三章20091一二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)分析1

第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析(10學(xué)時)信息學(xué)院二○○九年九月2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析系統(tǒng)分析方法:時域、頻域什么是時域分析？指控制系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，根據(jù)輸出響應(yīng)的時域表達(dá)式，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。優(yōu)點：時域分析是直接在時間域中對系統(tǒng)進(jìn)行分析的方法，從時域響應(yīng)曲線上能直接得到系統(tǒng)時間響應(yīng)的全部信息，具有直觀和準(zhǔn)確的優(yōu)點，便于建立系統(tǒng)性能指標(biāo)

。2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析缺點：難以判斷系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)對動態(tài)性能的影響，很難用于系統(tǒng)的設(shè)計。對于高階系統(tǒng)，系統(tǒng)分析的工作量將急劇增加，不易確定其性能指標(biāo)。必須借助計算機(jī)實現(xiàn)。2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析

自動控制系統(tǒng)的時域指標(biāo)一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)高階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差主要內(nèi)容2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析了解典型信號和自動控制系統(tǒng)時域指標(biāo)的定義；掌握一階和二階系統(tǒng)分析與暫態(tài)性能指標(biāo)計算方法；建立系統(tǒng)參數(shù)與系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)之間的對應(yīng)關(guān)系；了解系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)暫態(tài)性能指標(biāo)的影響，能夠定性分析高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)過程；理解和掌握線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，會用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性；理解穩(wěn)態(tài)誤差的概念，了解系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)誤差的影響，熟練掌握誤差傳遞函數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法。學(xué)習(xí)重點2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析3.1自動控制系統(tǒng)的時域指標(biāo)

（1）系統(tǒng)應(yīng)是穩(wěn)定的；（2）系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定時，應(yīng)滿足給定的穩(wěn)態(tài)誤差的要求；（3）系統(tǒng)在暫態(tài)過程中應(yīng)滿足暫態(tài)品質(zhì)的要求。1、對控制性能的要求

穩(wěn)定性穩(wěn)態(tài)特性暫態(tài)特性三性2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析為了能對不同的控制系統(tǒng)的性能用統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)來恒量，通常需要選擇幾種典型的外作用。典型輸入（測試）信號選取原則：（1）簡單的時間函數(shù)，便于數(shù)學(xué)分析和試驗研究。（2）在現(xiàn)場及實驗室中容易獲得。（3）實際信號可由這些典型信號組合而得?？刂乒こ讨谐Ｓ玫湫洼斎耄y試）信號：階躍信號，斜坡信號，拋物線信號，脈沖信號。2.自動控制系統(tǒng)的典型輸入(測試)信號2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析2.自動控制系統(tǒng)的典型輸入(測試)信號A=1時稱為單位階躍信號（1）階躍信號(stepinputsignal)2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析（2）斜坡信號(速度信號）rampinputsignalA=1時稱為單位斜坡信號2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析（3）拋物線信號（加速度信號）accelerateinputsignal當(dāng)A=1/2時，稱為單位拋物線函數(shù)2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析（4）脈沖函數(shù)pulseinputsignal理想單位脈沖函數(shù)R為脈沖函數(shù)的幅值，R=1時稱為單位理想脈沖函數(shù)脈沖函數(shù)定義：2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析當(dāng)A=1時，稱為單位脈沖函數(shù)

（t）脈沖信號或?qū)嶋H脈沖信號2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析（5）正弦函數(shù)02024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析

本章主要以單位階躍函數(shù)作為系統(tǒng)的輸入量來分析系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)。

在工程上，許多高階系統(tǒng)常常具有近似一、二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)。因此，深入研究一、二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)，有著廣泛的實際意義。2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析3.2一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

1.一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析2.一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析

3.

一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線由解析式和曲線圖可以得出以下結(jié)論：初始斜率為1/T；可以用時間常數(shù)T去度量系統(tǒng)的輸出量的數(shù)值；確定T值的方法之一實驗確定T的值、系統(tǒng)是否是一階系統(tǒng)2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析上升時間tr調(diào)節(jié)時間ts

4.一階系統(tǒng)的性能指標(biāo)動態(tài)性能指標(biāo)定義2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析動態(tài)性能指標(biāo)調(diào)節(jié)時間

ess=輸出期望值-輸出實際值=1-xc(∞)=1-1=0穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析例3.1、一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如下圖所示。試求該系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時間ts

；如果要求ts(5%)

0.1(秒)，試問系統(tǒng)的反饋系數(shù)應(yīng)取何值？2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析解：（1）首先由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖寫出閉環(huán)傳遞函數(shù)得T=0.1（s），取5%誤差帶得調(diào)節(jié)時間

ts

=3T=0.3(s)

2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析（2）求滿足ts

(5%)

0.1（s）的反饋系數(shù)值。假設(shè)反饋系數(shù)Kt(Kt>0)，那么同樣可由結(jié)構(gòu)圖寫出閉環(huán)傳遞函數(shù)由閉環(huán)傳遞函數(shù)可得T=0.01/Kt根據(jù)題意要求ts

(5%)

0.1（s）則ts

=3T=0.03/Kt

0.1(s)所以Kt

0.32024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析1.典型二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

閉環(huán)傳函：3.3二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)型典型二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)形式開環(huán)傳函：：自然頻率(無阻尼振蕩頻率)：阻尼比重要2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析2.典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)特征根：特征方程：特征根的性質(zhì)取決于的大??；二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)取決于和兩個參數(shù)，按以下情況來研究二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)。2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析過阻尼（

>1）系統(tǒng)的特征根為二不等負(fù)實根特征根（閉環(huán)極點）：2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析輸出量的拉氏變換：2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析輸出響應(yīng)的時間函數(shù)：2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析⑴系統(tǒng)響應(yīng)為單調(diào)上升；

⑵

穩(wěn)態(tài)分量為1；⑶

暫態(tài)分量由兩部分組成，極點距虛軸越近，對系統(tǒng)響應(yīng)影響越大。⑷

當(dāng)時，第二項的衰減指數(shù)遠(yuǎn)比前一項大得多，所以第二項暫態(tài)分量只是在響應(yīng)的前期對系統(tǒng)的輸出有影響，后期的影響很小，第二項可以忽略，此時的二階系統(tǒng)的響應(yīng)可近似為一階系統(tǒng)響應(yīng)。結(jié)論：2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析時的響應(yīng)曲線。一定時，隨的增大，系統(tǒng)的響應(yīng)速度變慢。結(jié)論：⑸2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析時的響應(yīng)曲線。結(jié)論：

（6）

一定時，隨的增大，系統(tǒng)的響應(yīng)速度變快。2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析二相等負(fù)實根（2）臨界阻尼（

=1）系統(tǒng)的特征根為輸出量的拉氏變換：輸出響應(yīng)為：2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析時：（2）一定時，隨的增大，系統(tǒng)的響應(yīng)速度變快。（1）輸出為一條單調(diào)上升的曲線。結(jié)論：2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析（3）欠阻尼（）系統(tǒng)的特征根為一對左半S面一對共軛復(fù)根2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析輸出量的拉氏變換：拉式反變換后可得：式中：阻尼角阻尼振蕩頻率

2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析重點，理解性記憶2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析結(jié)論：1、欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為衰減振蕩曲線。2、穩(wěn)態(tài)分量為1；3、暫態(tài)分量為一按指數(shù)衰減的簡諧振動時間函數(shù)，形態(tài)與和有關(guān)；2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析分別為1、2、3、4時的響應(yīng)曲線。

一定時，系統(tǒng)的超調(diào)量不變。隨的增大，響應(yīng)速度加快。2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析時的響應(yīng)曲線。0.20.30.10.40.8振蕩程度與

有關(guān)：

一定時，隨的增大，系統(tǒng)的響應(yīng)速度變慢，超調(diào)量減小。

越小，超調(diào)量越大，振蕩越劇烈2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析（4）無阻尼（

=0）

系統(tǒng)的特征根為

輸出量的拉氏變換為

二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)為一對位于虛軸上共軛虛根結(jié)論：輸出Xc(t)為一條在0和2之間不衰減的等幅振蕩曲線。2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析（5）

<0（負(fù)阻尼）系統(tǒng)的特征根為:右半S平面的二根結(jié)論：當(dāng)

<0時系統(tǒng)具有二右半面的特征根，輸出

響應(yīng)為一發(fā)散形式的曲線。2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析小結(jié)一階系統(tǒng)的響應(yīng)是單調(diào)上升的過程，品質(zhì)由時間常數(shù)T來表證。二階系統(tǒng)的響應(yīng)由這兩個特征參數(shù)來決定。暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析（1）系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)由兩部分組成：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)＋暫態(tài)響應(yīng)。由閉環(huán)極點或特征根決定。2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析（2）極點在S平面上的位置分布對系統(tǒng)響應(yīng)的影響。a.當(dāng)極點位于S平面的左半面時，系統(tǒng)響應(yīng)收斂。

b.系統(tǒng)極點位于S平面的右半面或虛軸上，響應(yīng)發(fā)散。c.極點離虛軸越近，對系統(tǒng)響應(yīng)影響越大，極點離虛軸越遠(yuǎn)，對系統(tǒng)響應(yīng)影響越小。2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點分布特征根：2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析d.極點的實部決定著系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)是否收斂與衰減的快慢；虛部決定著系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的振蕩情況。衰減系數(shù)2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)極點分布同單位階躍響應(yīng)之間的對應(yīng)關(guān)系收斂，穩(wěn)定！發(fā)散，不穩(wěn)定！2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析

時，系統(tǒng)輸出無超調(diào)，系統(tǒng)的響應(yīng)速度隨的增大而變慢，隨的增大而變快。時，系統(tǒng)輸出不穩(wěn)定。

越大，超調(diào)量越小，響應(yīng)速度越慢；越大，響應(yīng)速度越快。

時，系統(tǒng)輸出有超調(diào)，且決定了超調(diào)量的大小和響應(yīng)的速度，決定了系統(tǒng)的響應(yīng)速度。（3）二階系統(tǒng)中和的作用2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析在不同的阻尼比時，二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)有很大的區(qū)別，因此阻尼比

是二階系統(tǒng)的重要參量。當(dāng)

≤0時，系統(tǒng)不能正常工作，而在

≥1時，系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)進(jìn)行的又太慢。所以，對二階系統(tǒng)來說，欠阻尼情況（）是最有實際意義的。

2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析當(dāng)時，典型二階系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為3.二階系統(tǒng)暫態(tài)特性指標(biāo)

典型二階系統(tǒng)2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析時間tr上升峰值時間tpAB超調(diào)量σ%=AB100%調(diào)節(jié)時間ts二階系統(tǒng)暫態(tài)特性指標(biāo)定義快速性：上升時間tr

，調(diào)節(jié)時間ts平穩(wěn)性：超調(diào)量σ

%，振蕩次數(shù)

2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析（1）上升時間tr令t=tr

時，xc（t

r）=1，得----系統(tǒng)的輸出第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時間取n=1，得：2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析結(jié)論：當(dāng)

n一定時，阻尼比越小，則上升時間tr

越短；當(dāng)阻尼比一定時，

n越大，則tr

越短。

2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析最大超調(diào)量發(fā)生在第一個周期中t=tm

時刻。令得峰值時間（2）最大超調(diào)量σ%輸出最大值相對于輸出穩(wěn)態(tài)值的誤差。計算公式為2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析即因此因為在n=1時出現(xiàn)最大超調(diào)量，所以有峰值時間為：2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析將代入1、只與有關(guān)，隨的減小而增大。2、結(jié)論：得輸出最大值為2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析

定義：系統(tǒng)的輸出與穩(wěn)態(tài)值之間的偏差達(dá)到允許范圍（一般取5%～2%）而不再超出的暫態(tài)過程時間。（3）調(diào)節(jié)時間根據(jù)調(diào)節(jié)時間的定義，設(shè)誤差帶為：得：2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析由此求得調(diào)節(jié)時間為：結(jié)論：1、調(diào)節(jié)時間與閉環(huán)極點的實部成反比。2、保持不變，增大可在不改變超調(diào)量的情況下減小ts。2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析式中：

為阻尼振蕩的周期時間。

（4）振蕩次數(shù)

定義：

在調(diào)節(jié)時間ts內(nèi)，輸出量波動的次數(shù)。2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析4.二階系統(tǒng)特征參數(shù)與暫態(tài)性能指標(biāo)之間的關(guān)系阻尼比是二階系統(tǒng)的一個重要參量，由值的大小可以間接判斷一個二階系統(tǒng)的暫態(tài)品質(zhì)。2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析（1）最大超調(diào)量只與阻尼比這一特征參數(shù)有關(guān)。因此，通?？梢愿鶕?jù)允許的超調(diào)量來選擇阻尼比。（2）調(diào)節(jié)時間與系統(tǒng)阻尼比和自然振蕩角頻率的乘積成反比。為了限制超調(diào)量，并使調(diào)節(jié)時間較短，阻尼比一般應(yīng)在0.4～0.8之間，這時階躍響應(yīng)的超調(diào)量將在1.5%～25%之間。2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析令5.二階工程最佳參數(shù)2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析例3-2位置隨動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，其中Kk

=4。求1）自然振蕩角頻率；2）系統(tǒng)的阻尼比；3）超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間；4）如果要求，應(yīng)怎樣改變系統(tǒng)參數(shù)Kk

。2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析解：

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為寫成標(biāo)準(zhǔn)形式對照標(biāo)準(zhǔn)型得（1）自然振蕩角頻率2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析（3）超調(diào)量

調(diào)節(jié)時間（4）當(dāng)要求時

（2）阻尼比2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析例3-3為了改善例3-2系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)性能，滿足單位階躍輸入下系統(tǒng)超調(diào)量的要求，今加入微分負(fù)反饋，如下圖所示。求微分時間常數(shù)。2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

時間常數(shù)形式解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析為了使，令由可求得并由此求得開環(huán)放大系數(shù)為2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析由例3-3可知：當(dāng)系統(tǒng)加入局部微分負(fù)反饋時，相當(dāng)于增加了系統(tǒng)的阻尼比，提高了系統(tǒng)的平穩(wěn)性，但同時也降低了系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)，增加了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析6.零、極點對二階系統(tǒng)暫態(tài)性能的影響式中：——時間常數(shù)。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為(1)具有零點的二階系統(tǒng)的暫態(tài)特性分析比例微分環(huán)節(jié)(PD調(diào)節(jié)器)零點2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析令，則設(shè)

則在初始條件為零時，取拉氏反變換為2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析結(jié)論：（1）閉環(huán)零點的存在，起微分加快的作用，使輸出響應(yīng)加快，超調(diào)增大。2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析結(jié)論：（2）零點離虛軸越近，對系統(tǒng)響應(yīng)的影響越大，越遠(yuǎn)，影響越小。當(dāng)零點離虛軸無窮遠(yuǎn)時，影響為零。2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析(2)二階系統(tǒng)加極點的暫態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)傳遞函數(shù)當(dāng)時，特征方程式的三個根為慣性，積分環(huán)節(jié)2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析因此得

系統(tǒng)輸出響應(yīng)為

式中是負(fù)實數(shù)極點與共軛復(fù)數(shù)極點的負(fù)實部之比。2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析結(jié)論：（1）極點距虛軸越近，影響越大（對應(yīng)暫態(tài)分量衰減越慢，系數(shù)越大）。（2）具有負(fù)實數(shù)極點的三階系統(tǒng)，振蕩性減弱，調(diào)節(jié)時間增長，超調(diào)量減小。極點的加入相當(dāng)于加入了積分環(huán)節(jié)，起慣性延緩作用。2024/8/16第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析3.4高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)

式中：

——系統(tǒng)閉環(huán)零點，又稱系統(tǒng)零點；

——系統(tǒng)閉環(huán)極點，又稱系統(tǒng)極點。三階以上的系統(tǒng)高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)形式：將分子和分母分解成因式----首1形式：2024/8/16第三章自動控制