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文檔簡介

行列式展開定理音樂§1.4

11、余子式與代數余子式2在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，記作即叫做元素的代數余子式．3例如456引理1.1一個階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那末這行列式等于與它的代數余子式的乘積，即．例如7證當位于第一行第一列時,即有又從而在證一般情形,此時8得9得1011中的余子式12故得于是有13

n階行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素與其對應代數余子式乘積的和,即或按第i行展開按第j列展開證略推論:若行列式某行(列)的元素全為零,則行列式的值為零.定理1.2（可展性)14例2設15定理1.3

行列式某一行的元素乘另一行對應元素的代數余子式之和等于零,即這是因為第i行第j行16同樣,行列式對列展開,也有則有172、行列式的計算利用行列式的可展性把高階行列式轉化為較低階行列式進行計算的方法，稱為降階法；但直接應用按行（列）展開公式計算行列式，運算量較大，因此用降階法計算行列式應按零較多的行或列展開.實際中通常用行列式的性質把零較多的行或列化為只有一個元素不為零，而后按該行或列展開，對降階后的行列式再如法進行.降階法是計算行列式的又一個最基本最重要的方法，須熟練掌握.為了使計算過程更加醒目，特將按第行i(列）展開記為18例11920例2

計算行列式解21

每行元素的和都相等,把第二、三、四列都加到第一列,

例3計算行列式解2223按第一列展開,并由上、下三角形行列式得

例4計算n階行列式解24例6計算n階行列式解按第1列展開，(1)25反復利用遞推公式得：

(2)由對稱性，(1)式又可化為

(1)(3)聯列(2)(3),解得26而代入得27

證用數學歸納法，例7證明范德蒙(Vandermonde)行列式2829

n-1階范德蒙行列式30證畢.31例如,32顯然：n階范德蒙行列式的充要條件是它的元互不相同。例8

（與01年考研試題類似）設、分別為行列式中元素的余子式和代數余子式

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