選修4-4第二講-參數(shù)方程(圓錐曲線的參數(shù)方程)

第二講參數(shù)方程圓錐曲線的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程小結(jié):參數(shù)方程化為普通方程的過(guò)程就是消參過(guò)程常見(jiàn)方法有三種：1.代入法：利用解方程的技巧求出參數(shù)t,然后代入消去參數(shù)2.三角法：利用三角恒等式消去參數(shù)3.整體消元法：根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征,從整體上消去?；瘏?shù)方程為普通方程為F(x,y)=0：在消參過(guò)程中注意變量x、y取值范圍的一致性，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范圍。步驟：（1）消參；（2）求定義域；例4

思考：為什么(2)中的兩個(gè)參數(shù)方程合起來(lái)才是橢圓的參數(shù)方程？復(fù)習(xí)圓的參數(shù)方程1.圓心在原點(diǎn),半徑為r的圓的參數(shù)方程:2.圓心為(a,b),半徑為r的圓的參數(shù)方程:3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：它的參數(shù)方程是什么樣的？例4

小結(jié)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：橢圓的參數(shù)方程：——離心角一般地：在橢圓的參數(shù)方程中，常數(shù)a、

b分別是橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng).a>b練習(xí)

把下列普通方程化為參數(shù)方程.

(1)(2)xyOxyOM解：因?yàn)闄E圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))，所以可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為由點(diǎn)到直線的距離公式，得到點(diǎn)M到直線的距離為例1、如圖，在橢圓上求一點(diǎn)M，使M到直線l：x+2y-10=0的距離最小.d說(shuō)明：⑴這里參數(shù)叫做雙曲線的離心角與直線OM的傾斜角不同.⑵雙曲線的參數(shù)方程可以由方程與三角恒等式相比較而得到，所以雙曲線的參數(shù)方程的實(shí)質(zhì)是三角代換.拋物線的參數(shù)方程oyx)HM(x，y)()c2例1、已知橢圓上點(diǎn)M(x,y)，(2)求2x+3y的最大值和最小值；例2、如圖，在橢圓x2+8y2=8上求一點(diǎn)P，使P到直線

l：x-y+4=0的距離最小.xyOP分析1：分析2：分析3：平移直線

l

至首次與橢圓相切，切點(diǎn)即為所求.yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX例3、已知橢圓有一內(nèi)接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面積。練習(xí)已知A,B兩點(diǎn)是橢圓與坐標(biāo)軸正半軸的兩個(gè)交點(diǎn),在第一象限的橢圓弧上求一點(diǎn)P,使四邊形OAPB的面積最大.例4求橢圓的內(nèi)接矩形的面積及周長(zhǎng)的最大值。解:設(shè)橢圓內(nèi)接矩形在第一象限的頂點(diǎn)是矩形面積和周長(zhǎng)分別是S、L當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，此時(shí)α存在。例6θ取一切實(shí)數(shù)時(shí)，連接

A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,6sinθ)兩點(diǎn)的線段的中點(diǎn)軌跡是

.A.圓B.橢圓C.直線D.線段例5四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓其中點(diǎn)A(3,0)，C(0,4)，B、D分別位于橢圓第一象限與第三象限的弧上。求四邊形ABCD面積的最大值。例7已知點(diǎn)A在橢圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B(0,9)、點(diǎn)M在線段AB上，且,試求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。解：由題意知B(0,9),設(shè)A(),并且設(shè)M(x,y)(α是參數(shù))消去參數(shù)得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程是:例6橢圓與x軸的正向相交于點(diǎn)A,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若這個(gè)橢圓上存在點(diǎn)P，使得OP⊥AP。求該橢圓的離心率e的取值范圍。解:設(shè)橢圓上的點(diǎn)P的坐標(biāo)是(α≠0且α≠π),A(a,0)而OP⊥AP，（舍去），因?yàn)樗钥赊D(zhuǎn)化為解得于是B設(shè)中點(diǎn)M(x,y)x=2sinθ-2cosθy=3cosθ+3sinθ練習(xí):

1θ取一切實(shí)數(shù)時(shí)，連接

A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,6sinθ)兩點(diǎn)的線段的中點(diǎn)軌跡是

.A.圓B.橢圓C.直線D.線段()B練習(xí)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P是橢圓上離心角為-π/6所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，那么直線OP的傾角的正切值是

.解：把代入橢圓參數(shù)方程可得P點(diǎn)坐標(biāo)所以直線OP的傾角的正切值是:雙曲線的參數(shù)方程AB'BOyxM

A'以原點(diǎn)O為圓心,a,b(a>0,b>0)為半徑分別作同心圓C1,C2.設(shè)A為圓C1上任一點(diǎn),作直線OA,過(guò)A作圓C1的切線AA'與x交于點(diǎn)A',過(guò)圓C2與x軸的交點(diǎn)B作圓C2的切線BB'與直線OA交于點(diǎn)B'。過(guò)點(diǎn)A',B'分別作y軸,x軸的平行線A'M,B'M交于點(diǎn)M,設(shè)OA與OX所成角為φ(φ∈[0,2π),φ≠π/2,φ≠3π/2)求點(diǎn)M的軌跡方程,并說(shuō)出點(diǎn)M的軌跡。研究雙曲線的參數(shù)方程

AB'BOyxM

A'?baoxy)MBA事實(shí)上(t是參數(shù),t>0)化為普通方程,畫(huà)出方程的曲線.表示什么曲線?畫(huà)出圖形.練習(xí):4例1.求點(diǎn)M0(0,2)到雙曲線x2－y2=1上點(diǎn)的最小距離。不妨設(shè)M為雙曲線右支上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為

則直線MA的方程為

解得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為

平行四邊形MAOB的面積為由此可見(jiàn)，平行四邊形MAOB的面積恒為定值，與點(diǎn)M在雙曲線上的位置無(wú)關(guān)說(shuō)明：⑴這里參數(shù)叫做雙曲線的離心角與直線OM的傾斜角不同.⑵雙曲線的參數(shù)方程可以由方程與三角恒等式相比較而得到，所以雙曲線的參數(shù)方程的實(shí)質(zhì)是三角代換.例3例4求證：等軸雙曲線平行于實(shí)軸的弦在兩頂點(diǎn)所張的角均為直角。A2A1BAyxO證明：設(shè)雙曲線方程為取頂點(diǎn)A2(a,0),弦AB∥Ox，∴弦AB對(duì)A1張直角，同理對(duì)A2也張直角．MOyx·B·A例5已知雙曲線，A，B是雙曲線同支上相異兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P,求證：，解：設(shè)A，B坐標(biāo)分別為則中點(diǎn)為M于是線段AB中垂線方程為將代入上式,∴(∵A，B相異)，例6求證：等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到兩漸近線的距離之積是常數(shù)。拋物線的參數(shù)方程MFOYXA前面曾經(jīng)得到以時(shí)刻t為參數(shù)的拋物線的參數(shù)方程:對(duì)于一般拋物線，怎樣建立參數(shù)方程呢？以拋物線的普通方程為例，其中p為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。設(shè)M(x,y)為拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，以射線OM為終邊的角記作α顯然，當(dāng)α在內(nèi)變化時(shí)，點(diǎn)M在拋物線上運(yùn)動(dòng)，并且對(duì)于α的每一個(gè)值，在拋物線上都有唯一的點(diǎn)M與之對(duì)應(yīng)，因此，可以取α為參數(shù)來(lái)探求拋物線的參數(shù)方程.因?yàn)辄c(diǎn)M在α的終邊上，根據(jù)三角函數(shù)定義可得由方程

(α為參數(shù))這是拋物線(不包括頂點(diǎn))的參數(shù)方程.如果令則有（t為參數(shù)）

(α為參數(shù))當(dāng)t=0時(shí)，上式表示的點(diǎn)正好就是拋物線的頂點(diǎn)(0,0),因此，當(dāng)時(shí)，（t為參數(shù)）就表示整條拋物線．參數(shù)t表示拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)．C練習(xí)例1如圖，O為原點(diǎn)，A,B為拋物線上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)，且OA⊥OB，OM⊥AB于M，求點(diǎn)M的軌跡方程．當(dāng)點(diǎn)A,B在何位置時(shí),ΔAOB面積最??？最小值是多少？練習(xí)已知橢圓C1:及拋物線C2:y2=6(x-3/2)；若C1∩C2≠φ，求m的取值范圍。代入得cos2φ+4cosφ+2m-1=0所以t2+4t+2m-1=0在[-1,1]內(nèi)有解；

3已知A,B,C是拋物線y2=2px(p>0)上的三個(gè)點(diǎn)，且BC與x軸垂直，直線AB和AC分別與拋物線的軸交于D,E兩點(diǎn)，求證：拋物線的頂點(diǎn)平分DE.練習(xí)

4經(jīng)過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的頂點(diǎn)O任作兩條互相垂直的線段OA和OB，以直線OA的斜率k為參數(shù)，求線段AB的中點(diǎn)M的參數(shù)方程。解：直線OA的方程為y=kx，直線OB的方程為由y2=2px和y=kx，得A點(diǎn)坐標(biāo)為同理B點(diǎn)坐標(biāo)(2pk2,-2pk)

5已知橢圓上任意一點(diǎn)M，(除短軸端點(diǎn)外)與短軸端點(diǎn)B1,B2的連線分別與x軸交于P,Q兩點(diǎn)，O為橢圓的中心，求證：|OP|·|OQ|為定值。練習(xí)對(duì)于一切實(shí)數(shù)，若直線與曲線恒有公共點(diǎn)，則m的范圍是：ABCD直線恒過(guò)點(diǎn)當(dāng)直線與曲線恒有公共點(diǎn)時(shí)，必滿足M如圖,以原點(diǎn)為圓心,分別以a,b(a>b>0)為半徑作兩個(gè)圓,點(diǎn)B是大圓半徑OA與小圓的交點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作x軸垂線,垂足為N,過(guò)點(diǎn)B作y軸垂線,BM⊥AN,垂足為M,xOyANB設(shè)以O(shè)x為始邊，OA為終邊的角為θ，點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x,y)。那么點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為y。由于點(diǎn)A,B均在角θ的終邊上，由三角函數(shù)的定義有:y＝NM＝x＝ON＝這是中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x