山東省煙臺(tái)市高三二模數(shù)學(xué)試題

2023年高考適應(yīng)性練習(xí)（二）數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試題滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘．2．答卷前，務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題紙上．3．使用答題紙時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書(shū)寫(xiě)，要字跡工整，筆跡清晰；超出答題區(qū)書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1.已知集合，，則（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再利用集合的運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，解得，即，又，所以，故選：B.2.若復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（）．A.3 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)和的幾何意義，結(jié)合雙曲線的圖象即可得到的最小值.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則表示點(diǎn)到的距離與到的距離的差為4，所以點(diǎn)的軌跡為雙曲線的右支，圖象如下所示：表示點(diǎn)到的距離，所以的最小值為3.故選：A.3.若，則（）．A. B.496 C. D.992【答案】B【解析】【分析】賦值法分別令，，聯(lián)立可求得的值.【詳解】令可得，①令可得，②由②+①可得，則，故選：B.4.樂(lè)高積木是由丹麥的克里斯琴森發(fā)明的一種塑料積木，由它可以拼插出變化無(wú)窮的造型，組件多為組合體．某樂(lè)高拼插組件為底面邊長(zhǎng)為、高為的正四棱柱，中間挖去以底面正方形中心為底面圓的圓心、直徑為、高為的圓柱，則該組件的體積為（）．（單位：）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正四棱柱和圓柱的體積公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)檎睦庵牡酌孢呴L(zhǎng)為、高為，所以正四棱柱的體積為，又挖去的圓柱的直徑為、高為，所以圓柱的，故所求幾何體的體積為.故選：D.5.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由的取值范圍求出的取值范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可.【詳解】由，所以，又，所以，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得，即的取值范圍為.

故選：D6.過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，，若，則的值為（）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】【分析】由拋物線的方程可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，求出兩根之和及兩根之積，求出的縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值，由三角形的面積公式可得三角形的面積，求得，由向量的關(guān)系，及兩根之和及兩根之積，可得參數(shù)的值.【詳解】由拋物線的方程可知焦點(diǎn)為，

由題意可得設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線的方程為，設(shè)，

聯(lián)立，消去整理可得：，

可得①，②，

所以，

故，解得.

由于，所以，

所以,結(jié)合①②可得，即，

由③÷④化簡(jiǎn)整理得，解得或（舍去）.

故選:B.7.已知集合，若從U的所有子集中，等可能地抽取滿足條件“，”和“若，則”的兩個(gè)非空集合A，B，則集合A中至少有三個(gè)元素的概率為（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知可得中沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，不為空集，且可將中10個(gè)數(shù)字分為5組，且每組數(shù)中的一個(gè)數(shù)如果在集合中，另一個(gè)必在集合中，所以集合中元素的個(gè)數(shù)小于等于集合中元素的個(gè)數(shù)，所以集合中元素的個(gè)數(shù)可能為1，2，3，4，5，再由組合知識(shí)和概率計(jì)算公式可得答案.【詳解】由，可得中沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，由，則可得不為空集，且可將中10個(gè)數(shù)字分為5組，分別為2或20，4或18，6或16，8或14，10或12，且每組數(shù)中的一個(gè)數(shù)如果在集合中，另一個(gè)必在集合中，所以集合中元素的個(gè)數(shù)小于等于集合中元素的個(gè)數(shù)，所以集合中元素的個(gè)數(shù)可能為1，2，3，4，5，所以集合的可能的個(gè)數(shù)為，所以.故選：C.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則不等式的解集為（）．A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先由題中條件求出，根據(jù)不等式可構(gòu)造，利用偶函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞增可解.【詳解】由得，即，可設(shè)，當(dāng)時(shí)，因得，所以，可化為，即，設(shè)，因，故為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，因，，故，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，因，所以當(dāng)時(shí)的解集為，又因?yàn)榕己瘮?shù)，故的解集為.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.甲、乙兩人參加消防安全知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．活動(dòng)共設(shè)三輪，在每輪活動(dòng)中，甲、乙各回答一題，若一方答對(duì)且另一方答錯(cuò)，則答對(duì)的一方獲勝，否則本輪平局．已知每輪活動(dòng)中，甲、乙答對(duì)的概率分別為和，且每輪活動(dòng)中甲、乙答對(duì)與否互不影響，各輪活動(dòng)也互不影響，則（）．A.每輪活動(dòng)中，甲獲勝的概率為B.每輪活動(dòng)中，平局的概率為C.甲勝一輪乙勝兩輪的概率為D.甲至少獲勝兩輪的概率為【答案】ABD【解析】【分析】由事件的相互獨(dú)立性，計(jì)算概率即可判斷.【詳解】根據(jù)題意可得，甲獲勝的概率為：，故A正確；乙獲勝的概率為，所以平局的概率為，故B正確；所以3輪活動(dòng)中，甲勝一輪乙勝兩輪的概率為：，故C不正確；甲至少獲勝兩次的概率為故D正確.故選：ABD.10.已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則（）．A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)化簡(jiǎn)條件，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷A，B，要比較大小等價(jià)于比較的大小，故考慮構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小，判斷C，舉反例判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù)，所以，A錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以，所以，所以，B正確；構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，所以，即，C正確；取可得，，但，D錯(cuò)誤；故選：BC11.三棱錐中，底面、側(cè)面均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，面面，P為的中點(diǎn)，則（）．A.B.與所成角的余弦值為C.點(diǎn)P到的距離為D.三棱錐外接球的表面積為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)三角形和三角形為等邊三角形得到，，然后根據(jù)線面垂直的判定定理得到平面，然后根據(jù)線面垂直的定義即可得到，即可判斷A選項(xiàng)；利用空間向量的方法求異面直線所成角即可判斷B選項(xiàng)；利用等腰直角三角形的性質(zhì)求距離即可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)外接球的性質(zhì)得到外接球球心的位置，然后利用勾股定理求半徑和外接球表面積即可判斷D選項(xiàng).【詳解】連接，，因?yàn)槿切魏腿切螢榈冗吶切?，為中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，故A正確；因?yàn)槊婷?，面面，，平面，所以平面，以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，設(shè)與所成角為，所以，故B錯(cuò)；因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)槿切魏腿切蔚倪呴L(zhǎng)為2，所以，在等腰直角三角形中，，所以點(diǎn)到的距離為，故C正確；分別取三角形和三角形的外心，，再分別過(guò)，作平面，平面的垂線交于點(diǎn)，所以為三棱錐的外接球球心，，，所以，三棱錐的外接球的表面積為，故D正確.故選：ACD.12.如圖，在中，，，，點(diǎn)分別在，上且滿足，，點(diǎn)在線段上，下列結(jié)論正確的有（）．A.若，則B.若，則C.的最小值為D.取最小值時(shí)，【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)根據(jù)平面向量基本定理和向量共線的性質(zhì)求解；B選項(xiàng)，結(jié)合A選項(xiàng)，用，來(lái)表示出，然后由數(shù)量積的計(jì)算進(jìn)行說(shuō)明；C選項(xiàng)，取中點(diǎn)，則，問(wèn)題轉(zhuǎn)化成定點(diǎn)到線段上動(dòng)點(diǎn)的距離最小值；D選項(xiàng)，通過(guò)轉(zhuǎn)化先推出取得最小值時(shí)，也取最小值，然后用面積的割補(bǔ)計(jì)算.【詳解】A選項(xiàng)，點(diǎn)在線段上，則，使得，則，又，，故，根據(jù)題干若，由平面向量基本定理可知：，于是，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，根據(jù)A的分析，若，此時(shí)，故，，于是，由，，，代入數(shù)據(jù)由向量數(shù)量積可得，即，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，取中點(diǎn)，則，由，于是，由，，故為等邊三角形，故，根據(jù)中位線可知，//，于是，在中根據(jù)余弦定理可得，為銳角，又，故過(guò)作的高線時(shí)，垂足點(diǎn)落在線段上，由題意垂足點(diǎn)為時(shí)，

最小.最小值為，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，，在中，根據(jù)余弦定理可求得，即，根據(jù)C選項(xiàng)可知，最小時(shí)也最小.根據(jù)，根據(jù)C選項(xiàng)的分析，，故，注意到，故，故，D選項(xiàng)正確.故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，則的值為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)利用誘導(dǎo)公式及二倍角余弦公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：14.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為_(kāi)_________．【答案】##【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上一點(diǎn)與圓外一點(diǎn)之間距離的最大值的平方，根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求解即可.【詳解】方程整理得，設(shè)點(diǎn)，即點(diǎn)是圓上一點(diǎn)又點(diǎn)在圓外，所以，則，所以的最大值為.故答案為：.15.已知函數(shù)，若存在四個(gè)不相等的實(shí)根，，，，則的最小值是__________．【答案】3【解析】【分析】作函數(shù)與圖象，結(jié)合圖象可得，，再利用基本不等式求最值即可.詳解】作函數(shù)與圖象如下：由圖可得，存在四個(gè)不相等的實(shí)根，可得，可得，，即，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即且等號(hào)成立，則的最小值是.故答案為：.16.歐拉是瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，近代數(shù)學(xué)先驅(qū)之一，在許多數(shù)學(xué)的分支中經(jīng)?？梢砸?jiàn)到以他的名字命名的重要函數(shù)、公式和定理．如著名的歐拉函數(shù)：對(duì)于正整數(shù)n，表示小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)，如，．那么，數(shù)列的前n項(xiàng)和為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】利用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】在中，與不互質(zhì)的數(shù)有，共有個(gè)，所以，所以，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以，，兩式相減可得,所以,即,故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，．（1）求角B的大小；（2）若為鈍角三角形，且，求外接圓半徑的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合條件，進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)果；（2）利用正弦定理，將邊轉(zhuǎn)角，再結(jié)合條件得到，再利用角的范圍即可得出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，得到，又，所以，故，即，所以，又，所以，得?【小問(wèn)2詳解】由正弦定理，得到，，所以，所以，又因?yàn)闉殁g角三角形，且，又由（1）知，所以，所以，由的圖像與性質(zhì)知，所以18.新修訂的《中華人民共和國(guó)體育法》于2023年1月1日起施行，對(duì)于引領(lǐng)我國(guó)體育事業(yè)高質(zhì)量發(fā)展，推進(jìn)體育強(qiáng)國(guó)和健康中國(guó)建設(shè)具有十分重要的意義．某高校為調(diào)查學(xué)生性別與是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，在全校范圍內(nèi)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，分別抽取了男生和女生各100名作為樣本，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到了如圖所示的等高堆積條形圖：（1）根據(jù)等高堆積條形圖，填寫(xiě)下列2×2列聯(lián)表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，是否可以認(rèn)為該校學(xué)生的性別與是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)有關(guān)聯(lián)；性別是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)是否男生女生（2）將樣本的頻率視為概率，現(xiàn)從全校的學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生，設(shè)其中喜歡排球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生的人數(shù)為X，求使得取得最大值時(shí)的k值．附：，其中，．【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，有關(guān)聯(lián)（2）22【解析】【分析】（1）結(jié)合條形等高圖寫(xiě)出列聯(lián)表，計(jì)算值即可判定；（2）由題意知隨機(jī)變量,結(jié)合二項(xiàng)分布的概率計(jì)算列不等式組求解即可.【小問(wèn)1詳解】由等高堆積條形圖知,2×2列聯(lián)表為：性別是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)是否男生3070女生6040零假設(shè)為:性別與是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān),根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn),可以推斷不成立,即性別與是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)有關(guān)聯(lián).【小問(wèn)2詳解】由(1)知,喜歡排球運(yùn)動(dòng)的頻率為,所以,隨機(jī)變量,則，令，解得.因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),取得最大值.19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足，且．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)和求和公式可求得；根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得；（2）由（1）可得，進(jìn)而得到；分別在為偶數(shù)和為奇數(shù)的情況下，采用分組求和的方式，結(jié)合等比數(shù)列求和公式和裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】，數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，，解得：，，；，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，.【小問(wèn)2詳解】由（1）得：，即，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；綜上所述：.20.如圖，在圓錐中，底面直徑，高，P為底面圓周上異于A，B的一點(diǎn)．（1）母線上是否存在一點(diǎn)M，使得平面，若存在，指出M的位置；若不存在，說(shuō)明理由；（2）設(shè)，當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求的值．【答案】（1）不存在一點(diǎn)，使得平面，理由見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）假設(shè)在上存在一點(diǎn)，使得平面，利用線面垂直的判定定理，證得平面，得到，這與為等腰三角形矛盾，從而得到結(jié)論.（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)，得到，求得向量，設(shè)，分別求得平面和平面的一個(gè)法向量和，結(jié)合向量的夾角公式列出方程，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：不存在一點(diǎn)，使得平面.理由：假設(shè)在上存在一點(diǎn)，使得平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)闉橹睆剑傻?，因?yàn)榍移矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，在中，，所以為等腰三角形，所以與不垂直，這與矛盾，所以上不存在一點(diǎn)，使得平面.【小問(wèn)2詳解】解：以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，可得，又因?yàn)?，可得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，可得，設(shè)，可得平面的一個(gè)法向量為，又由平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)槎娼堑拇笮?，可得，解得，即，即，又由，解?21.已知函數(shù)．（1）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，證明：，．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求得，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性和最大值，即可求解.（2）當(dāng)時(shí)，得到且，當(dāng)時(shí)，只需使得，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)遞增，得到；當(dāng)時(shí)，顯然滿足；當(dāng)時(shí)，由和，得到，即可得證.【小問(wèn)1詳解】解：由函數(shù)，可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，可得在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，