考研數學一（函數、極限、連續(xù)）模擬試卷1（共188題）

考研數學一（函數、極限、連續(xù)）模擬試卷1（共6套）（共188題）考研數學一（函數、極限、連續(xù)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設f’(x)為連續(xù)函數，下列命題正確的是()A、如果f’(x)是周期函數，則f(x)也一定是周期函數。B、如果f’(x)是增函數，則f(x)也一定是增函數。C、如果f’(x)是偶函數，則f(x)一定是奇函數。D、如果f’(x)是奇函數，則f(x)一定是偶函數。標準答案：D知識點解析：取f’(x)=sinx+1，則f’(x)是周期函數，但f(x)=一cosx+x不是周期函數，排除A。取f’(x)=2x+2，則f’(x)在(一∞，一1)上是增函數，但f(x)=x2+2x在(一∞，一1)上不是增函數，排除(B)。取f’(x)=x2，則f’(x)是偶函數，但f(x)=x3+c(c≠0)不是奇函數，排除(C)，故應選D。2、設f(x)，g(x)在點x=0的某鄰域內連續(xù)，且當x→0時f(x)與g(x)為等價無窮小量，則當x→0時，∫0xf(t)(1一cost)dt是∫0xt2g(t)dt的()A、等價無窮小量。B、同階但非等價無窮小量。C、高階無窮小量。D、低階無窮小量。標準答案：B知識點解析：即∫0xf(t)(1一cost)dt與∫0xt2g(t)dt是x→0時的同階但非等價無窮小量，故應選B。3、設=2，則()A、a=1，b=一。B、a=0，b=一2。C、a=0，b=一。D、a=1，b=一2。標準答案：A知識點解析：根據洛必達法則，4、極限=()A、1。B、e。C、ea—b。D、eb—a。標準答案：C知識點解析：5、設f(x)=，則f(x)有()A、1個可去間斷點，1個跳躍間斷點。B、1個可去間斷點，1個無窮間斷點。C、2個可去間斷點。D、2個無窮間斷點。標準答案：A知識點解析：由f(x)的表達式可判斷f(x)的間斷點為x=0，1。因故x=0是函數f(x)的可去間斷點。又故x=1是函數f(x)的跳躍間斷點。故應選A。二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)6、已知f(x)=sinx，f[φ(x)]=1一x2，則φ(x)的定義域為_________。標準答案：知識點解析：因為f[φ(x)]=simp(x)=1一x2，所以φ(x)=arcsin(1—x2)，則有一1≤1一x2≤1，故。7、=________。標準答案：知識點解析：8、設f(x)=在x=0處連續(xù)，則a=_________，b=_________。標準答案：a=一1，b=1知識點解析：由題設條件因為f(x)在x=0處連續(xù)，所以a+4b=3=2b+1，解得a=一1，b=1。三、解答題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)9、求函數y=ln(x+)的反函數。標準答案：所以函數y=ln(x+)為奇函數，因此可得方程組知識點解析：暫無解析10、設fn(x)=[fn(x)]。標準答案：比較以上兩式，由歸納法可知fn(x)=。于是知識點解析：暫無解析11、設f(x)=，則()標準答案：將f(x)中的自變量x用一x替換，得故選D。知識點解析：暫無解析12、證明數列，…的極限存在，并求出其極限。標準答案：設數列通項xn+1=。n=1時，x1=＜2；假設n=k時，xk＜2，則當n=k+1時，xk+1==2，故xn＜2(n∈N+)。因此數列{xn}有界。又xn+1—xn=，且0＜xn＜2，故xn+1一xn＞0，即xn+1＞xn(n∈N+)。因此數列{xn}為單調遞增數列。根據單調有界準則可知，得xn+12=2+xn。該式兩端同時取極限(2+xn)，于是a2=2+a→a2一a一2=0→a1=2，a2=一1(舍去)。因此xn=2。知識點解析：暫無解析13、設數列{xn}滿足0＜x1＜π，xn+1=sinxn(n=1，2，…)。證明xn存在，并求該極限。標準答案：當n=1時，0＜x1＜π；當n=2時，0＜x2=sinx1≤1＜π；假設當n=k時，0＜xk＜π成立，則當n=k+1時，0＜xk+1=sinxk≤1＜π；由數學歸納法可知，對任意的n∈N+，0＜xn＜π，即數列{xn}有界。又因為當x＞0時，sinx＜x，所以＜1，即數列{xn}單調遞減。根據單調有界準則可知xn=a，在等式xn+1=sinxn兩端同時取極限可得，a=sina，所以a=0，即xn=0。知識點解析：暫無解析14、求極限。標準答案：知識點解析：暫無解析15、求。標準答案：知識點解析：暫無解析16、求。標準答案：因為即左、右極限均存在且相等，所以=1。知識點解析：暫無解析17、標準答案：(Ⅰ)分子、分母同除以x的最高次冪，即知識點解析：暫無解析18、求極限。標準答案：知識點解析：暫無解析19、設函數f(x)連續(xù)，且f(0)≠0，求極限。標準答案：作積分變量代換，令x一t=u，則∫0xf(x—t)dt=∫0xf(u)(一du)=∫0xf(u)du，于是所以由極限的四則運算法則得原式=。知識點解析：暫無解析20、求極限。標準答案：知識點解析：暫無解析21、求極限。標準答案：連續(xù)使用3次洛必達法則，即知識點解析：暫無解析22、求極限。標準答案：知識點解析：暫無解析23、求下列極限：標準答案：(Ⅰ)由極限的運算法則有，知識點解析：暫無解析24、求極限。標準答案：知識點解析：暫無解析25、求極限。標準答案：知識點解析：暫無解析26、求(a＞0，b＞0)。標準答案：知識點解析：暫無解析27、求極限。標準答案：知識點解析：暫無解析28、求極限。標準答案：知識點解析：暫無解析29、求極限。標準答案：知識點解析：暫無解析30、求極限。標準答案：設函數f(x)=，n=1，2，3，…，則知識點解析：暫無解析31、求數列極限。標準答案：先用等價無窮小因子代換，在n→∞時：令t=一，轉化為函數極限，再用洛必達法則得知識點解析：暫無解析32、設f(x)在[a，b]上連續(xù)，a＜x1＜x2＜…＜xn＜b，ci＜0，i=1，2，…，n，證明存在ξ∈[a，b]，使得標準答案：不妨設f(x)在[a，b]上的最大值為M，最小值為m，則m≤f(xi)≤M，cim≤cif(xi)≤ciM，i=1，2，…，n。由介值定理知，存在ξ∈[a，b]，使知識點解析：暫無解析33、記極限為f(x)，求函數f(x)的間斷點并指出其類型。標準答案：由f(x)=，可知自變量x應滿足sinx≠0，從而x≠kπ，k=0，±1，±2，…。當x→0時，=e1=e，由于f(x)在0處左右極限都相等，所以x=0為f(x)的第一類間斷點中的可去間斷點。對于非零整數k：若k是奇數，則=0；若k是偶數，則=+∞；故x=kπ，k=±1，±2，…為f(x)的第二類間斷點中的無窮間斷點。知識點解析：暫無解析考研數學一（函數、極限、連續(xù)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設f(x)=則f{f[f(x)]}等于()A、0B、1C、D、標準答案：B知識點解析：因為｜f(x)｜≤1恒成立，所以f[f(x)]=1恒成立，從而f{f[f(x)]}=f(1)=1，故選B。2、當x→時，函數f(x)=的極限()A、等于2B、等于0C、為∞D、不存在，但不為∞標準答案：D知識點解析：因為故當x→1時，函數極限不存在，也不是∞，故選D。3、設數列{xn}與{yn}滿足xnyn=0，則下列判斷正確的是()A、若{xn}發(fā)散，則{yn}必發(fā)散。B、若{xn}無界，則{yn}必無界。C、若{xn}有界，則{yn}必為無窮小。D、若為無窮小，則{yn}必為無窮小。標準答案：D知識點解析：取xn=n，yn=0，顯然滿足xnyn=0，由此可排除A、B。若取xn=0，yn=n，也滿足=0，又排除C，故選D。4、當x→0時，下列四個無窮小中，比其他三個高階的無窮小是()A、x2B、1—cosxC、D、x—tanx標準答案：D知識點解析：利用等價無窮小代換。由于x→0時，，所以當x→0時，B、C兩項與A項是同階的無窮小，由排除法知本題選D。5、設x→0時ax2+bx+c—cosx是比x2高階的無窮小，其中a，b，c為常數，則()A、a=，b=0，c=1B、a=，b=0，c=0C、a=，b=0，c=1D、a=，b=0，c=0標準答案：C知識點解析：由題意得(ax2+bx+c—cosx)=0，則c=1。又因為所以b=0，a=，故選C。6、設x→0時，(1+sinx)x—1是比xtanxn低階的無窮小，而xtanxn是比(esin2x—1)ln(1+x2)低階的無窮小，則正整數n等于()A、1B、2C、3D、4標準答案：B知識點解析：當x→0時，(1+sinx)x—1=exln(1+sinx)—1～xln(1+sinx)～xsinx～x2，(esin2x—1)ln(1+x2)～sin2x.x2～x4，而xtanxn～x.xn=xn+1。所以2＜n+1＜4，則正整數n=2，故選B。7、設=2，其中a2+c2≠0，則必有()A、b=4dB、b=—4dC、a=4cD、a=—4c標準答案：D知識點解析：當x→0時，由帶有佩亞諾型余項的泰勒公式可知，tanx，ln(1—2x)均為x的一階無窮??；而1—cosx，1—e—x2均為x的二階無窮小，所以即a=—4c，故選D。8、設函數f(x)=在(一∞，+∞)內連續(xù)，且=0，則常數a，b滿足()A、a＜0，b＜0。B、a＞0，b＞0。C、a≤0，b＞0。D、a≥0，b＜0。標準答案：D知識點解析：因為f(x)連續(xù)，故a+ebx≠0，因此只要a≥0即可。再由可知x→—∞時，a+ebx必為無窮大(否則極限必不存在)，此時需b＜0，故選D。9、設f(x)在R上連續(xù)，且f(x)≠0，φ(x)在R上有定義，且有間斷點，則下列陳述中正確的個數是()①φ[f(x)]必有間斷點。②[φ(x)]2必有間斷點。③f[φ(x)]沒有間斷點。A、0B、1C、2D、3標準答案：A知識點解析：①錯誤。舉例：設φ(x)=f(x)=ex，則φ[f(x)]=1在R上處處連續(xù)。②錯誤。舉例：設φ(x)=則[φ(x)]2=9在R上處處連續(xù)。③錯誤。舉例：設φ(x)=f(x)=ex，則f[φ(x)]=在x=0處間斷。故選A。10、函數f(x)=的間斷點及類型是()A、x=1為第一類間斷點，x=—1為第二類間斷點。B、x=±1均為第一類間斷點。C、x=1為第二類間斷點，x=—1為第一類間斷點。D、x=±1均為第二類間斷點。標準答案：B知識點解析：分別就｜x｜=1，｜x｜＜1，｜x｜＞1時求極限得出f(x)的分段表達式所以x=±1均為f(x)的第一類間斷點，故選B。二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)11、=________。標準答案：知識點解析：方法一：將分子化簡后應用等價無窮小因子代換。易知，則原式=方法二：借助(1+u)λ的麥克勞林展開式(1+u)λ=1+λu+u2+o(u2)。當x→0時，12、=________。標準答案：知識點解析：13、=________。標準答案：0知識點解析：因為x→0時，為有界函數，即=0。14、=________。標準答案：知識點解析：15、=________。標準答案：知識點解析：該極限式為1∞型未定式，可直接利用重要極限公式進行計算，則。16、設=8，則a=________。標準答案：ln2知識點解析：=e3a=8，所以a=ln2。17、[x]表示不超過x的最大整數，則=________。標準答案：2知識點解析：，當x＞0時，；當x＜0時，。又=2，由夾逼準則可知，=2。三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)18、求。標準答案：方法一：原式方法二：可借助麥克勞林展開式進行計算，即知識點解析：暫無解析19、求。標準答案：知識點解析：暫無解析20、求。標準答案：該極限式為1∞型未定式，可直接利用重要極限公式進行計算，知識點解析：暫無解析21、求極限。標準答案：知識點解析：暫無解析設數列{xn}滿足0＜x1＜π，xn+1=sinxn(n=1，2，…)。22、證明xn存在，并求該極限。標準答案：0＜x1＜π，則0＜x2=sinx1≤1＜π。由數學歸納法知0＜xn+1=sinxn≤1＜π，n=1，2，…，即數列{xn}有界。于是(因當x＞0時，sinx＜x)，則有xn+1＜xn，可見數列{xn}單調減少，故由單調減少有下界數列必有極限知，極限存在。設，在xn+1=sinxn兩邊令n→∞，得l=sinl，解得l=0，即=0。知識點解析：暫無解析23、計算。標準答案：因，由上小題知該極限為1∞型。令t=xn，則n→∞，t→0，而知識點解析：暫無解析24、設函數f(x)在x=1的某鄰域內連續(xù)，且有求f(1)及標準答案：由已知條件得[f(x+1)+1+3sin2x]=0，因此有[f(x+1)+3sin2x]=f(1)+0=0，故f(1)=0。又因為在x=0的某空心鄰域內f(x+1)+3sin2x≠0，現(xiàn)利用等價無窮小替換：當x→0時，ln[1+f(x+1)+3sin2x]～f(x+1)+3sin2x，知識點解析：暫無解析25、求函數f(x)=的間斷點，并指出類型。標準答案：函數f(x)的可疑間斷點只有x=0和x=1。因為所以x=0為可去間斷點，x=1為跳躍間斷點。知識點解析：暫無解析考研數學一（函數、極限、連續(xù)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設f’(x)為連續(xù)函數，下列命題正確的是()A、如果f’(x)是周期函數，則f(x)也一定是周期函數。B、如果f’(x)是增函數，則f(x)也一定是增函數。C、如果f’(x)是偶函數，則f(x)一定是奇函數。D、如果f’(x)是奇函數，則f(x)一定是偶函數。標準答案：D知識點解析：取f’(x)=sinx+1，則f’(x)是周期函數，但f(x)=－cosx+x不是周期函數，排除(A)。取f’(x)=2x+2，則f’(x)在(－∞，－1)上是增函數，但f(x)=x2+2x在(－∞，－1)上不是增函數，排除(B)。取f’(x)=x2，則f’(x)是偶函數，但f(x)=x3+c(c≠0)不是奇函數，排除(C)，故選(D)。2、設則()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：將f(x)中的自變量x用－x替換，得即有故選(D)。3、設f(x)，g(x)在點x=0的某鄰域內連續(xù)，且當x→0時f(x)與g(x)為等價無窮小量，則當x→0時，是的()A、等價無窮小量。B、同階但非等價無窮小量。C、高階無窮小量。D、低階無窮小量。標準答案：B知識點解析：由已知得即是x→0時的同階但非等價無窮小量，故選(B)。4、設則()A、a=1，B、a=0，b=－2。C、a=0，D、a=1，b=－2。標準答案：A知識點解析：由泰勒展開式可知故原式可化為由于x前的系數如果不為0，則極限為無窮，因此顯然a=1，此時故選(A)。5、極限A、1。B、e。C、ea-b。D、eb-a。標準答案：C知識點解析：方法一：故選(C)。方法二：故選(C)。6、設則f(x)有()A、1個可去間斷點，1個跳躍間斷點。B、1個可去間斷點，1個無窮間斷點。C、2個可去間斷點。D、2個無窮間斷點。標準答案：A知識點解析：由f(x)的表達式可判斷f(x)的間斷點為x=0，1。因故x=0是函數f(x)的可去間斷點。又故x=1是函數f(x)的跳躍間斷點。故選(A)。7、函數的有界區(qū)間是()A、(－1，0)。B、(0，1)。C、(1，2)。D、(2，3)。標準答案：A知識點解析：函數f(x)在開區(qū)間(a，b)內是否有界，需驗證f(x)在(a，b)內是否連續(xù)，且f(x)在區(qū)間端點處的極限是否存在。顯然x≠0，1，2時f(x)連續(xù)。而可見f(x)在(－1，0)內連續(xù)，且存在，因此在(－1，0)內有界，故選(A)。8、當x→0時，x－sinx是x3的()A、低階無窮小。B、高階無窮小。C、等價無窮小。D、同階但非等價無窮小。標準答案：D知識點解析：根據無窮小階數的定義，因故x→0時，x－sinx與x3是同階但非等價的無窮小，故選(D)。二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)9、已知f(x)=sinx,f[φ(x)]=1－x2，則φ(x)的定義域為_______________。標準答案：知識點解析：因為f[φ(x)]=sinφ(x)=1－x2，所以φ(x)=arcsin(1－x2)，則有－1≤1－x2≤1，故10、標準答案：知識點解析：又所以11、設在x=0處連續(xù)，則a=_____________，b=_______________。標準答案：a=－1，b=1。知識點解析：由題設條件因為f(x)在x=0處連續(xù)，所以a+4b=3=2b+1，解得a=－1，b=1。12、標準答案：0知識點解析：分子、分母同除以(ex)3。其中根據洛必達法則易知13、標準答案：0知識點解析：根據洛必達法則，對任意x∈(－∞，+∞)，有即sinx+cosx在(－∞，+∞)內有界，因為有界變量與無窮小量的乘積仍為無窮小量，所以原極限為零。14、設則f(x)的間斷點為x=___________。標準答案：0知識點解析：對于不同的x，先得出f(x)的表達式，再討論f(x)的間斷點。當x=0時f(x)=0；當x≠0時，所以f(x)的表達式為由于故x=0為f(x)的間斷點。15、若則a=___________，b=___________。標準答案：1，－4知識點解析：因為且所以得a=1，于是由等價無窮小代換得b=－4。因此，a=1，b=－4。16、已知f(x)=ex2，f[φ(x)]=1－x且φ(x)≥0，則φ(x)的定義域為____________。標準答案：(－∞，0]知識點解析：由f(x)=ex2及f[φ(x)]=1－x，得eφ2(x)=1－x，即φ2(x)=ln(1－x)，已知φ(x)≥0，所以于是可得方程組故φ(x)的定義域為(－∞，0]。三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)17、求函數的反函數。標準答案：令因為所以函數為奇函數，因此可得方程組解得即函數的反函數為知識點解析：暫無解析18、設若求標準答案：依題設比較以上兩式，由歸納法可知于是知識點解析：暫無解析19、證明數列的極限存在，并求出其極限。標準答案：設數列通項n=1時，假設n=k時，xk＜2，則當n=k+1時，故xn＜2(n∈N+)。因此數列{xn}有界。又且0＜xn＜2，故xn+1－xn＞0，即xn+1＞xn(n∈N+)。因此數列{xn}為單調遞增數列。根據單調有界準則可知存在。記由得xn+12=2+xn。該式兩端同時取極限于是因此知識點解析：暫無解析20、設數列{xn}滿足0＜x1＜π，xn+1=sinxn(n=1，2，…)。證明存在，并求該極限。標準答案：當n=1時，0＜x1＜π；當n=2時，0＜x2=sinx1≤1＜π；假設當n=k時，0k＜π成立，則當n=k+1時，0＜xk+1=sinxk≤1＜π；由數學歸納法可知，對任意的n∈N+，0＜xn＜π，即數列{xn}有界。又因為當x＞0時，sinx即數列{xn}單調遞減。根據單調有界準則可知存在。記在等式xn+1=sinxn兩端同時取極限可得，a=sina，所以a=0，即知識點解析：暫無解析21、求極限標準答案：因為i=1，2，…，n，所以其中由夾逼準則可知知識點解析：暫無解析22、求標準答案：因為i=1，2，…，n，所以其中由夾逼準則知，知識點解析：暫無解析23、求標準答案：因為即左、右極限均存在且相等，所以知識點解析：暫無解析24、標準答案：(I)分子、分母同除以x的最高次冪，即(Ⅱ)知識點解析：暫無解析25、求極限標準答案：知識點解析：暫無解析26、設函數f(x)連續(xù)，且f(0)≠0，求極限標準答案：作積分變量代換，令x－t=u，則于是所以由極限的四則運算法則得知識點解析：暫無解析27、求極限標準答案：知識點解析：暫無解析28、求極限標準答案：連續(xù)使用3次洛必達法則，即知識點解析：暫無解析29、求極限標準答案：令則x→∞時，故知識點解析：暫無解析求下列極限：30、標準答案：由極限的運算法則有，知識點解析：暫無解析31、標準答案：知識點解析：暫無解析32、求極限標準答案：知識點解析：暫無解析33、求極限標準答案：知識點解析：暫無解析34、求標準答案：知識點解析：暫無解析考研數學一（函數、極限、連續(xù)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、下列各式中正確的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：由重要極限結論=e，可立即排除B、D。對于A、C兩項，只要驗算其中之一即可。對于C選項，因=e—1，故C項不正確，A項正確，故選A。2、函數f(x)=xsinx()A、當x→∞時為無窮大B、在(一∞，+∞)內有界C、在(一∞，+∞)內無界D、當x→∞時極限存在標準答案：C知識點解析：令xn=2nπ+，yn=2nπ+π，則f(xn)=2nπ+=0。因為f(xn)=+∞，(yn)=0，所以f(x)在(一∞，+∞)內無界，且當x→∞時不一定為無窮大，故選C。3、設對任意的x，總有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且=0，則()A、存在且等于零B、存在但不一定為零C、一定不存在D、不一定存在標準答案：D知識點解析：取φ(x)=f(x)=g(x)=x，顯然有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且[g(x)—φ(x)]=0，但不存在，故排除A、B。再取φ(x)=f(x)=g(x)=1，同樣有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且=0，但=1，可見C項也不正確，故選D。4、把x→0+時的無窮小量α=∫0xcost2dt，β=∫0x2，γ=∫sint3dt排列起來，使排在后面的是前面一個的高階無窮小，則正確的排列次序是()A、α，β，γB、α，γ，βC、β，α，γD、β，γ，α標準答案：B知識點解析：因為所以當x→0+時，α是x的一階無窮小，β是x的三階無窮小，γ是x的二階無窮小，故選B。5、當x→0時，ex—(ax2+bx+1)是比x2高階的無窮小，則()A、a=，b=1B、a=1，b=1C、a=，b=—1D、a=—1，b=1標準答案：A知識點解析：因ex=1+x++o(x2)，故ex—(ax2+bx+1)=(1—b)x+(—a)x2+o(x2)。顯然要使上式是比x2高階的無窮小(x→0時)，只要故選A。6、設x→a時，f(x)與g(x)分別是x—a的n階與m階無窮小，則下列命題中，正確的個數是()①f(x)g(x)是x—a的n+m階無窮小。②若n＞m，則是x—a的n—m階無窮小。③若n≤m，則f(x)+g(x)是x—a的n階無窮小。A、1B、2C、3D、0標準答案：B知識點解析：此類問題要逐一進行分析，按無窮小階的定義：故x→a時f(x)g(x)是x—a的n+m階無窮??；關于②，若n＞m，故x→a時，f(x)/g(x)是x—a的n—m階無窮??；關于③，例如，x→0時，sinx與—x均是x的一階無窮小，但即sinx+(—x)是x的三階無窮小。因此①、②正確，③錯誤，故選B。7、設f(x)=則()A、f(x)在點x=1處連續(xù)，在點x=—1處間斷。B、f(x)在點x=1處間斷，在點x=—1處連續(xù)。C、f(x)在點x=1，x=—1處都連續(xù)。D、f(x)在點x=1，x=—1處都間斷。標準答案：B知識點解析：因為所以f(x)在x=1處間斷。為有界量，=0，則=0=f(—1)，所以f(x)在x=—1處連續(xù)，故選B。8、設f(x)在點x0的某鄰域內有定義，且f(x)在點x0處間斷，則在點x0處必定間斷的函數是()A、f(x)sinxB、f(x)+sinxC、f2(x)D、｜f(x)｜標準答案：B知識點解析：方法一：若f(x)+sinx在點x0處連續(xù)，則f(x)=[f(x)+sinx]—sinx在點x0處連續(xù)，與已知矛盾。因此f(x)+sinx在點x0處必間斷，故選B。方法二：借助極限的四則運算性質即可直接得出結論，連續(xù)×間斷=?，間斷×間斷=?，連續(xù)+間斷=間斷，故選B。9、設f(x)和φ(x)在(一∞，+∞)上有定義，f(x)為連續(xù)函數，且f(x)≠0，φ(x)有間斷點，則()A、φ[f(x)]必有間斷點。B、[φ(x)]2必有間斷點。C、f[φ(x)]必有間斷點。D、必有間斷點。標準答案：D知識點解析：方法一：取f(x)=1，x∈(一∞，+∞)，φ(x)=則f(x)，φ(x)滿足題設條件。由于φ[f(x)]=1，[φ(x)]2=1，f[φ(x)]=1都是連續(xù)函數，可排除A、B、C，故選D。方法二：借助極限的四則運算性質可知，連續(xù)×間斷=由題意知，函數f(x)連續(xù)，且f(x)≠0，則必定間斷，故選。10、設f(x)在(一∞，+∞)內有定義，且，則()A、x=0必是g(x)的第一類間斷點。B、x=0必是g(x)的第二類間斷點。C、x=0必是g(x)的連續(xù)點。D、g(x)在點x=0處的連續(xù)性與a的取值有關。標準答案：D知識點解析：因為且g(0)=0，所以當a=0時，有=g(0)，此時g(x)在點x=0處連續(xù)；當a≠0時，≠g(0)，此時x=0是g(x)的第一類間斷點。所以g(x)在x=0處的連續(xù)性與a的取值有關，故選D。二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)11、=________。標準答案：1知識點解析：利用等價無窮小量替換將極限式進行化簡，即12、=________。標準答案：知識點解析：13、設a＞0，a≠1，且=lna，則p=_______。標準答案：2知識點解析：14、=________。標準答案：知識點解析：該極限式為1∞型未定式，可直接利用重要極限公式進行計算，15、設a1，a2，…，am(m≥2)為正數，則=________。標準答案：max{a1，a2，…，am}知識點解析：不妨設a1為最大值，則原式==a1.1=a1。因此=max{a1，a2，…，am}。16、數列xn==________。標準答案：知識點解析：17、若f(x)=在(一∞，+∞)內連續(xù)，則a=________。標準答案：0知識點解析：因為f(x)在(一∞，0)及(0，+∞)內連續(xù)，所以需要確定a的值，使f(x)在x=0處連續(xù)。當a=0時，f(x)在x=0處連續(xù)。三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)18、求極限。標準答案：知識點解析：暫無解析19、求。標準答案：所以原式極限為1。知識點解析：暫無解析20、求。標準答案：該極限式為1∞型未定式，可直接利用重要極限公式進行計算，知識點解析：暫無解析求下列極限：21、標準答案：因為知識點解析：暫無解析22、標準答案：利用定積分的定義可得知識點解析：暫無解析23、標準答案：因為知識點解析：暫無解析24、標準答案：因為知識點解析：暫無解析25、標準答案：利用定積分的定義可得知識點解析：暫無解析26、標準答案：利用定積分的定義可得知識點解析：暫無解析27、證明：(Ⅰ)對任意正整數n，都有成立；(Ⅱ)設an=，證明{an}收斂。標準答案：(Ⅰ)令，則原不等式可化為＜ln(1+x)＜x，x＞0。先證明ln(1+x)＜x，x＞0。令f(x)=x—ln(1+x)。由于f′(x)=＞0，x＞0，可知f(x)在[0，+∞)上單調遞增。又由于f(0)=0，所以當x＞0時，f(x)＞f(0)=0。也即ln(1+x)＜x，x＞0?？芍猤(x)在[0，+∞)上單調遞增。又因g(0)=0，所以當x＞0時，g(x)＞g(0)=0。即再代入=x，即可得到所需證明的不等式。(Ⅱ)an+1—an=，可知數列{an}單調遞減。又由不等式，可知an==ln(n+1)—lnn＞0，因此數列{an}是有界的。由單調有界收斂定理可知數列{an}收斂。知識點解析：暫無解析28、設f(x)=，求常數a與b的值，使f(x)在(一∞，+∞)上處處連續(xù)。標準答案：當｜x｜＞1時，當x=1時，f(x)=；當x=—1時，f(x)=；當｜x｜＜1時，f(x)==ax2+bx。所以即有解得a=0，b=1。知識點解析：暫無解析29、求函數f(x)=所有的間斷點及其類型。標準答案：函數f(x)有可疑間斷點x=0，x=1，x=—1，且所以x=0為跳躍間斷點，x=1為可去間斷點，x=—1為無窮間斷點。知識點解析：暫無解析考研數學一（函數、極限、連續(xù)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設f(x)在(－∞，+∞)內有定義，且則()A、x=0必是g(x)的第一類間斷點。B、x=0必是g(x)的第二類間斷點。C、x=0必是g(x)的連續(xù)點。D、g(x)在點x=0處的連續(xù)性與a的取值有關。標準答案：D知識點解析：因為又g(0)=0，故當a=0時，即g(x)在點x=0處連續(xù)；當a≠0時，即x=0是g(x)的第一類間斷點。因此，g(x)在點x=0處的連續(xù)性與a的取值有關，故選(D)。2、下列各式中正確的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：對于選項(A)，其中因此故(A)項正確，(B)項錯誤。對于選項(C)，故(C)項錯誤。對于選項(D)，故(D)項錯誤。3、當x→0+時，與等價的無窮小量是()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：當x→0+時，有等價無窮小量故用排除法可得，故選(B)。4、設其中a2+c2≠0，則必有()A、6=4d。B、b=－4d。C、a=4c。D、a=－4c。標準答案：D知識點解析：當x→0時，由等價無窮小代換及無窮小階的定義可知，tanx，ln(1－2x)均為x的一階無窮小；而1－cosx，1－e－x2均為x的二階無窮小，因此有故有即a=－4c，故選(D)。5、設在(－∞，+∞)內連續(xù)，但則常數a，b滿足()A、a≤0，b＜0。B、a≥0，b＞0。C、a≤0，b＞0。D、a≥0，b＜0。標準答案：D知識點解析：由題意可知f(x)在(－∞，+∞)內恒成立，因此a+ebx≠0。由于ebx＞0且ebx在(－∞，+∞)內連續(xù)，所以a≥0。又因分子x→∞，故從而b＜0，故選(D)。6、設則x→0時f(x)是g(x)的()A、高階無窮小。B、低階無窮小。C、同階而非等價無窮小。D、等價無窮小。標準答案：B知識點解析：由洛必達法則與等價無窮小代換得其中用到下面的等價無窮小代換：x→0時，ln(1+sin2x2)～sin2x2～x4，故根據低階無窮小的定義可知故選(B)。7、設f(x)在點x0的某鄰域內有定義，且f(x)在x0處間斷，則在點x0處必定間斷的函數是()A、f(x)sinx。B、f(x)+sinx。C、f2(x)。D、|f(x)|。標準答案：B知識點解析：若f(x)+sinx在x=x0連續(xù)，則f(x)=[f(x)+sinx]－sinx在x=x0連續(xù)，與已知矛盾。因此f(x)+sinx在x0處必間斷，故選(B)。8、設則()A、x=0與x=1都是f(x)的第一類間斷點。B、x=0與x=1都是f(x)的第二類間斷點。C、x=0是f(x)的第一類間斷點，x=1是f(x)的第二類間斷點。D、x=0是f(x)的第二類間斷點，x=1是f(x)的第一類間斷點。標準答案：C知識點解析：因為因此即左、右極限存在但不相等，因此x=0是f(x)的第一類間斷點。且顯然x=1是第二類間斷點，故選(C)。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、標準答案：0知識點解析：因為arctanx為有界函數，即無窮小量與有界量相乘，結果仍為無窮小量，所以10、設函數在(－∞，+∞)內連續(xù)，則c=____________。標準答案：1知識點解析：由題設知則有又因為f(x)在(－∞，+∞)內連續(xù)f(x)必在x=c處連續(xù)，所以即得c=1。11、設且當x→0時，f(x)與cxk是等價無窮小，則常數c=____________，k=___________。標準答案：6，3知識點解析：由題設條件可知因x→0時，分母是無窮小，故分子必是無窮小。因此由等價無窮小代換sinx～ex－1～x，得即故c=6，k=3。12、標準答案：知識點解析：對原極限進行恒等變形，即因為x→0時，ln(1+x)～x，ex－1～x，cosx－1～x2，則有所以13、設則標準答案：e2知識點解析：將進行恒等變形，即有因此得當x→0時，分母為無窮小，所以分子也為無窮小，即有因此，當x→0時所以(*)可寫為因此于是14、標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)15、求極限標準答案：知識點解析：暫無解析16、求極限標準答案：令則知識點解析：暫無解析17、求極限標準答案：知識點解析：暫無解析18、求極限標準答案：設函數數列n=1，2，3，…，則且因此有其中故有知識點解析：暫無解析19、求數列極限其中標準答案：先用等價無窮小因子代換，在n→∞時：于是令轉化為函數極限，再用洛必達法則得故知識點解析：暫無解析20、設f(x)在[a，b]上連續(xù)，a1＜x2＜…＜xn＜b，ci＞0，i=1，2，…，n，證明存在ξ∈[a，b]，使得標準答案：不妨設f(x)在[a，b]上的最大值為M，最小值為m，則m≤f(xi)≤M，cim≤ci)f(xi)≤ciM，i=1，2，…，n。由介值定理知，存在ξ∈[a，b]，使知識點解析：暫無解析21、記極限為f(x)，求函數f(x)的間斷點并指出其類型。標準答案：由又所以由可知自變量x應滿足sinx≠0，從而x≠kπ，k=0，±1，±2，…。當x→0時，由于f(x)在0處左右極限都相等，所以x=0為f(x)的第一類間斷點中的可去間斷點。對于非零整數k：若k是奇數，則若k是偶數，則故x=kπ，k=±1，±2，…為f(x)的第二類間斷點中的無窮間斷點。知識點解析：暫無解析22、設函數f(x)在[a，b]上連續(xù)，x1，x2，…，xn，…，是[a，b]上一個點列，求標準答案：由f(x)在[a，b]上連續(xù)知，ef(x)在[a，b]上非負連續(xù)，且0f(x)≤M，其中M，m分別為ef(x)在[a，b]上的最大值和最小值，于是故由根據夾逼準則，得知識點解析：暫無解析23、設求f[φ(x)]。標準答案：根據復合函數的定義(1)當φ(x)＜1時，若x＜0，則φ(x)=x+2＜1，即故x＜－1；若x≥0，則φ(x)=x2－1＜1，即故(2)當φ(x)≥1時，若x＜0，則φ(x)=x+2≥1，即故－1≤x＜0；若x≥0，則φ(x)=x2－1≥1，即故綜上所述，有知識點解析：暫無解析24、求函數的連續(xù)區(qū)間，并求極限標準答案：由已知，由此可知，函數f(x)在x=－3及x=2處無定義，因而點x=－3，x=2不是函數的連續(xù)點，所以f(x)的連續(xù)區(qū)間為(－∞，－3)∪(－3，2)∪(2，+∞)。根據初等函數的連續(xù)性定義得同理知識點解析：暫無解析25、設f(x)在0＜|x|＜δ時有定義，其中δ為正常數，且求極限：標準答案：即有而故知識點解析：暫無解析26、求函數在區(qū)間(0，2π)內的間斷點，并判斷其類型。標準答案：因為在處均為0，在處無定義，故函數f(x)在區(qū)間(0，2π)內的間斷點是在處，故為f(x)的可去間斷點；同理，也是f(x)的可去間斷點，即為第一類間斷點。在處，故為f(x)的第二類間斷點；同理，也是f(x)的第二類間斷點。知識點解析：暫無解析27、求函數的間斷點，并判斷其類型。標準答案：由得x=±1，因此f(x)的間斷點為x=0以及x=1和x=－1。故x=0是f(x)的第二類間斷點，且是無窮間斷點。故x=1和x=－1是f(x)的第一類間斷點，且是跳躍間斷點。知識點解析：暫無解析28、若x→0時，與xsinx是等價無窮小量，試求常數a。標準答案：方法一：因為x→0時，因此由等價無窮小的定義知，即a=－4。方法二：即a=－4。知識點解析：暫無解析29、求極限標準答案：知識點解析：暫無解析設x＞0，y＞0，求30、標準答案：知識點解析：暫無解析31、標準答案：由上題的結果，知識點解析：暫無解析32、求極限標準答案：其中知識點解析：暫無解析33、求極限標準答案：知識點解析：暫無解析34、當x→0時，1－cosx·cos2x·cos3x與axn為等價無窮小，求n與a的值。標準答案：根據等價無窮小的定義，可知由此可見n=2，a=7。知識點解析：暫無解析考研數學一（函數、極限、連續(xù)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、函數f(x)=的有界區(qū)間是()A、(一1，0)。B、(0，1)。C、(1，2)。D、(2，3)。標準答案：A知識點解析：函數f(x)在開區(qū)間(a，b)內是否有界，需驗證f(x)在(a，b)內是否連續(xù)，且f(x)在區(qū)間端點處的極限是否存在。顯然x≠0，1，2時，f(x)連續(xù)。而可見f(x)在(一1，0)內連續(xù)，且存在，因此在(一1，0)內有界。應選A。2、當x→0時，x一sinx是x3的()A、低階無窮小。B、高階無窮小。C、等價無窮小。D、同階但非等價無窮小。標準答案：D知識點解析：根據無窮小階數的定義，因故x→0時，x一sinx與x3是同階但非等價的無窮小，應選D。3、設f(x)在(一∞，+∞)內有定義，且則()A、x=0必是g(x)的第一類間斷點。B、x=0必是g(x)的第二類間斷點。C、x=0必是g(x)的連續(xù)點。D、g(x)在點x=0處的連續(xù)性與口的取值有關。標準答案：D知識點解析：因為，又g(0)=0，故當a=0時，g(x)=g(0)，即g(x)在點x=0處連續(xù)；當a≠0時，g(x)≠g(0)，即x=0是g(x)的第一類間斷點。因此，g(x)在點x=0處的連續(xù)性與a的取值有關，故選D。4、下列各式中正確的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：5、當x→0+時，與等價的無窮小量是()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：當x→0時，有等價無窮小量故用排除法可得，正確選項為(B)。6、設=2，其中a2+c2≠0，則必有()A、b=4d。B、b=一4d。C、a=4c。D、a=一4c。標準答案：D知識點解析：當x→0時，由等價無窮小代換及無窮小階的定義可知，tanx，ln(1—2x)均為x的一階無窮小；而1一cosx，1一均為x的二階無窮小，因此有故有一=2，即a=一4c，故選D。7、設f(x)=在(一∞，+∞)內連續(xù)，但f(x)=0，則常數a，b滿足()A、a≤0，b＜0。B、a≥0，b＞0。C、a≤0，b＞0。D、a≥0，b＜0。標準答案：D知識點解析：由題意可知f(x)在(一∞，+∞)內恒成立，因此a+ebx≠0。由于ebx＞0且ebx在(一∞，+∞)內連續(xù)，所以a≥0。又因ebx=∞，從而b＜0，因此選D。8、設f(x)=，g(x)=∫01—cosxtant2dt，則x→0時，f(x)是g(x)的()A、高階無窮小。B、低階無窮小。C、同階而非等價無窮小。D、等價無窮小。標準答案：B知識點解析：由洛必達法則與等價無窮小代換得其中用到下面的等價無窮小代換：x→0時，ln(1+sin2x2)一sin2x2～x4，tan(1一cosx)2一(1一cosx)2～(x2)2。故根據低階無窮小的定義可知應選B。9、設f(x)在點x0的某鄰域內有定義，且f(x)在x0處間斷，則在點x0處必定間斷的函數是()A、f(x)sinx。B、f(x)+sinx。C、f2(x)。D、｜f(x)｜。標準答案：B知識點解析：若f(x)+sinx在x=x0連續(xù)，則f(x)=[f(x)+sinx]一sinx在x=x0連續(xù)，與已知矛盾。因此f(x)+sinx在x0處必間斷。選B。10、設f(x)=，則()A、x=0與x=1都是f(x)的第一類間斷點。B、x=0與x=1都是f(x)的第二類間斷點。C、x=0是f(x)的第一類間斷點，x=1是f(x)的第二類間斷點。D、x=0是f(x)的第二類間斷點，x=1是f(x)的第一類間斷點。標準答案：C知識點解析：因為，左、右極限存在但不相等，因此x=0是f(x)的第一類間斷點。且顯然x=1是第二類間斷點，因此選C。二、填空題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)11、I==___________。標準答案：0知識點解析：分子、分母同除以(ex)3。其中根據洛必達法則易知=0。12、(sinx+cosx)=___________。標準答案：0知識點解析：根據洛必達法則，對任意x∈(一∞，+∞)，有｜sinx+cosx｜≤，即sinx+cosx在(一∞，+∞)內有界，因為有界變量與無窮小量的乘積仍為無窮小量，所以原極限為零。13、設f(x)=，則f(x)的間斷點為x=___________。標準答案：0知識點解析：對于不同的x，先得出f(x)的表達式，再討論