新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點(diǎn)總結(jié)與題型精練專題12 解三角形(原卷版)

專題12解三角形【考綱要求】1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.2、能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.一、正弦定理和余弦定理【思維導(dǎo)圖】【考點(diǎn)總結(jié)】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R為△ABC外接圓半徑)a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C變形形式a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.三角形解的判斷A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個數(shù)一解兩解一解一解3.三角形中常用的面積公式(1)S＝eq\f(1,2)ah(h表示邊a上的高)．(2)S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsin_B＝eq\f(1,2)absinC.(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)．【常用結(jié)論】1．三角形內(nèi)角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；變形：eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2).2．三角形中的三角函數(shù)關(guān)系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．二、解三角形的綜合應(yīng)用【思維導(dǎo)圖】【考點(diǎn)總結(jié)】1．仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①)．2．方位角從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②)．3．方向角相對于某一正方向的水平角．(1)北偏東α，即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向(如圖③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向．(3)南偏西等其他方向角類似．4．坡角與坡度(1)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角)．(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖④，i為坡度)．坡度又稱為坡比．常用結(jié)論測量中的幾種常見問題求AB圖形需要測量的元素解法求豎直高度底部可達(dá)∠ACB＝αBC＝a解直角三角形AB＝atanα底部不可達(dá)∠ACB＝α∠ADB＝βCD＝a解兩個直角三角形AB＝eq\f(atanαtanβ,tanβ－tanα)求水平距離山兩側(cè)∠ACB＝αAC＝bBC＝a用余弦定理AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosα)河兩岸∠ACB＝α∠ABC＝βCB＝a用正弦定理AB＝eq\f(asinα,sin（α＋β）)河對岸∠ADC＝α∠BDC＝β∠BCD＝δ∠ACD＝γCD＝a在△ADC中，AC＝eq\f(asinα,sin（α＋γ）)在△BDC中，BC＝eq\f(asinβ,sin（β＋δ）)在△ABC中，應(yīng)用余弦定理求AB【題型匯編】題型一：正弦定理題型二：余弦定理題型三：三角形的面積公式題型四：解三角形的實際應(yīng)用【題型講解】題型一：正弦定理一、單選題1．（2022·江西南昌·二模（理））在SKIPIF1<0中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．8 B．6 C．5 D．32．（2022·吉林·延邊州教育學(xué)院一模（文））已知SKIPIF1<0，內(nèi)角SKIPIF1<0的對邊分別是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<03．（2022·江西·二模（文））設(shè)在SKIPIF1<0中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若滿足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0不唯一，則m的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·四川·樂山市教育科學(xué)研究所二模（文））設(shè)SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且SKIPIF1<0，則A=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·陜西西安·三模（文））在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<06．（2022·安徽·蕪湖一中一模（文））已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若SKIPIF1<0，則角A的大小為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2022·貴州黔東南·一模（理））設(shè)a，b，c分別為SKIPIF1<0內(nèi)角A，B，C的對邊．已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2022·湖南省臨澧縣第一中學(xué)一模）在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題1．（2022·重慶八中模擬預(yù)測）在△SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0所對的邊分別為a、b、c，則下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則△SKIPIF1<0為等邊三角形題型二：余弦定理一、單選題1．（2022·陜西商洛·二模（文））SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．22．（2022·四川雅安·三模（文））在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·陜西咸陽·二模（文））在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．44．（2022·寧夏·吳忠中學(xué)三模（理））在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．16 B．9 C．－9 D．－165．（2022·北京昌平·二模）在△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0只需添加一個條件，即可使△SKIPIF1<0存在且唯一.條件：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0中，所有可以選擇的條件的序號為（

）A．① B．①② C．②③ D．①②③6．（2022·內(nèi)蒙古包頭·二模（文））SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為（

）A．9 B．6 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2022·陜西榆林·三模（理））△SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若△SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．10 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2022·全國·二模（理））△ABC中，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則AB邊上的高的最大值為（

）A．2 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題1．（2022·廣東廣州·三模）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的對邊分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．下面四個結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的外接圓半徑是4B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0一定是鈍角三角形D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0三、解答題1．（2022·北京市第十二中學(xué)三模）SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0.(1)求角SKIPIF1<0的大小；(2)從以下4個條件中選擇2個作為已知條件，使三角形存在且唯一確定，并求SKIPIF1<0的面積.條件①：SKIPIF1<0；條件②：SKIPIF1<0；條件③：SKIPIF1<0；條件④：SKIPIF1<0.題型三：三角形的面積公式一、單選題1．（2022·江西萍鄉(xiāng)·三模（文））在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別為角SKIPIF1<0的對邊，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為2，則邊長SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·江西鷹潭·一模（理））SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，設(shè)D是SKIPIF1<0邊的中點(diǎn)，且SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于(

)A．2 B．4 C．-4 D．-23．（2022·天津河西·三模）已知SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·寧夏·石嘴山市第一中學(xué)一模（理））在SKIPIF1<0中，角A，B，C所以對的邊分別為a，b，c，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或35．（2022·江西·南昌市實驗中學(xué)一模（文））在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所對應(yīng)邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為（

）.A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·寧夏銀川·一模（理））△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若SKIPIF1<0，則△ABC面積的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、解答題1．（2022·北京·潞河中學(xué)三模）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，再從條件①?條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：(1)SKIPIF1<0的值；(2)SKIPIF1<0的面積.條件①：SKIPIF1<0；條件②：SKIPIF1<0.題型四：解三角形的實際應(yīng)用一、單選題1．（2022·青海西寧·一模（文））某居民小區(qū)擬將一塊三角形空地改造成綠地.經(jīng)測量，這塊三角形空地的兩邊長分別為32m和68m，它們的夾角是SKIPIF1<0.已知改造費(fèi)用為50元/m2，那么，這塊三角形空地的改造費(fèi)用為（

）A．SKIPIF1<0元 B．SKIPIF1<0元 C．SKIPIF1<0元 D．SKIPIF1<0元2．（2022·江西師大附中三模（理））滕王閣，位于江西省南昌市西北部沿江路贛江東岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代詩人王勃詩句“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色”而流芳后世．如圖，小明同學(xué)為測量滕王閣的高度，在滕王閣的正東方向找到一座建筑物AB，高為SKIPIF1<0，在它們的地面上的點(diǎn)M（B，M，D三點(diǎn)共線）測得樓頂A，滕王閣頂部C的仰角分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，在樓頂A處測得閣頂部C的仰角為SKIPIF1<0，則小明估算滕王閣的高度為（

）（精確到SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·江西師大附中三模（文））地處贛江東岸的騰王閣與岳陽樓?黃鶴樓并稱為“江南三大名樓”，是中國古代四大名樓之一?“中國十大歷史文化名樓”之一，世稱“西江第一樓”.“云銷雨霽，彩徹區(qū)明.落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色.漁舟唱晚，響窮彭蠡之濱；雁陣驚寒，聲斷衡陽之浦”是唐代文學(xué)家王勃對騰王閣的生動描寫.某位游客（身高忽略不計）從地面D點(diǎn)看樓頂點(diǎn)A的仰角為30°，沿直線前進(jìn)72米到達(dá)E點(diǎn)，此時看點(diǎn)C的仰角為45°，若SKIPIF1<0，則樓高AB約為（

）A．58米 B．68米 C．78米 D．88米4．（2022·四川瀘州·二模（理