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2.2.4均值不等式及其應用

第二章等式與不等式人教B版（2019）嘗試與發(fā)現(xiàn)（1）假設一個矩形的長和寬分別為a和b，求與這個矩形周長相等的正方形的邊長，以及與這個矩形面積相等的正方形的邊長，并比較這兩個邊長的大??；（2）如下表所示，再任意取幾組正數，算出它們的算術平均值和幾何平均值，猜測一般情況下兩個數的算術平均值與幾何平均值的相對大小，并根據（1）說出結論的幾何意義．a12b14131均值不等式如果a，b都是正數，那么當且僅當a＝b時，等號成立．證明因為a，b都是正數，所以即

而且，等號成立時，當且僅當，即a＝b．

值得注意的是，均值不等式中的a，b可以是任意正實數，因此我們可以代入任意滿足條件的數或式子，比如

一定是正確的．均值不等式也稱為基本不等式（基本不等式中的a，b還可以為零），其實質是：兩個正實數的算術平均值不小于它們的幾何平均值．那么，均值不等式有什么幾何意義呢？將均值不等式兩邊平方可得≥ab．

如果矩形的長和寬分別為a和b，那么矩形的面積為ab，

可以看成與矩形周長相等的正方形的面積，因此均值不等式的一個幾何意義為：所有周長一定的矩形中，正方形的面積最大．探索與研究

如圖所示的半圓中，AB為直徑，O為圓心．

已知AC＝a，BC＝b，D為半圓上一點，且DC⊥AB，算出OD和CD，給出均值不等式的另一個幾何意義.例3

（1）已知矩形的面積為100，則這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的周長最短？最短周長是多少？（2）已知矩形的周長為36，則這個矩形的長、寬各為多少時，它的面積最大？最大面積是多少？分析：在（1）中，矩形的長與寬的積是一個常數，要求長與寬之和的兩倍的最小值；在（2）中，矩形的長與寬之和的兩倍是一個常數，要求長與寬之積的最大值.x=y=9當兩個正數的積為常數時，它們的和有最小值；當兩個正數的和為常數時，它們的積有最大值.例3的結論可以表述為：

例5的結論也是經常要用的.不難看出，均值不等式與例5的結論既有聯(lián)系，又有區(qū)別.區(qū)別在于例5中去掉了a，b是正數的條件，聯(lián)系在于均值不等式可以看成例5結論的一種特殊情況.練習鞏固DCDCDCB

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