2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大題題型歸納：第03講 分組法和并項(xiàng)法求數(shù)列前n項(xiàng)和（解析）

第03講分組法和并項(xiàng)法求數(shù)列前n項(xiàng)和考法呈現(xiàn)考法一：分組法求數(shù)列前n項(xiàng)和例題分析【例1】已知數(shù)列an滿(mǎn)足a(1)求an(2)在an相鄰兩項(xiàng)中間插入這兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，求所得新數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和【答案】(1)a(2)T【分析】（1）a13+a232+?+a（2）設(shè)數(shù)列cn滿(mǎn)足cn=an+an+12=2×3n?1，an【詳解】（1）因?yàn)閍13所以n≥2時(shí)，a13①?②得：an3n又n=1時(shí)，a13=故an的通項(xiàng)公式為a（2）設(shè)數(shù)列cn滿(mǎn)足c記an的前n項(xiàng)和為Sn，cn的前n項(xiàng)和為R由等比數(shù)列的求和公式得：Sn=1?所以T2n即新數(shù)列{bn}的前2n滿(mǎn)分秘籍若數(shù)列{若數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn＝an±bn，且{an}，{bn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組分別求和法求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．變式訓(xùn)練【變式1-1】已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足(1)求數(shù)列an(2)若bn=ancos2nπ【答案】(1)a(2)T【分析】（1）利用和與項(xiàng)的關(guān)系可得an+an?1a（2）根據(jù)cos2n【詳解】（1）an當(dāng)n≥2時(shí)，an?1an又an+a可得數(shù)列an當(dāng)n=1時(shí)，a1所以，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a（2）bnT+==?3所以，數(shù)列bn的前3n+1項(xiàng)和T【變式1-2】在等比數(shù)列an中，已知a2=4(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=?1n?log2【答案】(1)a(2)S【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到關(guān)于a1（2）先由（1）得bn=(?1)n?n【詳解】（1）因?yàn)樵诘缺葦?shù)列an中，a2=4,所以a1q=4a所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式a（2）由（1）得bn所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和S當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn所以Sn【變式1-3】在等比數(shù)列an中，a7=8a4，且1(1)求an(2)設(shè)bn=?1nlog2an，數(shù)列bn【答案】(1)an(2)40或37．【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等差中項(xiàng)的意義求出公比及首項(xiàng)作答.（2）由（1）的結(jié)論求出bn【詳解】（1）設(shè)an的公比為q，由a7=8a4由12a2，a3?4，a4?12所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式是a（2）由（1）知，bn=?1當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，Tk=(b1+當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，Tk=Tk+1?所以k=40或37.【變式1-4】Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知6S(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式a(2)數(shù)列bn依次為：a1,3,a2,32,【答案】(1)a(2)3【分析】（1）利用項(xiàng)與和的關(guān)系即可求解；（2）先確定數(shù)列bn的前100項(xiàng)中含有an的前13項(xiàng)，含有【詳解】（1）當(dāng)n=1時(shí)，6S1=6a1由6Sn=an兩式相減得6a因?yàn)閍n>0，所以所以an所以an（2）由于1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78,78+12<100，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=91,91+13>104因此數(shù)列bn的前100項(xiàng)中含有an的前13項(xiàng)，含有所求和為S=4×13+13×12考法二：并項(xiàng)法求數(shù)列前n項(xiàng)和例題分析【例2】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足2S(1)求an(2)若bn=(?1)nan2【答案】(1)a(2)T【分析】（1）根據(jù)an=Sn?Sn?1（2）由（1）可得bn=?1【詳解】（1）因?yàn)?Sn=n+1a所以2Sn?2所以n?1a所以ann=an?1n?1，即an（2）因?yàn)閎n當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，T===2+1+4+3+?+n+n?1當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，T===2+1+4+3+?+n?2綜上可得Tn滿(mǎn)分秘籍“并項(xiàng)求和”一般包括兩類(lèi)問(wèn)題：①同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)“并項(xiàng)求和”一般包括兩類(lèi)問(wèn)題：①同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)(三項(xiàng)或多項(xiàng))并成“大項(xiàng)”之后，各個(gè)“大項(xiàng)”又呈現(xiàn)出有規(guī)律特征，進(jìn)而通過(guò)“大項(xiàng)”的求和得出結(jié)果．②兩個(gè)數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和(差)并成“大項(xiàng)”，通過(guò)求“大項(xiàng)”的和得出結(jié)果．變式訓(xùn)練【變式2-1】已知an是等差數(shù)列，a1=1，d≠0，且a1，(1)求數(shù)列an(2)令bn=an(n+1)，記【答案】(1)a(2)S【分析】（1）根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到方程，求出d，即可求出通項(xiàng)；（2）由（1）可得bn=n(n+1)，在分【詳解】（1）因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，a1=1，d≠0，且a所以a1a4=a22所以an（2）由題意an=n知，所以S=?1×2+2×3?3×4+4×5??+(?1)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S=2(2+4+?+n)=22×當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn綜上Sn【變式2-2】記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a1(1)證明：數(shù)列an(2)設(shè)bn=an+Sn【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)T【分析】（1）方法1：由nan+1=n+1an+1可得an+1n+1?ann=1nn+1，由累加法求出an，再證明數(shù)列（2）由（1）知Sn=n2，所以bn=(?1)nn+2，方法1：由并項(xiàng)求和法求出數(shù)列bn的前【詳解】（1）方法1：∵nan+1∴n≥2時(shí)，an累加得：an∴an=2n?1,n=1an?a方法2：∵na∴a∴ann∴an=2n?1，∴方法3：當(dāng)n≥2時(shí)，n?1annan+1∴②-①可得：n∴2a∴an是等差數(shù)列，因?yàn)椋?）由（1）知Sn=n方法1：并項(xiàng)求和當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，bn∴方法2：錯(cuò)位相減求和T2n?1?1T①-②：2T2n?1∴【變式2-3】已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，Sn為an的前n項(xiàng)和，且an，(1)求an(2)已知bn=?1nan，求數(shù)列【答案】(1)a(2)T【分析】（1）由an，Sn，an?2成等差數(shù)列，得2Sn=an+an?2，n=1（2）由（1）知bn=?1nn+1【詳解】（1）由an，Sn，an?2當(dāng)n=1時(shí)，2a∴a1?a1?2=0當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn?1①－②得，2a∴an又an+an?1∴an∴an故an（2）由（1）知bn當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，T==5+9+13+?+=?當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，T==5+9+13+?+2n+1綜上Tn【變式2-4】設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1=2，公比為q（q為正整數(shù)），且滿(mǎn)足3a3是8a1與a5的等差中項(xiàng)；數(shù)列(1)求數(shù)列an(2)試確定t的值，使得數(shù)列bn(3)當(dāng)bn為等差數(shù)列時(shí)，對(duì)每個(gè)正整數(shù)k，在ak與ak+1之間插入bk個(gè)2，得到一個(gè)新數(shù)列cn.設(shè)Tn是數(shù)列【答案】(1)a(2)t=3(3)2226【分析】（1）由已知可求出q的值，從而可求數(shù)列{a（2）由已知可得bn=2n2?tnn?（3）根據(jù)題意可知cn的前100項(xiàng)，由90個(gè)2，a【詳解】（1）由題意，可得6a3=8解得q2=4或q2又a1=2，所以（2）由2n2?所以b1=2t?4，b2因?yàn)閿?shù)列{bn}為等差數(shù)列，所以b所以當(dāng)t=3時(shí)，bn=2n，由bn+1（3）因?yàn)閎1=2，所以a1與ab2=4，所以a2與ab3=6，所以a3與a……則cn的前100項(xiàng)，由90個(gè)2，a所以T100=(a真題專(zhuān)練1．已知an為等差數(shù)列，bn=an?6,n為奇數(shù)2an,n為偶數(shù)，記Sn(1)求an(2)證明：當(dāng)n>5時(shí)，Tn【答案】(1)an(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，用a1,d表示S（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出Sn，bn，再分奇偶結(jié)合分組求和法求出Tn，并與Sn作差比較作答；方法2，利用（1）的結(jié)論求出Sn，b【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，而b則b1于是S4=4a1+6d=32所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式是a（2）方法1：由（1）知，Sn=n(5+2n+3)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，bn?1Tn當(dāng)n>5時(shí)，Tn?S當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn當(dāng)n>5時(shí)，Tn?S所以當(dāng)n>5時(shí)，Tn方法2：由（1）知，Sn=n(5+2n+3)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn當(dāng)n>5時(shí)，Tn?S當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，若n≥3，則T=32n2+52當(dāng)n>5時(shí)，Tn?S所以當(dāng)n>5時(shí)，Tn2．已知數(shù)列an和bn滿(mǎn)足：a1=1，an+b(1)證明：數(shù)列bn(2)若當(dāng)n=3和n=4時(shí)，數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn取得最大值，求【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)Sn【分析】（1）根據(jù)題意消元可得，bn+1（2）由（1）知bn=1?λ?2n?1，從而得出an=1?λ【詳解】（1）因?yàn)閍n?b所以b1=a所以bn≠0，即bn+1bn（2）由（1）知bn=1?λ因?yàn)楫?dāng)n=3和n=4時(shí)，數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn取得最大值，所以即81?λ+λ=0，解得所以an經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)n≤3時(shí)，an>0，當(dāng)n≥5時(shí)，an在n=3和n=4時(shí)取得最大值，符合題意．此時(shí)Sn3．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足Sn=2a(1)求an(2)將數(shù)列an滿(mǎn)足__________（在①②中任選一個(gè)條件）的第m項(xiàng)am取出，并按原順序組成一個(gè)新的數(shù)列cn，求cn的前20項(xiàng)和T20.①log4【答案】(1)an=(2)T【分析】（1）根據(jù)Sn=2an?1利用S（2）選擇①②都可以得到新組成的數(shù)列cn是原來(lái)數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可得T【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列an滿(mǎn)足Sn當(dāng)n=1時(shí)，a1=2a當(dāng)n≥2時(shí)，Sn?1=2②-①得an=2因a1=2，所以an所以數(shù)列an是以a1=2所以an因?yàn)榈炔顢?shù)列bn滿(mǎn)足b4=設(shè)bn公差為d，則b1+3d=4,所以bn所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n（2）若選①log4am所以an所以cn所以T20若選②am=3b因?yàn)閙∈所以當(dāng)m=2n時(shí)，對(duì)應(yīng)的k=4由二項(xiàng)展開(kāi)式可知(3+1)=3C此時(shí)k為整數(shù)，滿(mǎn)足題意；當(dāng)m=2n?1時(shí)，對(duì)應(yīng)的k=4由二項(xiàng)展開(kāi)式可知(3?1)=3所以(3?1)2n?1?1除以3的余數(shù)是1，不能整除，即此時(shí)所以an所以cn所以T204．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S(1)求數(shù)列an(2)已知數(shù)列l(wèi)og2an+1an的前n項(xiàng)和為T(mén)n,cn=T【答案】(1)a(2)486【分析】（1）由an=Sn?Sn?1求出an+2a【詳解】（1）∵2n+3∴n+1即n+1a∴當(dāng)n≥3時(shí)，anan?1=nn?1，又所以當(dāng)n≥2時(shí)，an當(dāng)n=1時(shí)，a1=1，符合上式，（2）∵a∴Tn=則cn=T∵log2∴M5．已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列an滿(mǎn)足a1=1，其前n項(xiàng)和記為Sn，且Sn2?Sn?12a(1)求a2，a3，(2)求數(shù)列1+3nbn的前【答案】(1)a2=6，(2)Tn=【分析】（1）首先利用數(shù)列an與Sn的關(guān)系，求得Sn+Sn?1=2n2（2）由（1）可知，cn【詳解】（1）因?yàn)镾n2?Sn?12=2n2an=2當(dāng)n=3時(shí)，S3+S∵Sn+Sn?1∴S=7+4×3+101（2）由（1）可知，bn設(shè)cn當(dāng)n=1時(shí)，數(shù)列cn的前n當(dāng)n≥2，數(shù)列cn的前nT=28+10+14+...+設(shè)T3T'n兩式相減得?2T?2T解得：T'10+14+...+4n+2所以Tn=28+2n所以Tn=286．設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn=2an?(1)求數(shù)列an(2)設(shè)12bn+an是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列【答案】(1)a(2)bn=2【分析】（1）先根據(jù)an=Sn?Sn?1得到an=2an?1，利用a（2）由an=2【詳解】（1）由已知Sn=2a即an=2an?1n≥2又因?yàn)閍1，a2?1，a所以2a1?1所以，數(shù)列an故an（2）因?yàn)?2bn所以數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bT=2?=2n7．已知正項(xiàng)數(shù)列an滿(mǎn)足a1=1(1)求an(2)記bn=a【答案】(1)a(2)2023【分析】（1）由遞推關(guān)系式，結(jié)合累加法求得an2的通項(xiàng)公式，分析可得（2）根據(jù)bn的關(guān)系式，結(jié)合并項(xiàng)求和即可得b【詳解】（1）對(duì)任意的n∈N*，因?yàn)楫?dāng)n≥2時(shí)，a=8n?1+???+8×1+1=81+2+3+???+n?1+1因?yàn)閍n>0，故an=2n?1.當(dāng)n=1時(shí)，所以an=2n?1，（2）bn所以當(dāng)k∈N*時(shí)，故b1+b2+8．已知等比數(shù)列an的公比q>1，前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足：(1)求an(2)設(shè)bn=an,n為奇數(shù)b【答案】(1)a(2)T【分析】（1）法一：利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式得到關(guān)于基本量a1,q的方程組，解之即可求得法二：利用等比數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和公式依次轉(zhuǎn)化得到關(guān)于a1,a（2）分類(lèi)討論bn的通項(xiàng)公式，注意當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，n?1為奇數(shù)，從而利用分組求和法可求得S【詳解】（1）法一：因?yàn)閍n是公比q>1所以由S3=13a42兩式相除得1+q+q2q=13解得q=3或q=13，又q>1，所以q=3，故所以an法二：因?yàn)閍n是公比q>1所以由S3=13a42=3a6得a1+a故q2=a3a（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，bn當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，bn所以T===2=2×=99．已知等差數(shù)列an與等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和分別為：Sn,(1)求數(shù)列an(2)若cn=bn,n為奇數(shù)12【答案】(1)an=2n+1(2)U【分析】（1）將n=1代入S2nSn=4n+1n+2可求出a2=5，從而進(jìn)出d，故可求出an；再由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求出Sn，代入T（2）由（1）求出cn，再由分組求和法求出數(shù)列cn的前2n項(xiàng)的和【詳解】（1）∵S2n設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的首項(xiàng)為b∴d=a2?∴Sn又Tn=（2）∵∴=2?=∴數(shù)列cn的前2n項(xiàng)的和：U10．已知an為等差數(shù)列，bn(1)求an和b(2)設(shè)cn滿(mǎn)足c1=2,cn=an,2k【答案】(1)an=n+1(2)2138【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，由條件結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式和等比數(shù)列通項(xiàng)公式列方程求（2）根據(jù)分組求和法求和.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，且由題意得:2+d=2×2?12q2∴abn（2）由題意知，當(dāng)n=2k，k∈當(dāng)2k<n<2令2k≤64,則∴=c21=b===213811．已知數(shù)列an(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn滿(mǎn)足bn=sinπ2【答案】(1)a(2)?2n【分析】（1）先把題干條件等價(jià)變成an+1（2）結(jié)合特殊的三角函數(shù)值，利用分組求和進(jìn)行求解.【詳解】（1）由nan+1?所以n≥2時(shí)，a2故ann?a11=1?1n所以，an（2）由（1）知，bn所以，T=cosπ+cos2π+???+cos2n?1π+cos2nπ因?yàn)閏os2n?1π+cos2nπ=-cos2nπ+cos2nπ=0于是cosπ+cos2π+???+cos2π+cos4π+?+cos所以，T2n故數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和為?2n12．已知數(shù)列an滿(mǎn)足a(1)證明an(2)若bn=3an+1，求【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)S【分析】（1）根據(jù)已知條件及等比數(shù)列的定義即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等差等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，結(jié)合數(shù)列中的分組求和法即可求解.【詳解】（1）由題意得an+1又因?yàn)閍1?2a所以an?2an+1（2）由（1）得an所以bn所以S=1+1+1?+1??1213．已知等差數(shù)列an滿(mǎn)足a3=10(1)求an(2)數(shù)列bn滿(mǎn)足bn=2n?1,n為奇數(shù)12【答案】(1)a(2)T【分析】（1）根據(jù)條件建立方程組，即可求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可求an（2）利用分組求和及等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式即可求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和T【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列an因?yàn)閍3=10，a5?2a所以an（2）由（1）可得bn則T2n=(1+2=1?4n所以T2n14．設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知an+1(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=?1nan+n【答案】(1)a(2)T【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，根據(jù)a（2）由（1）得bn=(?1)【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列{an}∵an+1=S∴當(dāng)n=1時(shí)，有a2當(dāng)n≥2時(shí)，an=由①?②得an+1?a∴an+1an∴a∴a（2）由（1）得an=2∴b2n=∴b∴T15．已知數(shù)列an和bn滿(mǎn)足(1)證明：an+b(2)求anbn的前n【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)S【分析】（1）由an+1=a（2）由（1）可得an+bn=5×3n?1，a【詳解】（1）因?yàn)閍n+1=a所以an+1+b又由a1=3，b1=2得所以數(shù)列an+bn是首項(xiàng)為數(shù)列an?bn是首項(xiàng)為（2）由（1）得an+b所以an=5×所以an所以Sn16．已知數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列，a2=3(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=a【答案】(1)a(2)1012【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及給定的條件求出公差d和a1（2）根據(jù)數(shù)列bn【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為da1+d=3解得a1=2d=1（2）由（1）可知，bn對(duì)于任意k∈N?，有b4k?3所以b4k?3故數(shù)列bnb117．記Sn是公差不為0的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a4(1)求an(2)設(shè)b1=12，bn+b【答案】(1)a(2)T【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)和求和公式可構(gòu)造方程組求得a1,d，進(jìn)而得到（2）由（1）可得Sn，進(jìn)而得到b【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d由a4=a12∴a（2）由（1）得：Sn∴b∴T2n+1=b118．已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=2，其前n項(xiàng)和為S(1)求S21(2)設(shè)cn=?1【答案】(1)S(2)數(shù)列cn的第二項(xiàng)和第四項(xiàng)都為其最大項(xiàng)，且c【分析】（1）結(jié)合Sn與an的關(guān)系，由條件可得an+1（2）由條件求a2，結(jié)合an+1+an=2n+4n≥2，證明an+2?【詳解】（1）因?yàn)镾n所以Sn+1所以Sn+1?S所以a2+a3=8，a4+所以S21（2）因?yàn)镾n所以S2+S1=12由（1）an+1所以an+2+a所以an+2?所以a2n=8+n?1所以S1當(dāng)n≥2時(shí)，S2n?1所以S2n?1=2+8+12+???+4n=2n所以S2n?1又S2n+S所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，cn當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，cn所以數(shù)列cn當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，cn設(shè)y=x+8x+4當(dāng)x>22時(shí)，y'>0，函數(shù)y=x+當(dāng)0<x<22時(shí)，y'<0，函數(shù)y=x+所以n≥4，且n為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列n+4+8n所以n≥4，且n為偶數(shù)時(shí)，cn又c2=1所以數(shù)列cn的第二項(xiàng)和第四項(xiàng)都為其最大項(xiàng)，且c19．已知公差不為零的等差數(shù)列an的首項(xiàng)為1，且a1,a2,a(1)求數(shù)列an(2)求數(shù)列(?1)n【答案】(1)an=2n?1(2)210【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算即可；（2）利用分組求和法求和即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，又a1=1因?yàn)閍1,a即1+4d=(1+d)2又d≠0所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an（2）由（1）知數(shù)列an的前n項(xiàng)和所以(?1)nSn?20．已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求數(shù)列an(2)將數(shù)列an和數(shù)列2n中所有的項(xiàng)，按照從小到大的順序排列得到一個(gè)新數(shù)列bn【答案】(1)a(2)9089【分析】（1）根據(jù)題意，由an與Sn的關(guān)系，即可得到數(shù)列（2）根據(jù)題意，由分組求和即可得到結(jié)果.【詳解】（1）依題意an>0，當(dāng)n=1時(shí)，解得4Sn=an4a∴a∴a∴數(shù)列an∴a（2）由（1）得，a100=201，又27∴∴=93×所以bn21．已知數(shù)列an滿(mǎn)足：an+2+?1(1)求數(shù)列an(2)記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，求【答案】(1)an(2)1024144.【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，分奇偶討論求出an（2）利用（1）的結(jié)論，利用分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解作答.【詳解】（1）數(shù)列an滿(mǎn)足：an+2+?1n+1當(dāng)n=2k,k∈N?時(shí)，a2k+2?a因此a2k=a2+2(k?1)=2k當(dāng)n=2k?1,k∈N?時(shí)，a2k+1+a2k?1=2因此a2k?1=1，即當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a（2）由（1）知，S=1012×1+1011×(2+2022)22．設(shè)Sn為公差不為0的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a1(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=2an+ln【答案】(1)a(2)T【分析】（1）由等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算即可；（2）利用等比數(shù)列求和公式及分組求和法計(jì)算即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為由a1,a所以a1所以2a因?yàn)閐≠0，所以2a1又S6所以a4+所以a1聯(lián)立①②得a1所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式a（2）由（1）知bn所以T====823．已知an，bn分別為等差數(shù)列，等比數(shù)列，且a1=1，b1(1)求an，b(2)求數(shù)列a2n+3b2n?1的前【答案】(1)an=n(2)2×【分析】（1）設(shè)an的公差為d，bn的公比為q，由d=a（2）由（1）得到a2n【詳解】（1）解：設(shè)an的公差為d，b則d=a3?所以an=a（2）由（1）知a2n則Sn=1+n=2×424．已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為An，且a1+a2=3(1)求數(shù)列an(2)設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Bn，集合P=nn≤100且Bn【答案】(1)a(2)S=2520【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于a1、d的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可得出等差數(shù)列（2）計(jì)算得出b2n+b2n+1=0且b1=0，可知1、3、5、?、99都是集合P中的元素，計(jì)算出B2n=2n+4n2，由2n+4n2【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則a1又A5=5a1聯(lián)立①②解得a1=d=1，所以（2）解：bn所以b2n因?yàn)閎1=0，所以B2n?1=0，故1、3、5、?、又B2n=B2n?1+所以2、4、6、8都是集合P中的元素.綜上所述：S=1+3+5+?+9925．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2+n2(1)求數(shù)列an和b(2)若cn=?anbn+1【答案】(1)an=n(2)2【分析】（1）根據(jù)an=Sn?Sn?1求得a（2）結(jié)合（1）得cn=?n?【詳解】（1）解：當(dāng)n≥2時(shí)，an又n=1時(shí)，a1所以，an所以，b2=a所以，等比數(shù)列bn的公比為b3b所以