2022屆東北三省四市教研聯(lián)合體高考模擬考試（一）數(shù)學(理科)答案

2022年東北三省四市教研聯(lián)合體高考模擬試卷（一）數(shù)學（理科）一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則集合（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，B，再利用交集的運算即可求出．【詳解】化簡，，所以．故選：B．2.若復數(shù)的實部與虛部相等，則實數(shù)a的值為（）A-3B.-1C.1D.3【答案】A【解析】【分析】利用復數(shù)的除法，將復數(shù)表示為一般形式，然后利用復數(shù)的實部與虛部相等求出實數(shù)的值.【詳解】解：因為復數(shù)的實部與虛部相等，所以，解得故實數(shù)a的值為.故選：A3.下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由偶函數(shù)的定義以及指對冪函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【詳解】對于A，令，，故A錯誤；對于B，令，，則為偶函數(shù)，當時，，則在上單調(diào)遞減，故B正確；對于C，，，故C錯誤；對于D，當時，，在上單調(diào)遞增，故D錯誤；故選：B4.已知長方形的長與寬分別為3和2，則分別以長與寬所在直線為旋轉(zhuǎn)軸的圓柱體的體積之比為（）A.3：2B.2：3C.9：4D.4：9【答案】B【解析】【分析】分別求出兩圓柱的體積，即可得到比例關系；【詳解】解：若以長為軸，則圓柱的高，底面半徑，此時圓柱的體積，若以寬為軸，則圓柱的高，底面半徑，此時圓柱的體積，所以；故選：B5.納皮爾是蘇格蘭數(shù)學家，其主要成果有球面三角中納皮爾比擬式、納皮爾圓部法則（1614）和納皮爾算籌（1617），而最大的貢獻是對數(shù)的發(fā)明，著有《奇妙的對數(shù)定律說明書》，并且發(fā)明了對數(shù)尺，可以利用對數(shù)尺查詢出任意一對數(shù)值．現(xiàn)將物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，經(jīng)過t分鐘后物體的溫度T（℃）可由公式得出，如溫度為90℃的物體，放在空氣中冷卻約5分鐘后，物體的溫度是30℃，若根據(jù)對數(shù)尺可以查詢出，則空氣溫度約是（）A.5℃B.10℃C.15℃D.20℃【答案】B【解析】【分析】由題意可知，再根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)計算可得；【詳解】解：由題意可知，整理得，，所以，，解得．空氣溫度是．故選：B．6.設表示直線，表示平面，使“”成立的充分條件是（）A.，B.，C.，D.，，，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)面面垂直、線面垂直、線面平行的判定與性質(zhì)依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A，當，時，可能、或與相交，充分性不成立，A錯誤；對于B，當，時，可能或與相交，充分性不成立，B錯誤；對于C，若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于該平面，充分性成立，C正確；對于D，若，則，，，無法得到，充分性不成立，D錯誤.故選：C.7.已知橢圓C：上的動點P到右焦點距離的最小值為，則（）A1B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得橢圓上的點到右焦點距離最小值為，即可求出，再根據(jù)，即可得解；【詳解】解：根據(jù)橢圓的性質(zhì)，橢圓上的點到右焦點距離最小值為，即，又，所以，由，所以；故選：A8.已知隨機變量，下列表達式正確的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二項分布的性質(zhì)，結合數(shù)學期望和方差的性質(zhì)進行逐一判斷即可.【詳解】因為，所以，因此，，因此選項B、D不正確，選項C正確，又因為，所以選項A不正確，故選：C9.對于函數(shù)，下列結論正確的是（）A.的圖象關于原點對稱B.在上最大值為C.D.在上單調(diào)遞增【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移變換原則可得解析式，根據(jù)余弦型函數(shù)奇偶性判定可知A錯誤；由可得的范圍，結合余弦函數(shù)的值域可知B正確；由三角函數(shù)平移變換和誘導公式可知C錯誤；利用代入檢驗法可確定的單調(diào)性，知D錯誤.【詳解】對于A，令，則，為偶函數(shù)，圖象關于軸對稱，A錯誤；對于B，當時，，，，則在上最大值為，B正確；對于C，，C錯誤；對于D，當時，，此時單調(diào)遞增；當時，，此時單調(diào)遞減；D錯誤.故選：B.10.已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前2022項積為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】找出數(shù)列的規(guī)律，是周期為4的數(shù)列，然后求和即可.【詳解】由題意，，，，，，，，∴是周期為4的循環(huán)數(shù)列，在一個周期內(nèi)的積為：，，前2022項之積為505個周期之積，即；故選：A.11.已知點和是雙曲線C：的兩個焦點，過點作雙曲線C的漸近線的垂線，垂足為H，且，則雙曲線C的離心率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】不妨取雙曲線的一條漸近線為，利用點到直線的距離公式求出，再求出的方程，聯(lián)立求出的坐標，即可得到，再根據(jù)，即可求出離心率；【詳解】解：依題意不妨取雙曲線的一條漸近線為，，，所以到直線的距離，又的斜率為，所以的方程為，由，解得，即，所以，因為，所以，即，即，所以離心率；故選：B12.已知函數(shù)，，若≥恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】對不等式≥進行變形，參變分離出a，構造函數(shù)，求h(x)的導數(shù)，利用導數(shù)研究h(x)的單調(diào)性，求出h(x)的最小值即可求出a的取值范圍．【詳解】，令，則，令，，∵，∴p(x)在(0，+)上單調(diào)遞增，∵，∴當時，，，單調(diào)遞減；當時，，，單調(diào)遞增；∴，∴≥恒成立，則．故選：C．【點睛】本題關鍵是對不等式≥進行變形，參變分離出a，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究其單調(diào)性，求出其最小值即可得a的范圍．二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知公差不為0的等差數(shù)列中，，，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的公差______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，即，再解方程即可得答案.【詳解】解：因為等差數(shù)列中，，，，成等比數(shù)列所以，，即，解得.故答案為：14.已知函數(shù)，則的值為___________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)微積分基本定理直接計算即可.【詳解】.故答案為：.15.在中，滿足，且，點P滿足，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面向量加法的幾何意義，結合平面向量共線的性質(zhì)、平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)進行求解即可.【詳解】因為，所以是的中點，因此，因為，，所以，因此，故答案為：16.現(xiàn)有四棱錐（如圖），底面ABCD是矩形，平面ABCD.，，點E，F(xiàn)分別在棱AB，BC上.當空間四邊形PEFD的周長最小時，異面直線PE與DF所成角的余弦值為___________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)兩點間線段最短，結合平行線的性質(zhì)、異面直線所成角的定義、空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】將沿旋轉(zhuǎn)到平面內(nèi)，如下圖所示，設點關于對稱的點為，線段與的交點為，此時空間四邊形PEFD的周長最小，因為，所以，同理可得：，因為底面ABCD是矩形，所以，又因為平面ABCD，平面ABCD，所以，所以可以建立如下圖所示的空間直角坐標系，，，異面直線PE與DF所成角的余弦值為：，故答案為：【點睛】關鍵點睛：利用兩點間線段最短是解題關鍵.三?解答題：共70分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22~23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17.在中，角A?B?C所對的邊分別是a?b?c，的面積為S，且.（1）求角A；（2）若，，求的面積.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】(1)根據(jù)已知條件，結合三角形面積公式和余弦定理即可求出tanA，從而求出A；(2)根據(jù)余弦定理求出c邊，根據(jù)三角形面積公式即可求解．【小問1詳解】由，可得，則，即，則，∵，∴；【小問2詳解】在中，由余弦定理得，，即，可得或(舍)，則．18.已知直三棱柱中中，為正三角形，E為AB的中點，二面角的大小為.（1）求證：平面；（2）求直線BC與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明過程見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理，結合線面平行的判定定理進行證明即可；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式，結合線面角的定義進行求解即可.【小問1詳解】連接交于，連接，顯然是的中點，因為E為AB的中點，所以，而平面，平面，所以平面；【小問2詳解】設的中點為，連接交于，因為為正三角形，所以也是正三角形，所以有，因為三棱柱是直三棱柱，所以平面平面，而平面平面，所以平面，因為三棱柱是直三棱柱，所以側面是矩形，因此平面，于是建立如圖所示的空間直角坐標系，設，所以，設平面的法向量為，，所以有，因為平面，所以設平面的法向量為，因為二面角的大小為，所以有（負值舍去），則，設直線BC與平面所成角的正弦值為，所以.19.今年全國兩會期間，習近平總書記在看望參加全國政協(xié)十三屆五次會議的農(nóng)業(yè)界?社會福利和社會保障界委員時指出“糧食安全是‘國之大者’.悠悠萬事，吃飯為大.”某校課題小組針對糧食產(chǎn)量與化肥施用量以及與化肥有效利用率間關系進行研究，收集了10組化肥施用量和糧食畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)，并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.每畝化肥施用量為x(單位：公斤)，糧食畝產(chǎn)量為y(單位：百公斤)．參考數(shù)據(jù)：65091.552.51478.630.5151546.5表中，（1）根據(jù)散點圖判斷，與，哪一個適宜作為糧食畝產(chǎn)量y關于每畝化肥施用量x的回歸方程(給出判斷即可，不必說明理由)；（2）根據(jù)(1)的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程；并預測每畝化肥施用量為27公斤時，糧食畝產(chǎn)量y的值；()（3）通過文獻可知，當化肥施用量達到一定程度，糧食產(chǎn)量的增長將趨于停滯，所以需提升化肥的有效利用率，經(jīng)統(tǒng)計得，化肥有效利用率，那么這種化肥的有效利用率超過56%的概率為多少？附：①對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，；②若隨機變量，則有，.【答案】（1）；（2）；8.1百公斤；（3）．【解析】【分析】（1）根據(jù)散點圖可知y與x的關系不是線性關系，故應該選擇非線性模型.（2）兩邊同時取自然對數(shù)，令，可得，則z和t成線性相關，利用最小二乘估計公式計算出d和lnc即可得y與x的回歸方程，將x=27代入即可預測每畝化肥施用量為27公斤時糧食畝產(chǎn)量y的值.（3）根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可得．【小問1詳解】根據(jù)散點圖可知y與x的關系不是線性的關系，則更適宜．【小問2詳解】∵，∴，令，，則，，，∴，，，∴，當時，(百公斤).【小問3詳解】根據(jù)Z服從正態(tài)分布可知，，∴這種化肥的有效利用率超過的概率為．20.已知函數(shù)，.（1）證明：；（2）若數(shù)列滿足，，證明：，.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】【分析】(1)先證明f(x)>0，化簡不等式，構造函數(shù)，，證明g(x)<0即可；再證明，化簡不等式，構造函數(shù)，證明h(x)>0即可；(2)利用(1)中結論可得，從而可得，利用累乘法即可得，再根據(jù)即可得到結論．【小問1詳解】先證，即證，令，，即證g(x)<0，∵，在上單調(diào)遞減，．再證，即證，即證，令，即證h(x)>0，∵，在上單調(diào)遞增，；【小問2詳解】由(1)得，則，∴，即，∴，當n=1時，，故，．【點睛】本題第一問關鍵是化簡要證明的不等式，構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性并求最小值即可得結論；第二問關鍵是利用第一問的結論，結合數(shù)列的累乘法求出，從而得出結論.21.已知拋物線的焦點為，過點且傾斜角為的直線被所截得的弦長為.（1）求拋物線的方程；（2）已知點為拋物線上的任意一點，以為圓心的圓過點，且與直線相交于兩點，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用拋物線焦點弦長公式可構造方程求得，由此可得拋物線方程；（2）設，圓的半徑為，利用面積公式，借助可求得，結合拋物線定義可知，由此可得，進而得到所求范圍.【小問1詳解】由拋物線方程得：，可設過點且傾斜角為的直線為：，由得：，由拋物線焦點弦長公式可得：，解得：，拋物線的方程為：.【小問2詳解】由（1）知：，準線方程為：；設，圓的半徑為，則，，，又，；由拋物線定義可知：，即，，即的取值范圍為.【點睛】思路點睛：本題考查直線與拋物線的綜合應用問題，本題第二問求解的基本思路是能夠?qū)⑺缶嚯x之積轉(zhuǎn)化為關于圓的半徑的函數(shù)的形式，通過拋物線定義確定的取值范圍后，即可得到所求距離之積的取值范圍.22.如圖，在極坐標系Ox中，方程表示的曲線是一條優(yōu)美的心臟線．在以極軸Ox所在直線為x軸，極點O為坐標原點的直角坐標系xOy中，已知曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，且）．（1）求曲線的極坐標方程；（2）當時，與交于點A，將射線OA繞極點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，交于點B，求的值．【答案】（1）（）（2）【解析】【分析】（1）首先將曲線消去參數(shù)得到普通方程，再根據(jù)得到曲線的極坐標方程；（2）令、分別求出、，再根據(jù)數(shù)量積的定義計算可得；【小問1詳解】解：因為曲線參數(shù)方程為（為參數(shù)，且）所以（），又，所以，即（），即曲線的