考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷5（共247題）

考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷5（共9套）（共247題）考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第1套一、解答題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)1、設r=(x，y，z)，r=｜r｜，r≠0時f(r)有連續(xù)的導數(shù)，求下列各量：(Ⅰ)rot[f(r)r]；(Ⅱ)divgradf(r)(r≠0時f(r)有二階連續(xù)導數(shù))．標準答案：(Ⅰ)(Ⅱ)直接由梯度與散度的計算公式得知識點解析：暫無解析2、求I=∮C+，其中C+是以A(1，1)，B(2，2)和E(1，3)為頂點的三角形的正向邊界線．標準答案：記I=∮C+Pdx+Qdy，則記D為三角形區(qū)域ABE，則直接由格林公式得用先y后x的積分順序，D={(x，y)｜1≤x≤2，x≤y≤一x+4}，則知識點解析：直接用格林公式∮CPdx+Qdy=dxdy．求左端的曲線積分轉化為求右端的二重積分，若這個二重積分容易計算則達目的．D是閉曲線C所圍成的區(qū)域(見圖10．4)．3、設曲線L：x2+y2+x+y=0，取逆時針方向，證明：I=∫L—ysinx2dx+xcosy2dy＜．標準答案：L是圓周：，它圍成區(qū)域D．用格林公式→其中D關于直線y=x對稱，cosx2dσ．知識點解析：暫無解析4、設φ(y)有連續(xù)導數(shù)，L為半圓周：(y≥x)，從點O(0，0)到點A(π，π)方向，求曲線積分I=∫L[φ(y)cosx—y]dx+[φ’(y)sinx一1]dy。標準答案：若要用格林公式求非閉曲線L上的線積分∫LPdx+Qdy時，先要添加定向輔助線L1使L∪L1構成閉曲線，所圍區(qū)域為D，若是正向邊界，則．若是負向邊界，則求∫LPdx+Qdy轉化為求輔助線L1上的線積分和一個二重積分，如果它們都容易計算的話，則達目的．如圖10．5所示，L是非閉曲線，再加直線段，使它們構成沿順時針方向的閉曲線，并把它們圍成的區(qū)域記為D．L與構成D的負向邊界．記P(x，y)=φ(y)cosx一y，Q(x，y)=φ’(y)sinx—1，則因此，在D上用格林公式得知識點解析：暫無解析5、求I=，其中L是以原點為圓心，R為半徑的圓周，取逆時針方向，R≠1．標準答案：若R＜1(見圖10．6)，在L所圍的有界閉區(qū)域D上，P，Q有連續(xù)的一階偏導數(shù)且，則若R＞1(見圖10．7)，在L所圍的有界閉區(qū)域D內(nèi)含點(一1，0)，P，Q在此點無定義，不能在D上用格林公式．若以(一1，0)為圓心，ε＞0充分小為半徑作圓周Cε((x+1)2+y2=ε2)，使得Cε在L所圍的圓內(nèi)．在L與Cε所圍的區(qū)域Dε上利用格林公式得其中L與Cε均是逆時針方向．因此I=∫LPdx+Qdy=一ydx+(x+1)dy=2dxdy=2π(在Cε所圍區(qū)域上用格林公式)．知識點解析：暫無解析6、求曲面積分I=x2dydz+y2dzdx+z2dxdy，其中s是長方體Ω：0≤x≤a，0≤y≤b，0≤z≤c的表面外側．標準答案：直接用高斯公式I=(x+y+z)dxdydz．化三重積分為累次積分：記長方體分別在yz平面．zx平面與xx平面上的投影區(qū)域為Dyz，Dzx，Dxy，則知識點解析：暫無解析7、求I=，其中∑為上半球z=的上側，a＞0為常數(shù)．標準答案：添加一塊有向曲面S：z=0(x2+y2≤a2)，法向量朝下，S與∑所圍區(qū)域為Ω(見圖10．8)，則由高斯公式得(這里Ω邊界取外法向，S在xy平面上投影區(qū)域D：x2+y2≤a2，z=0，S與yz平面，zx平面均垂直，Qdzdx=0)．知識點解析：首先(x，y，z)∈∑，x2+y2+z2=a2，被積函數(shù)簡化為直接化第二類曲面積分為二重積分，再化為定積分的公式稍微復雜些．這里(z2+x2+y2)相對于半球域來說較簡單，若用高斯公式求曲面積分I則較為簡單．因為∑不是封閉曲面，所以要添加輔助曲面．8、求曲線積分I=∫L(y2+z2)dx+(z2+x2)dy+(x2+y2)dz，其中L是球面x2+y2+z2=2bx與柱面x2+y2=2ax(b＞a＞0)的交線(z≥0)．L的方向規(guī)定為沿L的方向運動時，從z軸正向往下看，曲線L所圍球面部分總在左邊(如圖10．9)．標準答案：若寫出L的參數(shù)方程直接計算比較復雜，可考慮用斯托克斯公式來計算．記L所圍的球面部分為∑，按L的方向與右手法則，取∑的法向量朝上，先利用曲線方程簡化被積函數(shù)，然后用斯托克斯公式，得I=∫L(2bx一x2)dx+(2bx一y2)dy+2axdz注意，∑關于zx平面對稱，被積函數(shù)1對y為偶函數(shù)，于是dzdx=0．記∑在xy平面的投影區(qū)域為Dxy：(x一a)2+y2≤a2．因此I=2bdxdy=2bπa2．知識點解析：暫無解析9、設D0是單連通區(qū)域，點M0∈D0，D=D0＼{M0}(即D是單連通區(qū)域D0除去一個點M0)，若P(x，y)，Q(x，y)在。有連續(xù)的一階偏導數(shù)且((x，y)∈D)，問：(Ⅰ)∫LPdx+Qdy是否一定在D上與路徑無關；(Ⅱ)若又存在一條環(huán)繞M0的分段光滑閉曲線C0使得Pdx+Qdy=0，∫LPdx+Qdy是否一定在D上與路徑無關．標準答案：(Ⅰ)這里D不是單連通區(qū)域，所以不能肯定積分∫LPdx+Qdy在D上與路徑無關．例如：積分，則即在全平面除原點外P(x，y)，Q(x，y)均有連續(xù)的一階偏導數(shù)，且．但若取L為C+即逆時針方向的以原點為圓心的單位圓周，則[一sinθ(cosθ)，+cosθ(sinθ)’]dθ=2π≠0，因此，該積分不是與路徑無關．(Ⅱ)能肯定積分在D上與路徑無關．按挖去奇點的思路，我們作以M0為心，ε＞0為半徑的圓周Cε，使Cε在C0所圍區(qū)域內(nèi)．Cε和C0所圍區(qū)域記為Dε(見圖10．10)．在Dε上用格林公式得其中C0，Cε均是逆時針方向．所以Pdx+Qdy=0．因此，ε＞0充分小，只要Cε在C0所圍區(qū)域內(nèi)，均有Pdx+Qdy=0．①現(xiàn)在我們可證：對D內(nèi)任意分段光滑閉曲線C，均有∮CPdx+Qdy=0．②若C不包圍M0，在C所圍的區(qū)域上用格林公式，立即可得②式成立．若C包圍M0點，則可作以M0為心，ε＞0為半徑的小圓周Cε，使得Cε在C所圍區(qū)域內(nèi)且①成立．在C與Cε所圍的區(qū)域上用格林公式同理可證∫CPdx+Qdy=Pdx+Qdy=0．知識點解析：暫無解析10、判斷下列曲線積分在指定區(qū)域上是否與路徑無關：(Ⅰ)，區(qū)域D：x2+y2＞0．標準答案：(Ⅰ)這是單連通區(qū)域，只需驗證是否成立．依題設有則該積分在D上與路徑無關．(Ⅱ)這里D：R2＼{(0，0)}是非單連通區(qū)域，由(x，y)≠(0，0))得不出積分與路徑無關．但可以計算(在x2+y2≤1上用格林公式)因此，該積分與路徑無關．知識點解析：暫無解析11、設(P(x，y)，Q(x，y))=，n為常數(shù)，問∫LPdx+Qdy在區(qū)域D={(x，y)｜(x，y)∈R2，(x，y)≠(0，0)}是否與路徑無關．標準答案：→一x2一y2+2ny2=x2+y2—2nx2→(1一n)(x2+y2)=0→n=1．因此，當n≠1時積分不是與路徑無關．當n=1時雖有(x，y)∈D)，但D不是單連通區(qū)域，還需進一步討論．取C為以(0，0)為圓心的單位圓周，逆時針方向，則所以積分也不是與路徑無關．知識點解析：暫無解析12、設Pdx+Qdy=，求u(x，y)，使du=Pdx+Qdy．標準答案：特殊路徑積分法．先判斷積分是否與路徑無關，由(x，y)∈R2)，可知在全平面積分∫LPdx+Qdy與路徑無關．M(x，y)=∫(0，0)(x，y)Pdx+Qdy=∫0xP(x，0)dx+∫0yQ(x，y)dy，這里取折線OAM為積分路徑，0(0，0)，A(x，0)，M(x，y)(見圖10．11)．代入P，Q表達式得這是一個原函數(shù)，全體原函數(shù)是u(x，y)=+C．知識點解析：暫無解析13、設f(s)在(一∞，+∞)內(nèi)有連續(xù)的導數(shù)，計算I=[y2f(xy)，)一1]dy，其中L為從點A(3，)到B(1，2)的直線段．標準答案：先驗算積分是否與路徑無關．若是，便可選擇適當?shù)姆e分路徑，使積分化簡．令P(x，y)=[1+y2f(xy)]，Q(x，y)=[y2f(xy)一1]，易驗證：這是單連通區(qū)域，故積分與路徑無關，可以選擇從A到B的任何一條位于x軸上方的曲線作為積分路徑．為了簡化計算．我們選擇積分路徑為折線ACB．其中C(1，)，見圖10．12．注意到，，x從3到1，dy=0；：x=1，y從2／3到2，dx=0．知識點解析：暫無解析14、計算曲線積分I=，其中L是以點(1，0)為圓心，R為半徑的圓周(R≠1)，取逆時針方向．標準答案：設R＜1，則I=∫LPdx+Qdy=dxdy=0．設R＞1，取ε＞0充分小使橢圓Cε(取逆時針方向)4x2+y2=ε2含于L所圍區(qū)域D內(nèi)，記L與Cε圍成區(qū)域為Dε，在Dε上用格林公式得知識點解析：記L圍成的區(qū)域為D，若D不含原點(R＜1)，則可在D上用格林公式．若D含原點(R＞1)，則不能在D上用格林公式，要在D內(nèi)挖去含原點的某區(qū)域后再用格林公式(見圖10．13)．15、求曲面積分I=，(1≤z≤2)繞z軸旋轉而成的旋轉面，其法向量與z軸正向的夾角為銳角．標準答案：在S∪S1∪S2圍成的區(qū)域Ω上應用高斯公式，因邊界取內(nèi)法向，故其中Ω為x2+1=x2+y2與z=1，z=2所圍，圓D(z)的半徑為．又(i=1時公式取“一”，i=2時公式取“+”)，其中Si與yz平面垂直(i=1，2)，Di為Si在xy平面上的投影區(qū)域分別是圓域x2+y2≤5，x2+y2≤2．因此，I=一．知識點解析：首先求出曲面S的方程：x2+y2=1+z2(1≤z≤2)，法向量朝上．記P=xz2，Q=0，R=一sinx，則=z2較簡單，但S不是封閉曲面，為了用高斯公式，添加輔助面S1：z=2(x2+y2≤5)，法向量朝下；S2：z=1(x2+y2≤2)，法向量朝上．在S∪S1∪S2圍成的區(qū)域Ω上可用高斯公式來計算．16、求I==1，取外側．標準答案：作以原點為球心，ε＞0為半徑的小球面Sε，ε＞0充分小使Sε位于S所圍的橢球內(nèi)．記S與Sε所圍的區(qū)域為Ωε，Sε取Ωε的內(nèi)法向(即小球的外法向)，見示意圖10．14(用平面圖示意立體圖)，在Ωε上用高斯公式得由于在Ωε上，P，Q，R有連續(xù)的一階偏導數(shù)且=0，于是(在Ωε*：x2+y2+z2≤ε2上用高斯公式)知識點解析：直接計算較復雜，若把積分記為I=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy，容易驗證因此想到應用高斯公式．若橢球面S圍成的區(qū)域記為Ω，它含原點(0，0，0)，而P，Q，R在(0，0，0)無定義，因而不能在Ω上直接應用高斯公式．如果我們作以原點為球心的小球面Sε位于Ω內(nèi)，在S與Sε所圍的區(qū)域Ωε上就可用高斯公式，把求S上的曲面積分轉化為Sε上的曲面積分．17、求曲線積分I=∫L2yzdx+(2z一z2)dy+(y2+2xy+3y)dz，其中L為閉曲線從原點向L看去，L沿順時針方向．標準答案：用斯托克斯公式．平面x+y+z=上L圍成的平面區(qū)域記為∑，按右手法則，法向量n朝上，且n=(1，1，1)=(cosα，cosβ，cosγ)，于是[1*]其中σ是∑的面積．這里把坐標軸的名稱互換，∑的方程不變，于是L是平面(x+y+z=)與球面(x2+y2+z2=1)的交線，它是圓周．現(xiàn)求它的半徑r，原點O到平面x+y+z=．因此I=．知識點解析：暫無解析18、下面連續(xù)可微的向量函數(shù){P(x，y)，Q(x，y)}在指定的區(qū)域D上是否有原函數(shù)u(x，y)(du=Pdx+Qdy或gradu={P，Q})．若有，求出原函數(shù)．{P，Q}=，D={(x，y)｜y＞一x}．標準答案：先驗算在D上是否恒成立．則，(x，y)∈D．因D是單連通區(qū)域，則存在原函數(shù)．現(xiàn)用求不定積分的方法求原函數(shù)：由(恒等變形，便于積分)對x積分，得知識點解析：暫無解析19、選擇常數(shù)λ取的值，使得向量A(x，y)=2xy(x4+y2)λi—x2(x4+y2)λj在如下區(qū)域D為某二元函數(shù)u(x，y)的梯度：(Ⅰ)D={x，y)｜y＞0}，并確定函數(shù)u(x，y)的表達式；(Ⅱ)D={(x，y)｜x2+y2＞0}．標準答案：記A=P(x，y)i+Q(x，y)j，先由(P，Q)為某二元函數(shù)u的梯度(即du=Pdx+Qdy)的必要條件定出參數(shù)λ．=2x(x4+y2)λ+λ4xy2(x4+y2)λ—1，=—2x(x4+y2)λ一λ4x5(x2+y2)λ—14x(x4+y2)λ+4λx(x4+y2)λ=0(x＞0)→λ=一1．(Ⅰ)由于D={(x，y)｜y＞0}是單連通，λ=一1是存在u(x，y)使du=Pdx+Qdy的充要條件，因此僅當λ=一1時存在u(x，y)使(P，Q)為u的梯度．現(xiàn)求u(x，y)，使得du(x，y)=．湊微分法．(Ⅱ)D={(x，y)｜x2+y2＞0｜是非單連通區(qū)域，((x，y)∈D)不足以保證Pdx+Qdy存在原函數(shù)．我們再取環(huán)繞(0，0)的閉曲線C：x4+y2=1，逆時針方向，求出∫CPdx+Qdy=∫C(一2x一2x)dxdy=0，其中D0是C圍成的區(qū)域，它關于y軸對稱．于是∫LPdx+Qdy在D與路徑無關，即Pdx+Qdy在D存在原函數(shù)．因此，僅當λ=一1時A(x，y)=(P，Q)在D為某二元函數(shù)u(x，y)的梯度．知識點解析：暫無解析20、計算曲線積分I=，其中L是從點A(一a，0)經(jīng)上半橢圓=1(y≥0)到點B(a，0)的弧段．標準答案：設C是從點A(一a，0)經(jīng)上半圓x2+y2=a2(y≥0)到點B(a，0)的弧段(圖10．15)．因在上半平面(含x軸但不含原點)積分與路徑無關，于是得對右端的線積分，可直接用C的參數(shù)方程x=acost，y=asint(π≥t≥0)，來計算：I=∫0π[(cost—sint)(一sint)+(cost+sint)cost]dt=一π．知識點解析：在上半平面(含x軸但不含原點為單連通區(qū)域)曲線積分與路徑無關，因此求沿橢圓的曲線積分可以轉化為求沿半圓周的曲線積分．21、設Q(x，y)在Oxy平面有一階連續(xù)偏導數(shù)，積分∫L2xydx+Q(x，y)dy與路徑無關．t恒有∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy=∫(0，0)(1，t)2xydx+Q(x，y)dy，(*)求Q(x，y)．標準答案：首先由單連通區(qū)域上曲線與路徑無關的充要條件得(2xy)=2x．對x積分得Q(x，y)=x2+φ(y)，下面由(*)定出φ(y)，為此就要求(*)中的曲線積分，得到φ(y)滿足的關系式．再求φ(y)．通過求原函數(shù)計算積分：2xydx+[x2+φ(y)]dy=d[x2y+∫0yφ(s)ds]．由(*)式，得[x2y+∫0yφ(s)ds]｜(0，0)(t，1)=[x2y+∫0yφ(s)ds]｜∫(0，0)(1，t)，即t2+∫01φ(s)ds=t+∫0tφ(s)ds(t)．求導得2t=1+φ(t)(t)，即φ(t)=2t一1，易驗證它滿足上式．因此Q(x，y)=x2+φ(y)=x2+2y一1．知識點解析：暫無解析22、設曲線積分∮L2[xφ(y)+ψ(y)]dx+[x2ψ(y)+2xy2—2xφ(y)]dy=0，其中L為任意一條平面分段光滑閉曲線，φ(y)，ψ(y)是連續(xù)可微的函數(shù)．(Ⅰ)若φ(0)=一2，ψ(0)=1，試確定函數(shù)φ(y)與ψ(y)；(Ⅱ)計算沿L從點O(0，0)到M(π，)的曲線積分．標準答案：(Ⅰ)由假設條件，該曲線積分與路徑無關，將曲線積分記為∮LPdx+Qdy，由單連通區(qū)域上曲線積分與路徑無關的充要條件知，φ(y)，ψ(y)滿足，即2[xφ’(y)+ψ’(y)]=2xψ(y)+2y2—2φ(y)．由此得x[φ’(y)一ψ(y)]=y2一φ(y)一ψ’(y)．由于x，y是獨立變量，若令x=0，則y2一φ(y)一ψ’(y)=0．將之代回上式又得φ’(y)一ψ(y)=0．因此，φ(y)，ψ(y)滿足將第一個方程ψ(y)=φ’(y)代入第二個方程得φ"(y)+φ(y)=y2．這是二階線性常系數(shù)非齊次方程，它的通解是φ(y)=C1cosy+C2siny+y2—2．由條件φ(0)=一2，φ’(0)=ψ(0)=1，得c1=0，c2=1，于是求得φ(y)=siny+y2—2，ψ(y)=φ’(y)=cosy+2y．(Ⅱ)求u使得du=Pdx+Qdy．把φ，ψ的關系式代入并整理得Pdx+Qdy=φ(y)dx2+x2dφ(y)+ψ(y)d(2x)+2x[y2一φ(y)]d)，=d[x2φ(y)]+ψ(y)d(2x)+2xdψ(y)=d[x2φ(y)+2xψ(y)]．知識點解析：暫無解析23、設有數(shù)量函數(shù)u(x，y，z)及向量函數(shù)F(x，y，z)={P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)}，其中P，Q，R，u在Ω上有連續(xù)的二階偏導數(shù)，證明：(Ⅰ)divgradu=；(Ⅱ)div(rotF)=0；(Ⅲ)rot(gradu)=θ．標準答案：由梯度，散度及旋度的計算公式得到：知識點解析：暫無解析24、設S是上半空間z＞0中任意光滑閉曲面，S圍成區(qū)域Ω，函數(shù)u=ρw(ρ)(ρ=)在上半空間有連續(xù)的二階偏導數(shù)，滿足求w(ρ)．標準答案：即求u(ρ)．由高斯公式得注意u只依賴于ρ=表示．由復合函數(shù)求導法得這是可降價的二階線性方程，兩邊乘ρ2得=ρ2e2．其中C1，C2為任意常數(shù)．因此w=。知識點解析：暫無解析25、設平面上有界閉區(qū)域D由光滑曲線C圍成，C取正向(如圖10．18)．(Ⅰ)P(x，y)，Q(x，y)在D有連續(xù)的一階偏導數(shù)，證明格林公式的另一種形式：=∫C(Pcosα+Qcosβ)ds，其中n=(cosα，cosβ)是C的單位外法向量．(Ⅱ)設u(x，y)，v(x，y)在D有連續(xù)的二階偏導數(shù)，求證：(Ⅲ)設u(x，y)在D有連續(xù)的二階偏導數(shù)且滿足求證：u(x，y)=0((x，y)∈D)．標準答案：(Ⅰ)將格林公式=Pdx+Qdy中Q換成P，P換成一Q，得=∫CPdy—Qdx．由第一、二類曲線積分的關系得∫CPdy—Qdx=∫C[Pcos<τ，j>一Qcos<τ，i>]ds，其中τ是C的單位切向量且沿C的方向．注意<τ，j>=，<τ，i>=π一．于是Pdy—Qdx=∫C[Pcos+Qcos]ds=fc(Pcosα+Qcosβ)ds．因此證得結論．(Ⅱ)由方向導數(shù)計算公式得．再由格林公式的另一種形式(即題(Ⅰ)的結論)得再移項即得證．(Ⅲ)因u(x，y)｜C=0，要證u(x，y)≡0((x，y)∈D)，只需證=0((x，y)∈D)．在(10．7)式中取v(x，y)=u(x，y)，得知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設f(x)在(－∞，+∞)內(nèi)可導，且對任意x1，x2，當x1＞x2時，都有f(x1)＞f(x2)，則()A、對任意x，f’(x)＞0B、對任意x，f’(－x)≤0C、函數(shù)f(－x)單調(diào)增加D、函數(shù)－f(－x)單調(diào)增加標準答案：D知識點解析：由題意，不論△x大于0還是小于0，對任意的x都有故由于x的任意性，f(－x)≥0，故A，B錯誤．同時，由題干可知f(x)單調(diào)增加，故g(－x)單調(diào)減少，－f(－x)單調(diào)增加，C錯誤，選D．2、若a⊥b，a，b均為非零向量，x是非零實數(shù)，則有()A、｜a+xb｜＞｜a｜+｜x｜｜b｜B、｜a－xb｜＜｜a｜—｜x｜｜b｜C、｜a+xb｜＞｜a｜D、｜a一xb｜＜｜a｜標準答案：C知識點解析：｜a+xb｜2=(n+xb).(a+xb)=｜a｜2+2xa.b+x2｜b｜2=｜a｜2+x2｜b｜2＞｜a｜2，所以｜a+xb｜＞｜a｜．應選C．3、兩張平行平面π1：Ax+By+Cz+D1=0與π2：Ax+By+Cz+D2=0之間的距離為()A、｜D1－D2｜B、｜D1+D2｜C、D、標準答案：C知識點解析：π1與π2之間的距離即為平面π1上一點M1(x1，y1，z1)到π2的距離因為M1∈π1，故Ax1+By1+Cz1+D1=0，即Ax1+By1+Cz1=－D1，從而應選C．4、設f(x，y)是連續(xù)函數(shù)，且則()A、f(0，0)為f(x，y)的極大值B、f(0，0)為f(x，y)的極小值C、f(0，0)不是f(x，y)的極值D、不能確定標準答案：A知識點解析：記F(x，y)=x3+y2－3x2－3y2，則有Fx’=3x2－6x是其中一個駐點又由A=Fxx’’｜(0，0)=(6x－6)｜(0，0)=－6，B=Fxy’’｜(0，0)=0，C=yy’’｜(0，0)=(6y－6)}=－6，知△=B2－AC=－36＜0，又A＜0，故點(0，0)為F(x，y)的極大值點，且F(0，0)=0，故當x→0，y→0時，分母為負．由極限的保號性知，存在δ＞0，當點(x，y)滿足時，故f(0，0)為極大值，選A．5、下列命題中不正確的是()A、若f(u)有連續(xù)導數(shù)，則∫Lf(x2+y2)(xdx+ydy)在全平面內(nèi)與路徑無關B、若f(u)連續(xù)，則∫L(x2+y2)(xdx+ydy)在全平面內(nèi)與路徑無關C、若P(x，y)，Q(x，y)在區(qū)域D內(nèi)有連續(xù)的一階偏導數(shù)，且則∫LPdx+Qdy在區(qū)域內(nèi)與路徑無關D、在區(qū)域D={(x，y)｜(x，y)≠(0，0)}上與路徑有關標準答案：C知識點解析：對于A，令P(x，y)=xf(x2+y2)，Q(x，y)=yf(x2+y2)，則=2xy.f’(x2+y2)，=2xy.f’(x2+y2)，其中f’(x2+y2)=f’(s)｜s=x2+y2，得到全平面是單連通區(qū)域，故∫LPdx+Qdy在全平面內(nèi)與路徑無關．A正確．對于B，可求得被積函數(shù)的原函數(shù)滿足f(x2+y2)(xdx+ydy)=f(x2+y2)d(x2+y2)=d[∫0sf(t)dt]｜s=x2+y2，因而∫L(x2+y2)(zdz+ydy)與路徑無關．B正確．對于C，因區(qū)域D不一定是單連通區(qū)域，故C中積分不一定與路徑無關．C不正確．對于D，由于區(qū)域D不是連通區(qū)域，因而積分與路徑有關．D正確．6、設f(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，且0≤f(ax)≤1，又設()A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對收斂D、斂散性與具體的f(x)有關標準答案：B知識點解析：由于0≤f(x)≤1且f(x)連續(xù)，所以所以發(fā)散，并且由萊布尼茨判別法知，交錯級數(shù)條件收斂．7、已知y1=xex+e2x和y2=xex+e－x是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的兩個解，則此方程為()A、y’’－2y’+y=e2xB、y’’－y’－2y=xexC、y’’－y’－2y=ex－2xexD、y’’－y=e2x標準答案：C知識點解析：非齊次線性方程兩解之差必為對應齊次方程之解，由y1－y2=e2x－e－x及解的結構定理知對應齊次方程通解為y=C1e2x+C2e－x，故特征根r1=2，r2=－1．對應齊次線性方程為y’’－y’=2y=0。再由特解y*=xex知非齊次項f(x)=y*’’－y*’－2y*=ex－2xex，于是所求方程為y’’－y’－2y=ex－2xex．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)8、設函數(shù)y=y(x)由方程ex+y+cosxy=0確定，則=______．標準答案：知識點解析：方程兩邊同時對x求導，可得9、已知∫01f(x)dx=1，f(1)=0，則∫01xf’(x)dx=_______．標準答案：-1知識點解析：此積分的計算要用分部積分法．∫01xf’(x)dx=∫01xdf(x)=xf(x)｜01－∫01f(x)dx=－110、=______．標準答案：知識點解析：11、已知平行四邊形有兩對角線向量為c=a+2b，d=3a－4b，其中｜a｜=1，｜b｜=2，a與b的交角，則該平行四邊形的面積S=______．標準答案：5知識點解析：該平行四邊形的面積s等于以c，d為鄰邊的平行四邊形面積的．由矢量積的幾何意義知，12、微分方程的特解是______．標準答案：知識點解析：寫成令y2=ux，有代入原方程，得解之得sinu=Cx．再以三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)13、求極限標準答案：為了在使用洛必達法則時使求導變得簡單，先做變量代換，令從而知識點解析：暫無解析14、設試求α，β的值．標準答案：顯然由條件知β≠0，而因此有α－β+1=0，且知識點解析：暫無解析15、求y’．標準答案：知識點解析：暫無解析16、設求y(n)(0)．標準答案：當x≠0時，當x=0時，故對任意x∈(－∞，+∞)，都有又比較系數(shù)，得知識點解析：暫無解析17、敘述并證明一元函數(shù)微分學中的羅爾定理．標準答案：羅爾定理：設函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，且f(a)=f(b)，則至少存在—點ξ∈(a，b)使f’(ξ)=0．證明：由于f(x)在[a，b]上連續(xù)，所以f(x)在[a，b]上存在最大值M和最小值m．①如果M=m，則f(x)≡C，從而f’(x)≡C，任取ξ∈(a，b)均有f’(ξ)=0．②如果M＞m，由于f(a)=f(x)，所以M或m中至少有個在開區(qū)間(a，b)內(nèi)取到，即在(a，b)內(nèi)f(x)可取到極值(極大值或(和)極小值)．由費馬定理知，在對應點x=ξ∈(a，b)處，f’(ξ)=0．知識點解析：暫無解析設常數(shù)(a＞0，函數(shù)g(x)在區(qū)間[－a，a]上存在二階導數(shù)，且g''(x)＞0．18、令h(x)=g(x)+g(－x)，證明在區(qū)間[0，a]上h’(x)≥0，當且僅當x=0時h’(x)=0；標準答案：h’(x)=g’(x)－g’(－x)，h’(0)=0，h’’(x)=g’’(x)+g’’(－x)＞0，由拉格朗日中值定理，有h’(x)=h’(0)+h’’(ξ)(x－0)=h’’(ξ)x＞0(x＞0)．知識點解析：暫無解析19、證明2a∫－aag(x)e－x2dx≤∫－aag(x)dx∫－aae－x2dx．標準答案：因為當0≤x≤a時h’(x)≥0，h(x)單調(diào)增加；f(x)=e－x2在0≤x≤a時單調(diào)減少，所以不論0≤x≤y≤a還是0≤y≤x≤a，均有[h(x)－h(huán)(x)](e－x2－e－y2)≤0，即只要(x，y)∈D={(x，y)｜0≤x≤a，0≤y≤a}，有h(x)e－x2+h(y)e－y2≤h(x)e－y2+h(y)e－x2．于是有2∫0ady∫0ah(x)e－x2dx≤2∫0ae－y2dy∫0ah(x)dx，2a∫0ah(x)e－x2dx≤2∫0ae－y2dy∫0ah(x)dx．又因為h(x)與e－x2都是偶函數(shù)，所以a∫－aah(x)e－x2dx≤∫－aae－y2dy∫－aah(x)dx，(*)再以h(x)=g(x)+g(－x)代入，并注意到∫－aah(x)dx=∫－aa[g(x)+g(－x)]dx=∫－aag(x)dx+∫－aag(－x)dx=∫－aag(x)dx+∫－aag(u)(－du)=2∫－aag(x)dx，同理，∫－aah(x)e－x2dx=2∫－aag(x)e－x2dx．從而式(*)成為2a∫－aag(x)e－x2dx≤∫－aae－x2dx∫－aag(x)dx．證畢．知識點解析：暫無解析20、求不定積分標準答案：知識點解析：暫無解析21、計算In=∫－11(x2－1)ndx．標準答案：由分部積分可得In=x(x2－1)n∫－11－2n∫－11x2(x2－1)n－1dx=一2n∫－11(x2－1)ndx－2n∫－11(x2－1)n－1dx=－2nIn－2nIn－1，故遞推得知識點解析：暫無解析22、設函數(shù)f(x)有連續(xù)導數(shù)，F(xiàn)(x)=∫0xf(t)f’(2a－t)dt，證明：F(2a)－2F(a)=f2(a)－f(0)f(2a)．標準答案：F(2a)－2F(a)=∫02af(t)f’(2a－t)dt－2∫0af(t)f’(2a－t)dt=∫a2af(t)f’(2a－t)dt－∫0af(t)f’(2a－t)dt，其中∫a2af(t)f’(2a－t)dt=f2(a)－f(0)f(2a)+∫a2af(2a－x)f’(t)dt，所以原式=f2(a)－f(0)f(2a)+∫a2af(2a－t)f’(t)dt－∫0af(t)f’(2a－t)dt，又∫a2af(2a－t)f’(t)dt∫0af(u)f’(2a－u)du=∫0af(t)f’(2a－t)dt，所以F(2a)－2F(a)=f2(a)－f(0)f(2a)．知識點解析：暫無解析23、(1)敘述二元函數(shù)z=f(x，y)在點(x0，y0)處可微及微分dz｜x0－y0的定義；(2)證明下述可微的必要條件定理：設z=f(x，y)在點(x0，y0)處可微，則fx’(x0，y0)與fy’(x0，y0)都存在，且dz｜x0－y0=fx’(x0，y0)△x+fy’(x0，y0)△y；(3)請舉例說明(2)的逆定理不成立．標準答案：(1)定義：設z=f(x，y)在點(x0，y0)的某鄰域U內(nèi)有定義，且(x0+△x，y0+△y)∈U，則增量△z=f(x0+△x，y0+△y)－f(x0，y0)A△x+B△y+o(ρ)，(*)其中A，B與△x，△y都無關，則稱f(x，y)在點(x0，y0)處可微，并稱A△x+B△y為z=f(x，y)在點(x0，y0)處的全微分，記為dz｜(x0，y0)=A△x+B△y．(2)設z=f(x，y)在點(x0，y0)處可微，則(*)式成立，令△y=0，于是證明了fx’(x0，y0)與fy’(x0，y0)存在，并且dz｜(x0，y0)=fx’(x0，y0)△x+fy’(x0，y0)△y．(3)(2)的逆定理不成立，反例fy’(0，0)=0都存在，但在點(0，0)處f(x，y)不可微．知識點解析：暫無解析24、計算∫0adx∫0bemax(b2x2，a2y2)dy，其中a，b＞0．標準答案：知識點解析：暫無解析25、設在D=[a，b]×[c，d]上連續(xù)，求并證明：I≤2(M－m)，其中M和m分別是f(x，y)在D上的最大值和最小值．標準答案：=[f(x，d)－f(x，c)]｜ab=[f(b，d)+f(a，c)－[f(a，d)+f(b，c)]，顯而易見，I≤2(M－m)．知識點解析：暫無解析26、計算I=(ax2+by2+cz2)dS，其中∑x2+y2+z2=1．標準答案：利用對稱性，因為知識點解析：暫無解析27、計算三重積分其中Ω由平面y=1，圓柱面x2+z2=1和半球面圍成，如圖1．6—2所示．標準答案：因為Ω關于xOy及yOz坐標面對稱，所以有知識點解析：暫無解析28、證明：級數(shù)條件收斂．標準答案：是交錯級數(shù)，但不滿足萊布尼茨判別條件．由于上式每個括號都小于0，所以{S2n}單調(diào)遞減，再由知{S2n}單調(diào)遞減有下界，故{S2n}收斂，記所以，原級數(shù)的部分和數(shù)列{S2n}收斂，從而級數(shù)收斂，所以原級數(shù)條件收斂．知識點解析：暫無解析29、將函數(shù)f(x)=x2(0≤x≤π)展開成余弦級數(shù)，并求的和．標準答案：將f(x)作偶延拓，得f(x)=x2(－π≤x≤π)，則bn=0，n=1，2，…．令x=π，由狄利克雷收斂定理，知知識點解析：暫無解析30、求微分方程的通解．標準答案：此為齊次方程，只要作代換即得原方程通解為其中C為任意正常數(shù)．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設函數(shù)f(x)是定義在(－1，1)內(nèi)的奇函數(shù)，且則f(x)在x=0處的導數(shù)為()A、aB、－aC、0D、不存在標準答案：A知識點解析：由于f(x)為(－1，1)內(nèi)的奇函數(shù)，則f(0)=0．于是而令x=－t時，即f－’(0)=f+’(0)=a，則f’(0)=a，應選A．2、設f(x)=f(－x)，且在(0，+∞)內(nèi)二階可導，又f’(x)＞0，f’’(x)＜0，則f(x)在(－∞，0)內(nèi)的單調(diào)性和圖形的凹凸性是()A、單調(diào)增加，凸B、單調(diào)減少，凸C、單調(diào)增加，凹D、單調(diào)減少，凹標準答案：B知識點解析：當x＞0時，由．f’(x)＞0可知f(x)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)增加；由f’’(x)＜0可知f(x)在(0，+∞)內(nèi)為凸曲線．由f(x)=f(－x)可知f(x)關于y軸對稱，則f(x)在(－∞，0)內(nèi)單調(diào)減少，為凸曲線，選B．3、設f(x)在[a，b]上非負，在(a，b)內(nèi)f’’(x)＞0，f’(x)＜0．I1=[f(b)+f(a)]，I2=∫abf(x)dx，I2=(b－a)f(b)，則I1，I2，I3的大小關系為()A、I1≤I2≤I3B、I2≤I3≤I1C、I1≤I3≤I2D、I3≤I2≤I1標準答案：D知識點解析：由于f’(x)＜0，f’’(x)＞0，y=f(x)單調(diào)減少且圖形為凹，畫圖如圖1．3—2所示，I1是梯形ABCD的面積，I2是曲邊梯形ABCD的面積，I3是長方形ABCD的面積．由圖1．3—2可知，I3≤I2≤I1．4、已知向量的始點A(4，0，5)，則B的坐標為()A、(10，－2，1)B、(－10，－2，1)C、(10，2，1)D、(10，－2，－1)標準答案：C知識點解析：設B(x，y，z)，則所以x－4=6，y=2，z－5=－4，即x=10，y=2，z=1．5、b=cos(x2+y2)曲，c=cos(x2+y2)2dσ，其中D={(x，y)｜x2+y2≤1)，則()A、c＞b＞aB、a＞b＞cC、b＞a＞cD、c＞a＞b標準答案：A知識點解析：由于D={(x，y)｜x2+5y2≤1}，所以(x2+y2)2≤x2+y2≤≤1．由cosx在上單調(diào)減少可得cos(x2+y2)2≥cos(x2+y2)≥cos≥0．因此有c＞b＞a．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、=______．標準答案：0知識點解析：7、若函數(shù)處取得極值，則a=______．標準答案：2知識點解析：f’(x)=acosc+cos3c，因a=2．這時f’’(x)=－2sinx－3sin3x，為極大值點．8、設f’’(a)存在，f’(a)≠0，則=______．標準答案：知識點解析：將分子用佩亞諾余項泰勒公式展開至o((x－a)2)．9、=______．標準答案：其中C為任意常數(shù)知識點解析：10、設f’(sin2x)=cos2x+tan2x(0＜x＜1)，則f(x)=_____．標準答案：－ln(1－x)－x2+C(0＜x＜1)，其中C為任意常數(shù)知識點解析：由題意11、設f(u)為連續(xù)函數(shù)，D是由y=1，x2－y2=1及y=0所圍成的平面閉區(qū)域，則I=xf(y2)dσ=______．標準答案：0知識點解析：因積分區(qū)域D關于y軸對稱，被積函數(shù)xf(y2)關于變量x是奇函數(shù)，故12、設一個矢量場A(x，y，z)，它在某點的矢量大小與該點到原點的距離平方成正比(比例常數(shù)為k)，方向指向原點，則divA=______．標準答案：知識點解析：由題意有13、正項級數(shù)收斂的充分必要條件為其部分和數(shù)列{Sn}______．標準答案：有界(或有上界)知識點解析：級數(shù)收斂等價于{Sn}收斂．對于正項級數(shù){Sn}為單調(diào)遞增數(shù)列．由數(shù)列極限存在準則與數(shù)列收斂的必要條件可知，單調(diào)遞增數(shù)列{s。)收斂等價于{Sn}有界(或有上界)．14、若anxn在x=－3處為條件收斂，則其收斂半徑R=______．標準答案：3知識點解析：因anxn在x=－3收斂，故由阿貝爾定理知，｜x｜＜3時，anxn絕對收斂．又因anxn在x=－3條件收斂，故｜x｜＞3時，anxn發(fā)散．如若不然，必存在x1，使｜x｜＞3且在x=x1處anxn收斂．由阿貝爾定理便可推出｜x｜＜｜x1｜時，特別是x=－3時anxn絕對收斂．這與題設在x=－3處條件收斂相矛盾．綜上，由收斂半徑的定義便有R=3．15、設整數(shù)n≥0，則f(2n+1)(0)=______．標準答案：(－1)n(2n)!知識點解析：由泰勒級數(shù)的唯一性，對于n=0，1，…，有三、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)16、設求f[g(x)]標準答案：本題考查分段函數(shù)的復合方法．下面用解析法求解．首先，廣義化為由g(x)的表達式知：當g(x)≤0，即{2ex－1≤0}∩{x≤0)或{x2－1≤0}∩{x＞0}，而{2ex－1≤0}∩{x≤0}={x≤－ln2}∩{x≤0}={x≤－ln2}，{x2－1≤0}∩{x>0}={－1≤x≤1}∩{x＞0}={0＜x≤1}；當g(x)＞0，即{2ex－1>0}∩{x2≤0}或{x2－1＞0}∩{x＞0}，而{2ex－1＞0}∩{x≤0}={x＞－ln2}∩{x≤0}={－ln2＜x≤0}!{x2－1＞0)∩{x＞0)={x＞1或x＜－1}∩{x＞0}={x＞1}．綜上，得知識點解析：暫無解析17、f(x)在(－∞，+∞)上連續(xù)，且f(x)的最小值f(x0)＜x0，證明：f[f(x)]至少在兩點處取得最小值．標準答案：令F(x)=f(x)－x0，則F(x)在(－∞，+∞)上連續(xù)，且F(x0)＜0，由知存在a＜x0，使得F(a)＞0；存在b＞x0，使得F(b)＞0，于是由零點定理，知存在x1∈(a，x0)，使得F(x1)=0；存在x2∈(x0，b)，使得F(x2)=0，即有x1＜x0＜x2，使得f(x1)=x0=f(x2)，從而得f[f(x1)]=f(x0)=f[f(x2)]．知識點解析：暫無解析18、設f(x)在x0處n階可導，且f(m)(x0)=0(m=2，…，n－1)，f(n)(x0)≠0(n＞2)．證明：當n為奇數(shù)時，(x0，f(x0))為拐點．標準答案：n為奇數(shù)，令n=2k+1，構造極限當f(2k+1)(x0)＞0時，存在x0的某個去心鄰域＞0，則x→x0+時，f’’(x)＞0；x→x0－時，f(x)＜0，故(x0，f(x0))為拐點；當f(2k+1)(x0)＜0時，同理可得(x0，f(x0))為拐點．知識點解析：暫無解析19、計算定積分標準答案：知識點解析：暫無解析20、設常數(shù)0＜a＜1，求標準答案：對第二項作積分變換x=π－t，得知識點解析：暫無解析21、求到平面2x－3y+6z－4=0和平面12x－15y+16z－1=0距離相等的點的軌跡方程．標準答案：設所求點的坐標為(x，y，z)．由點到平面的距離公式，有兩邊去絕對值符號，化簡得到：34x－30y－38z+93=0或134x－180y+262z－107=0．這是所要求的兩個平面方程．知識點解析：暫無解析22、求直線L：在平面π：x－y+3z+8=0的投影方程．標準答案：先求出一平面π1，使它過直線L且垂直于平面π．設直線L的方向向量為s，平面π1的法向量為n1。平面π的法向量為n，則n1⊥s，n1⊥n，而下面再求出L上的某點坐標．為此，在方程中令x=0，得y=4，z=－1，則平面過點(0，4，－1)．于是平面π1方程為(x－0)－2(y－4)－(z+1)=0，即x－2y－z+7=0．因直線L在平面π上的投影既在平面丌上，又在平面π1上，因而其方程為知識點解析：暫無解析23、設其中f，g均可微，求標準答案：由鏈式法則直接求導得知識點解析：暫無解析24、設討論它們在點(0，0)處的①偏導數(shù)的存在性；②函數(shù)的連續(xù)性；③方向導數(shù)的存在性；④函數(shù)的可微性．標準答案：(1)①按定義易知fx’(0，0)=0，fy’(0，0)=0，故在點(0，0)處偏導數(shù)存在．②(當(x，y)=(0，0))，所以f(x，y)在點(0，0)處連續(xù)．但上式并不成立(例如取△y=k△x，上式左邊為)故不可微．(2)以下直接證明④成立，由此可推知①，②，③均成立．事實上，所以按可微的定義知，g(x，y)在點(0，0)處可微．知識點解析：暫無解析25、設S為平面x－y+z=1介于三坐標平面間的有限部分，法向量與z軸交角為銳角，f(x，y，z)連續(xù)，計算I=[f(x，y，z)+x]dydz+[2f(x，y，z)+y]dzdx+[f(x，y，z)+x]dxdy．標準答案：將S投影到xOy平面，其投影域(如圖1．6－13)為D=((x，y)｜x－y≤1，x≥0，y≤0}．從S的方程解出z=1－x+y．直接將該積分化為一個二重積分．由知識點解析：暫無解析26、設函數(shù)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，若對任意的t∈(0，+∞)恒有其中Ω(f)={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2)，D(t)是Ω(t)在xOy平面上的投影區(qū)域，∑(t)是球域Ω(t)的表面，L(t)是D(t)的邊界曲線．證明：f(x)滿足∫0tr2f(r)dr+tf(r)=2t4，且f(0)=0．標準答案：D(t)={(x，y)｜x2+y2≤t2}，∑(t)={(x，y，z)｜x2+y2+z2=t2}，L(t)={(x，y)｜x2+y2=t2}，且=∫02πdθ∫0πsinφdφ∫0tr2f(r)dr=4π∫0tr2f(r)dr，=∫02πdθ∫0tr2f(r)dr=2π∫0tr2f(r)dr，由題設條件，有47π∫0tr2f(r)dr+2πtf(t)=2π∫0tr2f(r)dr+4πt4，即∫0tr2f(r)dr+tf(f)=2t4．又t≠0，則知識點解析：暫無解析27、求微分方程y’’+5y’+6y=2e－x的通解．標準答案：所給微分方程的特征方程為r2+5r+6=(r+2)(r+3)=0，特征根為r1=－2，，r2=－3．于是，對應齊次微分方程的通解為(x)=C1e－2x+C2e－3x．設所給非齊次方程的特解為y*=Aex．將y*(x)代入原方程，可得A=1．由此得所給非齊次方程的特解y*=e－x．從而，所給微分方程的通解為y(x)=C1e－2x+C2e－3x+e－x，其中C1，C2為任意常數(shù)．知識點解析：暫無解析28、求解(1+)ydx+(y－x)dy=0．標準答案：方程化為此為齊次方程，故令代入上述方程得兩邊積分得ln｜u+eu｜=－ln｜y｜+C1，即(u+eu)y=C，將故原方程的通解為其中C為任意常數(shù)．知識點解析：暫無解析29、求y’’－y=e｜x｜的通解．標準答案：自由項帶絕對值，為分段函數(shù)，所以應將該方程按區(qū)間(－∞，0)∪[0，+∞)分成兩個方程，分別求解．由于y’’=y+e｜x｜在x=0處具有二階連續(xù)導數(shù)，所以求出解之后，在x=0處使二階導數(shù)連續(xù)，便得原方程的通解．當x≥0時，方程為y’’－y=ex，求得通解y=C1ex+C2e－x+xex．①當x＜0時，方程為y’’－y=e－x，求得通解y=C3ex+C4e－x－xe－x．②因為原方程的解y(x)在x=0處連續(xù)且y’(x)也連續(xù)，則有其中C1，C2為任意常數(shù)．此y在x=0處連續(xù)且y’連續(xù)．又因y’’=y+e｜x｜，所以在x=0處y’’亦連續(xù)，即是通解．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、下列各項中正確的是A、若都收斂，則(un＋vn)2收斂．B、若｜unvn｜收斂，則都收斂．C、若正項級數(shù)un發(fā)散，則·D、若級數(shù)un收斂且un≥vn(n＝1，2，…)，則級數(shù)也收斂．標準答案：A知識點解析：(A)正確．2、若級數(shù)an(x—1)n在x＝一1處收斂，則此級數(shù)在x＝2處A、條件收斂．B、絕對收斂．C、發(fā)散．D、斂散性不能確定．標準答案：B知識點解析：，t＝x—1，在t＝2處收斂R≥2，x＝2時t＝1∈(—R，R)在t＝1即在x＝2處絕對收斂．選(B)．二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)3、設L是區(qū)域D：x2＋y2≤一2x的正向邊界，則I＝(x3一y)dx＋(x一y3)dy＝______．標準答案：2π知識點解析：把線積分表成D是圓域：(x＋1)2＋y2≤1，于是由格林公式．4、設L是平面上從圓周x2＋y2＝a2上一點到圓周x2＋y2＝b2上一點的一條光滑曲線(a＞0，b＜0)，r＝，則I＝r3(xdx＋ydy)＝______．標準答案：知識點解析：r3(xdx＋ydy)＝r3d(x2＋y2)＝r3dr2＝r4dr＝d，5、設r＝，常數(shù)λ使得曲線積分對上半平面的任何光滑閉曲線L成立，則λ＝______．標準答案：-1知識點解析：把線積分表成Pdx＋Qdy＝0，(上半平面是單連通區(qū)域)，即三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)6、求一段均勻圓柱面S：x2＋y2＝R2(O≤z≤h)對原點處單位質點的引力．假設該圓柱面的面密度為1．標準答案：(I)設引力F＝{Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z}，由對稱性知，F(xiàn)x＝0，F(xiàn)y＝0．因此只需求F沿z軸的分量Fz．如圖9．34．(Ⅱ)在圓柱面上任一點(x，y，z)處取一小塊曲面元dS，記r＝{x，y，z}，r＝[*430]，則曲面元對原點處單位質點的引力dF＝，它沿z軸的分量為(Ⅲ)圓柱面對原點單位質點的引力的z分量(Ⅳ)計算曲面積分．要投影到y(tǒng)z平面(或zx平面)來計算．圓柱面S在yz平面的投影區(qū)域為Dyz＝{(y，z)｜0≤z≤h，一R≤y≤R}，曲面S的方程為x＝，曲面微元記S1為前半圓柱面，于是知識點解析：暫無解析7、求，其中L：x2＋y2＝R2的正方向．標準答案：將L表成參數(shù)方程的形式，即x＝Rcosθ，y＝Rsinθ(0≤θ≤2π)，于是注意到右端積分存在且為一常數(shù)，所以知識點解析：暫無解析求下列平面上曲線積分8、I＝[y2—2xysin(x2)]dx，其中L為橢圓的右半部分，從A(0，—b)到B(0，b)．標準答案：I＝∫Ly2dx＋∫Lydcos(x2)＋cos(x2)dy．知識點解析：暫無解析9、I＝，其中A(0，—1)，B(1，0)，為單位圓在第四象限部分．標準答案：知識點解析：暫無解析10、，其中是沿橢圓正向從A(a，0)到(0，b)的一段弧，a≠1．標準答案：知識點解析：暫無解析11、其中L是橢圓周，取逆時針方向．標準答案：將I表成I＝∫LPdx＋Qdy，則不能在L圍成的區(qū)域上用格林公式，取圓周(如圖10．4)Cε：x2＋y2＝ε2(ε＞0充分小)，逆時針方向，在L與Cε圍成的區(qū)域Dε上可用格林公式得知識點解析：暫無解析12、I＝exsiny—my—y)dx＋(excosy—mx)dy，其中L：t從0到π，a＞0．標準答案：將積分I分解成I＝I1＋I2，其中I1易通過求原函數(shù)而求得，I2容易直接計算：因此知識點解析：暫無解析求下列曲面積分13、，其中∑為由區(qū)面y＝x2＋z2與平面y＝1，y＝2所圍立體表面的外側．標準答案：∑圍成區(qū)域Ω，直接用高斯公式得作柱坐標變換D(y)：0≤r≤，0≤θ≤2π，知識點解析：暫無解析14、(z＋1)dxdy＋xydzdx，其中為圓柱面x2＋y2＝a2上x≥0，0≤z≤1部分，法向量與x軸正向成銳角，為Oxy平面上半圓域x2＋y2≤a2，x≥0部分，法向量與z軸正向相反．標準答案：∑1∪∑2不封閉，添加輔助面后用高斯公式．∑3：z＝1，X2＋y2≤a2，x≥0，法向量朝上．∑4：x＝0，一a≤y≤a，0≤z≤1，法向量與x軸正向相反．∑4垂直xy平面與zx平面(z＋1)dxdy＋xydzdx＝0．∑3垂直zx平面∑1，∑2，∑3，∑4圍成區(qū)域Ω，用高斯公式知識點解析：暫無解析15、I＝(x2一y2)dzdx＋(y2一z2)dzdx＋(z2一x2)dxdy，S是的上側．標準答案：用高斯公式來計算．曲面不封閉，添加輔助面．S1：z＝0，≤1，取下側．S與S1圍成Ω．(I)記I1＝Pdydz＋Qdzdx＋Rdxdy，因為S1與yz平面及zx平面垂直，且S1上z＝0，所以(Ⅱ)在Ω上用高斯公式．注意Ω關于yz平面與zx平面對稱，知識點解析：暫無解析求下列空間中的曲線積分16、I＝y(tǒng)zdx＋3zxdy—xydz，其中L是曲線且順著x軸的正向看是沿逆時針方向．標準答案：投影到xy平面上．記L在xy平面上的投影為г，也取逆時針方向，г圍成的區(qū)域為D：x2＋(y一2)2≤22．用z＝3y＋1，dz＝3dy代入得知識點解析：暫無解析17、I＝(x2一yz)dx＋(y2一xz)dy＋(z2一xy)dz，其中г是沿螺旋線x＝acosθ，y＝asinθ，z＝，從A(a，0，0)到B(a，0，h)的有向曲線．標準答案：把積分表示成，I＝PdX＋Qdy＋Rdz．考察F＝(P，Q，R)的旋度若г是閉曲線，以г為邊界的曲面S，定向按右手法則，由斯托克斯公式這里г不封閉，添加輔助線BA，構成了封閉曲線，于是知識點解析：暫無解析18、判斷下列曲線積分在指定區(qū)域D是否與路徑無關，為什么?(I)f(x2＋y2)(xdz＋ydy)，其中f(u)為連續(xù)函數(shù)，D：全平面．(II)，D＝｛(x，y)｜全平面除去一∞＜z≤0，y＝0｝．標準答案：(I)f(x2＋y2)(xdx＋ydy)d[(x2＋y2)]即被積表達式f(x2＋y2)(xdx＋ydy)原函數(shù)，因此該線積分在全平面與路徑無關．(Ⅱ)如圖10．9，L＝∫LPdx＋Qdy，(X，Y)∈D．D為單連通區(qū)域，因此積分在D與路徑無關．知識點解析：暫無解析19、設φ(x)在(0，＋∞)有連續(xù)導數(shù)，φ(π)＝1．試確定φ(x)，使積分在x＞0與路徑無關，并求當A，B分別為(1，1)，(π，π)時的積分值．標準答案：記I＝Pdx＋Qdy，在單連通區(qū)域D：x＞0上該積分與路徑無關兩邊乘u(x)＝＝x得[xφ(x)]’＝sinxφ(x)＝一cosx＋c．由φ(π)＝1得C＝π—1_因此φ(x)＝．下求積分值I．注意＝φ’(x)，代入得知識點解析：暫無解析20、求Pdx＋Qdy在指定區(qū)域D上的原函數(shù)，其中｛P，Q｝＝，D＝｛y)｜x＞0｝．標準答案：知識點解析：暫無解析21、選擇a，b，使Pdx＋Qdy在區(qū)域D＝｛(x，y)｜x2＋y2≠0｝內(nèi)為某函數(shù)u(x，y)的全微分，其中P＝(x2＋2xy＋ax2)，Q＝(x2＋2xy＋by2)．標準答案：先確定a，b，使，(x，y)∈D．因D不是單連通的，在D成立不足以保證Pdx＋Qdy原函數(shù)．用不定積分法直接求出原函數(shù)u(x，y)知識點解析：暫無解析22、已知E＝r，其中r＝｛x，y，z｝r＝｜r｜，q為常數(shù)，求divE與rotE．標準答案：E＝{x，y，z}，知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設f(x)是偶函數(shù)，φ(x)是奇函數(shù)，則下列函數(shù)(假設都有意義)中是奇函數(shù)的是()A、f[φ(x)]B、f[f(x)]C、φ[f(x)]D、φ[φ(x)]標準答案：D知識點解析：令g(x)=φ[φ(x)]，注意φ(x)是奇函數(shù)，有g(－x)=φ[φ(－x)]=φ[－φ(x)]=－φ[φ(x)]=－g(x)，因此φ[φ(x)]為奇函數(shù)．同理可得f[φ(x)]，f[f(x)]，φ[f(x)]均為偶函數(shù)。答案選D．2、設函數(shù)f(x)在區(qū)間(－δ，δ)內(nèi)有定義，若當x∈(－δ，δ)時，恒有｜f(x)｜≤x2，則x=0必是f(x)的()A、間斷點B、連續(xù)，但不可導的點C、可導的點，且f’(0)=0D、可導的點，且f’(0)≠0標準答案：C知識點解析：f(0)=0，故f’(0)=0．3、()A、arctan(cos2x)+CB、－arctan(cos2x)+CC、arctan(－cos2x)+CD、標準答案：B知識點解析：4、直線L：與平面π：x－y+2z+4=0的夾角為()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：由題設知直線L的方向向量為s=(2，1，1)，平面π的法向量為n=(1，－1，2)．設直線L與平面丌的夾角為φ，則選C．5、zx’(x0，y0)=0和zy’(x0，y0)=0是函數(shù)z=z(x，y)在點(x0，y0)處取得極值的()A、必要條件但非充分條件B、充分條件但非必要條件C、充要條件D、既非必要也非充分條件標準答案：D知識點解析：既非必要也非充分條件．取z=z(x，y)=則點(0，0)為其極小值點，zx’(0，0)，zy’(0，0)均不存在．6、設平面區(qū)域D由x=0，y=0，x+y=，x+y=1圍成，若I1=[ln(x+y)]3dxdy，I2=(x+y)3dxdy，I3=[sin(x+y)]3dxdy，則I1，I2，I3的大小順序為()A、I1＜I2＜I3B、I3＜I2＜I1C、I1＜I3＜I2D、I3＜I1＜I2標準答案：C知識點解析：在D內(nèi)，≤x+y≤1，所以ln(x+y)≤0＜sin(x+y)＜x+y，于是7、設f(x)=x+1(0≤x≤1)，則它以2為周期的余弦級數(shù)在x=0處收斂于()A、1B、－1C、0D、標準答案：A知識點解析：要得到以2為周期的余弦級數(shù)，f(x)需延拓為以2為周期的偶函數(shù)F(x)．因x=0時，f(x)連續(xù)，由狄利克雷收斂定理知，余弦級數(shù)在x=0處收斂于F(0)=f(0)=1，故選A．8、函數(shù)項級數(shù)的收斂域為()A、(－1，1)B、(－1，0)C、[－1，0]D、[－1，0)標準答案：D知識點解析：9、方程(3+2y)xdx+(x2－2)dy=0的類型是()A、只屬于可分離變量型B、屬于齊次型方程C、只屬于全微分方程D、兼屬可分離變量型、一階線性方程和全微分方程標準答案：D知識點解析：原方程關于x和y非齊次，但極易分離變量，也可化為y的一階線性方程．又滿足全微分方程條件P’y=2x=Q’x．故選項A，B，C均不正確，D正確．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)10、=______．標準答案：其中C為任意常數(shù)知識點解析：11、設a=(3，－5，8)，b=(－1，1，z)，｜a+b｜=｜a－b｜，則z=______．標準答案：1知識點解析：a+b=(2，－4，8+z)，a－b=(4，－6，8－z)．由｜a+b｜=｜a－b｜知，20+(8+z)2=52+(8－z)2，得z=1．或者由｜a+b｜=｜a－b｜知a⊥b(其幾何意義是，a+b表示以a，b為鄰邊的平行四邊形的一條對角線向量，而a－b則表示另一條對角線向量．兩對角線長度相等的平行四邊形必是矩形，故可知a⊥b)，即a.b=0，由此可得－3－5+8z=0，亦得z=1．12、設則∫01xG(x)dx=______．標準答案：知識點解析：交換累次積分的次序，13、微分方程(6x+y)dx+xdy=0的通解是______．標準答案：3x2+xy=C，其中C為任意常數(shù)知識點解析：原方程兼屬一階線性方程、齊次方程、全微分方程．原方程可寫為6xdx+ydx+xdy=0，有d(3x2+xy)=0，積分得通解3x2+xy=C，其中C為任意常數(shù)．三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)14、設函數(shù)f(x)由下列表達式確定：求出f(x)的連續(xù)區(qū)間和間斷點，并研究f(x)在間斷點處的左右極限．標準答案：顯然x=1為間斷點，連續(xù)區(qū)間(－∞，1)∪(1，+∞)．所以x=1為無窮間斷點．知識點解析：暫無解析15、設x0=1，標準答案：假設xn＞xn－1成立，則即xn+1＞xn，由數(shù)學歸納法可知對一切n，都有xn+1＞xn．又所以{xn}單調(diào)增加且有上界，{xn}必收斂．記兩邊取極限，得a=1+即a2－a－1=0．解得因xn≥1，故負值不符合題意，于是知識點解析：暫無解析16、證明：當0＜a＜b＜π時，bsinb+2cosb+nb＞asina+2cosa+πa．標準答案：令F(x)=xsinx+2cosx+πx，只需證明F(x)在(0，π)上單調(diào)遞增．F’(x)=sinx+xcosx－2sinx+π=π+xcosx－sinx，由此式很難確定F’(x)在(0，π)上的符號，為此有F’’(x)=－xsinx＜0，x∈(0，π)，即函數(shù)F’(x)在(0，π)上單調(diào)遞減，又F’(π)=0，所以F’(x)＞0，x∈(0，π)，于是F(b)＞F(a)，即bsinb+2cosb+πb＞asina+2cosa+πa．知識點解析：暫無解析17、求函數(shù)的導數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析18、作函數(shù)的圖形．標準答案：①定義域(－∞，0)∪(0，+∞)，無周期性無奇偶性．則y’=0的根為．y’’=0的根為x=－1．③列表：由表可知函數(shù)的極小值點為拐點為(－1，0)．④鉛直漸近線：無斜漸近線．⑤作圖(如圖1．2—2)．知識點解析：暫無解析19、若函數(shù)φ(x)及ψ(x)是x階可微的，且φ(k)(x0)=ψ(k)(x0)，k=0，1，2，…，n一1，又x＞x0時，φ(n)(x)＞ψ(n)(x)．試證：當x＞x0時，φ(x)＞ψ(x)．標準答案：令u(n－1)(x)=φ(n－1)(x)－ψ(n－1)(x)．在[x0，x]上用微分中值定理得u(n－1)(x)－u(n－1)(x0)=u(n)(ξ).(x－x0)，x0＜ξ＜x．又由u(n)(ξ)＞0可知u(n－1)(x)－u(n－1)(x0)＞0．且u(n－1)(x0)=0，所以u(n－1)(x)＞0，即當x＞x0時，φ(n－1)(x)＞ψ(n－1)(x)．同理u(n－2)(x)=φ(n－2)(x)－ψ(n－2)(x)＞0．歸納有(n－3)(x)＞0，…，u’(x)＞0，u(x)＞0．于是，當x＞x0時，φ(x)＞ψ(x)．知識點解析：暫無解析20、求標準答案：知識點解析：暫無解析21、求標準答案：知識點解析：暫無解析22、設xOy平面上有正方形D={(x，y)}0≤x≤1，0≤y≤1}及直線l=x+y=t(t≥0)．若S(t)表示正方形D位于直線l左下方部分的面積，試求∫0xS(t)dt(x≥0)．標準答案：由題設知所以當0≤x≤1時，∫0xS(t)dt=當1＜x≤2時，∫0xS(t)dt+∫1xS(t)dt=當x＞2時，∫0xS(t)dt=∫02S(t)dt+∫2xS(t)dt=x－1．因此，知識點解析：暫無解析23、設f(x)在[0，1]上連續(xù)，(0，1)內(nèi)可導，且f(0).f(1)>0，f(1)+∫01f(x)dx=0，試證：至少存在一點ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=ξf(ξ)．標準答案：令，f(1)+∫01f(x)dx=f(1)+f(c)=0，c∈(0，1)，由此可知f(x)≠0，否則f(1)=0，與題設f(0)f(1)＞0矛盾，不妨設f(c)＞0，則f(1)＜0，f(0)＜0．由連續(xù)函數(shù)的零點定理知存在a∈(0，c)，b∈(c，1)，使f(a)=f(b)=0，即F(a)=F(b)，由羅爾定理可知，存在ξ∈(a，b)，使F’(ξ)=0，即故f’(ξ)=ξf(ξ)．知識點解析：暫無解析24、設函數(shù)z=f(u)，方程u=φ(u)+∫yxP(t)出確定u是x，y的函數(shù)，其中f(u)，φ(u)可微，P(f)，φ’(u)連續(xù)，且φ’(u)≠1．求標準答案：由z=f(u)，可得在方程u=φ(u)+∫yxP(t)dt兩邊分別對x，y求偏導數(shù)，得知識點解析：暫無解析25、設計算：(1)gradu；(2)div(gradu)；(3)rot(gradu)．標準答案：知識點解析：暫無解析26、計算標準答案：D1：則D=D1∪D2：知識點解析：暫無解析27、計算標準答案：本題考查三重積分的精確定義，類比于定積分和二重積分，我們首先給出三重積分的精確定義：這里的Ω不是一般的空間有界閉區(qū)域，而是一個“長方體區(qū)域”．于是，給出“湊三重積分定義”的步驟如下：且既可以讀作“0到1上的dx”，也可以讀作“0到1上的dy”，“0到1上的dz”，于是，“湊定義”成功．知識點解析：暫無解析28、設冪級數(shù)an(x－b)n在x=0處收斂，在x=2b處發(fā)散，求冪級數(shù)anxn的收斂半徑R與收斂域，并分別求冪級數(shù)的收斂半徑．標準答案：令t=x－b，收斂中心x0=b的冪級數(shù)an(x－b)n化為收斂中心t0=0的冪級數(shù)antn．根據(jù)阿貝爾定理可以得到如下結論：因為an(x－b)n在x=0處收斂，所以antn在t=－b處收斂，從而當｜t｜＜｜－b｜=｜b｜時，冪級數(shù)antn絕對收斂．由于an(x－b)n在x=2b處發(fā)散，故antn在t=b處發(fā)散，進而當｜t｜＞｜b｜時，冪級數(shù)antn發(fā)散．由上述兩方面，根據(jù)冪級數(shù)收斂半徑的定義即知anxn的收斂半徑R=｜b｜，其收斂域為[－｜b｜，｜b｜)．又因為冪級數(shù)分別經(jīng)逐項求導和逐項積分所得，根據(jù)冪級數(shù)逐項求導、逐項積分所得冪級數(shù)的收斂半徑不變的性質，即知它們的收斂半徑都是R=｜b｜．知識點解析：暫無解析29、設y(x)是方程y(1)－y’’=0的解，且當x→0時，y(x)是x的3階無窮小，求y(x)．標準答案：由泰勒公式當x→0時，y(x)與x3同階，則y(0)=0，y’(0)=0，y’’(0)=0，y’’’(0)=C，其中C為非零常數(shù)．由這些初值條件，現(xiàn)將方程y(4)－y’’=0兩邊積分得∫0xy(4)(t)dt－∫0xy’’(t)dt=0，即y’’’(x)－C－y’(x)=0，兩邊再積分得y’’(x)－y(x)=Cx．易知，上述方程有特解y*=－Cx，因此它的通解是y=C1ex+C2e－x－Cx．由初值y(0)=0，y’(0)=0得C1+C2=0，C1－C2=C，即其中C為非零常數(shù)．知識點解析：暫無解析30、適當選取函數(shù)φ(x)，作變量代換y=φ(x)u，將y關于x的微分方程化為u關于x的二階常系數(shù)線性齊次微分方程求φ(x)及常數(shù)λ，并求原方程滿足y(0)=1，y’(0)=0的特解．標準答案：于是原方程化為令xφ(x)+2φ’(x)=0，解之，取于是有即λ=0．原方程化為解得u=C1+C2x．于是得原方程的通解為再由初始條件y(0)=1，y’(0)=0得C1=1，C2=0，故得特解知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、A、0．B、一∞．C、+∞．D、不存在但也不是∞．標準答案：D知識點解析：因為et=0，故要分別考察左、右極限．由于因此應選D．2、設f(x)=x一sinxcosxcos2x，g(x)=，則當x→0時f(x)是g(x)的A、高階無窮?。瓸、低價無窮?。瓹、同階非等價無窮小．D、等價無窮?。畼藴蚀鸢福篊知識點解析：由等價無窮小因子替換及洛必達法則可得因此選C．二、解答題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)3、判斷下列結論是否正確，并證明你的判斷．(Ⅰ)若xn＜yn(n＞N)，且存在極限yn=B，則A＜B；(Ⅱ)設f(x)在(a，b)有定義，又c∈(a，b)使得極限f(x)=A，則f(x)在(a，b)有界；(Ⅲ)若f(x)=∞，則＞0使得當0＜｜x一a｜＜δ時有界。標準答案：(Ⅰ)不正確．在題設下只能保證A≤B，不能保證A＜8．例如，xn=yn=0．(Ⅱ)不正確．這時只能保證：點c的一個空心鄰域U0(c，δ)={x｜0＜｜x一c｜＜δ}使f(x)在U0(c，δ)中有界，一般不能保證f(x)在(a，b)有界．例如：f(x)=，(a，b)=(0，1)，取定c∈(0，1)，則在(0，1)無界．(Ⅲ)正確．因為=0，由存在極限的函數(shù)的局部有界性δ＞0使得當0＜｜x一a｜＜δ時有界．知識點解析：暫無解析4、設f(x)=又a≠0，問a為何值時f(x)存在．標準答案：由f(0+0)=f(0—0)，得n=π．因此，當且僅當a=π時，存在f(x)=π．知識點解析：分別求右、左極限f(0+0)與f(0—0)，由f(0+0)=f(0—0)定出a值．5、證明：(Ⅰ)不存在．標準答案：(Ⅰ)取xn=，則均有xn→0，yn→0(n→∞)，但不存在．(Ⅱ)已知f(x)=，其中g(x)=∫0xcost2dt，由于知識點解析：暫無解析6、求w=．標準答案：這是求型極限，用相消法，分子、分母同除以(ex)2得其中=0(用洛必達法則)．知識點解析：暫無解析7、求極限w=。標準答案：屬1∞型．知識點解析：暫無解析8、求下列極限：標準答案：(Ⅰ)注意x→0時，(Ⅱ)因為—x3(x→0)，ln(1+2x