矩陣初等變換及其應(yīng)用

PAGE1聊城大學(xué)本科生畢業(yè)論文題目：矩陣初等變換及其應(yīng)用專(zhuān)業(yè)代碼：070101作者姓名：學(xué)號(hào)：?jiǎn)挝唬褐笇?dǎo)教師：年月日1目錄前言 11.矩陣及其初等變換的概念 12.矩陣初等變換的應(yīng)用 22.1矩陣初等變換在線(xiàn)性代數(shù)中的應(yīng)用 22.1.1將矩陣化為階梯型 22.1.2矩陣的分塊和分塊矩陣的初等變換 32.1.3求伴隨矩陣和矩陣的逆 42.1.4求矩陣的秩，向量組的秩 52.1.5矩陣的特征值和特征向量 62.1.6判斷向量組的線(xiàn)性相關(guān)性，求極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組 72.2利用矩陣初等變換求利潤(rùn)問(wèn)題 9結(jié)論 11參考文獻(xiàn) 12致謝 13摘要矩陣是線(xiàn)性代數(shù)中最基本也是最重要的概念之一，它能把抽象的問(wèn)題用矩陣的形式表示出來(lái)，并且通過(guò)矩陣的計(jì)算得出結(jié)果.本文主要通過(guò)矩陣的概念討論了矩陣的運(yùn)算和性質(zhì)，進(jìn)而討論用途廣泛的矩陣初等變換及其應(yīng)用，比如通過(guò)初等變換求逆矩陣和矩陣的秩等.關(guān)鍵詞：矩陣;初等變換;逆矩陣;秩AbstractThematrixisoneofthemostimportantconceptsinlinearalgebra,itcanmaketheabstractprobleminmatrixform,andobtainstheresultthroughthecalculationofmatrix.Thispapermainlythroughtheconceptofmatrixoperationsarediscussedandthepropertiesofmatrix,andthendiscusstheelementarytransformationofmatrixanditsapplicationinwideuse,forexamplethroughtheelementarytransformationofmatrixinversionandtherankofamatrix.Keywords:matrix;elementarytransformation;inversematrix;matrixofrank矩陣的初等變換及其應(yīng)用前言在線(xiàn)性方程組的討論中我們看到，線(xiàn)性方程組的一些重要性質(zhì)反映在它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的性質(zhì)上，并且解方程組的過(guò)程也表現(xiàn)為對(duì)這些矩陣的轉(zhuǎn)化過(guò)程，除方程組之外，還有很多方面的問(wèn)題也都涉及矩陣的初等變換及其應(yīng)用，這些問(wèn)題的研究常常轉(zhuǎn)化為對(duì)矩陣的研究，甚至于有些性質(zhì)完全不同的、表面上完全沒(méi)有聯(lián)系的問(wèn)題，歸結(jié)成矩陣問(wèn)題以后卻是相同的.這就使矩陣成為數(shù)學(xué)中一個(gè)應(yīng)用廣泛的概念，而作為矩陣的一種運(yùn)算方法，初等變換在矩陣的研究中具有很重要的意義.本文主要寫(xiě)了矩陣初等變換在線(xiàn)性代數(shù)中的應(yīng)用以及生活中在計(jì)算利潤(rùn)方面的應(yīng)用.1.矩陣及其初等變換的概念矩陣的概念和矩陣的三種初等變換：定義1[1]由個(gè)數(shù)排列成行（橫的）列（縱的）的表成為一個(gè)矩陣.定義2[1]所謂數(shù)域上矩陣的初等變換是指下列三種變換：以中的一個(gè)非零的數(shù)乘矩陣的某一行；把矩陣的某一行的倍加到另一行，這里是中的任意一個(gè)數(shù)；互換矩陣中兩行的位置.同樣的我們可以給出初等列變換，矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的初等變換.定義3[1]由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱(chēng)為初等矩陣.矩陣初等變換的應(yīng)用2.1矩陣初等變換在線(xiàn)性代數(shù)中的應(yīng)用矩陣的初等變換是矩陣的計(jì)算中必要的步驟.在矩陣計(jì)算時(shí)，首先需要對(duì)它進(jìn)行初等變換，化成單位矩陣，階梯形矩陣等簡(jiǎn)單的矩陣，使計(jì)算簡(jiǎn)便.2.1.1將矩陣化為階梯型當(dāng)矩陣A經(jīng)過(guò)初等變換變成矩陣時(shí)，我們寫(xiě)成我們稱(chēng)形式如，的矩陣為階梯矩陣.它們的任一行從第一個(gè)元素起至該行的第一個(gè)非零元素所在的下方全為零；如該行全為零，則它的下面的行也全為零.例1[2]這樣就把變成了一個(gè)階梯型矩陣.2.1.2矩陣的分塊和分塊矩陣的初等變換有時(shí)候，我們把一個(gè)大矩陣看成是由一些小矩陣組成的，就如矩陣是由數(shù)組成的一樣，特別在運(yùn)算中，把這些小矩陣當(dāng)做數(shù)一樣來(lái)處理.這就是所謂的矩陣分塊.現(xiàn)設(shè)某個(gè)單位矩陣如下進(jìn)行分塊：對(duì)它進(jìn)行兩行(列)對(duì)換；某一行(列)左乘(右乘)一個(gè)矩陣；一行(列)加上另一行(列)的(矩陣)倍數(shù)，就可得到如下類(lèi)型的一些矩陣：和初等矩陣與初等變換的關(guān)系一樣，用這些矩陣左乘任一個(gè)分塊矩陣只要分塊乘法能夠進(jìn)行，其結(jié)果就是對(duì)它進(jìn)行相應(yīng)的變換：(1)(2)(3)同樣，用它們右乘任一矩陣，進(jìn)行分塊乘法時(shí)也有相應(yīng)的結(jié)果.在(3)中，適當(dāng)選擇，可使.例如可逆時(shí)，選，則.于是(3)的右端成為這種形狀的矩陣在求行列式、逆矩陣和解決其它問(wèn)題時(shí)是比較方便的，因此(3)中的運(yùn)算非常有用.例2設(shè).可逆，求.解所以，.2.1.3求伴隨矩陣和矩陣的逆定義4[3]級(jí)方陣稱(chēng)為可逆的，如果有級(jí)方陣，使得這里是級(jí)單位矩陣.這里如果矩陣適合，那么就稱(chēng)是的逆矩陣，記為.定義5[1]設(shè)是矩陣中元素的代數(shù)余子式，矩陣稱(chēng)為的伴隨矩陣.例3[4]求的伴隨矩陣.解先求代數(shù)余子式，,,同理可求得所以.矩陣的基本求法有：定義法、伴隨矩陣法、初等變換法、分塊矩陣法.這里用初等矩陣法來(lái)求矩陣的逆.例4求的逆矩陣.解用初等變換，得所以.2.1.4求矩陣的秩、向量組的秩極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組定義6[5]一向量組的一個(gè)部分組稱(chēng)為一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，如果這個(gè)部分組本身是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的，并且從這向量組中任意添一個(gè)向量（如果還有的話(huà)），所得的部分向量組都線(xiàn)性相關(guān).極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組的一個(gè)基本性質(zhì)是，任意一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組都與向量組本身等價(jià).定義7[6]向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱(chēng)為這個(gè)向量組的秩.例如向量組，，的秩就是2.例5[7]求的秩.解所以.2.1.5矩陣的特征值和特征向量(1）矩陣的特征值與特征向量的概念設(shè)是數(shù)域上線(xiàn)性空間的一個(gè)線(xiàn)性變換，如果對(duì)于數(shù)域中一數(shù)存在一個(gè)非零向量，使得那么稱(chēng)為的一個(gè)特征值，而稱(chēng)為的屬于特征值的一個(gè)特征向量.（2）矩陣的特征多項(xiàng)式與特征方程的概念行列式稱(chēng)為矩陣的特征多項(xiàng)式.稱(chēng)為矩陣的特征方程.特征方程是的次方程，它的個(gè)根就是矩陣的個(gè)特征值.（3）特征值和特征向量的求法先由特征方程求出矩陣的全部特征值，其中可能有重根.然后對(duì)每個(gè)不同的特征值，分別解齊次方程組.設(shè)，如果求出方程組的基礎(chǔ)解系（即矩陣關(guān)于特征值的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量），則矩陣屬于特征值的全部特征向量為，其中是不全為零的任意常數(shù).例6求的特征值與特征向量.解當(dāng)=7時(shí)，當(dāng)時(shí)，.所以的特征值是，相應(yīng)的特征向量分別是，其中2.1.6判斷向量組的線(xiàn)性相關(guān)性，求極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組定義8【8】設(shè)向量組為，以為列構(gòu)成矩陣，對(duì)施行初等行變換，將它化成行階梯形矩陣，求出其秩，若，則線(xiàn)性無(wú)關(guān)，若，則線(xiàn)性相關(guān).例7【9】判斷下列向量組的線(xiàn)性相關(guān)性.解把行向量組成矩陣，用初等變換化成階梯形，有所以向量組的秩是2，可見(jiàn)向量組線(xiàn)性相關(guān)，極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組是.2.2利用矩陣初等變換求利潤(rùn)問(wèn)題利用矩陣的方法求線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題中的最優(yōu)解.例8【10】一個(gè)工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)片，需用A、B、C三種原料，為了監(jiān)控生產(chǎn)，使企業(yè)利潤(rùn)最大，在滿(mǎn)足下面表格的條件下，如何確定計(jì)劃期甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量，才能使獲得的利潤(rùn)最大？數(shù)據(jù)表：原料產(chǎn)品甲乙計(jì)劃期預(yù)備原料A9噸4噸3600噸B4噸5噸2000噸C3噸10噸3000噸我們就可以用矩陣：來(lái)表示這些復(fù)雜的數(shù)據(jù).若給出產(chǎn)品的單價(jià)向量P（單位：千克/件），原材料，成本的向量C(單位：千元/噸)，X是訂單向量（單位：件）.,,.設(shè)甲、乙產(chǎn)品的單位成本向量Y=（，），則.售出甲、乙產(chǎn)品所獲得利潤(rùn)為：千元.現(xiàn)在若已知甲、乙產(chǎn)品的單位利潤(rùn)K=（70120）（單位：千元/件）.若用S表示利潤(rùn)，變量，分別表示甲、乙兩種產(chǎn)品的件數(shù).列出方程組：求maxS=70+120用單純形法，引進(jìn)松弛變量令s=-s,既可得單純形矩陣迭代表.跌代表94010450103(10)0017012000036002000300007.8010-0.4(2.5)001-0.50.31000.134000-1.22400500300-3690001-3.121.161000.4-0.2010-0.12-0.16640最200優(yōu)240解000-13.6-5.2-42800最優(yōu)解如果把表中相關(guān)的變量去掉，就是對(duì)矩陣進(jìn)行初等變換，即通過(guò)對(duì)表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，我們就可得出一下結(jié)果：當(dāng)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為200件和240件時(shí)，工廠可獲得最大利潤(rùn)42800千元.通過(guò)以上實(shí)例，讓我們看到矩陣解決實(shí)際問(wèn)題是非常簡(jiǎn)單的，對(duì)于處理類(lèi)似的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題時(shí)，都有它獨(dú)特的方法.結(jié)論矩陣是線(xiàn)性代數(shù)的重要研究對(duì)象，而初等變換是矩陣計(jì)算中的重要工具，其應(yīng)用遍及許多領(lǐng)域，例如：運(yùn)籌學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué).因此，對(duì)矩陣及其初等變換的研究是有重要意義的.參考文獻(xiàn)北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組編.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2009.王品超.高等代數(shù)新方法[M].濟(jì)南:山東教育出版社,1989.12.李永樂(lè).線(xiàn)性代數(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