n次根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪學(xué)案 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

4.1.1n次根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解并掌握根式的概念、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念;培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。2.理解根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化:掌握有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì):培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)。3.培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神，體會(huì)由特殊到一般、由具體到抽象的問題研究方法，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。[核心素養(yǎng)]數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)邏輯[重點(diǎn)難點(diǎn)]教學(xué)重點(diǎn):n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義及有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì):教學(xué)難點(diǎn):對(duì)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的理解及有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算.[教學(xué)過程]創(chuàng)設(shè)情境，引思入課問題情境1:判斷正誤(1)a3·a3=a6 () (2)(a2)3=a 5() (3)(ab)2=a2b2 () (4)a0÷a2=a-2=1a2(a≠0) (問題情境2:如果正方形的邊長(zhǎng)為a,那么正方形的面積S=a2.同時(shí)，a叫做S的平方根，記作a=S=S合作探究，增知長(zhǎng)智探究一n次方根的定義與性質(zhì)1.次方根的定義(1)若x2=a,則x叫做a的(2)若x3=a,則x叫做a的問題情境3由平方根、立方根的定義，試著說說4次方根、5次方根…n次方展的定義。定義：一般地，如果xn=a,那么x叫做a的其中n>1,且n∈N*2.n次方根的性質(zhì)根據(jù)次方根的定義分別求出下列各數(shù)的n次方根，觀察所得的結(jié)果，你能得出樣的結(jié)論?(1)若x3=27,則x=符號(hào)表示為 (2)若x5=-32,則x=符號(hào)表示為 (3)若x3=0,則x=符號(hào)表示為(4)若x4=81,則x=符號(hào)表示為(5)若x4=0,則x=符號(hào)表示為(6)若x2=-4,則x=符號(hào)表示為歸納總結(jié):(1)當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)這時(shí),a的n次方用符號(hào)na(2)當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為這時(shí)，正數(shù)a的正的n次方根用符號(hào)na表示，負(fù)的n次方根用符號(hào)-na(a>0)表示.正的n次方根與負(fù)的n次方根可以合并寫成±n(3)負(fù)數(shù)偶次方根(4)零的任何次方根都是記作探究二根式的性質(zhì)、求值化簡(jiǎn)1.根式定義:式子na叫n叫做a叫2.根式性質(zhì)問題情境4:根據(jù)n次方根的意義，計(jì)算下列各式的值，并探究（na）n(5)2=(5-3)5=(36)3=(417)4=(4-6)4=性質(zhì)1：根據(jù)n次方根的意義，可得（na）n問題情景5：計(jì)算下列各式的值，并探究nan表示an的n次方根，na53552=5(-3)5(-5)2=36341743(-6)34(-17)4性質(zhì)2：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，nan當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，nan==練習(xí)求下列各式的值3(-8)(-10)24(3-π)(a-b)2探究3：有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)問題情景6：根據(jù)n次方根的定義和數(shù)的運(yùn)算，對(duì)此問題，你能得出怎樣的結(jié)論？當(dāng)a>0時(shí)，5a當(dāng)a<0時(shí)，4a思考：當(dāng)根指數(shù)的被開方的指數(shù)整除時(shí)，根式是否也可以表示為分指數(shù)冪的形式？通過對(duì)上述問題的理解，你能仿照他們表示出：當(dāng)a>0時(shí)，3a當(dāng)b>0時(shí)，b=當(dāng)c>0時(shí)，4c1.正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：amn=（a>0，m，n∈N2.正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：a-mn==3.0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于4.有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)aras=ar+s(a>0,s,r∈Q)(2)(ar)s=ars(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q)【思考】你能否用我們已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)證明上述性質(zhì)應(yīng)用實(shí)踐，固化深化例1求值82(例2用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示并計(jì)算下列各式（其中a>0）a2·3aa3跟蹤訓(xùn)練計(jì)算下列各式（式中字母均是正數(shù)）(3a2-a3a-4例3計(jì)算下列各式（式子中字母均為正數(shù)）(2a23b12)(-6(m14n探究4：無(wú)理指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)aras=ar+s(a>0,s,r∈R)(2)(ar)s=ars(a>0,(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R)例1計(jì)算下列各式（式中字母均是正數(shù)）(2aπ[342例2設(shè)a2+a-例3已知x+x-1=3，求x2+x-2的值【隨堂練習(xí)】判斷正誤當(dāng)n∈N*時(shí)，(n-16任意實(shí)數(shù)都有兩個(gè)偶次方根，他們互為相反數(shù)（）nan5-5A.553B.13