山東省壽光市圣都中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末備考卷B

PAGEPAGE17山東省壽光市圣都中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末備考卷（B）留意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆干脆答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若全集，，，則集合等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，所以．2．已知實(shí)數(shù)，滿意，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】在，的條件下，，故“”是“”的充要條件．3．歐拉公式，把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，虛數(shù)單位，三角函數(shù)和聯(lián)系在一起，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)的天橋”，若復(fù)數(shù)滿意，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，解得，所以?．設(shè)，，，若，則與夾角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，由，得，此時(shí)，所以，夾角的余弦值為．5．已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，且，則的值等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依據(jù)三角函數(shù)的定義得，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及，得，所以，，所以．6．某中學(xué)共有人，其中男生人，女生人，為了了解該校學(xué)生平均每周體育熬煉時(shí)間的狀況以及常常進(jìn)行體育熬煉的學(xué)生是否與性別有關(guān)（常常進(jìn)行體育熬煉是指：平均每周體育熬煉時(shí)間不少于小時(shí)），現(xiàn)在按性別用分層抽樣的方法從中收集位學(xué)生平均每周體育熬煉時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)），其頻率分布直方圖如圖．已知在樣本數(shù)據(jù)中，有位女生的平均每周體育熬煉時(shí)間超過小時(shí)，依據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)原理（）附：，其中．A．有的把握認(rèn)為“該校學(xué)生平均每周體育熬煉時(shí)間與性別無關(guān)”B．有的把握認(rèn)為“該校學(xué)生平均每周體育熬煉時(shí)間與性別有關(guān)”C．有的把握認(rèn)為“該校學(xué)生平均每周體育熬煉時(shí)間與性別無關(guān)”D．有的把握認(rèn)為“該校學(xué)生平均每周體育熬煉時(shí)間與性別有關(guān)”【答案】B【解析】依據(jù)分層抽樣方法知，名樣本中男生人，女生人．依據(jù)頻率分布直方圖可知，常常進(jìn)行體育熬煉的頻率為，得常常進(jìn)行體育熬煉的人數(shù)為（人），其中女生有人，可得如下列聯(lián)表：所以，故有的把握認(rèn)為“該校學(xué)生平均每周體育熬煉時(shí)間與性別有關(guān)”．7．的綻開式的各項(xiàng)系數(shù)和為，則該綻開式中的系數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，得的綻開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為，由已知，得，此時(shí)，故綻開式中項(xiàng)的系數(shù)為．8．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】構(gòu)造函數(shù)，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，可得，即，所以，故不等式的解集為．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9．若正實(shí)數(shù)，滿意，則下列說法正確的是（）A．有最大值 B．有最大值C．有最小值 D．有最大值【答案】AB【解析】由基本不等式可得，選項(xiàng)A正確；，所以，選項(xiàng)B正確；，的最小值為，選項(xiàng)C不正確；，得的最小值為，選項(xiàng)D不正確．10．直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則的長(zhǎng)度可能為（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】易知直線過定點(diǎn)，該點(diǎn)與圓心的距離為，故圓心到直線的距離滿意，所以，即，結(jié)合選項(xiàng)可知B、C正確．11．是居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)（）的簡(jiǎn)稱．居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)是一個(gè)反映居民家庭一般所購買的消費(fèi)品和服務(wù)項(xiàng)目?jī)r(jià)格水平變動(dòng)狀況的宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)．如圖是依據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的年月年我國漲跌狀況數(shù)據(jù)繪制的折線圖（注：年月與年月相比較，叫同比；年月與年月相比較，叫環(huán)比），依據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是（）A．年月至年月各月與去年同期比較，有漲有跌B．年月居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)同比漲幅最小，年月同比漲幅最大C．年月至年月只跌不漲D．年月至年月漲跌波動(dòng)不大，改變比較平穩(wěn)【答案】BD【解析】依據(jù)圖中同比的折線圖可知，年月至年月各月與去年同期比較均為漲，故選項(xiàng)A不正確；同樣依據(jù)同比折線圖知選項(xiàng)B正確；依據(jù)環(huán)比折線圖可知，年月、月均為漲，月、月為跌，故選項(xiàng)C不正確；依據(jù)同比、環(huán)比折線圖可知，年月至年月漲跌波動(dòng)不大，改變比較平穩(wěn)，選項(xiàng)D正確．12．拋物線的焦點(diǎn)為，為其上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A．的最小值為B．拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為C．存在直線，使得，兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱D．若過，的拋物線的兩條切線交準(zhǔn)線與點(diǎn)，則，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和的最小值為【答案】AD【解析】依據(jù)拋物線的定義知，拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)與到焦點(diǎn)的距離之和等于動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離之和，因?yàn)?，所以的最小值為，選項(xiàng)A正確；設(shè)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則，所以的最小值為，選項(xiàng)B不正確；假設(shè)存在直線使得，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的斜率為，設(shè)直線，代入拋物線方程，得，則，得，設(shè)，，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，由，得，與沖突，故假設(shè)不成立，故選項(xiàng)C不正確；設(shè)，，由，得，，故過點(diǎn)的拋物線的切線方程為，即①，同理，過點(diǎn)的拋物線的切線方程為②，由①②解得，，因?yàn)辄c(diǎn)在準(zhǔn)線上，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和的最小值為，選項(xiàng)D正確．第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知雙曲線過點(diǎn)，且與雙曲線有相同的漸近線，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【解析】由于雙曲線與有相同的漸近線，故可設(shè)雙曲線的方程為，將點(diǎn)代入雙曲線的方程，得，，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．14．已知為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線在處的切線方程是．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，由于為奇函數(shù)，故，，，則，故所求的切線方程為，即．15．聲音是物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，其中純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，已知函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，與純音的數(shù)學(xué)模型的圖象重合，則，若函數(shù)在是減函數(shù)，則的最大值是．【答案】，【解析】依據(jù)題意，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，又的圖象與的圖象重合，且，故，得，所以．令，可得，由于包含的單調(diào)遞減區(qū)間，故，得的最大值為．16．《九章算術(shù)》中記載：將底面為直角三角形的直三棱柱稱為塹堵，將一塹堵沿其一頂點(diǎn)與相對(duì)的棱剖開，得到一個(gè)陽馬（底面是長(zhǎng)方形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐）和一個(gè)鱉臑（四個(gè)面均為直角三角形的四面體）．在如圖所示的塹堵中，，，，且有鱉臑和鱉臑，現(xiàn)將鱉臑沿翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則鱉臑經(jīng)翻折后，與鱉臑拼接成的幾何體的外接球的表面積是．【答案】【解析】鱉臑經(jīng)過翻折后，記點(diǎn)翻折到處，則與鱉臑拼接成的幾何體是如圖所示的三棱錐，其中平面，底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形．設(shè)的中心為，該三棱錐外接球的球心在過且垂直于平面的直線上，連接，則平面，連接，，在中作，因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，所以，在中，易得，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，所以該幾何體外接球的表面積．四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知是的邊上的一點(diǎn)，的面積是面積的倍，．（1）若，求的值；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因?yàn)?，，所以，所以，所以．?）因?yàn)?，即，以，所以，，，所以?8．（12分）給出以下三個(gè)條件：①；②；③．請(qǐng)從這三個(gè)條件中任選一個(gè)將下面的題目補(bǔ)充完整，并求解．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，，且滿意，記，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】見解析．【解析】選①，由已知（?。?dāng)時(shí)，（ⅱ），（?。áⅲ┑茫?，當(dāng)時(shí)，，即，所以，滿意，故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，，，所以．選②，由已知（?。?dāng)時(shí)，（ⅱ），（?。áⅲ┑?，即，當(dāng)時(shí)，滿意，，，所以．選③，由已知（?。?，當(dāng)時(shí)，（ⅱ），（?。áⅲ?，得，即，當(dāng)時(shí)，，而，得，滿意，故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以．，，所以．19．（12分）如圖，已知平面平面，直線平面，且．（1）求證：平面；（2）若，平面，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）因?yàn)槠矫?，所以，由，可知，又，所以，所以，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，如圖，連接，則，所以平面，則，，所以四邊形是矩形．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，．設(shè)平面的法向量為，易知，，由，得，取，得；設(shè)平面的法向量為，易知，，由，得，取，得．設(shè)二面角的平面角為，則，由圖知二面角的平面角是鈍角，所以二面角的余弦值為．20．（12分）已知橢圓與圓相交于，，，四點(diǎn)，四邊形為正方形，，分別是的左、右焦點(diǎn)，的周長(zhǎng)為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，，若直線與直線的斜率之積為，證明：直線恒過定點(diǎn)．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，即，又點(diǎn)在橢圓上，所以，所以①，又的周長(zhǎng)為，所以②，由①②及可解得，，所以橢圓的方程為．（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，，，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即，所以，不滿意題意；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，，，聯(lián)立得，整理得，所以，，則，即，解得，所以直線恒過定點(diǎn)．21．（12分）已知函數(shù)．（1）若，在上的最小值是，求；（2）若，且，是的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）的定義域是，，令，易知圖象的對(duì)稱軸方程為，且，因?yàn)椋遥援?dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，，解得．（2）由有兩個(gè)極值點(diǎn)，，可得在上有個(gè)不同的實(shí)根，即在上有個(gè)不同的實(shí)根，則，解得，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，所以，當(dāng)時(shí)，，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以在上單調(diào)遞減，，所以，所以原不等式成立，即．22．（12分）新能源汽車已經(jīng)走進(jìn)我們的生活，漸漸為大家所青睞．現(xiàn)在有某品牌的新能源汽車在甲市進(jìn)行預(yù)售，預(yù)售場(chǎng)面異樣火爆，故該經(jīng)銷商采納競(jìng)價(jià)策略，基本規(guī)則是：①競(jìng)價(jià)者都是網(wǎng)絡(luò)報(bào)價(jià)，每個(gè)人并不知曉其他人的報(bào)價(jià)，也不知道參與競(jìng)價(jià)的總?cè)藬?shù)；②競(jìng)價(jià)采納“一月一期制”，當(dāng)月競(jìng)價(jià)時(shí)間截止后，系統(tǒng)依據(jù)當(dāng)期汽車配額，依據(jù)競(jìng)價(jià)人的出價(jià)從高到低安排名額．某人擬參與年月份的汽車競(jìng)價(jià)，他為了預(yù)料最低成交價(jià)，依據(jù)網(wǎng)站的公告，統(tǒng)計(jì)了最近個(gè)月參與競(jìng)價(jià)的人數(shù)（如下表）：（1）由所收集數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖發(fā)覺，可用線性回來模型擬合競(jìng)價(jià)人數(shù)（單位：萬人）與月份編號(hào)之間的相關(guān)關(guān)系．請(qǐng)用最小二乘法求關(guān)于的線性回來方程：，并預(yù)料年月份（月份編號(hào)為）參與競(jìng)價(jià)的人數(shù)．（2）某市場(chǎng)調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)位擬參與年月份汽車競(jìng)價(jià)人員的報(bào)價(jià)進(jìn)行了抽樣調(diào)查，得到如表所示的頻數(shù)表：（?。┣筮@位競(jìng)價(jià)人員報(bào)價(jià)的平均值和樣本方差（同一區(qū)間的報(bào)價(jià)用該價(jià)格區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；（ⅱ）假設(shè)全部參與競(jìng)價(jià)人員的報(bào)價(jià)聽從正態(tài)分布，且與可分別由（?。┲械臉颖酒骄鶖?shù)及估計(jì)．