮與是否有交點(diǎn)，聯(lián)立，得，故，因?yàn)?，所以，所以，與沒有交點(diǎn)，即機(jī)器鼠保持目前的運(yùn)動(dòng)軌跡不變，沒有“被抓”風(fēng)險(xiǎn)．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用問題，屬于較難題.解題思路包括：①求動(dòng)點(diǎn)軌跡，一般將其與圓錐曲線的定義進(jìn)行比較，符合定義則可以用其標(biāo)準(zhǔn)方程得到軌跡方程；②對于此題中的“機(jī)器鼠是否有“被抓”風(fēng)險(xiǎn)”，要將其理解為直線與是否有交點(diǎn)問題即可迎刃而解.19．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓與雙曲線的基本量求解即可；（2）方法一：設(shè)直線AP：，，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，結(jié)合Px0,y0在雙曲線上，化簡可得，同理，代入化簡，結(jié)合雙曲線方程可得，再根據(jù)正弦定理，結(jié)合代入化簡可得，再根據(jù)求解范圍即可；方法二：設(shè)直線DE：，，，聯(lián)立方程得出韋達(dá)定理，再根據(jù)P，A，D三點(diǎn)共線，P，B，E三點(diǎn)共線，列式化簡可得，進(jìn)而可得，結(jié)合雙曲線方程可得，再根據(jù)正弦定理，結(jié)合代入化簡可得，再根據(jù)求解范圍即可.【詳解】（1）由題意得：，解得，所以雙曲線的方程為.（2）方法一：設(shè)直線AP：，，則，消y得：，得：，又因?yàn)镻x0,y0所以，即.同理設(shè)直線BP：，，可得，所以.因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?把代入雙曲線方程得，解得，則點(diǎn).設(shè)與的外接圓的半徑分別為，，由正弦定理得，，因?yàn)椋?則.因?yàn)?，所以，所?方法二：設(shè)直線DE：，，，則，消x得：，所以，，得，因?yàn)镻，A，D三