華南理工大學(xué)微積分統(tǒng)考試卷上

《微積分（上）》試卷A第1頁共6頁姓名學(xué)號姓名學(xué)號學(xué)院專業(yè)座位號(密封線內(nèi)不答題)……………………密………………封………線……線………_____________________…華南理工大學(xué)期末考試《微積分（上）》試卷A（試卷號：2013.1.10時(shí)間120分鐘，總分100）注意事項(xiàng)：1.考前請將密封線內(nèi)填寫清楚；2.所有答案請直接答在試卷上(密封線裝訂區(qū)內(nèi)、草稿紙上答題均無效)；3．考試形式：閉卷；4.本試卷共五大題，滿分100分， 考試時(shí)間120分鐘。題號一二三四五總分得分評卷人填空題（每小題4分，20分）1．寫出數(shù)列以常數(shù)為極限的定義：對所有，存在，當(dāng)時(shí)有2．設(shè)，則83．方程確定了隱函數(shù)，則4．設(shè)，且，則5.計(jì)算下列各題（每小題5分，共15分）6、設(shè)數(shù)列滿足：，且。證明：存在，并求出此極限解因?yàn)?，所以，設(shè)，則由數(shù)學(xué)歸納法得，從而數(shù)列有界；又，從而數(shù)列是一個(gè)單調(diào)減少的有界數(shù)列。根據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則存在，設(shè)。則，即，得，即7、求極限解原式（等價(jià)無窮小替換）8、求極限解解答下列各題（每小題5分，共20分）9、已知，求解從而10、設(shè)，求解，由萊布尼茨公式11、設(shè)由參數(shù)方程確定，求解，從而12、寫出帶有拉格朗日型余項(xiàng)的階麥克勞林公式解從而發(fā)現(xiàn)，，由公式得在0與之間。計(jì)算下列各題（每小題5分，共10分）13、計(jì)算解14、解令，則，由輔助三角形原式解答下列各題（每小題5分，共15分）15、設(shè)在連續(xù)，且。證明證分段積分對進(jìn)行換元，令，則時(shí)，時(shí)，從而，由已知，即，進(jìn)而因此16、計(jì)算解令，則時(shí)，時(shí)；則17、判別廣義積分的斂散性解為瑕點(diǎn)，從而發(fā)散，因此原式發(fā)散解答下列各題（每小題5分，共10分）18、求由和所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積解交點(diǎn)為，交點(diǎn)為，交點(diǎn)為，分清邊界曲線的上下左右，作圖（略）19、求雙扭線在圓內(nèi)部的圖形的面積。解由轉(zhuǎn)化公式，得圓的極坐標(biāo)方程為，從而雙扭線與圓的交點(diǎn)處，交點(diǎn)關(guān)于極軸對稱，分析圖形周期性、變化趨勢與對稱性，作圖（略）從而看出證明題（每小題5分，共10分）20、設(shè)在上可微，且。試證：存在，使證由積分中值定理，從而也形成了一個(gè)區(qū)間。令，由已知，在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，又，由羅爾定理，得存在存在，使，即21、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，證明：在閉區(qū)間上存在原函數(shù)證由于函