福建省福州市平潭縣新世紀(jì)學(xué)校2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期百盛練習(xí)試題53沖刺班

PAGEPAGE10福建省福州市平潭縣新世紀(jì)學(xué)校2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期百盛練習(xí)試題（53）（沖刺班）一、單選題1．下列命題正確的是（）A．平面α內(nèi)的一條直線a垂直于平面β內(nèi)的多數(shù)條直線，則α⊥βB．若平面α⊥β，則α內(nèi)的直線垂直于平面βC．若平面α⊥β，且α∩β＝l，則過α內(nèi)一點(diǎn)P與l垂直的直線垂直于平面βD．若直線a與平面α內(nèi)的多數(shù)條直線都垂直，則不能說肯定有a⊥α2．對(duì)于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個(gè)條件是（）A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n?αC．m∥n，n⊥β，m?α D．m∥n，m⊥α，n⊥β3．如圖，平面α⊥平面β，Aα，Bβ，AB與兩平面α，β所成的角分別為和.過A，B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A′，B′，則AB∶A′B′等于（）A．2∶1B．3∶1C．3∶2 D．4∶34．已知直線，平面，，∥，，那么“⊥β”是“⊥β”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件5．在四面體中，平面，且，．若四面體外接球的半徑為，則與平面所成角的正切值為（）A． B． C． D．二、填空題6．已知直三棱柱，，，則直線與側(cè)面所成角的正弦值是______.7．三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，二面角為，則三棱錐的外接球的表面積為___________.8．如圖，三棱椎的底面是等腰直角三角形，，且，，則點(diǎn)到平面的距離等于______．三、解答題9．如圖所示，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠BCD＝，PA⊥底面ABCD，PA＝，在CD上確定一點(diǎn)E，使得平面PBE⊥平面PAB.10．如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，四邊形ABCD是∠DAB＝60°且邊長(zhǎng)為a的菱形，△PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G為AD的中點(diǎn).求證：（1）BG⊥平面PAD；（2）AD⊥PB.

參考答案1．D【分析】對(duì)于AB舉出反例得出推斷，由面面垂直的性質(zhì)定理可以推斷C，由線面垂直的定義可以推斷D.【詳解】A項(xiàng)，如圖平面α內(nèi)的一條直線a垂直于平面β內(nèi)的多數(shù)條直線，但αβ，故A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，如圖平面α⊥β，但α內(nèi)的直線不垂直于平面β，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，平面α⊥β，且α∩β＝l，則過α內(nèi)一點(diǎn)P與l垂直的直線，只有當(dāng)此直線在α內(nèi)時(shí)才垂直于β，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，a與平面α內(nèi)的隨意一條直線都垂直可以推出a⊥α，故D正確.故選：D.2．C【分析】在A中，與β相交或相行；在B中，與不肯定垂直；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，由面面平行的判定定理得.【詳解】在A中，m⊥n，m∥α，n∥β，則與β相交或相行，故A錯(cuò)誤；在B中，m⊥n，α∩β＝m，n?α，則與不肯定垂直，故B錯(cuò)誤；在C中，m∥n，n⊥β，m?α，由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正確；在D中，m∥n，m⊥α，n⊥β，由面面平行的判定定理得，故D錯(cuò)誤.故選：C3．A【分析】先用性質(zhì)找出α，β的垂線，再作出相關(guān)線面角，設(shè)，利用直角三角形計(jì)算可得.【詳解】由已知條件可知，設(shè)AB=2a，則BB′=2asin

=a，A′B＝2acos＝a，∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴AB∶A′B′＝2∶1.【點(diǎn)睛】（1）線面垂直出現(xiàn)再條件中，一般用性質(zhì)可得線面垂直；（2）與線面角有關(guān)的問題，可考慮用定義做出所求的角，或者求法向量用公式解決.4．C【分析】若⊥β，在平面內(nèi)找到與平行的直線，依據(jù)面面垂直的判定定理可得⊥β，若⊥β，在平面內(nèi)找到與平行的直線，依據(jù)面面垂直的性定定理可得⊥β，再依據(jù)充要條件的定義可得答案.【詳解】若⊥β，過直線作平面γ，交平面于直線，∵，∴，又⊥β，∴⊥β，又∵α，∴⊥β，若⊥β，過直線作平面γ，交平面于直線，∵，∴，∵，∴，又∵⊥β，∩β＝，∴，∴，故“⊥β”是“⊥β”的充要條件，故選：C．5．B【分析】將四面體補(bǔ)全為長(zhǎng)方體，可知長(zhǎng)方體的外接球即為四面體的外接球，由外接球半徑可構(gòu)造方程求得，依據(jù)垂直關(guān)系知所求線面角為，由長(zhǎng)度關(guān)系得到結(jié)果.【詳解】平面，，可將四面體補(bǔ)全為如圖所示的長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的外接球即為四面體的外接球，其外接球半徑，又，，平面，與平面所成的角為，，即與平面所成角的正切值為.故選：B.6．【分析】取中點(diǎn)，連接，證明平面，可得為直線與側(cè)面所成的角，進(jìn)而可得答案.【詳解】取中點(diǎn)，連接，

直三棱柱中，平面，平面，，又，，又，面，平面，在平面上的射影為，故為直線與側(cè)面所成的角，中，，中，，中，，故答案為：.7．【分析】設(shè)為中點(diǎn)，為正外心，可得是二面角的平面角為，作底面，垂足為，在上，設(shè)外接球球心，則，作于，設(shè)，利用，由已知線段長(zhǎng)及二面角的大小求出圖形中各線段長(zhǎng)，然后利用勾股定理求得（以圖中位置計(jì)算出值，假如，說明在平面上方，假如，則在平面正方）．然后可得外接球半徑，從而得球面積．【詳解】如圖，設(shè)為中點(diǎn)，為正外心，依題意有，，∴，∴，則易證為二面角的平面角，，設(shè)在底面的射影為，則可證在上，則，，，，，設(shè)為三棱錐的外接球球心，可證，過點(diǎn)在面內(nèi)作，為垂足，則，，設(shè)求半徑為，，則，，解得，.則球心在底面的下方，事實(shí)上當(dāng)在底面的下方時(shí)解得，.三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：．8．【分析】將三棱錐補(bǔ)全為邊長(zhǎng)為1的正方體，再由等體積法求得點(diǎn)到平面距離.【詳解】由題意，可將三棱錐補(bǔ)全為邊長(zhǎng)為1的正方體如圖所示，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由得，所以．故答案為：9．E為CD的中點(diǎn).【分析】取CD的中點(diǎn)E，連接PE，BE，BD，由已知△BCD是等邊三角形得BE⊥CD，由PA⊥平面ABCD得PA⊥BE，可得BE⊥平面PAB可得答案.【詳解】取CD的中點(diǎn)E，連接PE，BE，BD，由底面ABCD是菱形且∠BCD＝知，△BCD是等邊三角形，因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB，又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，所以PA⊥BE，而PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，所以BE⊥平面PAB，又BE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB，所以當(dāng)E為CD的中點(diǎn)時(shí)，平面PBE⊥平面PAB.10．（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）利用正三角形的性質(zhì)得，由面面垂直的性質(zhì)定理得得線面垂直，從而有線線垂直，，再由菱形得正三角形，得，由純平面垂直判定定理可證結(jié)論；（2）在（1）的基礎(chǔ)上可得與平面垂直，從而得證線線垂直．【詳解】（1）由題意知△PAD為正三角形，G是AD的中點(diǎn)，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG?平面PAD，∴PG⊥平面ABCD，又BG?平面ABCD