廣東省韶關(guān)市2023屆高三上學(xué)期綜合測試（一）數(shù)學(xué)試題含答案

韶關(guān)市2023屆高三綜合測試（一）數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、學(xué)校和班級用黑色字跡的鋼筆或簽字筆寫在答題卡上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．設(shè)全集，集合，，則（）A. B. C. D.2．若，，是的共軛復(fù)數(shù)，則（）A. B.2 C. D103．下列區(qū)間中，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B. C. D.4．函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B. C. D.5．已知，，，若，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.6．某污水處理廠采用技術(shù)手段清除水中的污染物，同時(shí)生產(chǎn)出有用的肥料和清潔用水．已知在處理過程中，每小時(shí)可以清理池中殘留污染物10％，若要使池中污染物不超過原來的，至少需要的時(shí)間為（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）（）A．6小時(shí) B．7小時(shí) C．8小時(shí) D．9小時(shí)7．已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線（，）的右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，線段交雙曲線于點(diǎn).若為的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.38．已知函數(shù)，若，其中，則的最小值為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．某電視傳媒機(jī)構(gòu)為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了200名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性占40％．根據(jù)調(diào)查結(jié)果分別繪制出男、女觀眾兩周時(shí)間收看該類體育節(jié)目時(shí)長的頻率分布直方圖，則A.B．女觀眾收看節(jié)目時(shí)長的中位數(shù)為6.5小時(shí)C.女觀眾收看節(jié)目的平均時(shí)長小于男觀眾的平均時(shí)長D．收看節(jié)目不少于9小時(shí)觀眾中的女觀眾人數(shù)是男觀眾人數(shù)的10．已知正方體，設(shè)是棱的中點(diǎn)，則A．平面 B.C．平面與平面所成角的正弦值為D．三棱錐與三棱錐體積相等11．設(shè)是拋物線上一點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，在的準(zhǔn)線上的射影為，關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，曲線在處的切線與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，則A．到距離等于4 B.C．是等腰三角形 D．的最小值為412．以下四個(gè)不等關(guān)系，正確的是A. B. C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.的展開式的中間一項(xiàng)的系數(shù)為________（具體數(shù)字作答）.14．已知，且，則________.15．我們知道距離是衡量兩點(diǎn)之間的遠(yuǎn)近程度的一個(gè)概念．?dāng)?shù)學(xué)中根據(jù)不同定義有好多種距離.平面上，歐幾里得距離是與兩點(diǎn)間的直線距離，即.切比雪夫距離是與兩點(diǎn)中橫坐標(biāo)差的絕對值和縱坐標(biāo)差的絕對值中的最大值，即.已知是直線上的動點(diǎn)，當(dāng)與（為坐標(biāo)原點(diǎn)）兩點(diǎn)之間的歐幾里得距離最小時(shí)，其切比雪夫距離為________.16．已知三棱錐中，為等邊三角形，，，，，則三棱錐的外接球的半徑為________；若、分別為該三棱錐的內(nèi)切球和外接球上的動點(diǎn)，則線段的長度的最大值為________.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題10分）在中，為的中點(diǎn)，且.（1）證明：；（2）若，求的面積．18．（本小題12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，設(shè).（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，求滿足條件的最小正整數(shù).19．（本小題12分）北京冬奧會的舉辦使得人們對冰雪運(yùn)動的關(guān)注度和參與度持續(xù)提高.某地很多中小學(xué)開展了模擬冬奧會賽事的活動，為了深入了解學(xué)生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項(xiàng)活動的參與情況，在該地隨機(jī)選取了10所學(xué)校進(jìn)行研究，得到如下數(shù)據(jù)：（1）從這10所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所，在抽取的2所學(xué)校參與“單板滑雪”的人數(shù)超過30人的條件下，求這2所學(xué)校參與“自由式滑雪”的人數(shù)超過30人的概率；（2）“自由式滑雪”參與人數(shù)超過40人的學(xué)?？梢宰鳛椤盎貙W(xué)校”，現(xiàn)在從這10所學(xué)校中隨機(jī)抽取3所，記為選出“基地學(xué)校”的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）現(xiàn)在有一個(gè)“單板滑雪”集訓(xùn)營，對“滑行、轉(zhuǎn)彎、停止”這3個(gè)動作技巧進(jìn)行集訓(xùn)，且在集訓(xùn)中進(jìn)行了多輪測試．規(guī)定：在一輪測試中，這3個(gè)動作至少有2個(gè)動作達(dá)到“優(yōu)秀”，則該輪測試記為“優(yōu)秀”．已知在一輪集訓(xùn)測試的3個(gè)動作中，甲同學(xué)每個(gè)動作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為，每個(gè)動作互不影響且每輪測試互不影響．如果甲同學(xué)在集訓(xùn)測試中獲得“優(yōu)秀”次數(shù)的平均值不低于8次，那么至少要進(jìn)行多少輪測試？20．（本小題12分）已知矩形中，，，是的中點(diǎn)，如圖所示，沿將翻折至，使得平面平面．（1）證明：；（2）若是否存在，使得與平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.21．（本小題12分）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)（不在軸上）為直線上一點(diǎn)，直線交曲線于另一點(diǎn).（1）證明：；（2）設(shè)直線交曲線于另一點(diǎn)，若圓（是坐標(biāo)原點(diǎn)）與直線相切，求該圓半徑的最大值.22．（本小題12分）已知函數(shù)，，.（1）若直線與在處的切線垂直，求的值；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求證：．2023屆高三綜合測試（一）數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)1.參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識點(diǎn)和能力比照評分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù).2.對解答題中的計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分.3.解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).4.只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分.一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分）題號12345678答案BCBDBCAA1.【解析】由題意，，所以，所以，故選B.2.【解析】，所以，，故選C.3.【解析】函數(shù)，由題意，，解得，取，可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為，故選B.4.【解析】是奇函數(shù)且，所以選D.5.【解析】因?yàn)?，所以，，所以向量在向量上的投影向量為，所以選B.6.【解析】設(shè)原來池中污染物的質(zhì)量為，依題意，經(jīng)過小時(shí)污染物的質(zhì)量，所以，，，故選C.7.【解析】∵以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，∴，∵直線的方程為，，∴直線的方程為，由，解得，，∵，∴是的中點(diǎn)，故，，代入雙曲線方程，得，整理，得，，.故選A.法2：∵以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，∴，∴，從而，設(shè)雙曲線左焦點(diǎn)為，連結(jié)，則由定義知，在中，，在中，由余弦定理得：，即，化簡得，所以，8.【解析】因?yàn)橛缮厦娼Y(jié)論可得所以，其中，則.當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)等號成立；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號成立；因?yàn)?，所以的最小值?故選：A.二、多項(xiàng)選擇題（全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分）.題號9101112答案BCADBCDACD9.【解析】對于A，由，解得，故A錯(cuò)誤；對于B，由頻率分布直方圖可知，女觀眾收看時(shí)間的，故B正確；對于C，男性觀眾收看節(jié)目的平均時(shí)長為小時(shí)，女性觀眾收看節(jié)目的平均時(shí)長為小時(shí)，故C正確；對于D，由頻率直方圖可知，男性觀眾收看到達(dá)9小時(shí)人數(shù)為人，女性觀眾收看達(dá)到9小時(shí)人數(shù)為人，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.【解析】對于A，設(shè)交于，可得，從而得到平面；所以A正確；對于B，可以求得，所成角為，所以B不正確.對于C，轉(zhuǎn)化為求平面與平面所成角，可求得其正弦值，C不正確；對于D，設(shè)正方體棱長為1，，D正確.所以選AD.11.【解析】對于A，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，A不正確.對于B，因?yàn)椋旱臏?zhǔn)線為：，焦點(diǎn)為，設(shè)，則，，所以，所以，（或由拋物線定義知，所以，）故選項(xiàng)B正確；對于C，因?yàn)樘幍那芯€斜率，，而，所以，從而，又是線段中點(diǎn)，所以，是線段的中點(diǎn)，又，所以，，所以C正確.對于D，因?yàn)?，所以直線的方程為，令，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最小值為4，故選項(xiàng)D正確；綜上可知選BCD.12.【解析】對于A，因?yàn)椋?，所以，A正確；對于B，由切線不等式，得，B不正確對于C，由得，，設(shè)，且，，得，當(dāng)和時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，C正確.對于D，因?yàn)?，，且，且，所以，即，D正確.故選ACD.二、填空題（第13、14、15題每小題5分，第16題第一空2分，第二空3分）.題號13141516答案63；13.【解析】依題意，展開式的中間一項(xiàng)是第4項(xiàng)，，其系數(shù)為.14.【解析】∵，∴，∵，，，∴.15.【解析】因?yàn)辄c(diǎn)是直線：上的動點(diǎn)，要使最小，則，此時(shí)，所以，由方程組，解得，，所以，，兩點(diǎn)之間的比雪夫距離為6.16.【解析】由已知可證明，，兩兩垂直且長度均為，所以可將三棱錐補(bǔ)成正方體，如圖所示三棱錐的外接球就是正方體的外接球，設(shè)外接球的半徑為，則.設(shè)三棱錐外接球球心為，內(nèi)切球球心為，內(nèi)切球與平面的切點(diǎn)為，易知：，，三點(diǎn)均在上，且平面，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，由等體積法：，得，將幾何體沿截面切開，得到如下截面圖：兩圓分別為外接球與內(nèi)切球的大圓，注意到，，∴，∴，兩點(diǎn)間距離的最大值為.四、解答題（第17題10分，第18-22題每題12分）.17.（本小題滿分10分）（1）證明：在中，由正弦定理得：即，2分因?yàn)椋?，又由已知所以?分設(shè)，則，在中，由余弦定理得：即在中，由余弦定理得：即7分解得：，所以.10分18.（本小題滿分12分）解：（1）2分?jǐn)?shù)列為首項(xiàng)為，公比為等比數(shù)列5分（2）由（1）可得8分即∴10分而隨著的增大而增大要使，即，則∴的最小值為140.12分19.（本小題滿分12分）解：記“這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校參與“單板滑雪”的人數(shù)超過30人”為事件，“這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校參與“自由式滑雪”的人數(shù)超過30人”為事件則，所以，.4分（2）的所有可能取值為，參與“自由式滑雪”人數(shù)在40人以上的學(xué)校共4所，所以，，，，所以的分布列如下表：0123所以8分（3）記“小小明同學(xué)在一輪測試中要想獲得“優(yōu)秀””為事件，則，由題意，小明同學(xué)在集訓(xùn)測試中獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)服從二項(xiàng)分布，由題意列式，得，因?yàn)椋缘淖钚≈禐?1，故至少要進(jìn)行11輪測試12分20.（本小題滿分12分）（1）證明：依題意矩形，，，是中點(diǎn)分別在等腰直角三角形和求得，又，所以，2分因?yàn)椋矫嫫矫嫫矫嫫矫嫠?，平面，又平面，所?分（2）以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則，，，，設(shè)是的中點(diǎn)，有，又平面平面.平面平面平面，8分假設(shè)存在滿足題意的，則由.可得，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，可得，，即10分∴與平面所成的角的正弦值解得（舍去）.綜上，存在，使得與平面所成的角的正弦值為12分21.（本小題滿分12分）解（1）設(shè)∴，直線的方程為，令，得，∴，2分又∵，且∴，∴，4分（2）當(dāng)直線不垂直軸時(shí)，設(shè)直線方程為，，由方程組得，6分由（1）可知，又，代入上式得：8分即：得到或（舍去），10分所以直線方程為恒過，當(dāng)垂直軸時(shí)，同樣成立。設(shè)到直線為，則所以，半徑的最大值為12分另解：由（1）知，設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為.直線的方程為：，設(shè)，由，由，得，從而，同理直線的方程為：，設(shè)，由，由，得，從而，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)直線過點(diǎn)，根據(jù)對稱性，可猜想直線恒過點(diǎn)，8分當(dāng)時(shí)，，，∵，.∴，從而三點(diǎn)共線，即直線恒過一定點(diǎn).設(shè)到直線為，則所以，半徑的最大值為.12分22.（本小題滿分12分）（1）解：∵∴在處的切線斜率2