自然科學(xué)風(fēng)險(xiǎn)決策

風(fēng)險(xiǎn)決策8/16/20241主要內(nèi)容引言知識(shí)準(zhǔn)備1：隨機(jī)事件與概率知識(shí)準(zhǔn)備2：概率分布與數(shù)學(xué)期望風(fēng)險(xiǎn)決策的數(shù)學(xué)模型最大期望收益原則與風(fēng)險(xiǎn)決策多階段決策8/16/20242引言在我們周圍的現(xiàn)實(shí)世界中充滿了機(jī)遇和風(fēng)險(xiǎn)，如何抓住機(jī)遇規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)不論對(duì)個(gè)人的成長(zhǎng)、事業(yè)成功和社會(huì)發(fā)展都有重大意義。所謂機(jī)遇與風(fēng)險(xiǎn)就是帶有一定的不確定性或隨機(jī)性的事物，概率論就是數(shù)學(xué)中研究隨機(jī)性的一門學(xué)科，用概率論可以幫助人們抓住機(jī)遇、規(guī)避風(fēng)險(xiǎn),做出正確的決策。我們將介紹一些初等概率論的基本知識(shí)并將其用于解決風(fēng)險(xiǎn)決策的實(shí)際問(wèn)題。8/16/20243知識(shí)準(zhǔn)備1：隨機(jī)事件與概率隨機(jī)事件在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件（簡(jiǎn)稱事件）。例：某河6—8月最高水位超過(guò)3.2米；福利彩票開獎(jiǎng)號(hào)碼中有3個(gè)8；從一批產(chǎn)品中任抽10件有一件為次品等。必然事件在一定條件下一定發(fā)生的事件。例：沒(méi)有外力，勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體繼續(xù)作勻速直線運(yùn)動(dòng)。不可能事件在一定條件下不可能發(fā)生的事件。例：在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到攝氏100度不沸騰。8/16/20244知識(shí)準(zhǔn)備1：隨機(jī)事件與概率隨機(jī)事件的頻率和概率隨機(jī)事件雖有不確定的一面即一次的實(shí)驗(yàn)或觀察，它可能發(fā)生也可能不發(fā)生，但在長(zhǎng)期或多次的觀察或試驗(yàn)中人們還是可以發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。隨機(jī)事件發(fā)生的頻率：若干次試驗(yàn)中該隨機(jī)事件發(fā)生的比率。作n次試驗(yàn)，該隨機(jī)事件發(fā)生了m次，f=m/n即為該事件發(fā)生的頻率。抽取件數(shù)n5106015060090012001800合格件數(shù)m575713154882010911631頻率f10.70.8330.8730.9130.9110.9090.9068/16/20245知識(shí)準(zhǔn)備1：隨機(jī)事件與概率投擲一枚硬幣正面朝上的頻率試驗(yàn)者試驗(yàn)次數(shù)n朝上次數(shù)m頻率f德摩根204810610.5181布豐404020480.5069皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加頻率呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，反映了事件的固有性質(zhì)，即發(fā)生的可能性。8/16/20246知識(shí)準(zhǔn)備1：隨機(jī)事件與概率概率的定義作n次重復(fù)試驗(yàn)，記m為事件A發(fā)生的次數(shù)，當(dāng)n很大時(shí)，若頻率m/n穩(wěn)定地在某一數(shù)值p附近擺動(dòng)，則稱p為隨機(jī)事件A發(fā)生的概率，記為P{A}=p顯然有若分別將必然事件和不可能事件記為和則有8/16/20247知識(shí)準(zhǔn)備2：概率分布與數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量在一定條件下，隨機(jī)試驗(yàn)的每一結(jié)果唯一地對(duì)應(yīng)于一個(gè)實(shí)數(shù)則稱為一個(gè)隨機(jī)變量，簡(jiǎn)記為例如：1）口袋中有兩個(gè)大小重量相同的球，一個(gè)標(biāo)記為1，另一標(biāo)記為2，在袋中隨便摸一球有兩種可能結(jié)果：模到標(biāo)號(hào)1的球；模到標(biāo)號(hào)2的球。設(shè)模到標(biāo)號(hào)1的球?qū)?yīng)于1；模到標(biāo)號(hào)2的球?qū)?yīng)于2。2）有獎(jiǎng)銷售購(gòu)物超過(guò)50元可摸獎(jiǎng)一次。口袋中有大小重量相同的紅黃藍(lán)黑球各一個(gè)，摸獎(jiǎng)時(shí)任模一球。摸到紅球摸到黃球摸到藍(lán)球摸到黑球8/16/20248知識(shí)準(zhǔn)備2：概率分布與數(shù)學(xué)期望一般的若隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)結(jié)果且成立對(duì)應(yīng)關(guān)系那么隨機(jī)變量的概率分布設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果對(duì)應(yīng)于隨機(jī)變量，并已知其概率為則稱為該隨機(jī)變量的概率分布。概率分布也可用表格表示：其中8/16/20249概率分布與數(shù)學(xué)期望(例)12P0.50.5例

1）口袋中有兩個(gè)大小重量相同的球，一個(gè)標(biāo)記為1，另一標(biāo)記為2，在袋中隨便摸一球有兩種可能結(jié)果：模到標(biāo)號(hào)1的球；模到標(biāo)號(hào)2的球。設(shè)模到標(biāo)號(hào)1的球?qū)?yīng)于1；模到標(biāo)號(hào)2的球?qū)?yīng)于2。顯然，摸到1號(hào)球和2號(hào)球的概率均為0.5，從而概率分布為：或用表格表示為8/16/202410概率分布與數(shù)學(xué)期望(例)421P0.250.250.5例2）有獎(jiǎng)銷售購(gòu)物超過(guò)50元可摸獎(jiǎng)一次。口袋中有大小重量相同的紅黃各一個(gè)黑球2個(gè)，模獎(jiǎng)時(shí)任模一球。摸到紅球得4分摸到黃球得2分，摸到黑球得1分。用分別表示摸到紅球、摸到黃球或摸到黑球。顯然它們的概率分別為0.25,0.25,0.5.于是，概率分布為：或用表格表示為：

8/16/202411概率分布與數(shù)學(xué)期望(例)例3）有一大批產(chǎn)品,其中15%為一等品,75%為二等品,10%為三等品，一、二、三等產(chǎn)品的單價(jià)分別為10元、8元和6元。任抽一件產(chǎn)品，隨機(jī)變量分別表示抽到一等品、二等品和三等品，那么，隨機(jī)變量的概率分布為：或用表格表示為：1086P0.150.750.18/16/202412知識(shí)準(zhǔn)備2：概率分布與數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望例有一大批產(chǎn)品,其中15%為一等品,75%為二等品,10%為三等品.一、二、三等產(chǎn)品的單價(jià)分別為10元8元和6元.有人要采購(gòu)一批這種產(chǎn)品,但來(lái)不及檢驗(yàn),該如何定價(jià)?假設(shè)采購(gòu)數(shù)量為n,其中一、二、三等品的件數(shù)分別為那么這n件產(chǎn)品的平均價(jià)格為顯然，分別為一、二、三等品出現(xiàn)的頻率，只要n足夠大，頻率可用概率代替，設(shè)一、二、三等品出現(xiàn)的概率為，平均價(jià)格可表示為8/16/202413知識(shí)準(zhǔn)備2：概率分布與數(shù)學(xué)期望已知此問(wèn)題的概率分布表為1086P0.150.750.1平均價(jià)格為0.15×10+0.75×8+0.1×6=8.1.由此可引出數(shù)學(xué)期望的概念。8/16/202414知識(shí)準(zhǔn)備2：概率分布與數(shù)學(xué)期望定義設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為則稱為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，記作或，即8/16/202415概率分布與數(shù)學(xué)期望（例）例某廠有甲、乙兩車間生產(chǎn)同一產(chǎn)品.用分別表示兩車間生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù),經(jīng)統(tǒng)計(jì)的概率分布分別為問(wèn)那一車間的質(zhì)量水平較高?01230123P0.70.10.10.1P0.50.30.20解質(zhì)量高低可用它們的數(shù)學(xué)期望來(lái)比較：由于甲車間的質(zhì)量水平比乙車間高。8/16/202416風(fēng)險(xiǎn)決策的數(shù)學(xué)模型人們?cè)谧鳑Q策時(shí)，可能面臨幾種客觀狀態(tài)，到底哪種狀態(tài)出現(xiàn)是不確定的，因此決策就有風(fēng)險(xiǎn)，這種決策稱為風(fēng)險(xiǎn)決策。如果設(shè)法知道各種客觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率，就可以采用適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行科學(xué)決策，從可能的方案中選出一種，獲得在某種意義下最優(yōu)的效果。例如，某船主要對(duì)下月漁船是否出海做出決策。如出海后是好天，可得收益5000元，若出海后天氣變壞，將損失2000元；若不出海，無(wú)論天氣好壞都將損失1000元。據(jù)預(yù)測(cè)，下月好天的概率為0.6，天氣變壞的概率為0.4，船主應(yīng)如何決策？船主可選擇的方案有兩個(gè)：出?；虿怀龊?記為F1，F(xiàn)2；面臨的客觀狀態(tài)也有兩個(gè)：好天或天氣變壞，記為Z1，Z2。8/16/202417風(fēng)險(xiǎn)決策的數(shù)學(xué)模型方案F1遇到狀態(tài)Z1，即出海遇到好天，收益為5000元；方案F1遇到狀態(tài)Z2，即出海遇到天氣變壞，收益為-2000元；方案F2遇到狀態(tài)Z1，即不出海遇到好天，收益為-1000元；方案F2遇到狀態(tài)Z2，即不出海遇到天氣變壞，收益為-1000元。注意到好天氣的概率為0.6，天氣變壞的概率為0.4，我們列表如下P0.60.4Z1Z2F15000-2000F2-1000-10008/16/202418風(fēng)險(xiǎn)決策的數(shù)學(xué)模型PZ1Z2ZnF1F2Fm對(duì)一般的情形，設(shè)決策者有m個(gè)方案F1,F2,….,Fm可供選擇，有n種客觀狀態(tài)Z1,Z2,…Zn可能出現(xiàn)，它們出現(xiàn)的概率為：方案Fi遇到狀態(tài)Zj決策者的收益為，我們可以列表如下（()稱為收益矩陣）8/16/202419最大期望收益原則5000-2000P0.60.4-1000-1000P0.60.4現(xiàn)回到出海決策問(wèn)題，分別用,表示方案1和方案2的收益，它們是兩個(gè)隨機(jī)變量，它們的概率分布是：由于兩個(gè)方案的收益都是隨機(jī)變量，我們可以用它們的數(shù)學(xué)期望來(lái)判斷優(yōu)劣，數(shù)學(xué)期望大者為優(yōu)。即方案1收益的期望大于方案2的期望收益，方案1更優(yōu)，決策者應(yīng)選擇方案1。我們可以直接在收益表上操作、得到結(jié)果。8/16/202420最大期望收益原則P0.60.4Z1Z2EF15000-20002200F2-1000-1000-10008/16/202421最大期望收益原則對(duì)一般的風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題，用表示第i個(gè)方案的收益，它是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率分布為：從而其數(shù)學(xué)期望為：對(duì)計(jì)算各方案收益的數(shù)學(xué)期望，最大者就對(duì)應(yīng)于最優(yōu)方案。8/16/202422最大期望收益原則（例）面包房進(jìn)貨問(wèn)題一家面包房，某種面包每天的需求量為100、150、200、250、300的概率分別為0.2、0.25、0.3、0.15和0.1。每個(gè)面包的進(jìn)貨價(jià)為2.50元，銷售價(jià)為4元，若當(dāng)天不能售完，剩下的只能以每只2元的價(jià)格處理。每天該進(jìn)多少貨？（進(jìn)貨量必須是50的倍數(shù)）

進(jìn)貨方案有進(jìn)100、150、200、250、300五種方案；需求量也有五種狀態(tài)：需要100、150、200、250、300只。我們首先計(jì)算各種方案遇到不同狀態(tài)時(shí)的利潤(rùn)（收益），即不同進(jìn)貨量遇到不同需求量時(shí)的利潤(rùn)。設(shè)進(jìn)貨量為y,需求量為x,用L表示利潤(rùn)，有8/16/202423最大期望收益原則（例）例如，進(jìn)貨為100，需求為100時(shí)，利潤(rùn)為

L=1.5*100=150,進(jìn)貨為150，需求為100時(shí)，利潤(rùn)為

L=2*100-0.5*150=125。以此類推可得收益表：8/16/202424最大期望收益原則（例）P0.20.250.30.150.1100150200250300E1001501501501501501501501252252252252252052001002003003003002352507517527537537523530050150250350450220進(jìn)貨200或250為最優(yōu)，期望利潤(rùn)為