2024研究高考試題++提升解題能力

2024研究高考試題++提升解題能力研究高

考試題提升解題能力

高三年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)，特別是高三年級(jí)的第二、三輪的復(fù)習(xí)教學(xué)，它的教學(xué)

目標(biāo)已經(jīng)不同于新授課的數(shù)學(xué)教學(xué)，也不同于第一輪的復(fù)習(xí)教學(xué)，它應(yīng)該著眼于

“支撐學(xué)科知識(shí)體系的重點(diǎn)內(nèi)容”，因?yàn)楦呖嫉臄?shù)學(xué)命題者要“精心設(shè)計(jì)考查數(shù)

學(xué)主體內(nèi)容，體現(xiàn)數(shù)學(xué)素質(zhì)的試題”。因此，二、三輪的復(fù)習(xí)工作應(yīng)抓住核心內(nèi)

容和方法，從數(shù)學(xué)思想和方法入手，完成構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提升解題能力為目標(biāo)。

其實(shí)，無論是構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，還是提升能力，最終的目標(biāo)還是以提高學(xué)生的

應(yīng)試能力，取得令人滿意的考試結(jié)果為目的。因此，如何提高學(xué)生分析問題和解

決問題的能力，是當(dāng)前擺在高三數(shù)學(xué)教師面前最突出的問題，每一位高三的老師

在自己的教學(xué)實(shí)踐中都有著自己一套行之有效的方法，同時(shí)因?yàn)閷W(xué)情各異，面對(duì)

不同的學(xué)生也有不同的應(yīng)對(duì)方法。在這里，我本人就多年從事高三畢業(yè)教學(xué)過程

中的一點(diǎn)思考和做法提出來和各位老師交流，我期望通過和各位老師的交流，找

到更合適有效的方法，使我們的工作更有成效，使更多的學(xué)生受益。

我們?cè)谄匠５慕忸}教學(xué)中，志在求知，為培養(yǎng)學(xué)生能力，應(yīng)盡量避免“解題

套路”，而著重于學(xué)生能力的培養(yǎng)，故應(yīng)多發(fā)散，但在高考的考場(chǎng)上，學(xué)生在兩

個(gè)小時(shí)內(nèi)要完成一張?jiān)嚲恚瑫r(shí)間緊、任務(wù)重，為完成得分任務(wù)，在遇到熟悉問題

時(shí)，應(yīng)考慮“套”、“搬”、“借”，而一張高考試卷不可能題題都創(chuàng)新，可以“套”、

“搬”、“借”的題目應(yīng)該不在少數(shù)。因此，在二、三輪的復(fù)習(xí)中，幫助學(xué)生建立

一些常規(guī)的解題模板，使學(xué)生在解題時(shí)對(duì)常規(guī)題做到有理可據(jù)、有型可依也是我

們的教學(xué)目標(biāo)之一。

怎樣去構(gòu)筑解題模板呢？我想高考考什么、怎么考，最直接的信息應(yīng)來源于

歷年的高考試題。因此，研究高考試題，從歷年高考試題中去提煉解題模板應(yīng)該

是最直接、最有效的途徑了。下面我就以函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)為例，剖析近幾年的高考

試題，揭示考查的核心關(guān)鍵，建立起解題模板，希望通過這樣一個(gè)實(shí)例，給大家

提供一個(gè)基本模型。

先看下面的例子：

(2013全國新課標(biāo)(I)卷第21題)

設(shè)函數(shù)/(工)=幺+ox+b,g(x)=e*(cx+d).若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都

過點(diǎn)P(0,2),且在P處存在相同切線y=4x+2

(1)求的值；(2)若xN-2時(shí)，/(x)〈伙(x),求人的取值范圍。

分析：(1)f(0)=2,g(0)=2,/(0)=4,g'(0)=4易求得a=4,b=c=d=2

(2)令F(x)=kg(x)-/(x)=2A:e*(x+l)-x2-4x-2,依題意得

Vx>-2,F(x)N0;.?.尸(0)=2左一2N0n左N1

F(x)=2履'(x+2)-2x-4=2(x+2)(履,一1)

F(%)=0=>x,--\nk,x2--2

11

2

1</:<=>-2<-In<0R=/時(shí)k>e,則

當(dāng)％e(—2,—In左)時(shí)F\x)=2e\x+2)(ex-e-2)0-2)=-22+2

=—21(攵—/)<。

當(dāng)x>-2時(shí)，

F'(x)<0,

從而當(dāng)x>-2時(shí)

F'(x)>0,F(x)在

當(dāng)％c(-lnA,+oo)時(shí)/(x)WZg(x)不可能恒

(—2,+oo)上單增，

成立

F'(x)>0,

F(x)>F(-2)=0

」(x)在(一2,—Ink)上單

.?./(X)4依(x)恒成立

減，在(Tn%,+8)上單增

曦,0)=0

=lnZ(2-lnZ)20

即當(dāng)xN—2時(shí)，F(xiàn)(x)>0

即/(x)4七(幻恒成立

綜上，k&[l,e2]

再看一例(2010年山東第22題)

\-a1

已知函數(shù)〃x)=lnx-"+------1,(1)當(dāng)一時(shí)，討論了(幻的單調(diào)性；

x2

(2)設(shè)g(x)=f-2泣+4,當(dāng)a=,時(shí)，若對(duì)7玉e(0,2)存在々eU,2J使/(%,)>g(x,),

4

求實(shí)數(shù)b的取值范圍。

11—Z7ClX^—X+(1—Q)

分析：(1)f(x)=一一a一一廠二,x>0

xxX2

這樣的流程是不是具有普遍性，在解題過程是不是好使，我們?cè)賮砜纯?/p>

09~13年安徽的導(dǎo)數(shù)考題

2009年(19)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/'(x)=x-2+1—alnx,a>0,討論/(幻的單調(diào)性.

X

本小題主要考查函數(shù)的定義域、利用導(dǎo)數(shù)等知識(shí)研究函數(shù)的單調(diào)

性，考查分類討論的思想方法和運(yùn)算求解的能力。本小題滿分12分。

解：/(X)的定義域是(0,+8)"'(幻=1+/，=『一？'+2

廠XX

設(shè)g(x)=f一公+2,二次方程g(x)=0的判另IJ式A=a2—8.

①當(dāng)△=/一8<0,即0<a<2應(yīng)時(shí),對(duì)一切x>0都有1f(x)>0,止匕時(shí)/(X)

在(0,+a))上是增函數(shù)。

②當(dāng)△=/一8=0,即。=2行時(shí)，僅對(duì)龍=血有(")=0,對(duì)其余的x>0都

有f\x)>0,此時(shí)/(%)在(0,+8)上也是增函數(shù)。

③當(dāng)八=/一8>0,即a>2應(yīng)時(shí)，

方程g(x)=0有兩個(gè)不同的實(shí)根％=佇半巨,々=絲孚豆,0<菁<々.

(x),x2)

X(0,石)九2。2，+8)

f,M+0—0+

單調(diào)遞

/(x)單調(diào)遞增極大值極小值單調(diào)遞增

減

此時(shí)/⑶在(0,佇當(dāng)苴)上單調(diào)遞增，在(巴警E,當(dāng)已占是上單

調(diào)遞減，在(山蕓豆,+8)上單調(diào)遞增.

2010年17、(本小題滿分12分)

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)/(x)=e，-2x+2a,xeR。

(1)求〃力的單調(diào)區(qū)間與極值；

x2

(U)求證：當(dāng)。>ln2-l且x>0時(shí)，e>x-2ax+\o

(17)(本小題滿分12分)本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的極值和證明函

數(shù)不等式，考查運(yùn)算能力、綜合分析和解決問題的能力.

(I)解：由/(x)=e'-2x+2a,xER知廣(x)=e*-2,xER.

令/'(，)=0,得』=ln2.于是當(dāng)X變化時(shí)，/'(x)J(z)的變化情況如下表:

X(-oo,In2)In2(In2,+oo)

f'M-0,+

單調(diào)遞減單調(diào)遞增

/(x)2(1-ln2+a)

/

故/(工)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-8,M2),單調(diào)遞增區(qū)間是(In2,+?),

人工)在工=In2處取得極小值，極小值為/(In2)=e1°2-21n2+2a=2(1-In2+a).

(口)證：.設(shè)g(x)=e'-/+2ar-l,xeR.于是r(工)=e'-2x+2a,xWR

由3)知當(dāng)a>ln2-l時(shí),g'⑺最小值為g，(In2)=2(l-ln2+a)>0.

于是對(duì)任意工￡R.都有g(shù)'(工)>0,所以g(z)在R內(nèi)單調(diào)遞增.

于是當(dāng)a>In2-！時(shí)，對(duì)任意xW(0,+8),都有式工)>g(0).

而g(0)=0,從而對(duì)任意工W(0,+8),g(工)>0.

即e*~x2+lax-1>0,故e'>/-2ax+1.

2011年(16)(本小題滿分12分)

設(shè)/(%)=上-,其中。為正實(shí)數(shù)

1+ax

(I)當(dāng)。=g時(shí)，求/(X)的極值點(diǎn)；

(II)若〃幻為R上的單調(diào)函數(shù)，求。的取值范圍。

(16)(本小題滿分12分)本密與化導(dǎo)致的玷算.做值點(diǎn)的判斷.，故於號(hào)。南數(shù)小淵性之間的關(guān)系.求

制一元：次不等式等戰(zhàn)本知識(shí).號(hào)〃運(yùn)算求解能力.琮合分析和第次同為的徒力.

解:對(duì)/U)求導(dǎo)得

—嚙亭①

(I?<1*)

(I)當(dāng)：時(shí).若/'(x)=O,則4/-823=0?解檔

3I

*|=彳，?產(chǎn)彳?

結(jié)合①.可1

X卜?.)1.1cbi~)|、|(~F~^T

/⑺.0.0.

I/］極大伊〔\［極小值I/

所以.&=等是極小值點(diǎn).盯=1是微大值點(diǎn).

(I!?若〃*)為R卜的小腳雨散.蜥廣⑺AR上不變號(hào).結(jié)合IV條件“>0.知

a.7-2aaI#0

frK1初成》.?因此」=4/-4??44”1>40.由此并結(jié)合州>0.知OviG.

2012年(19)(本小題滿分13分)

設(shè)/(x)=aex+-^―+b(a>0)

aex

(I)求/(外在[0,+8)上的最小值；

(II)設(shè)曲線y=/(x)在點(diǎn)(2"(2))的切線方程為>=1犬；求的值。

【解析】(I)設(shè)f=e"QNl)；則y+,+力=>y'=Q—=

atatat

①當(dāng)時(shí)，y'〉0ny=af+L+b在也1上是增函數(shù)

at

得：當(dāng)f=l(x=0)時(shí)，/(幻的最小值為。+工+人

a

②當(dāng)Ovavl時(shí)，y=at+-+b>2-\-h

at

當(dāng)且僅當(dāng)〃=l(r=e'=Lx=-Ina)時(shí)，/(x)的最小值為8+2

a

(II)/(x)=aex+-+b=>f\x)=aex----

aexaex

"⑵二'217勺2

二3ae+—-+b=3a

ae=-e

由題意得：■3oo

r（2）=213

-2ae----=—b=-

2

、ae2[2

2013年(17)(本小題滿分12分)

設(shè)函數(shù)/(幻=依一(1+/?2,其中。>0,區(qū)間/={x"(x)>0}.

(1)求/的長(zhǎng)度(注：區(qū)間(。,〃)的長(zhǎng)度定義為夕一。)；

(2)給定常數(shù)4€(0,1),當(dāng)1一女<aWl+Z時(shí)，求/的長(zhǎng)度的最小值。

解：(1)因?yàn)榉匠桃砸?1+/?2=03>())有兩個(gè)實(shí)根玉=0,彳2=一\,故/(x)>0

1+Q

的解集為{xlX<x<%}，因此區(qū)間/=(0,—^丁)，/的長(zhǎng)度為‘■行。

1+CT1+。

12

(2)設(shè)〃(。)=—^方，則/(a)==^v(a>0)。令d'(a)=0,得“=1。由于々e(0,l),

1+/(1+/)2

故當(dāng)攵一1〈。<1時(shí)，d(a)>0,d(a)單增；當(dāng)lWaWl+左時(shí)，d(a)<0,d(a)單減。

所以當(dāng)1—攵WaWl+Z時(shí)，d(a)的最小值必定在。=左一1或4=1+左處取得。

\-k

火1-幻_1+(1&)1_2---獷

而—17-7T<1

d(l+k)1+k2-k2+k3

1+(1+Z)2

故d(l—k)<。(1+左)。

\-k

因此當(dāng)a=l—Z時(shí)，d(a)在區(qū)間[1一％,1+k]上取得最小值----------。

N乙K十K,

從上可以看出，五年的高考題無一例外的均可用上述流程來解決。其實(shí)，在中學(xué)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

除與切線相關(guān)的問題外，其余的問題如極值問題、最值問題、零點(diǎn)問題、不等式問題等，最

終都要落實(shí)到單調(diào)性上，而討論函數(shù)的單調(diào)性必然會(huì)經(jīng)過上述流程，這樣一個(gè)模板就可以解

決相當(dāng)一部分函數(shù)導(dǎo)數(shù)題。

最后再看一個(gè)例子(黃山市2014屆第一次模擬考試第21題)

已知函數(shù)f(x)=x2-ax,g(x)=In%

(1)若函數(shù)E(x)=/(%)+g(x)既有極大值又有極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

(2)設(shè)//6)=/*)+8(匕竺),若對(duì)任意的。6(1,2),總存在無€[±1],使不等式

/z(x)〉Ml-42)成立，求實(shí)數(shù)％的取值范圍。

]2Y2—HY+1

分析：(1)尸’(幻=2%一。+—=-----------(工>0)由尸'(1)=。有兩不等正實(shí)根得

xx

A=a2-8>0

<—>0=>a>2\/2

4

F(0)=2X02-?X0+1>0

c,"-2、

]2ax(x---------)]

(2)由h(x)-x2-0X4-In———得〃(x)=2x-〃+—--=--------——,XG[—,1]

2ax+lax+\2

人,■_p,—2,—2671211

qh(x)—0工]=0或々=-----，由Q￡(1,2)/=-----=-----W-----=一

2a-2。2。222

/.h(x)在[；[]上單增，，/1max(x)="⑴=1一。+In,ae(1,2)。

只要人(1一42)<4皿。)，記°(4)=1一4+1!1^1^-%(1-42),。6(1,2)

則。3)>0對(duì)Vae(1,2)恒成立。

12ka2-\-2ka-a。(2妨+22-1)

(P(tz)=—1d-----F2kd

a+167+1Q+1

令0(a)=0=>a=0或2Az7+2左一1二0

綜上可得：Zed,+o。）即為所求。

4

本題有一定的綜合性，頭緒多，學(xué)生得分情況不理想，但用上面的模去套，則條理清

晰，完成本題則不困難。

從上面的例子可以看出，只要我們認(rèn)真去研究高考試題，仔細(xì)揣摸命題意圖，高考的

命題規(guī)律還是有跡可循的，在二、三輪復(fù)習(xí)中，將高考試題的解題規(guī)律呈現(xiàn)給學(xué)生對(duì)提高學(xué)

生的解題能力，提升學(xué)生的自信心是很有幫助的。

研究高考試題提升解題能力

高三年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)，特別是高三年級(jí)的第二、三輪的復(fù)習(xí)教學(xué)，它的教學(xué)

目標(biāo)已經(jīng)不同于新授課的數(shù)學(xué)教學(xué)，也不同于第一輪的復(fù)習(xí)教學(xué)，它應(yīng)該著眼于

“支撐學(xué)科知識(shí)體系的重點(diǎn)內(nèi)容”，因?yàn)楦呖嫉臄?shù)學(xué)命題者要“精心設(shè)計(jì)考查數(shù)

學(xué)主體內(nèi)容，體現(xiàn)數(shù)學(xué)素質(zhì)的試題”。因此，二、三輪的復(fù)習(xí)工作應(yīng)抓住核心內(nèi)

容和方法，從數(shù)學(xué)思想和方法入手，完成構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提升解題能力為目標(biāo)。

其實(shí)，無論是構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，還是提升能力，最終的目標(biāo)還是以提高學(xué)生的

應(yīng)試能力，取得令人滿意的考試結(jié)果為目的。因此，如何提高學(xué)生分析問題和解

決問題的能力，是當(dāng)前擺在高三數(shù)學(xué)教師面前最突出的問題，每一位高三的老師

在自己的教學(xué)實(shí)踐中都有著自己一套行之有效的方法，同時(shí)因?yàn)閷W(xué)情各異，面對(duì)

不同的學(xué)生也有不同的應(yīng)對(duì)方法。在這里，我本人就多年從事高三畢業(yè)教學(xué)過程

中的一點(diǎn)思考和做法提出來和各位老師交流，我期望通過和各位老師的交流，找

到更合適有效的方法，使我們的工作更有成效，使更多的學(xué)生受益。

我們?cè)谄匠５慕忸}教學(xué)中，志在求知，為培養(yǎng)學(xué)生能力，應(yīng)盡量避免“解題

套路”，而著重于學(xué)生能力的培養(yǎng)，故應(yīng)多發(fā)散，但在高考的考場(chǎng)上，學(xué)生在兩

個(gè)小時(shí)內(nèi)要完成一張?jiān)嚲?，時(shí)間緊、任務(wù)重，為完成得分任務(wù)，在遇到熟悉問題

時(shí)，應(yīng)考慮“套”、“搬”、“借”，而一張高考試卷不可能題題都創(chuàng)新，可以“套”、

“搬”、“借”的題目應(yīng)該不在少數(shù)。因此，在二、三輪的復(fù)習(xí)中，幫助學(xué)生建立

一些常規(guī)的解題模板，使學(xué)生在解題時(shí)對(duì)常規(guī)題做到有理可據(jù)、有型可依也是我

們的教學(xué)目標(biāo)之一。

怎樣去構(gòu)筑解題模板呢？我想高考考什么、怎么考，最直接的信息應(yīng)來源于

歷年的高考試題。因此，研究高考試題，從歷年高考試題中去提煉解題模板應(yīng)該

是最直接、最有效的途徑了。下面我就以函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)為例，剖析近幾年的高考

試題，揭示考查的核心關(guān)鍵，建立起解題模板，希望通過這樣一個(gè)實(shí)例，給大家

提供一個(gè)基本模型。

先看下面的例子：

(2013全國新課標(biāo)(I)卷第21題)

設(shè)函數(shù)/(x)=f+G；+〃,g(x)=，(cx+d).若曲線y=/(x)和曲線y=g(x)都

過點(diǎn)P(0,2),且在P處存在相同切線y=4x+2

(3)求a,Z?,c,d的值；(2)若時(shí)，/(x)〈版(x),求％的取值范圍。

分析：(1)/(0)=2,g(0)=2,/(0)=4,g'(0)=4易求得a=4,0=c=d=2

(4)令尸(x)=kg(x)-/(x)=2h,(x+l)-Y-4X—2,依題意得

Vx>-2,F(x)>0;.-.F(0)^2k-2>0=>k>\

F\x)=2kev(x+2)-2x-4=2(x+2)(^v-l)

F(x)=0n%=-In左,々=-2

4=G?時(shí)k>e1,則

當(dāng)％e(-2,一In左)時(shí)F\x)=2e\x+2)(ex-e-2)/(-2)=-22+2

=-2e-\k-e2)<0

當(dāng)x>-2時(shí)，

F(x)<0,

從而當(dāng)x>-2時(shí)

F'(x)>0,F(x)在

當(dāng)％e(-Ink,+oo)時(shí)/(x)〈伙(x)不可能恒

(-2,+oo)上單增，

成立

F'(x)>0,

F(x)>F(-2)=0

F(x)在(-2,-Ink)上單

/.f(x)<Zg(x)恒成立

減，在(-In%,+8)上單增

M)=P(-Ink)

=lnZ(2-lnA)20

即當(dāng)xN-2時(shí)，F(xiàn)(x)>0

即/(x)W版(幻恒成立

綜上，左eU,/]

再看一例(2010年山東第22題)

\—Cl1

已知函數(shù)/(x)=Inx-axH-------1,(1)當(dāng)?！匆粫r(shí)，討論/(x)的單調(diào)性；

x2

(2)設(shè)g(x)=V-2陵+4,當(dāng)a=：時(shí)，若對(duì)7玉e(0,2)存在x2G[1,2]使/(x,)>^(x2),

求實(shí)數(shù)b的取值范圍。

2

八上匕/八/*/\][_QOX—X+(1—6Z)

分析：(1)/(x)=一一a——z-=--------7^——-,x>0

XXX

無零點(diǎn)或零點(diǎn)不在定義域內(nèi)時(shí)，函數(shù)單調(diào)

這樣的流程是不是具有普遍性，在解題過程是不是好使，我們?cè)賮砜纯?/p>

09-13年安徽的導(dǎo)數(shù)考題

2009年(19)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=x-2+l-alnx,a>0,討論f(x)的單調(diào)性.

X

本小題主要考查函數(shù)的定義域、利用導(dǎo)數(shù)等知識(shí)研究函數(shù)的單調(diào)

性，考查分類討論的思想方法和運(yùn)算求解的能力。本小題滿分12分。

解：/(%)的定義域是(0,+oo),/(%)=1+4--=、一"+2

XXX

設(shè)g(x)=f-辦+2,二次方程g(x)=0的判別式△=〃-8.

④當(dāng)△=/_8<0,即0<a<2夜時(shí)，對(duì)一切x>0都有八x)>0,此時(shí)/(無)

在(0,物)上是增函數(shù)。

⑤當(dāng)△=/—8=0,即a=2亞時(shí)，僅對(duì)x=痣有_f(x)=0,對(duì)其余的x〉0都

有f,(x)>0,此時(shí)/(%)在(0,+oo)上也是增函數(shù)。

⑥當(dāng)AuaZ—g>。，即a>2a時(shí)，

方程g(x)=0有兩個(gè)不同的實(shí)根為=心號(hào),％=生咚三,0"<.

(%,％2)

X(0,西)X2*2,+8)

f'M++

0—0

單調(diào)遞

f(x)單調(diào)遞增極大值極小值單調(diào)遞增

減

此時(shí)/(幻在(0,匕號(hào))上單調(diào)遞增，在(佇孚m,"是上單

調(diào)遞減，在(當(dāng)*,+8)上單調(diào)遞增.

2010年17、(本小題滿分12分)

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)/(x)=e*-2x+2a,xeR。

(I)求的單調(diào)區(qū)間與極值；

2

(II)求證：當(dāng)a>ln2—l且x>0時(shí)，>x-2ar+l0

(17)(本小題滿分12分)本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的極值和證明函

數(shù)不等式，考查運(yùn)算能力、綜合分析和解決問題的能力.

(I)解：由一工)=e*-2x+20,工WR知f'(*)=e*-2,工eR

令/'(z)=0,得z=ln2.于是當(dāng)x變化時(shí),/'(工)J(z)的變化情況如下表:

X(-?,ln2)In2(In2,+oo)

f'(x)-0,+

單調(diào)遞減單調(diào)遞增

/(x)2(l-ln2+a)

7

故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-8,M2),單調(diào)遞增區(qū)間是(In2,+00),

人工)在工=In2處取得極小值，極小值為/(ln2)=eb2-21n2+2a=2(l-ln2+a).

(D)證：設(shè)g(x)=e*+2ax-l,xER.于是/(*)=e*-2a:+2a,工WR

由(【)知當(dāng)a>ln2-l時(shí)，g'(x)最小值為g，(ln2)=2(1-In2+a)>0.

于是對(duì)任意xeR,都有g(shù)'(x)>0,所以gQ)在R內(nèi)單調(diào)遞增.

于是當(dāng)a>In2-1時(shí)，對(duì)任意xW(0,+8),都有g(shù)(x)>g(0).

而g(0)=0,從而對(duì)任意工人(0,+8),g(x)>0.

即e*-x2+2ax-1>0,故e'>M-lax+1.

2011年(16)(本小題滿分12分)

設(shè)/(x)=—《一，其中。為正實(shí)數(shù)

\+ax

4

(I)當(dāng)時(shí)，求/(x)的極值點(diǎn)；

(II)若/(%)為R上的單調(diào)函數(shù)，求。的取值范圍。

(161(本小H滿分12分)本密弓化導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算.做值點(diǎn)的網(wǎng)融.與數(shù)符號(hào)'j函數(shù)仇調(diào)性之間的關(guān)系.求

胡一元:次不等式號(hào)再和知識(shí).看會(huì)運(yùn)算未解能力.琮介分析和訴決問題I的傕加

解:時(shí)/(*)求恃得

I*<u*-2<u

/J)"'(I1產(chǎn)

(I)當(dāng)a=；-時(shí),若，'(X)=0.W|4.t-8x4-3=0.Mi!)

(11)蔣7U)為RI的中謂函數(shù).則/'(，"￥R上不變號(hào).結(jié)合I5條件”>0?加

at--2<u?INO

AR上忖成》?MhHA?4a由此井統(tǒng)合0>O?知O“G?

2012年(19)(本小題滿分13分)

…1

設(shè)/(x)=aexH----卜b(a>0)

aex

(I)求了(%)在。+8)上的最小值;

3

(II)設(shè)曲線y=/(x)在點(diǎn)(2J(2))的切線方程為y=?無；求a,。的值。

【解析】(I)設(shè)1=021)；貝ljy+」>+/?=>y'=a--1__

atatat

①當(dāng)aNl時(shí)，y'>0=>丁=〃+，+匕在，21上是增函數(shù)

at

得：當(dāng)，=l(x=O)時(shí)，/(x)的最小值為a+工+人

a

②當(dāng)0<。<1時(shí)，y=at+~+b>2+b

at

當(dāng)且僅當(dāng)a=l(f=/=Lx=—lna)時(shí)，/(x)的最小值為匕+2

a

(II)f(x)=aex+-^―+b=>fr(x)=aex———

aexaex

21一2

/(2)=3aeH----+Z?=3

ae"一

由題意得：<r(2)=|30<<=><

213

ae~---7=—b=-

ae~22

2013年(17)(本小題滿分12分)

設(shè)函數(shù)/(尤)=初一(1+。2)/,其中。>0,區(qū)間/={x"(x)>0}.

(3)求/的長(zhǎng)度(注：區(qū)間(。,尸)的長(zhǎng)度定義為〃一a)；

(4)給定常數(shù)ke(0,l),當(dāng)1—攵+左時(shí)，求/的長(zhǎng)度的最小值。

解：(1)因?yàn)榉匠蘟r—(l+a2)x2=0(a>0)有兩個(gè)實(shí)根％=0,/=—\，故/。)>0

\+a~

的解集為{xlM<x<x,},因此區(qū)間/=(0,」5)，/的長(zhǎng)度為」方。

1+tz1+a

(2)設(shè)d(a)=—巴方，則d'(a)=」~:一式。>0)。令d'(a)=0,得a=l。由于女e(0,l),

1+a(l+a)

故當(dāng)左一lWa<l時(shí)，d\a)>0,d(a)單增；當(dāng)lWaWl+左時(shí)，d'(a)<Q,d(a)單減。

所以當(dāng)1一左WaWl+Z時(shí)，d(a)的最小值必定在。=女一1或a=l+Z處取得。

l—k

^.d(\-k)1+(1)22-k2-k3,

d(l+k)1+12-k2+k3

1+(1+左)2

故d(l—左)<d(l+左)。

1一”

因此當(dāng)a=l—左時(shí)，d(a)在區(qū)間［1一&,1+k］上取得最小值--------r。

2—2k+k

從上可以看出，五年的高考題無一例外的均可用上述流程來解決。其實(shí)，在中學(xué)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

除與切線相關(guān)的問題外，其余的問題如極值問題、最值問題、零點(diǎn)問題、不等式問題等，最

終都要落實(shí)到單調(diào)性上，而討論函數(shù)的單調(diào)性必然會(huì)經(jīng)過上述流程，這樣一個(gè)模板就可以解

決相當(dāng)一部分函數(shù)導(dǎo)數(shù)題。

最后再看一個(gè)例子(黃山市2014屆第一次模擬考試第21題)

已知函數(shù)f(x)=x2-ax,g(x)=\nx

(3)若函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)既有極大值又有極小值，求實(shí)數(shù)。的取值范圍。

(4)設(shè)//(x)=/(x)+g(號(hào)3,若對(duì)任意的ae(l,2),總存在使不等式

〃(幻>左(1一。2)成立，求實(shí)數(shù)女的取值范圍。

i2r2—ax4.1

分析：(1)F'(x)=2x-a+-=----------(x>0)由U(x)=O有兩不等正實(shí)根得

XX

A=a2-8>0

<—>0=a>2^2

4

F(0)=2x02-ax0+l>0

21ar+1_,.、小a"2a,1?

(2)由h(x)-x2-ax4-In----得力(1)=2x-a+----=------——,XG[r—,1]

2ax+lax+12

..■—2,—2tz1211

qh(x)=0x=0或=-----9由ae(1,2)X)=------=-----W-----=一

2a2a2a222

力(x)在[L1]上單增，，/1max(1)=%⑴=1一a+In交4,ae(1,2)。

22

cCl1.2

只要人(1一a~)<〃1rax(x),iE^(a)=l-a+ln———^(1-a),as(1,2)

則e(a)>0對(duì)Vae(1,2)恒成立。

?12koi+2ka-aa(2ka+2k-V)

(p(Q)=—1d-----F2ZzZ

Q+1a+1a+1

令°(a)=O=>a=O或2ka+2Z—I=0

綜上可得：+oo)即為所求。

本題有一定的綜合性，頭緒多，學(xué)生得分情況不理想，但用上面的模去套，則條理清

晰，完成本題則不困難。

從上面的例子可以看出，只要我們認(rèn)真去研究高考試題，仔細(xì)揣摸命題意圖，高考的

命題規(guī)律還是有跡可循的，在二、三輪復(fù)習(xí)中，將高考試題的解題規(guī)律呈現(xiàn)給學(xué)生對(duì)提高學(xué)

生的解題能力，提升學(xué)生的自信心是很有幫助的。

為什么把*NJ益(a,b>o)叫做“基本不等式”

2

1.從“數(shù)及其運(yùn)算”的角度看，5是兩個(gè)正數(shù)。，〃的“平均數(shù)”;

2

從定量幾何的角度看，乃是長(zhǎng)為。、寬為力的矩形面積，J茄就叫做

兩個(gè)非負(fù)數(shù)。，h的“幾何平均”。因此，不等式中涉及的是代數(shù)、幾

何中的“基本量”。

2.有多種等價(jià)形式：

代數(shù)——涉及兩個(gè)正數(shù)的運(yùn)算，也就是通過加、減、乘、除、乘

方、開方等運(yùn)算而產(chǎn)生的變化。在對(duì)運(yùn)算結(jié)果之間的大小關(guān)系比較中

就可以得到各種表現(xiàn)形式；

幾何——周長(zhǎng)相等的矩形中，正方形的面積最大；或者，以。+力

為斜邊的直角三角形中，等腰直角三角形的高最長(zhǎng)；或者，更直觀地,

等圓中，弦長(zhǎng)不大于直徑；……

函數(shù)——本質(zhì)上是函數(shù)凹凸性的反映。例如，可以直接通過函數(shù)

y=_L,y=Q,y等學(xué)生最熟悉的函數(shù)的凹凸性導(dǎo)出公式；或者,

X

利用函數(shù)圖像的切線（本質(zhì)上是“以直代曲”），例如，過點(diǎn)（1,1）作曲

線y=6的切線，切線方程為y=g（x+l）,曲線y=4總位于切線的下

方，故有，V7<l（x+l）o令x普,代入化簡(jiǎn)即得重要不等式。

2b

也可以這樣考慮：在一個(gè)平面內(nèi)固定一條直線%+y=2A,考察曲

線族町=c（這里c是參數(shù)），畫個(gè)圖就可以看出，和給定直線有公共

點(diǎn)，且使c取最大值的曲線，是和直線相切于（A,A）的那條曲線,

這時(shí)（?=屁，于是。

3.證明方法的多樣性

從上所述已經(jīng)表明，“基本不等式”確是與重要的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)

相關(guān)，體現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系性，表述形式簡(jiǎn)潔、流暢且好懂，而且從

上述聯(lián)系性中，事實(shí)上也已經(jīng)給出了證明的各種思路，這些思路與數(shù)

學(xué)的基本概念相關(guān)，不涉及太多的技巧。

我們還可以從“平均數(shù)”的角度來構(gòu)造性地證明：

設(shè)4=生心。引進(jìn)一個(gè)量仁則斫A+d,b=A-do于是

22

。6=相—[2=（等]一/，由龍0容易得到疝w等。

4.可推廣。我們大家都知道有〃個(gè)正數(shù)的幾何平均值不大于算

術(shù)平均值的定理。這個(gè)定理的證明方法很多，由此就能培養(yǎng)學(xué)生的解

題能力，而且能體現(xiàn)創(chuàng)造性。

值得注意的是，〃個(gè)數(shù)（不一定為正）的算術(shù)平均是一個(gè)重要的

最小性質(zhì)，有廣泛的用途，特別是在統(tǒng)計(jì)中，就是對(duì)于某個(gè)未知量X,

我們通過測(cè)量獲得了它的〃個(gè)觀測(cè)值H（i=l,2,…，鹿）。由于測(cè)量

誤差，這些值會(huì)略有不同，那么％取什么值才最可信呢？數(shù)學(xué)王子高

斯的想法是：用％—M-表示觀測(cè)值船與理想值％之間的偏差（可正可

負(fù)），可以把那個(gè)使總偏差最小的值作為理想值的最佳估計(jì)。數(shù)學(xué)中，

習(xí)慣上把（%一制2作為不精確性的適當(dāng)?shù)亩攘?，這樣問題就轉(zhuǎn)化為求

使）2的最小值。非常湊巧，這個(gè)值恰好就是這〃個(gè)觀測(cè)值的算

/=1

術(shù)平均——這是重要的高斯“最小二乘法”的出發(fā)點(diǎn)。

基本不等式的教學(xué)過程概錄

1.借助問題情境（趙爽弦圖），得到〃+加＞2人老師提示：當(dāng)

a=h時(shí)，有/+尸=2ab。

通過課件，動(dòng)態(tài)演示面積變化情況，直觀展示等號(hào)成立的條件。

師：當(dāng)小〃為任意實(shí)數(shù)時(shí)，上式還成立嗎？你能給出它的證明

嗎？

生：利用完全平方，（。-bp20,BPa2—2ab+b2^0,得至！J“巾+按

22ab。

師：還有什么方法？(片刻后)證明不等式的常用方法是“作差二

證明：Va2+b2-2ab=(a-b)2>0,/.a2+b2>lab.

由證明過程可知：不等式恒成立.

師：通過剛才的探究，我們得到了一個(gè)對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立的不等

式/+/>2"。特別是時(shí),a2+b2=2ab;反過來/+〃=2"時(shí)，定

有a=b。所以我們說當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)。

2.探究新知

師：當(dāng)。>0,方>0時(shí)，如果用心,血替換上述結(jié)論中的a,b,

能得到什么結(jié)論？

生：可得a+622\[ab(?>0,/?>0)o

師：你能證明這個(gè)不等式嗎？什么時(shí)候取等號(hào)？

學(xué)生模仿已有證明，用綜合法。

教師讓學(xué)生閱讀教科書，并填空：

要證"AN.，①

2

只要證a+6N②

要證②,只要證a+b—>0③

要證③，只要證(-)220④

顯然,④是成立的。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，④中的等號(hào)成立。

再閱讀課本的“探究”，作出基本不等式的幾何解釋。

教師對(duì)基本不等式做出如下說明：廠二^

(1)注意基本不等式成立的條件；A\B