函數(shù)的單調(diào)性與最值（一）教學(xué)設(shè)計(jì)-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)

《函數(shù)的單調(diào)性與最值》的教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)內(nèi)容解析本節(jié)課是湖南教育出版社《數(shù)學(xué)》（必修1第一冊(cè)）第三章第2節(jié)函數(shù)的基本性質(zhì)的第一課時(shí)，主要學(xué)習(xí)用符號(hào)語(yǔ)言（不等式）刻畫函數(shù)的變化趨勢(shì)（上升或下降）及簡(jiǎn)單應(yīng)用。它是學(xué)習(xí)函數(shù)概念后研究的第一個(gè)、也是最基本的一個(gè)性質(zhì)，為后繼學(xué)習(xí)奠定了理性思維基礎(chǔ)。如研究?jī)绾瘮?shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)，包括導(dǎo)函數(shù)內(nèi)容等；在對(duì)函數(shù)定性分析、求最值和極值、比較大小、節(jié)不等式、函數(shù)零點(diǎn)的判定以及與其他知識(shí)的綜合問(wèn)題上都有重要的應(yīng)用。因此，它是高中數(shù)學(xué)核心知識(shí)之一，是函數(shù)教學(xué)的戰(zhàn)略要地。函數(shù)單調(diào)性的概念，判斷和證明簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性。函數(shù)單調(diào)性概念的生成，證明單調(diào)性的代數(shù)推理論證。學(xué)情分析學(xué)生在初中階段，通過(guò)學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，已經(jīng)對(duì)函數(shù)的單調(diào)性有了“形”的直觀認(rèn)識(shí)，了解用“隨的增大而增大（減?。泵枋龊瘮?shù)圖象的上升（下降）的趨勢(shì)。本節(jié)課最大的障礙是如何用數(shù)學(xué)符號(hào)刻畫一種運(yùn)動(dòng)變化的現(xiàn)象，從直觀到抽象、從有限到無(wú)限是個(gè)很大的跨度。而高一學(xué)生的思維長(zhǎng)出在從經(jīng)驗(yàn)型到理論型跨越的階段，邏輯思維水平不高，抽象概括能力不強(qiáng)，另外，他們的代數(shù)推理論證能力非常薄弱。這些都容易產(chǎn)生思維障礙。三、課堂教學(xué)目標(biāo)1.理解函數(shù)單調(diào)性與最值的相關(guān)概念，掌握證明簡(jiǎn)單函數(shù)單調(diào)性的方法。2.通過(guò)實(shí)例讓學(xué)生親歷函數(shù)單調(diào)性從直觀感受、定性描述定量刻畫的自然跨越，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類討論和類比思想方法。通過(guò)探究函數(shù)單調(diào)性，讓學(xué)生感悟從具體到抽象、從特殊到一般、從局部到整體、從有限到無(wú)限、從感性到理性的認(rèn)知過(guò)程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的理性精神和力量。4.引導(dǎo)學(xué)生參與課堂學(xué)習(xí)，進(jìn)一步養(yǎng)成思辨和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，鍛煉探究、概括和交流的學(xué)習(xí)能力。四、教學(xué)策略分析在學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)單調(diào)性的過(guò)程中會(huì)存在兩方面的困難：一是如何把“隨的增大而增大（減?。边@一描述性語(yǔ)言“翻譯”為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，尤其抽象概括出用“任意”刻畫“無(wú)限”現(xiàn)象；二是用定義證明單調(diào)性的代數(shù)推理論證。對(duì)高一學(xué)生而言，作差后的變形和因式符號(hào)的判斷也有一定的難度。為達(dá)成課堂教學(xué)目標(biāo)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，我們主要采用以下形式組織學(xué)習(xí)材料：在“創(chuàng)設(shè)情境”階段，觀察并分析沙漠某天氣溫變化的趨勢(shì)，結(jié)合初中已學(xué)函數(shù)的圖象，讓直觀感受函數(shù)單調(diào)性，明確相關(guān)概念。在“引導(dǎo)探索”階段，首先創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突，讓學(xué)生意識(shí)到繼續(xù)學(xué)習(xí)的必要性；然后設(shè)置遞進(jìn)式“問(wèn)題串”，借助多媒體引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“隨的增大而增大”進(jìn)行探究、辨析、嘗試、歸納和總結(jié)，并回顧已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)函數(shù)單調(diào)性從“直觀性”到“描述性”再到“嚴(yán)謹(jǐn)性”的跨越。在“學(xué)以致用”階段。首先通過(guò)三個(gè)判斷題幫助學(xué)生從正、反兩方面辨析，逐步形成對(duì)概念正確，全面而深刻的認(rèn)識(shí)，然后教師示范用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法，一起提煉基本步驟，強(qiáng)化變形的方向和符號(hào)判定方法。接著請(qǐng)學(xué)生板演實(shí)踐。五、教學(xué)過(guò)程（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入課題【實(shí)例】科考隊(duì)對(duì)沙漠氣候進(jìn)行科學(xué)考察，下圖是某天氣溫隨時(shí)間的變化曲線，請(qǐng)你根據(jù)曲線圖說(shuō)說(shuō)氣溫的變化情況？

【預(yù)設(shè)】學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)不同，如氣溫的最值，某時(shí)刻的氣溫，某時(shí)段氣溫的升降變化（若學(xué)生沒(méi)指明時(shí)間段，可追問(wèn)）等。圖象在某區(qū)間上（從左往右）“上升”或“下降”的趨勢(shì)反映了函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)單調(diào)性與最值（板書課題）【設(shè)計(jì)意圖】從科考情景情景導(dǎo)入新課，了解“早穿棉襖午穿紗，圍著火爐吃西瓜”這一獨(dú)特的沙漠氣候，直觀形象感知體溫變化，自然引入函數(shù)的單調(diào)性與最值。

函數(shù)是描述事物變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，如果清楚了函數(shù)的變化規(guī)律，那么就基本把握了相應(yīng)實(shí)物的變化規(guī)律，在事物變化過(guò)程中，保存不變的特征就是這個(gè)事物的性質(zhì)，因此，研究函數(shù)的變化規(guī)律是非常有意義的。

（二）引導(dǎo)探索，生成概念1、借助圖像，直觀感知問(wèn)題1：觀察下列函數(shù)圖像，請(qǐng)你說(shuō)出這些圖像有什么變化趨勢(shì)？

xy1234524135123－1－2－30【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生回答時(shí)可能會(huì)漏掉“在某區(qū)間上”，規(guī)范表達(dá)“函數(shù)在哪個(gè)區(qū)間上具有怎樣的單調(diào)性”。借此強(qiáng)調(diào)函數(shù)的單調(diào)性是相對(duì)某區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)。

設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑓^(qū)間，在區(qū)間上，若函數(shù)的圖象（從左向右）總是上升的，即隨的增大而增大，xy1234524135123－1－2－30【設(shè)計(jì)意圖】從圖象直觀感知到文字描述，完成對(duì)函數(shù)單調(diào)性的第一次認(rèn)知。明確相關(guān)概念，準(zhǔn)確表達(dá)單調(diào)性。學(xué)生認(rèn)為單調(diào)性的知識(shí)似乎夠用了，為下面的認(rèn)知沖突做好鋪墊。問(wèn)題2：能不能根據(jù)自己的理解說(shuō)說(shuō)什么是增函數(shù)、減函數(shù)?預(yù)案：如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來(lái)越大，我們說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)；如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上隨自變量x的增大，y越來(lái)越小，我們說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上為減函數(shù)．教師指出：這種認(rèn)識(shí)是從圖象的角度得到的，是對(duì)函數(shù)單調(diào)性的直觀，描述性的認(rèn)識(shí)．〖設(shè)計(jì)意圖〗從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性，完成對(duì)函數(shù)單調(diào)性的第一次認(rèn)識(shí)．2．探究規(guī)律，理性認(rèn)識(shí)問(wèn)題3：（1）右圖是函數(shù)的圖象，（以為例），它在定義域上遞增嗎？（2）函數(shù)在區(qū)間上有何單調(diào)性？【預(yù)設(shè)】學(xué)生會(huì)不置可否，或者任憑感覺(jué)猜測(cè)，可追問(wèn)判定依據(jù)。學(xué)生的困難是難以確定分界點(diǎn)的確切位置．通過(guò)討論，使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時(shí)不夠精確，需要結(jié)合解析式進(jìn)行嚴(yán)密化、精確化的研究．【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生體會(huì)到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性．函數(shù)圖象雖然直觀，但是缺乏精確性，必須結(jié)合函數(shù)解析式；但僅憑解析式常常也難以判斷其單調(diào)性。借此認(rèn)知沖突，讓學(xué)生意識(shí)到學(xué)習(xí)符號(hào)化定義的必要性,自然開(kāi)始探索。把對(duì)單調(diào)性的認(rèn)識(shí)由感性上升到理性認(rèn)識(shí)的高度,完成對(duì)概念的第二次認(rèn)識(shí)．事實(shí)上也給出了證明單調(diào)性的方法，為證明單調(diào)性做好鋪墊.3．抽象思維，形成概念問(wèn)題4：如何從解析式的角度說(shuō)明在為增函數(shù)？如何用數(shù)學(xué)符號(hào)描述函數(shù)圖象的“上升”特征，即“隨的增大而增大”？以二次函數(shù)在上的單調(diào)性為例?！驹O(shè)計(jì)意圖】先借助圖形和表格等直觀感受“隨的增大而增大”，然后讓學(xué)生思考、討論得出，若，則必須有。（2）已知，若有，能保證函數(shù)在區(qū)間上遞增嗎？（3）已知，若有，能保證函數(shù)在區(qū)間上遞增嗎？（4）已知，若有，能保證函數(shù)在區(qū)間上遞增嗎？【設(shè)計(jì)意圖】可先請(qǐng)持贊同觀點(diǎn)的同學(xué)說(shuō)明理由，再請(qǐng)持反對(duì)意見(jiàn)的學(xué)生畫出反駁，然后追問(wèn)：無(wú)數(shù)個(gè)x也不能保證函數(shù)遞增，那該怎么辦呢？若學(xué)生回答全部取完或任取，追問(wèn)“總不能一個(gè)一個(gè)驗(yàn)證吧？”緊接著師生一起回顧子集的概念（PPT展示教材上子集的定義），再次體驗(yàn)對(duì)“任意一個(gè)”進(jìn)行操作，實(shí)現(xiàn)“無(wú)限”目標(biāo)的數(shù)學(xué)方法，體會(huì)用“任意”來(lái)處理“無(wú)限”的數(shù)學(xué)思想。問(wèn)題6：如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確刻畫函數(shù)在區(qū)間上遞增呢？【預(yù)設(shè)】請(qǐng)學(xué)生自愿嘗試概括定義。板書“任意,當(dāng)時(shí)，都有，則稱函數(shù)在區(qū)間上遞增”，則突出關(guān)鍵詞“任意”和“都有”；若缺少關(guān)鍵詞“任取”或“任意”，則追問(wèn)“驗(yàn)證兩個(gè)點(diǎn)就能保證函數(shù)在區(qū)間上遞增嗎？”問(wèn)題7：請(qǐng)你試著用數(shù)學(xué)語(yǔ)言定義函數(shù)在區(qū)間上是遞減的。學(xué)以致用，理解感悟判斷題：你認(rèn)為下列說(shuō)法是否正確，請(qǐng)說(shuō)明理由。（舉例或者畫圖）①已知，因?yàn)椋院瘮?shù)是增函數(shù)。．②若函數(shù)滿足，則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)。．③若函數(shù)在區(qū)間和上均為增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)．④因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間和上都是減函數(shù)，所以在上是減函數(shù).通過(guò)判斷題，強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：=1\*GB3①單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，離開(kāi)了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性．=2\*GB3②對(duì)于某個(gè)具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以是整個(gè)定義域(如一次函數(shù))，可以是定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間(如二次函數(shù))，也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù))．=3\*GB3③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù)．思考：如何說(shuō)明一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)?【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義，通過(guò)對(duì)判斷題的辨析，加深學(xué)生對(duì)定義的理解，完成對(duì)概念的第三次認(rèn)識(shí).掌握證法，適當(dāng)延展例1下圖是函數(shù)fx的圖象，列出f歸納1：①單調(diào)區(qū)間是要根據(jù)端點(diǎn)處是否有定義選擇開(kāi)、閉區(qū)間；②單調(diào)性一致的多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間用“，”或“和”連接,慎用“∪”；③不是所有的函數(shù)都有最值.例2證明函數(shù)在上是增函數(shù)．1．分析解決問(wèn)題針對(duì)學(xué)生可能出現(xiàn)的問(wèn)題，組織學(xué)生討論、交流．證明：任取,設(shè)元求差變形,斷號(hào)∴∴即∴函數(shù)在上是增函數(shù)．定論2．歸納解題步驟引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號(hào)、定論．練習(xí)：判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性。【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)照定義板書示范，指明變形的目的是變出因式等，并讓學(xué)生提煉證明的基本步驟。（五）歸納小結(jié)，提高認(rèn)識(shí)課堂小結(jié)：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你的主要收獲有哪些？(1)概念探究過(guò)程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)證明方法和步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號(hào)、定論．(3)數(shù)學(xué)思想方法和思維方法：數(shù)形結(jié)合，等價(jià)轉(zhuǎn)化，類比等．（關(guān)鍵詞：三種語(yǔ)言，證明方法，數(shù)學(xué)思想，情感體驗(yàn)等。）【設(shè)計(jì)意圖】先給出問(wèn)題，要求學(xué)生自主小結(jié)，再推出引導(dǎo)性關(guān)鍵詞，使得總結(jié)簡(jiǎn)明、到位、拔高。（六）作業(yè)布置，課后延伸1、作業(yè)布置：1、P67：例22、教材P82練習(xí)：32、課后探究：(1)證明：函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的x,x+?∈