4.1 因式分解（備作業(yè)）-八年級數(shù)學(xué)下冊同步備課系列(北師大版)（解析版）

4.1因式分解一、單選題1．下列等式從左到右的變形是因式分解的是()A．﹣6a3b2＝2a2b?(﹣3ab2) B．9a2﹣4b2＝(3a+2b)(3a﹣2b)C．ma﹣mb+c＝m(a﹣b)+c D．(a+b)2＝a2+2ab+b2【答案】B【分析】直接利用因式分解的意義分析得出答案．【解析】解：A、﹣6a3b2＝2a2b?(﹣3ab2)，不符合因式分解的定義；B、9a2﹣4b2＝(3a+2b)(3a﹣2b)，是因式分解，符合題意；C、ma﹣mb+c＝m(a﹣b)+c，不符合因式分解的定義；D、(a+b)2＝a2+2ab+b2，是整式乘法，不合題意．故選B．【點睛】此題主要考查了因式分解，正確把握因式分解的定義是解題關(guān)鍵．2．對于①，②，從左到右的變形，表述正確的是（

）A．都是因式分解 B．都是乘法運(yùn)算C．①是因式分解，②是乘法運(yùn)算 D．①是乘法運(yùn)算，②是因式分解【答案】D【分析】根據(jù)因式分解的定義（把一個多項式化成幾個整式積的形式，叫因式分解，也叫分解因式判斷即可．將多項式×多項式變得多項式，是乘法運(yùn)算．【解析】解：①，從左到右的變形是整式的乘法；②，從左到右的變形是因式分解；所以①是乘法運(yùn)算，②因式分解．故選：D．【點睛】此題考查了因式分解與乘法運(yùn)算的定義的認(rèn)識，解題的關(guān)鍵是掌握因式分解及乘法運(yùn)算的定義．3．下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)因式分解的定義，把一個多項式化為幾個整式的積的形式判斷，利用排除法求解即可得出答案．【解析】根據(jù)因式分解的定義，容易看出答案A、B最后都不是乘積的形式，故這兩個答案錯誤，D分解后不是整式乘積，故D錯誤，C是因式分解，故C選項正確，故選：C．【點睛】本題考查了因式分解的定義，掌握因式分解的定義是解題的關(guān)鍵．4．一次課堂練習(xí)，一位同學(xué)做了4道因式分解題，你認(rèn)為這位同學(xué)做得不夠完整的題是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用完全平方公式和平方差公式可對A、C兩項進(jìn)行判斷；利用提公因式法可對B進(jìn)行判斷，利用提公因式法和平方差公式可對D項進(jìn)行判斷.【解析】因為x2-2xy+y2=(x-y)2，所以選項A分解正確；因為x2y-xy2=xy(x-y)，所以選項B分解正確；因為x2-y2=(x-y)(x+y)，所以選項C分解正確；因為x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1)，所以選項D分解不徹底.故選:D.【點睛】本題是一道關(guān)于因式分解的題目，關(guān)鍵是掌握因式分解的常用方法；5．多項式，則，的值為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)因式分解與整式的乘法互為逆運(yùn)算，把展開，比較系數(shù)相等即可求出，的值．【解析】解：∴-8=-(n+9)，m=9n，解得：，．故選：C．【點睛】此題考查了因式分解與整式的乘法的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解與整式的乘法互為逆運(yùn)算．6．下列式子變形是因式分解且正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)因式分解是將一個多項式分解成幾個因式相乘的形式，逐一判斷即可求解.【解析】A.，A選項錯誤；B.，B選項正確；C.，不符合因式分解要求，C選項錯誤；D.，不符合因式分解要求，D選項錯誤.故選：B.【點睛】本題主要考查了因式分解的相關(guān)內(nèi)容，熟練掌握分解因式的相關(guān)要求是解決本題的關(guān)鍵.7．下列變形中正確的因式分解有（

）個．①

②③

④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)因式分解的定義去判斷即可．【解析】根據(jù)因式分解的定義可知：①是將一個多項式化成幾個整式的積的形式，屬于因式分解；②是整式的乘法，不是因式分解；③不是將一個多項式化成幾個整式的積的形式，不屬于因式分解；④不能進(jìn)行因式分解，則④中的變形不屬于因式分解；所以是因式分解的是①．故選A．【點睛】本題考查了因式分解的定義即把一個多項式在一個范圍（如實數(shù)范圍內(nèi)分解，即所有項均為實數(shù)）化為幾個整式的積的形式，這種式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫作把這個多項式分解因式，準(zhǔn)確理解定義是解題的關(guān)鍵．8．下列各式從左到右的變形中，是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】將多項式寫成幾個整式的積的形式，叫做將多項式分解因式，也叫因式分解，根據(jù)定義解答．【解析】解：A、不是因式分解；B、不是因式分解；C、是因式分解；D、不是因式分解；故選：C．【點睛】此題考查因式分解，掌握因式分解的定義及因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．9．下列式子中，從左到右的變形為多項式因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)因式分解的定義，從表現(xiàn)形式，恒等性兩個方面去判斷即可.【解析】∵是多項式，且，符合因式分解的定義，∴選項A正確；∵是因式的積，不是多項式，不符合因式分解的定義，∴選項B錯誤；∵是多項式，但不是恒等變形，不符合因式分解的定義，∴選項C錯誤；∵是因式的積，不是多項式，不符合因式分解的定義，∴選項D錯誤；故選A.【點睛】本題考查了因式分解，解答時，嚴(yán)格按照因式分解的定義去解答是解題的關(guān)鍵.10．若關(guān)于的多項式含有因式，則實數(shù)的值為（

）A． B．5 C． D．1【答案】C【分析】設(shè)，然后利用多項式乘多項式法則計算，合并后根據(jù)多項式相等的條件即可求出p的值．【解析】解：根據(jù)題意設(shè)，∴-p=-a-2，2a=-6，解得：a=-3，p=-1．故選：C．【點睛】此題考查了因式分解的意義，熟練掌握并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.11．小南是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條信息：x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分別對應(yīng)下列六個字：中，愛，我，數(shù)，學(xué)，五，現(xiàn)將3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（

）A．我愛學(xué) B．愛五中 C．我愛五中 D．五中數(shù)學(xué)【答案】C【分析】先運(yùn)用提公因式法,再運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解即可．【解析】∵3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）=3（x2﹣1）（a-b）=3（x+1）（x-1）（a-b），∴結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是：我愛五中．故選：C．【點睛】考核知識點:因式分解.掌握提公因式法和套用平方差公式是關(guān)鍵．12．已知，且、、互不相等，對（

）．A．0 B．1 C．2016 D．2017【答案】B【分析】先對已知條件進(jìn)行因式分解，得到，然后再將2016看成是2017-1，即看成代入即可求解.【解析】解：∵∴整理得到：，即：……①又∵互不相等∴①式中只能是∴.故答案為：B【點睛】本題考查了因式分解的基本方法，解決此題的關(guān)鍵是能將2016看成2017減1，然后再進(jìn)行因式分解即可.二、填空題13．下列各式從左到右是因式分解的是_______．①；

②；③；

④；⑤；

⑥．【答案】③④⑥【分析】根據(jù)因式分解的定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，判斷求解．【解析】解：①是整式的乘法，不是因式分解，故不符合題意；②右邊不是幾個整式的積的形式，不是因式分解，故不符合題意；③是因式分解，故符合題意；④是因式分解，故符合題意；⑤等號不成立，不是因式分解，故不符合題意；⑥是因式分解，故符合題意；故答案為：③④⑥．【點睛】此題考查了因式分解．解題的關(guān)鍵是掌握因式分解的定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解．14．下列由左邊到右邊的變形，是因式分解的有_______（填序號）①a（x＋y）＝ax＋ay；②10x2－5x＝5x（2x－1）；③y2－4y＋4＝（y－2）2；④t2－16＋3t＝（t－4）（t＋4）＋3t．【答案】②③．【分析】根據(jù)因式分解的定義逐個判斷即可．【解析】解：①a（x+y）=ax+ay，等式從左邊到右邊的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故不符合題意；②10x2-5x=5x（2x-1），等式從左邊到右邊的變形屬于因式分解，符合題意；③y2-4y+4=（y-2）2，等式從左邊到右邊的變形屬于因式分解，符合題意；④t2-16+3t=（t-4）（t+4）+3t，等式從左邊到右邊的變形不屬于因式分解，故不符合題意；即等式從左邊到右邊的變形，屬于因式分解的有②③，故答案為：②③．【點睛】本題考查了因式分解的定義，注意：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解．15．若多項式x2+ax+b可分解為(x+1)(x-2)，那么a-b=__________．【答案】1【分析】先計算出（x+1）（x-2），再與x2+ax+b進(jìn)行比較，從而得到a、b的值．【解析】∵多項式x2+ax+b可分解為(x+1)(x-2)，而(x+1)(x-2)＝x2-x-2，∴a=-1，b=-2，∴a-b=1，故答案是：1.【點睛】考查了因式分解以及多項式乘多項式，解題關(guān)鍵是運(yùn)用（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab進(jìn)行計算.16．多項式kx2－9xy－10y2可分解因式得(mx＋2y)(3x－5y)，則k=_______，m=________．【答案】

k=9

m=3【分析】直接利用多項式乘法將原式化簡，進(jìn)而得出關(guān)于m，k的等式求出答案即可．【解析】解：∵kx2-9xy-10y2=（mx+2y）（3x-5y），∴kx2-9xy-10y2=3mx2-5mxy+6xy-10y2=3mx2-（5mxy-6xy）-10y2，∴解得：故答案為：9，3．【點睛】此題主要考查了十字相乘法的應(yīng)用，正確利用多項式乘法是解題關(guān)鍵．17．若,,則__________，__________.【答案】

6

1【分析】化解求值，把需要求的式子化成已知式子的形式，代入值即可.【解析】；【點睛】因式分解首先考慮的一定是提取公因式.18．在當(dāng)今“互聯(lián)網(wǎng)+”的時代，有一種用“因式分解法”生成密碼的方法，其原理是：將一個多項式分解因式，如多項式：因式分解的結(jié)果是，當(dāng)取時，各個因式的值是：，，于是就可以把“182021”作為一個六位數(shù)的密碼．類似地，對于多項式，當(dāng)取時，得到密碼596769，則______，________．【答案】

【分析】根據(jù)題意可得出因式分解的結(jié)果，再展開與原式相等即可得到所求的值．【解析】∵當(dāng)時，密碼為596769，且的系數(shù)是1∴∴即【點睛】此題考查因式分解，找到因式分解的結(jié)果是關(guān)鍵，主要是在于對題意的理解，難度一般．三、解答題19．下列由左邊到右邊的變形，哪些是因式分解？（1）；（2）（3）；（4）．【答案】（1）不是因式分解，是整式乘法；（2）是因式分解；（3）是因式分解；（4）不是因式分解，因為最后結(jié)果不是幾個整式的積的形式．【分析】分解因式就是把一個多項式化為幾個整式的積的形式．因此，要確定從左到右的變形中是否為分解因式，只需根據(jù)定義來確定．【解析】解：（1）a（x+y）＝ax+ay是整式的乘法，故不是因式分解；（2）10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）把一個多項式化為幾個整式的積的形式，故是因式分解；（3）y2﹣4y+4＝（y﹣2）2把一個多項式化為幾個整式的積的形式，故是因式分解；（4）t2﹣16+3t＝（t+4）（t﹣4）+3t沒有把一個多項式化為幾個整式的積的形式，故不是因式分解．【點睛】本題考查了因式分解的意義．解決這類問題的關(guān)鍵在于能否正確應(yīng)用分解因式的定義來判斷；同時還要注意變形是否正確．20．下列由左邊到右邊的變形，哪些是因式分解？為什么？（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）從左到右不是因式分解，是整式乘法；（2）是因式分解；（3）不是因式分解，因為最后結(jié)果不是幾個整式的積的形式；（4）是因式分解．【分析】根據(jù)因式分解的定義：把一個多項式化成幾個整式積的形式叫做因式分解，也叫分解因式，逐一判斷即可．【解析】解：（1），從左到右不是因式分解，是整式乘法；（2），是因式分解；（3），不是因式分解，因為最后結(jié)果不是幾個整式的積的形式；（4），是因式分解．【點睛】本題考查了多項式的因式分解，屬于基礎(chǔ)概念題型，熟知因式分解的定義是關(guān)鍵．21．下列各式的變形中，是否是因式分解，為什么？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【答案】（1）不是因式分解，理由見解析；（2）不是因式分解，理由見解析；（3）不是因式分解，理由見解析；（4）是因式分解，理由見解析；（5）不是因式分解，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)等式右邊不符合因式分解的定義即可得；（2）根據(jù)等式右邊不符合因式分解的定義即可得；（3）根據(jù)等式左邊不符合因式分解的定義即可得；（4）根據(jù)因式分解的定義即可得；（5）根據(jù)等式右邊不符合因式分解的定義即可得．【解析】因式分解的定義：將一個多項式化為幾個整式的積的形式，稱為因式分解（1）不是因式分解，因為是和的形式；（2）不是因式分解，因為是和的形式；（3）不是因式分解，因為是單項式；（4）是因式分解，因為多項式分解成兩個整式與的積的形式，符合因式分解的定義；（5）不是因式分解，因為中的不是整式．【點睛】本題考查了因式分解的定義，熟記定義是解題關(guān)鍵．22．若2x2+mx﹣1能分解為（2x+1）（x﹣1），求m的值．【答案】m=﹣1【分析】先把分解的結(jié)果利用多項式乘以多項式法則得到的結(jié)果為：，利用多項式相等的條件即可求出m的值．【解析】解：∵，∴，則：．【點睛】題目主要考查因式分解的定義、多項式與多項式相乘及多項式相等的條件，讀懂題意及準(zhǔn)確掌握多項式相等的條件是解題關(guān)鍵．23．如果一個正整數(shù)能寫成的形式（其中a，b均為自然數(shù)），則稱之為婆羅摩笈多數(shù)，比如7和31均是婆羅摩笈多數(shù)，因為7＝22＋3×12，31＝22＋3×32．（1）請證明：28和217都是婆羅摩笈多數(shù)．（2）請證明：任何兩個婆羅摩笈多數(shù)的乘積依舊是婆羅摩笈多數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)一個正整數(shù)能寫成a2+3b2的形式，則稱之為婆羅摩笈多數(shù)，將28和217都寫成a2+3b2的形式即可證明；（2）設(shè)一個婆羅摩笈多數(shù)為x＝a2+3b2，另一個婆羅摩笈多數(shù)為y＝c2+3d2，所以xy＝（a2+3b2）?（c2+3d2），然后根據(jù)乘法公式化簡，最后分解因式即可．【解析】證明：（1）∵28＝12+3×32＝28，217＝132+3×42＝217，∴28和217都是婆羅摩笈多數(shù)．（2）設(shè)一個婆羅摩笈多數(shù)為x＝a2+3b2，另一個婆羅摩笈多數(shù)為y＝c2+3d2，xy＝（a2+3b2）?（c2+3d2）＝a2c2+3a2d2+3b2c2+9b2d2＝（ac）2+（3bd）2+6abcd﹣6abcd+3a2d2+3b2c2＝（ac+3bd）2+3（ad﹣bc）2因此，任何兩個婆羅摩笈多數(shù)的乘積依舊是婆羅摩笈多數(shù)．【點睛】本題考查整式乘法運(yùn)算以及分解因式，正確運(yùn)用整式乘法運(yùn)算律、熟練掌握提取公因式分解因式和公式法分解因式是解題的關(guān)鍵．24．探究應(yīng)用：（1）計算：（a-2）（a2+2a+4）=______．（2x-y）（4x2+2xy+y2）=______．（2）上面的乘法計算結(jié)果很簡潔，聰明的你又可以發(fā)現(xiàn)一個新的乘法公式，可以用含a，b的字母表示為______．（3）下列各式能用你發(fā)現(xiàn)的乘法公式計算的是（

）A、（a-3）（a2-3a+9）

B、（2m-n）（2m2+2mn+n2）C、（4-x）（16+4x+x2）

D、（m-n）（m2+2mn+n2）（4）根據(jù)你的理解，嘗試分解因式：

【答案】（1）；（2）；（3）C；（4）.【分析】（1）根據(jù)多項式與多項式相乘的法則計算，合并同類項即可求解；（2）根據(jù)上面兩題即可得出公式；（3）根據(jù)歸納的公式的特點即可進(jìn)行判斷；（4）直接利用公式計算即可．【解析】解：（1）（a-2）（a2+2a+4）=a3+2a2+4a-2a2-4a-8=a3-8，（2x-y）（4x2+2xy+y2）=8x3+4x2y+2xy2-4x2y-2xy2-y3=8x3-y3；（2）（a-b