關(guān)于一階常微分方程積分因子的求法

PAGE關(guān)于一階常微分方程積分因子的求法摘要目前關(guān)于一階常微分方程積分因子的求解方法介紹比較零散，一般的教科書中大都局限在一些簡單的情況，如公式法一般只給出含有x或y的一元函數(shù)的積分因子的情形，很少涉及到二元的情況，對積分因子的求法并沒有一個系統(tǒng)全面的總結(jié)，故積分因子的求法有廣闊的研究空間.一階常微分方程靈活多變，有多種不同的方程類型，因而可針對不同類型的方程，研究與其適應(yīng)的求解方法.本課題將根據(jù)積分因子的定義及性質(zhì)，通過不同的分類方法，在原有求積分因子方法的基礎(chǔ)上，對多種求法進行加深和擴充，系統(tǒng)地總結(jié)出一些較為規(guī)律的求解方法：觀察法、公式法和分組法，給出這些方法的使用條件，并對方法的可行性進行證明，結(jié)合具體問題進行分析討論，通過對這三種方法的研究，解決了某些一階常微分方程的求解問題.關(guān)鍵詞一階，積分因子，全微分方程，觀察，公式，分組，通解TheSolutionaboutFirstOrderDifferentialEquationofIntergralFactorABSTRACTAtpresentaboutfirstorderdifferentialequationssolvingmethodofintegralfactorisintroduced,thecomparisonscatteredingeneralmostlyconfinedtoatextbook,suchassomesimpleformulageneralgiveonlycontainxoryunaryfunctionofintegralfactorofthesituation,rarelyinvolvetheconditionofdualintegralfactorofsapceandnosystem,sooverallsummaryofintegralfactorofsapcehasbroadresearchspace.Aflexibleandorderordinarydifferentialequations,andtherearemanydifferenttypesoftheequation,thustheequationofdifferenttypes,withthesolvingmethodtostudy.Thistopicwillbebasedonthedefinitionandpropertiesofintegralfactor,throughdifferentclassificationmethodandwayofintegratingfactorsinoriginalforthefoundation,onthevarioussapcefordeepeningandexpanded,systematicallysummarizessomerelativelyregularsolution:observation,formulaandgroupinglaw,giventhesemethodsusingconditions,andfeasibilityofthemethodisprovedthatcombinedwithconcreteproblemsarediscussed,basedonthethreemethodstostudyandresolvesomeofthefirstorderdifferentialequationproblemsolving.KEYWORDSfirst-order,Integralfactor,observation,formula,grouping,generalsolution.目錄1引言……………………12幾種變系數(shù)齊次線性方程的求解方法…………12.1降階法……………12.2常系數(shù)化法…………82.3冪級數(shù)法…………172.4恰當方程法………………………203結(jié)束語………………234致謝語………………23參考文獻………………24青島大學本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）PAGEPAGE231引言常微分方程是數(shù)學科學聯(lián)系實際的主要橋梁之一。其主要的研究問題是對常微分方程求解。在常微分方程理論中,一階常微分方程是微分方程的基礎(chǔ)，在常微分中占有舉足輕重的地位，一階常微分方程的初等解法主要有兩種:一是利用變量代換法,將方程化成變量分離型方程求解;另一種就是找出方程的積分因子,將方程化為全微分方程進行求解。這種利用積分因子將方程化為全微分方程進行求解的方法既靈活又難掌握,所以系統(tǒng)地研究積分因子的求法很有必要且是非常有意義的。通過對相關(guān)資料的查閱及分析，現(xiàn)有的教材對一階微分方程的積分因子的求法都有介紹，但大都局限在一些簡單的情況，如公式法一般只給出含有x或y的一元函數(shù)的積分因子的情形，很少涉及到二元的情況，對積分因子的求法并沒有一個系統(tǒng)全面的總結(jié)，故積分因子的求法有廣闊的研究空間。本課題將根據(jù)積分因子的定義及性質(zhì)，通過不同的分類方法，在原有求積分因子方法的基礎(chǔ)上，對多種求法進行加深和擴充，系統(tǒng)地討論一階微分方程的積分因子的求解方法（觀察法、公式法及分組法），給出一些方法的使用條件，并對方法的可行性進行證明，結(jié)合具體問題進行分析討論，為解決某些非全微分方程的求解問題提供了更加快捷的工具，避免了某些方程的求解方法的繁瑣及盲目。幾種一階微分方程的積分因子的求法2．1觀察法對于一些簡單的微分方程可通過適當分組，利用依一些常見的全微分方程公式觀察可得到方程的積分因子，此法稱之為觀察法。例2.1解：首先，使分母有理化，方程變?yōu)樵賹懗蓪ΨQ式即注意到方程的第一組為的全微分，第一組可乘微分函數(shù)后仍為二元函數(shù)的全微分方程.又注意到第二組形式為，因而取于是方程變?yōu)榧椿驅(qū)懤糜^察法求積分因子，首先要將方程進行適當?shù)姆纸M，若其中的一組為二元函數(shù)的全微分方程，則方程可能有形如的積分因子，為可微函數(shù)，最終形式有方程的其他組的形式確定。例2.1解：把方程重新組合為即同樣注意到方程的第一組為的全微分，第一組可乘微分函數(shù)后仍為二元函數(shù)的全微分方程.又注意到第二組形式為，盡量化為關(guān)于的微分方程，因而可取，即取于是方程變?yōu)榛蚬试匠痰耐ń鉃榍?，，也是方程的解?.1.3求解方程解：重新組合改寫為第一個項是全微分，因此設(shè)積分因子通式是，我們希望它也是第二項的積分因子，則應(yīng)滿足充要條件即所以則求得以乘原方程，得得通解為利用觀察法求方程的積分因子，必須熟悉一些常見的全微分方程公式.如全微分方程，根據(jù)可以考慮的積分因子是：全微分方程是，根據(jù)可以考慮的積分因子是：對于方程（）有積分因子分別為，，，，全微分方程分別是：例2.1解：把方程重新組合為進一步化為第一組為由上可知有多種積分因子使之化為全微分方程，注意到第二組因而有積分因子方程兩邊乘以，得即故原方程的通解為且也是方程的解例2.1解：經(jīng)觀察分組得無論從的角度考慮，還是的幾種積分因子及將第一項關(guān)于的微分方程，都可以找到方程的積分因子故方程兩邊乘以得故原方程的通解為例2.1解：各項重新組合為首先考慮到第一項的幾種常見的積分因子，，，，再由第二項盡量化為關(guān)于的微分故方程兩邊同乘以，得注意到方程的第一組為的全微分，第一組可乘微分函數(shù)后仍為二元函數(shù)的全微分方程.又注意到第二組形式為，因而取于是方程變?yōu)榉e分得原方程的通解為另外也是解注：有時積分因子并不是一次性的觀察解決問題的，需多步觀察以解決問題.如經(jīng)重新分組得，如果將第二項化為完全關(guān)于的微分是行不通的，正就需要分步觀察。以上為幾種常見的微分方程的積分因子，但通常所遇見的題目并不是（或不含有）以上幾種簡單的微分形式，這就需要熟練掌握微分計算，特別是二元微分。例2.1解將方程重新分組得根據(jù)第一項由全微分方程可知有積分因子方程兩邊同乘以，得即故方程的通解為其中也是方程的解利用觀察法求積分因子將方程進行適當分組時，一般將相同次數(shù)的項分為一組，同時還要注意各項系數(shù)的關(guān)系，特別是分組后不能直接利用常見的全微分方程。例2.1解：將原方程按次數(shù)重新分組有可以看出兩組均不是二元函數(shù)的全微分，注意觀察到第一組前的系數(shù)為3，的系數(shù)為1，因而方程兩邊同乘以，得對于第一項將其化為全微分還需除去，故方程兩邊同時乘得故原微分方程的通解為還有解2.2公式法積分因子并非都是很容易觀察出來的.一般地，設(shè)，及都是連續(xù)可微的，對于微分方程，則積分因子必須滿足關(guān)系式：或其展開式：（*）這是一個以為未知函數(shù)的一階線性偏微分方程，要想通過解這方程來求積分因子，在一般情況下，將比求解原方程更困難.是，對若干特殊情況，求出（*）的一個特解還是容易的.所以這也就提供了尋求某些特殊形式的積分因子的一個途徑。定理：方程形式的積分因子的充分必要條件是且有積分因子證明：設(shè)是的積分因子，則方程為全微分方程的充分必要條件是（*）即這是關(guān)于未知函數(shù)為的一階偏微分方程，令，則有或令則故得到得證推論1微分方程有形為（只依賴于）的積分因子的充分必要條件是并且有例2.2.1求解方程解因為所以根據(jù)公式，的積分因子原方程兩端乘以,得或?qū)懗杉匆蚨匠痰耐ń鉃橥普?微分方程有形為（只依賴于）的積分因子的充分必要條件是.并且有推論3令則微分方程有形為的積分因子的充分必要條件是.并且有，其中，，為不同為的常數(shù).例2.2.2求解方程解：由題意得令，，得故積分因子為方程兩邊同乘以積分因子得化簡得故方程的通解為推論4令則微分方程有形為的積分因子的充分必要條件是并且有推論5令則微分方程有形為的積分因子的充分必要條件是.并且有推論6令則微分方程有形為的積分因子的充分必要條件是.并且有例2.2.3求解方程解：由題意得令，，有所以方程的積分因子為方程兩邊同乘以上式得故方程的通解為即方程還有解，推論6微分方程有形式為的積分因子的充分必要條件是.并且有例2.2.4求解方程解：由題意得令，，得所以方程的積分因子為積分因子乘原方程得故方程的通解為即根據(jù)觀察法和公式法我們可以解決一下三類特殊方程積分因子的求法線性方程的積分因子為證明：把方程改寫為可見現(xiàn)在，，因此根據(jù)公式法可知方程有積分因子齊次方程，則積分因子為這里,都是關(guān)于，的m次齊次函數(shù)證明：對方程作變換，方程可化為利用，的齊次性，上述方程改寫為于是容易看出此方程的積分因子為代回原變量，即得方程的積分因子貝努利方程的積分因子為證明：將改寫為乘以得由推論1得故方程的積分因子為2.3分組法有些方程項數(shù)較多形式復(fù)雜，用觀察法和公式法都難以求解積分因子，對于這種方程可以將方程分組，從每一組的求解出發(fā)，使問題由大化小、由繁化簡。在介紹分組法之前給出以下定理定理2如果是方程的一個積分因子，且則也是方程的積分因子。里是任一可微函數(shù)。證明：用乘的左端，得到故，是方程的積分因子。所以如果方程的M、N中的項數(shù)較多，且比較復(fù)雜，不易直接求得它的積分因子。在這種情況下，宜把它的左端分成幾組，比如分成兩組：（#）然后，分別求得各組的積分因子和，于是就可以找的，，使得這時根據(jù)以上定理可利用，求得整個方程的積分因子。具體得，設(shè)，分別是方程第一組和第二組的積分因子。如果能找到適當微分函數(shù)、，使得那么，既是方程（#）的第一組積分因子，也是第二組的積分因子，因而也就是方程的積分因子。例2.3.1方程解：把方程改寫成容易求得，，為了使關(guān)系式成立，取其中、是待定常數(shù).由得到，解此方程，得，.于是得到原方程的積分因子積分因子為以乘原方程的兩端，得到這是全微分方程，利用公式，即得于是，方程的通解為例2.3.2求解方程解：將原方程改寫為由觀察法容易看出第一項有積分因子通式，考慮第二項構(gòu)成的方程取，乘左端得因此取前面通式中的，即就是原方程兩項公共的積分因子，即立即可得原方程的通解為總結(jié)：運用分組法求積分因子時，常復(fù)雜的對稱形式的方程進行適當分組，可根據(jù)觀察法的技巧進行分組。3結(jié)束語本課題將根據(jù)積分因子的定義及性質(zhì)，通過不同的分類方法，在原有求積分因子方法的基礎(chǔ)上，對多種求法進行加深和擴充，系統(tǒng)地討論一階微分方程的積分因子的求解方法（觀察法、公式法及分組法），給出一些方法的使用條件，并對方法的可行性進行證明，結(jié)合具體問題進行分析討論，為解決某些非全微分方程的求解問題提供了更加快捷的工具，避免了某些方程的求解方法的繁瑣及盲目。微分方程在自然科學和技術(shù)科學的領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用。同樣,在社會科學的一些領(lǐng)域里也存在著微分方程的問題。這些問題都可能會涉及到一階微分方程的求解,因而就會涉及到一階微分方程的積分因子的求法，因此,系統(tǒng)地研究一階微分方程積分因子的求解方法對諸多領(lǐng)域所涉及到一階微分方程的求解將有很大幫助。這樣做可以大大減少求解一階微分方程通解的計算量，使問題的處理更加快捷，有著重要的現(xiàn)實意義和實際應(yīng)用價值。4致謝語本論文是在導師孫麗強老師的親切關(guān)懷和悉心指導下完成的。在過去的兩個月中，從確定題目到資料篩選再到撰寫論文，各個環(huán)節(jié)都得到了孫老師無微不至的關(guān)心和幫助。孫老師嚴謹治學的精神和認真負責的態(tài)度，更是給我留下了深刻的印象，使我受益匪淺。在此對孫老師表示深深的敬意和由衷的感謝。不積跬步何以至千里，本論文能夠順利的完成，也要感謝各位任課老師四年來的培養(yǎng)教育，正是有了他們的悉心幫助，我才能夠很好地掌握和運用專業(yè)知識，并在論文中得以體現(xiàn)。因此，我要向青島大學師范學院數(shù)學系的全體老師表示誠摯的感謝。我還要衷心感謝我的父母，他們的鼓勵和支持，是我不斷進取的力量源泉。最后衷心感謝所有給予過我?guī)椭娜耍兄x各位評委老師在百忙中抽出寶貴的時間評閱我的論文。大學生活即將結(jié)束，四年的時光充實而難忘。在今后的日子里，我會滿懷對學校對老師的深切感激，將自己的所學付諸實踐，努力拼搏，積極進取，不辜負老師們的期望和培養(yǎng)。 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