理化生力分析課件

零件的失效分析與計(jì)算1.研究對(duì)象—變形固體的基本假設(shè)

均勻連續(xù)性假設(shè):

假定變形固體內(nèi)部毫無(wú)空隙地充滿物質(zhì)，且各點(diǎn)處的力學(xué)性能都是相同的。

各向同性假設(shè):

假定變形固體材料內(nèi)部各個(gè)方向的力學(xué)性能都是相同的。

彈性小變形條件:在載荷作用下，構(gòu)件會(huì)產(chǎn)生變形。構(gòu)件的承載能力分析主要研究微小的彈性變形問(wèn)題，稱為彈性小變形。彈性小變形與構(gòu)件的原始尺寸相比較是微不足道的，在確定構(gòu)件內(nèi)力和計(jì)算應(yīng)力及變形時(shí)，均按構(gòu)件的原始尺寸進(jìn)行分析計(jì)算。

2.構(gòu)件承載能力分析的內(nèi)容

強(qiáng)度

構(gòu)件抵抗破壞的能力稱為構(gòu)件的強(qiáng)度。剛度

構(gòu)件抵抗變形的能力稱為構(gòu)件的剛度。

穩(wěn)定性

壓桿能夠維持其原有直線平衡狀態(tài)的能力稱為壓桿的穩(wěn)定性。

構(gòu)件的安全可靠性與經(jīng)濟(jì)性是矛盾的。構(gòu)件承載能力分析的內(nèi)容就是在保證構(gòu)件既安全可靠又經(jīng)濟(jì)的前提下，為構(gòu)件選擇合適的材料、確定合理的截面形狀和尺寸，提供必要的理論基礎(chǔ)和實(shí)用的計(jì)算方法。

零件的失效分析與計(jì)算3.桿件變形的基本形式

工程實(shí)際中的構(gòu)件種類繁多，根據(jù)其幾何形狀，可以簡(jiǎn)化為四類：桿、板、殼、塊。本篇研究的主要對(duì)象是等截面直桿(簡(jiǎn)稱等直桿)等直桿在載荷作用下，其基本變形的形式有：

1.軸向拉伸和壓縮變形；2.剪切變形；

3.扭轉(zhuǎn)變形；4.彎曲變形。

兩種或兩種以上的基本變形組合而成的，稱為組合變形。

零件的失效分析與計(jì)算一、軸向拉伸與壓縮

1.桿件軸向拉伸與壓縮的概念及特點(diǎn)FFFF受力特點(diǎn)：

外力(或外力的合力)沿桿件的軸線作用，且作用線與軸線重合。

變形特點(diǎn)：桿沿軸線方向伸長(zhǎng)(或縮短)，沿橫向縮短(或伸長(zhǎng))。

發(fā)生軸向拉伸與壓縮的桿件一般簡(jiǎn)稱為拉(壓)桿。

2拉(壓)桿的軸力和軸力圖

軸力:外力引起的桿件內(nèi)部相互作用力的改變量。

拉(壓)桿的內(nèi)力。FFmmFFNFF`N由平衡方程可求出軸力的大?。阂?guī)定：FN的方向離開截面為正(受拉),指向截面為負(fù)(受壓)。

內(nèi)力：軸力圖：以上求內(nèi)力的方法稱為截面法，截面法是求內(nèi)力最基本的方法。步驟：截、棄、代、平

注意：截面不能選在外力作用點(diǎn)處的截面上。

用平行于桿軸線的x坐標(biāo)表示橫截面位置，用垂直于x的坐標(biāo)FN表示橫截面軸力的大小，按選定的比例，把軸力表示在x-FN坐標(biāo)系中，描出的軸力隨截面位置變化的曲線，稱為軸力圖。FFmmxFN例1：

已知F1=20KN，F(xiàn)2=8KN，F(xiàn)3=10KN，試用截面法求圖示桿件指定截面1－1、2－2、3－3的軸力,并畫出軸力圖。

F2F1F3ABCD112332FR例1：

已知F1=20KN，F(xiàn)2=8KN，F(xiàn)3=10KN，試用截面法求圖示桿件指定截面1－1、2－2、3－3的軸力,并畫出軸力圖。

F2F1F3ABCD112332解:外力FR，F(xiàn)1，F(xiàn)2，F(xiàn)3將桿件分為AB、BC和CD段，取每段左邊為研究對(duì)象，求得各段軸力為：FRF2FN1F2F1FN2F2F1F3FN2FN3FN1=F2=8KNFN2=F2-F1

=-12KNFN3=F2+F3-

F1

=-2KN軸力圖如圖:

xFNCDBA3桿件橫截面的應(yīng)力和變形計(jì)算

應(yīng)力的概念：

內(nèi)力在截面上的集度稱為應(yīng)力(垂直于桿橫截面的應(yīng)力稱為正應(yīng)力，平行于橫截面的稱為切應(yīng)力)。應(yīng)力是判斷桿件是否破壞的依據(jù)。單位是帕斯卡，簡(jiǎn)稱帕，記作Pa，即l平方米的面積上作用1牛頓的力為1帕，1N／m2＝1Pa。

1kPa＝103Pa，1MPa＝106Pa

1GPa＝109Pa拉(壓)桿橫截面上的應(yīng)力

根據(jù)桿件變形的平面假設(shè)和材料均勻連續(xù)性假設(shè)可推斷：軸力在橫截面上的分布是均勻的，且方向垂直于橫截面。所以，橫截面的正應(yīng)力σ計(jì)算公式為：σ=MPaFN表示橫截面軸力（N）A表示橫截面面積（mm2）

FFmmnnFFN拉(壓)桿的變形

1.絕對(duì)變形

:規(guī)定：L—等直桿的原長(zhǎng)

d—橫向尺寸

L1—拉(壓)后縱向長(zhǎng)度

d1—拉(壓)后橫向尺寸軸向變形：橫向變形：

拉伸時(shí)軸向變形為正，橫向變形為負(fù)；壓縮時(shí)軸向變形為負(fù)，橫向變形為正。

軸向變形和橫向變形統(tǒng)稱為絕對(duì)變形。

拉(壓)桿的變形

2.相對(duì)變形：

單位長(zhǎng)度的變形量?！洌?

和′都是無(wú)量綱量，又稱為線應(yīng)變，其中稱為軸向線應(yīng)變，′稱為橫向線應(yīng)變。

3.橫向變形系數(shù)：′＝虎克定律：實(shí)驗(yàn)表明，對(duì)拉(壓)桿，當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)某一限度時(shí)，桿的軸向變形與軸力FN成正比，與桿長(zhǎng)L成正比，與橫截面面積A成反比。這一比例關(guān)系稱為虎克定律。引入比例常數(shù)E，其公式為:

E為材料的拉(壓)彈性模量，單位是Gpa

FN、E、A均為常量，否則，應(yīng)分段計(jì)算。

由此，當(dāng)軸力、桿長(zhǎng)、截面面積相同的等直桿,E值越大，就越小，所以E值代表了材料抵抗拉(壓)變形的能力，是衡量材料剛度的指標(biāo)。

或例2：如圖所示桿件，求各段內(nèi)截面的軸力和應(yīng)力，并畫出軸力圖。若桿件較細(xì)段橫截面面積，較粗段，材料的彈性模量，求桿件的總變形。

LL10KN40KN30KNABC解：分別在AB、BC段任取截面，如圖示，則：FN1=10KN10KNFN110KNσ1=FN1/A1=50MPa30KNFN2FN2=-30KNσ2=FN2/A2=100

MPa軸力圖如圖：xFN10KN30KN由于AB、BC兩段面積不同，變形量應(yīng)分別計(jì)算。由虎克定律：可得：AB10KNX100mm200GPaX200mm2==0.025mmBC-30KNX100mm200GPaX300mm2==-0.050mm=-

0.025mm4材料拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能材料的力學(xué)性能：材料在外力作用下，其強(qiáng)度和變形方面所表現(xiàn)出來(lái)的性能。它是通過(guò)試驗(yàn)的方法測(cè)定的，是進(jìn)行強(qiáng)度、剛度計(jì)算和選擇材料的重要依據(jù)。

工程材料的種類：根據(jù)其性能可分為塑性材料和脆性材料兩大類。低碳鋼和鑄鐵是這兩類材料的典型代表，它們?cè)诶旌蛪嚎s時(shí)表現(xiàn)出來(lái)的力學(xué)性能具有廣泛的代表性。低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性能

1.常溫、靜載試驗(yàn)：L=5~10dLdFF低碳鋼標(biāo)準(zhǔn)拉伸試件安裝在拉伸試驗(yàn)機(jī)上，然后對(duì)試件緩慢施加拉伸載荷，直至把試件拉斷。根據(jù)拉伸過(guò)程中試件承受的應(yīng)力和產(chǎn)生的應(yīng)變之間的關(guān)系，可以繪制出該低碳鋼的曲線。2.低碳鋼曲線分析：Oabcde試件在拉伸過(guò)程中經(jīng)歷了四個(gè)階段，有兩個(gè)重要的強(qiáng)度指標(biāo)。

ob段—彈性階段(比例極限σp彈性極限σe)bc段—屈服階段屈服點(diǎn)

cd段—強(qiáng)化階段

抗拉強(qiáng)度

de段—縮頸斷裂階段

pe

(1)彈性階段比例極限σp

oa段是直線，應(yīng)力與應(yīng)變?cè)诖硕纬烧汝P(guān)系，材料符合虎克定律，直線oa的斜率就是材料的彈性模量，直線部分最高點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值記作σp，稱為材料的比例極限。曲線超過(guò)a點(diǎn)，圖上ab段已不再是直線，說(shuō)明材料已不符合虎克定律。但在ab段內(nèi)卸載，變形也隨之消失，說(shuō)明ab段也發(fā)生彈性變形，所以ab段稱為彈性階段。b點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值記作σe

，稱為材料的彈性極限。

彈性極限與比例極限非常接近，工程實(shí)際中通常對(duì)二者不作嚴(yán)格區(qū)分，而近似地用比例極限代替彈性極限。

(2)屈服階段屈服點(diǎn)曲線超過(guò)b點(diǎn)后，出現(xiàn)了一段鋸齒形曲線，這—階段應(yīng)力沒(méi)有增加，而應(yīng)變依然在增加，材料好像失去了抵抗變形的能力，把這種應(yīng)力不增加而應(yīng)變顯著增加的現(xiàn)象稱作屈服，bc段稱為屈服階段。屈服階段曲線最低點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力稱為屈服點(diǎn)(或屈服極限)。在屈服階段卸載，將出現(xiàn)不能消失的塑性變形。工程上一般不允許構(gòu)件發(fā)生塑性變形，并把塑性變形作為塑性材料破壞的標(biāo)志，所以屈服點(diǎn)是衡量材料強(qiáng)度的一個(gè)重要指標(biāo)。

(3)強(qiáng)化階段抗拉強(qiáng)度經(jīng)過(guò)屈服階段后，曲線從c點(diǎn)又開始逐漸上升，說(shuō)明要使應(yīng)變?cè)黾?，必須增加?yīng)力，材料又恢復(fù)了抵抗變形的能力，這種現(xiàn)象稱作強(qiáng)化，cd段稱為強(qiáng)化階段。曲線最高點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值記作，稱為材料的抗拉強(qiáng)度(或強(qiáng)度極限)，它是衡量材料強(qiáng)度的又一個(gè)重要指標(biāo)。

(4)縮頸斷裂階段曲線到達(dá)d點(diǎn)前，試件的變形是均勻發(fā)生的，曲線到達(dá)d點(diǎn)，在試件比較薄弱的某一局部(材質(zhì)不均勻或有缺陷處)，變形顯著增加，有效橫截面急劇減小，出現(xiàn)了縮頸現(xiàn)象，試件很快被拉斷，所以de段稱為縮頸斷裂階段。

3.塑性指標(biāo)試件拉斷后，彈性變形消失，但塑性變形仍保留下來(lái)。工程上用試件拉斷后遺留下來(lái)的變形表示材料的塑性指標(biāo)。常用的塑性指標(biāo)有兩個(gè):

伸長(zhǎng)率:%斷面收縮率

:%L1—試件拉斷后的標(biāo)距L—是原標(biāo)距A1—試件斷口處的最小橫截面面積A—原橫截面面積。、值越大，其塑性越好。一般把≥5％的材料稱為塑性材料，如鋼材、銅、鋁等；把<5％的材料稱為脆性材料，如鑄鐵、混凝土、石料等。

低碳鋼壓縮時(shí)的力學(xué)性能

O比較低碳鋼壓縮與拉伸曲線,在直線部分和屈服階段大致重合，其彈性模量比例極限和屈服點(diǎn)與拉伸時(shí)基本相同，因此低碳鋼的抗拉性能與抗壓性能是相同的。屈服階段以后，試件會(huì)越壓越扁，先是壓成鼓形，最后變成餅狀，故得不到壓縮時(shí)的抗壓強(qiáng)度。因此對(duì)于低碳鋼一般不作壓縮試驗(yàn)。

F鑄鐵拉伸時(shí)的力學(xué)性能

O鑄鐵是脆性材料的典型代表。曲線沒(méi)有明顯的直線部分和屈服階段，無(wú)縮頸現(xiàn)象而發(fā)生斷裂破壞，塑性變形很小。斷裂時(shí)曲線最高點(diǎn)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值稱為抗拉強(qiáng)度。鑄鐵的抗拉強(qiáng)度較低。

曲線沒(méi)有明顯的直線部分，應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系不符合虎克定律。但由于鑄鐵總是在較小的應(yīng)力下工作，且變形很小，故可近似地認(rèn)為符合虎克定律。通常以割線Oa的斜率作為彈性模量E。

a鑄鐵壓縮時(shí)的力學(xué)性能OFF曲線沒(méi)有明顯的直線部分，應(yīng)力較小時(shí)，近似認(rèn)為符合虎克定律。曲線沒(méi)有屈服階段，變形很小時(shí)沿與軸線大約成45°的斜截面發(fā)生破裂破壞。曲線最高點(diǎn)的應(yīng)力值稱為抗壓強(qiáng)度。鑄鐵材料抗壓性能遠(yuǎn)好于抗拉性能，這也是脆性材料共有的屬性。因此，工程中常用鑄鐵等脆性材料作受壓構(gòu)件，而不用作受拉構(gòu)件。

5拉(壓)桿的強(qiáng)度計(jì)算

許用應(yīng)力和安全系數(shù)

極限應(yīng)力：材料喪失正常工作能力時(shí)的應(yīng)力。塑性變形是塑性材料破壞的標(biāo)志。屈服點(diǎn)為塑性材料的極限應(yīng)力。斷裂是脆性材料破壞的標(biāo)志。因此把抗拉強(qiáng)度和抗壓強(qiáng)度，作為脆性材料的極限應(yīng)力。許用應(yīng)力：構(gòu)件安全工作時(shí)材料允許承受的最大應(yīng)力。構(gòu)件的工作應(yīng)力必須小于材料的極限應(yīng)力。塑性材料：[]=脆性材料：[]=ns、n

b是安全系數(shù):

ns=1.2～2.5n

b＝2.0～3.5強(qiáng)度計(jì)算：

5拉(壓)桿的強(qiáng)度計(jì)算

為了使構(gòu)件不發(fā)生拉(壓)破壞，保證構(gòu)件安全工作的條件是：最大工作應(yīng)力不超過(guò)材料的許用應(yīng)力。這一條件稱為強(qiáng)度條件。

≤[]應(yīng)用該條件式可以解決以下三類問(wèn)題：校核強(qiáng)度、設(shè)計(jì)截面、確定許可載荷。應(yīng)用強(qiáng)度條件式進(jìn)行的運(yùn)算。

DpdF例1:

某銑床工作臺(tái)進(jìn)給油缸如圖所示，缸內(nèi)工作油壓p＝2MPa，油缸內(nèi)徑D＝75mm，活塞桿直徑d＝18mm，已知活塞桿材料的許用應(yīng)力[]＝50MPa，試校核活塞桿的強(qiáng)度。

解：求活塞桿的軸力。設(shè)缸內(nèi)受力面積為A1，則：校核強(qiáng)度。活塞桿的工作應(yīng)力為：<50MPa所以，活塞桿的強(qiáng)度足夠。

FFbh例2：圖示鋼拉桿受軸向載荷F=40kN，材料的許用應(yīng)力[]=100MPa，橫截面為矩形，其中h=2b，試設(shè)計(jì)拉桿的截面尺寸h、b。

FFbh例2：圖示鋼拉桿受軸向載荷F=40kN，材料的許用應(yīng)力[]=100MPa，橫截面為矩形，其中h=2b，試設(shè)計(jì)拉桿的截面尺寸h、b。

解：求拉桿的軸力。FN=F=40kN則：拉桿的工作應(yīng)力為：=FN/A=40/bh=40000/2b=20000/b<=[]=10022所以：b=14mmh=28mm例3：圖示M12的吊環(huán)螺釘小徑d1=10.1mm，材料的許用應(yīng)力[]=80MPa。試計(jì)算此螺釘能吊起的最大重量Q。

FF二、剪切

1.剪切的概念

FF在力不很大時(shí)，兩力作用線之間的一微段，由于錯(cuò)動(dòng)而發(fā)生歪斜，原來(lái)的矩形各個(gè)直角都改變了一個(gè)角度。這種變形形式稱為剪切變形，稱為切應(yīng)變或角應(yīng)變。受力特點(diǎn)：構(gòu)件受到了一對(duì)大小相等，方向相反，作用線平行且相距很近的外力。變形特點(diǎn)：在力作用線之間的橫截面產(chǎn)生了相對(duì)錯(cuò)動(dòng)。2.擠壓的概念

構(gòu)件發(fā)生剪切變形時(shí)，往往會(huì)受到擠壓作用，這種接觸面之間相互壓緊作用稱為擠壓。

構(gòu)件受到擠壓變形時(shí)，相互擠壓的接觸面稱為擠壓面(Ajy)。作用于擠壓面上的力稱為擠壓力(Fjy)，擠壓力與擠壓面相互垂直。如果擠壓力太大，就會(huì)使鉚釘壓扁或使鋼板的局部起皺。FFF切力FQ:剪切面上分布內(nèi)力的合力。F用截面法計(jì)算剪切面上的內(nèi)力。FFmmFQFQ切應(yīng)力

切應(yīng)力在截面上的實(shí)際分布規(guī)律比較復(fù)雜，工程上通常采用“實(shí)用計(jì)算法”，即假定切力在剪切面上的分布是均勻的。所以

:MPa構(gòu)件在工作時(shí)不發(fā)生剪切破壞的強(qiáng)度條件為:

≤

[][]為材料的許用切應(yīng)力，是根據(jù)試驗(yàn)得出的抗剪強(qiáng)度除以安全系數(shù)確定的。工程上常用材料的許用切應(yīng)力，可從有關(guān)設(shè)計(jì)手冊(cè)中查得。一般情況下，也可按以下的經(jīng)驗(yàn)公式確定：塑性材料:[]＝(0.6～0.8)[]脆性材料:[]＝(0.8～1.0)[]當(dāng)構(gòu)件承受的擠壓力Fjy過(guò)大而發(fā)生擠壓破壞時(shí)，會(huì)使聯(lián)接松動(dòng)，構(gòu)件不能正常工作。因此，對(duì)發(fā)生剪切變形的構(gòu)件，通常除了進(jìn)行剪切強(qiáng)度計(jì)算外，還要進(jìn)行擠壓強(qiáng)度計(jì)算。

擠壓應(yīng)力:

“實(shí)用計(jì)算法”，即認(rèn)為擠壓應(yīng)力在擠壓面上的分布是均勻的。故擠壓應(yīng)力為

:MPaFjy為擠壓力（N）；Ajy為擠壓面積（）

當(dāng)擠壓面為半圓柱側(cè)面時(shí)，中點(diǎn)的擠壓應(yīng)力值最大，如果用擠壓面的正投影面作為擠壓計(jì)算面積，計(jì)算得到的擠壓應(yīng)力與理論分析所得到的最大擠壓應(yīng)力近似相等。因此，在擠壓的實(shí)用計(jì)算中，對(duì)于鉚釘、銷釘?shù)葓A柱形聯(lián)接件的擠壓面積用來(lái)計(jì)算。為了保證構(gòu)件局部不發(fā)生擠壓塑性變形，必須使構(gòu)件的工作擠壓應(yīng)力小于或等于材料的許用擠壓應(yīng)力，即擠壓的強(qiáng)度條件為

:≤

[]

MPa塑性材料:[]＝(1.5～2.5)[]脆性材料:[]＝(0.9～1.5)[]材料的許用擠壓應(yīng)力，是根據(jù)試驗(yàn)確定的。使用時(shí)可從有關(guān)設(shè)計(jì)手冊(cè)中查得，也可按下列公式近似確定。

擠壓強(qiáng)度條件也可以解決強(qiáng)度計(jì)算的三類問(wèn)題。當(dāng)聯(lián)接件與被聯(lián)接件的材料不同時(shí)，應(yīng)對(duì)擠壓強(qiáng)度較低的構(gòu)件進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。

例1:試校核圖0-2-1所示帶式輸送機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)中從動(dòng)齒輪與軸的平鍵聯(lián)接的強(qiáng)度。已知軸的直徑d＝48mm，A型平鍵的尺寸為b＝14mm，h＝9mm，L＝45mm，傳遞的轉(zhuǎn)矩M＝l81481N·mm，鍵的許用切應(yīng)力[τ]＝60MPa，許用擠壓應(yīng)力[σjy]＝130MPa。

FFM解：1.以鍵和軸為研究對(duì)象,求鍵所受的力

:ΣMo(F)＝0F一M＝0F=2M/d=2x181481/48=7561.7N鍵聯(lián)接的破壞可能是鍵沿m—m截面被切斷或鍵與鍵槽工作面間的擠壓破壞。剪切和擠壓強(qiáng)度必須同時(shí)校核。用截面法可求得切力和擠壓力：FQ＝Fjy＝F＝7561.7N

2.校核鍵的強(qiáng)度。

鍵的剪切面積A＝bl=b（L－b）

鍵的擠壓面積為Ajy＝hl/2=h（L－b）／2τ＝

=MPa=17．4MPa＜[τ]

σjy＝＝MPa＝54.2MPa＜[σjy]

鍵的剪切和擠壓強(qiáng)度均滿足要求。

例2：在厚度的鋼板上欲沖出一個(gè)如圖所示形狀的孔，已知鋼板的抗剪強(qiáng)度，現(xiàn)有一沖剪力為的沖床，問(wèn)能否完成沖孔工作?810例2：在厚度的鋼板上欲沖出一個(gè)如圖所示形狀的孔，已知鋼板的抗剪強(qiáng)度，現(xiàn)有一沖剪力為的沖床，問(wèn)能否完成沖孔工作?810解：完成沖孔工作的條件：≤由平衡方程：FQ=100KNA=8x5x2+3.14x5x2x5=237

mm2=100KN/237mm2=422MPa<所以，該沖床能完成沖孔工作。三、圓軸扭轉(zhuǎn)

主要內(nèi)容:2.扭轉(zhuǎn)內(nèi)力:扭矩和扭矩圖3.扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分析與計(jì)算1.圓軸扭轉(zhuǎn)的概念

4.圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算1.工程中發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的構(gòu)件圓軸扭轉(zhuǎn)的概念2.扭轉(zhuǎn)變形的特點(diǎn)：受力特點(diǎn)：在垂直于桿件軸線的平面內(nèi)，作用了一對(duì)大小相等，轉(zhuǎn)向相反，作用平面平行的外力偶矩；變形特點(diǎn)：桿件任意兩橫截面都發(fā)生了繞桿件軸線的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。這種形式的變形稱為扭轉(zhuǎn)變形。3.研究對(duì)象：軸(以扭轉(zhuǎn)變形為主的桿件）工程中發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的構(gòu)件工程中發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的構(gòu)件扭轉(zhuǎn)內(nèi)力:扭矩和扭矩圖1.扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力稱為扭矩。截面上的扭矩與作用在軸上的外力偶矩組成平衡力系。扭矩求解仍然使用截面法。2.扭矩圖：用平行于軸線的x坐標(biāo)表示橫截面的位置，用垂直于x軸的坐標(biāo)MT表示橫截面扭矩的大小，描畫出截面扭矩隨截面位置變化的曲線，稱為扭矩圖。Me=9550P(kW)

n(r/min)

(N.m)MeMemm截面法求扭矩MeMTMeMT扭矩正負(fù)規(guī)定：右手法則例1：主動(dòng)輪A的輸入功率PA=36kW，從動(dòng)輪B、C、D輸出功率分別為PB=PC=11kW，PD=14kW，軸的轉(zhuǎn)速n=300r/min.試求傳動(dòng)軸指定截面的扭矩，并做出扭矩圖。解：1)由外力偶矩的計(jì)算公式求個(gè)輪的力偶矩：MA=9550PA/n=9550x36/300=1146N.mMB=MC=9550PB/n=350N.mMD=9550PD/n=446N.m2)分別求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩，即為BC,CA,AD段軸的扭矩。M1M3M2M1+MB=0M1=-MB=-350N.mMB+MC+M2=0M2=-MB-MC=-700N.mMD-M3=0M3=MD=446N.m3)畫扭矩圖：xMT350N.m700N.m446N.m對(duì)于同一根軸來(lái)說(shuō)，若把主動(dòng)輪A安置在軸的一端，例如放在右端，則該軸的扭矩圖為：MBMCMDMAxMT350N.m700N.m1146N.m結(jié)論：傳動(dòng)軸上主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的安放位置不同，軸所承受的最大扭矩(內(nèi)力)也就不同。顯然，這種布局是不合理的。

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力1.圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形特征:MeMe1)各圓周線的形狀大小及圓周線之間的距離均無(wú)變化；各圓周線繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)了不同的角度。2)所有縱向線仍近似地為直線，只是同時(shí)傾斜了同一角度。

平面假設(shè)：圓周扭轉(zhuǎn)變形后各個(gè)橫截面仍為平面，而且其大小、形狀以及相鄰兩截面之間的距離保持不變，橫截面半徑仍為直線。推斷結(jié)論：1.橫截面上各點(diǎn)無(wú)軸向變形,故截面上無(wú)正應(yīng)力。2.橫截面繞軸線發(fā)生了旋轉(zhuǎn)式的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，發(fā)生了剪切變形，故橫截面上有切應(yīng)力存在。3.各橫截面半徑不變，所以切應(yīng)力方向與截面半徑方向垂直。4.距離圓心越遠(yuǎn)的點(diǎn)，它的變形就越大。在剪切比例極限內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變總是成正比，這就是剪切虎克定律。

因此，各點(diǎn)切應(yīng)力的大小與該點(diǎn)到圓心的距離成正比，其分布規(guī)律如圖所示：MT根據(jù)橫截面上切應(yīng)力的分布規(guī)律可根據(jù)靜力平衡條件，推導(dǎo)出截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)力計(jì)算公式如下：MPaMT—橫截面上的扭矩（N.mm）

—欲求應(yīng)力的點(diǎn)到圓心的距離（mm）Ip—截面對(duì)圓心的極慣性矩（mm

）。

4MPamaxR=WpWp為抗扭截面系數(shù)(mm)

3極慣性矩與抗扭截面系數(shù)表示了截面的幾何性質(zhì)，其大小只與截面的形狀和尺寸有關(guān)。工程上經(jīng)常采用的軸有實(shí)心圓軸和空心圓軸兩種，它們的極慣性矩與抗扭截面系數(shù)按下式計(jì)算：

實(shí)心軸:空心軸:

例1：如圖所示,已知M1=5kNm;M2=3.2kNm;M3=1.8kNm;AB=200mm;BC=250mm,

AB=80mm,BC=50mm,G=80GPa。求此軸的最大切應(yīng)力。求AB、BC段扭矩解：根據(jù)切應(yīng)力計(jì)算公式:MAB=-5kN.mMBC=-1.8kN.mMABMBC圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算

強(qiáng)度條件:圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度要求仍是最大工作切應(yīng)力τmax不超過(guò)材料的許用切應(yīng)力[τ]?！躘τ]

對(duì)于階梯軸，因?yàn)榭古そ孛嫦禂?shù)Wp不是常量，最大工作應(yīng)力不一定發(fā)生在最大扭矩所在的截面上。要綜合考慮扭矩和抗扭截面系數(shù)Wp，按這兩個(gè)因素來(lái)確定最大切應(yīng)力。

應(yīng)用扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件，可以解決圓軸強(qiáng)度計(jì)算的三類問(wèn)題：校核強(qiáng)度、設(shè)計(jì)截面和確定許可載荷。

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的許用切應(yīng)力[]值是根據(jù)試驗(yàn)確定的，可查閱有關(guān)設(shè)計(jì)手冊(cè)。它與許用拉應(yīng)力[]有如下關(guān)系：

塑性材料[]＝(0．5～0．6)[]

脆性材料[]＝(0．8～1．0)[]例1：如圖所示直徑d=50mm的等截面圓軸，主動(dòng)輪功率PA=20kW，軸的轉(zhuǎn)速n=180r/min，齒輪B、C、D的輸出功率分別為PB=3kW，Pc=10kW，PD=7kW，軸的許用切應(yīng)力[]=38MPa，試校核該軸的強(qiáng)度。

ABCDMA=9550x20/180=1061N.m例1：如圖所示直徑d=50mm的等截面圓軸，主動(dòng)輪功率PA=20kW，軸的轉(zhuǎn)速n=180r/min，齒輪B、C、D的輸出功率分別為PB=3kW，Pc=10kW，PD=7kW，軸的許用切應(yīng)力[]=38MPa，試校核該軸的強(qiáng)度。

ABCD解：求各輪的外力偶矩：MB=9550x3/180=159N.mMC=9550x10/180=531N.mMD=9550x7/180=371N.mABCDMA=1061N.mMB=159N.mMC=531N.mMD=371N.mMAB=159N.mMAC=902N.mMCD=371N.m用截面法可得：則：τmax所以，軸的強(qiáng)度足夠。=

MTmax

/WP

=

902x10/0.2x50=14.4Mpa<38MPa33例2：某拖拉機(jī)輸出軸的直徑d=50mm，其轉(zhuǎn)速n=250r/min，許用切應(yīng)力[]=60MPa，試按強(qiáng)度條件計(jì)算該軸能傳遞的最大功率。例2：某拖拉機(jī)輸出軸的直徑d=50mm，其轉(zhuǎn)速n=250r/min，許用切應(yīng)力[]=60MPa，試按強(qiáng)度條件計(jì)算該軸能傳遞的最大功率。解：由MTmax

=9550Pmax/nτmax則：Pmax

=(60x250x50)/(9550x10)=196kW33=10Mtmax

/WP=10x9550Pmax/n.WP<60MPa33例3：已知：P＝7.5kW,n=100r/min,軸的許用切應(yīng)力＝40MPa,空心圓軸的內(nèi)外徑之比=0.5。求:實(shí)心軸的直徑d1和空心軸的外徑D2。解：MT=Me=T=9550nP=9550x7.5100=716.3(N.m)

max=Wp1==40(

MPa)1000MT7163000.2d13=45mmd1=716300400.23對(duì)于軸1：對(duì)于空心軸2：

max=Wp2==40(

MPa)1000MT7163000.2D2(1-

)34=46mmD2=716300

0.2(1-0.5

4)40

d2=0.5D2=23mmA1A2=d12D22(1-

2)=1.28圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形和剛度計(jì)算1.圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，任意兩橫截面產(chǎn)生相對(duì)角位移，稱為扭角。扭角是扭轉(zhuǎn)變形的變形度量。

等直圓軸的扭角的大小與扭矩MT及軸的長(zhǎng)度L成正比，與橫截面的極慣性矩Ip成反比，引入比例常數(shù)G，則有

:(rad

)切變模量(Mpa)抗扭剛度2.扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度計(jì)算

(rad/m)剛度條件：最大單位長(zhǎng)度扭角小于或等于許用單位長(zhǎng)度扭角[]。

或(/m)≤[]注：對(duì)于階梯軸，因?yàn)闃O慣性矩不是常量，所以最大單位長(zhǎng)度扭角不一定發(fā)生在最大扭矩所在的軸段上。要綜合考慮扭矩和極慣性矩來(lái)確定最大單位長(zhǎng)度扭角。

根據(jù)扭轉(zhuǎn)剛度條件，可以解決剛度計(jì)算的三類問(wèn)題，即校核剛度、設(shè)計(jì)截面和確定許可載荷。

例1：如圖所示階梯軸，直徑分別為，，已知C輪輸入轉(zhuǎn)矩，A輪輸出轉(zhuǎn)矩，軸的轉(zhuǎn)速，軸材料的許用切應(yīng)力[]，許用單位長(zhǎng)度扭角[]，切變模量，試校核該軸的強(qiáng)度和剛度。

CBACBA解:1.求個(gè)段扭矩：由于各段半徑不同，危險(xiǎn)截面可能發(fā)生在AB段的截面處，也可能發(fā)生在BC段。2.校核強(qiáng)度ABBC<[]AB所以，強(qiáng)度滿足要求。

3.校核剛度ABBCAB所以，軸的剛度也滿足要求。

結(jié)論：1.無(wú)正應(yīng)力。2.有切應(yīng)力存在，方向與截面半徑方向垂直。3.剪切虎克定律。

MTMPaMT—（N.mm）

—（mm）Ip—（mm）

4MPamaxR=Wp實(shí)心軸:空心軸:

四、直梁的彎曲

主要內(nèi)容:1.直梁平面彎曲的概念

2.梁的類型及計(jì)算簡(jiǎn)圖

3.梁彎曲時(shí)的內(nèi)力（剪力和彎矩）

4.梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件

5.梁彎曲時(shí)的變形和剛度條件

平面彎曲：梁的外載荷都作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí)，則梁的軸線在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)彎曲成一條平面曲線。直梁平面彎曲的概念

1.梁彎曲的工程實(shí)例2.直梁平面彎曲的概念：

彎曲變形：作用于桿件上的外力垂直于桿件的軸線，使桿的軸線由直線變?yōu)榍€。以彎曲變形為主的直桿稱為直梁，簡(jiǎn)稱梁。梁彎曲的工程實(shí)例1FFFAFB梁彎曲的工程實(shí)例2F梁的軸線和橫截面的對(duì)稱軸構(gòu)成的平面稱為縱向?qū)ΨQ面。梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖

在計(jì)算簡(jiǎn)圖中，通常以梁的軸線表示梁。作用在梁上的載荷，一般可以簡(jiǎn)化為三種形式:1.集中力:2.集中力偶:3.分布載荷(均布載荷)

單位為N/m

簡(jiǎn)支梁：一端為活動(dòng)鉸鏈支座，另一端為固定鉸鏈支座。梁的類型外伸梁：一端或兩端伸出支座之外的簡(jiǎn)支梁。懸臂梁：一端為固定端，另一端為自由端的梁。梁彎曲時(shí)的內(nèi)力：剪力和彎矩

求梁的內(nèi)力的方法仍然是截面法。

F1F3F2mmxF3ABFAaFQMFQ

=

FA-

F3M=

FAx-F3(x-a)F2F1FBFQM梁內(nèi)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定2.從梁的變形角度剪力：順時(shí)針為正逆時(shí)針為負(fù)彎矩：上凹為正下凹為負(fù)1.規(guī)定：BAqFA例：如圖，任取一截面m-m，距離A端x,則m-m截面內(nèi)力為:mmqCACFAFQMx(0≤X≤L)FBA點(diǎn)：MA=0中點(diǎn)：M=qL2/8B點(diǎn)：MB=0qL2/8拋物線剪力方程和彎矩方程一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置不同而變化。若以橫坐標(biāo)x表示截面在梁軸線上的位置，則各橫截面上的剪力和彎矩都可表示為x的函數(shù)，即：FQ=FQ(x)M=M(x)—剪力方程—彎矩方程彎矩圖畫法：以與梁軸線平行的x坐標(biāo)表示橫截面位置，縱坐標(biāo)y按一定比例表示各截面上相應(yīng)彎矩的大小，正彎矩畫在軸的上方，負(fù)彎矩畫在軸的下方。例2：如圖所示的簡(jiǎn)支梁AB，在點(diǎn)C處受到集中力F作用，尺寸a、b和L均為已知，試作出梁的彎矩圖。x1FAFBx2FABaCbL解：1.求約束反力2.分兩段建立彎矩方程

AC段：BC段：LFx1ABaCbx2M=FAX2-F(X2-a)

=-FX2+aFalFx1ABaCbx23.畫彎矩圖M=-FX2+aFal時(shí)，時(shí)，時(shí)，時(shí)，直線例3：如圖所示的簡(jiǎn)支梁AB，在點(diǎn)C處受集中力偶M0作用，尺寸a、b和L均為已知，試作此梁的彎矩圖。

BACM0abL例3：如圖所示的簡(jiǎn)支梁AB，在點(diǎn)C處受集中力偶M0作用，尺寸a、b和L均為已知，試作此梁的彎矩圖。

解：1.求約束反力2.分兩段建立彎矩方程

BACM0abLAC段：

x1x2BC段：

BACM0abLx1x23.畫彎矩圖BACM0abLx1x2彎矩圖的規(guī)律

1.梁受集中力或集中力偶作用時(shí)，彎矩圖為直線，并且在集中力作用處，彎矩發(fā)生轉(zhuǎn)折；在集中力偶作用處，彎矩發(fā)生突變，突變量為集中力偶的大小。

2.梁受到均布載荷作用時(shí)，彎矩圖為拋物線，且拋物線的開口方向與均布載荷的方向一致。

3.梁的兩端點(diǎn)若無(wú)集中力偶作用，則端點(diǎn)處的彎矩為0；若有集中力偶作用時(shí)，則彎矩為集中力偶的大小。求作彎矩圖。解：1.求約束反力

FB=3kNFC=1kN2.作彎矩圖

(無(wú)集中力偶，所以無(wú)突變）MA=0，MB=-2AB段為直線BC段為拋物線MBC=-(X-2X+4)/22CD段為直線MD=0，MC=-2x梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件

1.梁純彎曲的概念

在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，兩端施加等值、反向的一對(duì)力偶。在梁的橫截面上只有彎矩而沒(méi)有剪力，且彎矩為一常數(shù)，這種彎曲為純彎曲。平面彎曲剪力彎曲純彎曲剪力FQ≠0彎矩M≠0剪力FQ=0彎矩M≠0平面假設(shè)：梁彎曲變形后，其橫截面仍為平面，并垂直于梁的軸線，只是繞截面