湖北剩荊襄宜四地七?？荚嚶?lián)盟2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中聯(lián)考試題

PAGEPAGE13湖北省荊、荊、襄、宜四地七?？荚嚶?lián)盟2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中聯(lián)考試題留意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知三條直線,下列三個(gè)命題:①若a與b異面,b與c異面,則a與c異面;②若,a和c相交,則b和c也相交;③若，,則；其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．32.已知復(fù)數(shù)QUOTE滿意QUOTE（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.3.中，分別是角的對(duì)邊，則是“QUOTE”成立的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件4.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A．63 B．45 C．36 D．275.已知函數(shù),則關(guān)于該函數(shù)性質(zhì)的說(shuō)法中，正確的是（）A．最小正周期為B．將其圖象向右平移個(gè)單位，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱C．對(duì)稱中心為D．在上單調(diào)遞減6.正方體中，點(diǎn)E、F分別是棱和的中點(diǎn)，則直線AE與DF所成角的余弦值為（）A． B． C． D．7.設(shè)雙曲線E：的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為為雙曲線E在其次象限上的點(diǎn)，直線交雙曲線E于另一個(gè)點(diǎn)C（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若直線平分線段，則雙曲線E的離心率為（）A. B. C. D.8．若函數(shù)滿意：對(duì)，均可作為一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)，就稱函數(shù)是區(qū)間D上的“W函數(shù)”．則下列四個(gè)函數(shù)：①，；②，；③，；④，中，“W函數(shù)”有（）個(gè)A．4 B．3 C．2 D．1二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9已知數(shù)列QUOTE是等比數(shù)列，公比為q，前n項(xiàng)和為，下列推斷正確的有（）A.QUOTE為等比數(shù)列 B．QUOTE為等差數(shù)列 C．QUOTE為等比數(shù)列 D．若，則．10.．給出下列命題，其中正確的選項(xiàng)有（）A．非零向量、滿意，則與的夾角為B．若，則為等腰三角形.C．等邊的邊長(zhǎng)為2，則D．若，，，為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是11．過(guò)拋物線QUOTE的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則（）A．以線段為直徑的圓與直線相切 B．以線段為直徑的圓與y軸相切C．當(dāng)時(shí)， D．的最小值為612．已知函數(shù)QUOTE有兩個(gè)零點(diǎn)QUOTE，QUOTE，則下列說(shuō)法正確的是()A． B．C． D．有微小值點(diǎn)，且三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13斜率為2的直線過(guò)拋物線C：QUOTE的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則QUOTE________．14已知函數(shù)QUOTE，則曲線QUOTE在點(diǎn)QUOTE處的切線方程是________15二十四節(jié)氣作為我國(guó)古代訂立的一種補(bǔ)充歷法，在我國(guó)傳統(tǒng)農(nóng)耕文化中占有極其重要的位置，是古代勞動(dòng)人民對(duì)天文、氣象進(jìn)行長(zhǎng)期視察、探討的產(chǎn)物，凝合了古代勞動(dòng)人民的才智．古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載有這樣一個(gè)問(wèn)題：從夏至之日起，小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪這十二個(gè)節(jié)氣的日影子長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，若小暑、立秋、白露的日影子長(zhǎng)的和為18尺，霜降的日影子長(zhǎng)為QUOTE尺，則秋分的日影子長(zhǎng)為________尺．16已知半徑為QUOTE的球面上有三點(diǎn)QUOTE，QUOTE，球心為O，二面角QUOTE的大小為QUOTE，當(dāng)直線OC與平面OAB所成角最大時(shí)，三棱錐QUOTE的體積為____．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（10分）已知QUOTE，QUOTE，且QUOTE．QUOTEⅠQUOTE求QUOTE在QUOTE上的值域；QUOTEⅡQUOTE已知a，b，c分別為QUOTE的三個(gè)內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)，若QUOTE，且QUOTE，QUOTE，求QUOTE的面積．

18（12分）在QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE.這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并加以解答．

設(shè)等差數(shù)列QUOTE的前n項(xiàng)和為QUOTE，數(shù)列QUOTE為等比數(shù)列，_____，QUOTE求數(shù)列QUOTE的前n項(xiàng)和QUOTE．

19（12分）在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形，平面底面ABCD，.（1）求證：；（2）點(diǎn)M，N分別在棱，，，，求平面PCD與平面DMN所成角的正弦值.

20.（12分）下圖為某倉(cāng)庫(kù)一側(cè)墻面的示意圖，其下部是矩形ABCD，上部是圓弧AB，該圓弧所在的圓心為O，為了調(diào)整倉(cāng)庫(kù)內(nèi)的濕度和溫度，現(xiàn)要在墻面上開一個(gè)矩形的通風(fēng)窗EFGH（其中E，F(xiàn)在圓弧AB上，G，H在弦AB上）.過(guò)O作QUOTE，交AB于M，交EF于N，交圓弧AB于P，已知QUOTE（單位：m），記通風(fēng)窗EFGH的面積為S（單位：QUOTE）（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：（i）設(shè)QUOTE，將S表示成QUOTE的函數(shù)；（ii）設(shè)QUOTE，將S表示成QUOTE的函數(shù)；（2）試問(wèn)通風(fēng)窗的高度MN為多少時(shí)，通風(fēng)窗EFGH的面積S最大？21.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣1，0），B（1，0），設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別與邊AC，BC，AB相切于點(diǎn)P，Q，R，已知|CP|＝1，記動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線E.（1）求曲線E的方程；（2）過(guò)點(diǎn)B（1，0）作直線交曲線于M,N兩點(diǎn)，且點(diǎn)M位于軸上方，已知記直線的斜率分別為QUOTE.①證明：QUOTE，QUOTE為定值；②設(shè)點(diǎn)N關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，求面積的最大值．22（12分）．已知函數(shù)QUOTE（1）求函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若QUOTE對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)QUOTE的取值范圍.數(shù)學(xué)答案1-4BBCB5-8BAAB9AD10AB11ACD12ABD填空題13.【答案】5解：QUOTE拋物線的方程為QUOTE，

QUOTE拋物線的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為QUOTE，又QUOTE直線AB過(guò)焦點(diǎn)F且斜率為2，

QUOTE直線AB的方程為：QUOTE．代入拋物線方程消去y并化簡(jiǎn)得QUOTE，

所以QUOTE

14.【答案】QUOTE

解：由題意得QUOTE，

將QUOTE與QUOTE分別代入，

得QUOTE，QUOTE，

QUOTE，QUOTE，

QUOTE，

故切線方程是QUOTE．

故答案為QUOTE

15【答案】QUOTE4解：由題意可得小暑、立秋、白露的日影子長(zhǎng)的和為18尺，霜降的日影子長(zhǎng)為QUOTE尺，

即QUOTE，QUOTE，

可得QUOTE，解得QUOTE故QUOTE

故秋分QUOTE的日影子長(zhǎng)為QUOTE尺，

故答案為QUOTE．

16解：設(shè)A，B，C所在球小圓為圓QUOTE，取AB中點(diǎn)E，連接OE，QUOTE，則QUOTE即為二面角QUOTE的平面角，為QUOTE，QUOTE，QUOTE，則QUOTE，QUOTE

當(dāng)直線OC與平面OAB所成角最大時(shí)，則C到平面OAB距離最大，則C到AB的距離最大，

此時(shí)QUOTE，此時(shí)E，QUOTE，C三點(diǎn)共線，由余弦定理可知：

QUOTE，

故三棱錐QUOTE的體積為QUOTE，故答案為QUOTE．17解：QUOTEⅠQUOTE

QUOTE

，-------2分

因?yàn)镼UOTE，所以,

所以QUOTE的值域?yàn)镼UOTE．--------------5分

QUOTEⅡQUOTE因?yàn)镼UOTE，所以，

因?yàn)?，所以?------7分

由余弦定理得：QUOTE，即QUOTE

QUOTE，因?yàn)镼UOTE，所以QUOTE

QUOTE-------10分

18當(dāng)QUOTE時(shí)，QUOTE，當(dāng)QUOTE時(shí)，QUOTE，又QUOTE滿意QUOTE，所以QUOTE------4分

選QUOTE：

設(shè)公差為d，由QUOTE，QUOTE解得QUOTE

所以QUOTE------4分

選QUOTE：

由QUOTE，所以QUOTE，QUOTE所以QUOTE．------4分

設(shè)QUOTE的公比為q，又因?yàn)镼UOTE，得QUOTE，QUOTE，所以QUOTE；------6分

又可知QUOTE，

數(shù)列QUOTE的前n項(xiàng)和為QUOTEQUOTE+QUOTE------8分

數(shù)列的前n項(xiàng)和為，------12分19【解答】（1）證明：連接，設(shè)，連接，底面ABCD為正方形，，，平面底面，平面，底面ABCD，底面ABCD，，------4分（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，由（1）可知，可得，，設(shè)平面DMN的法向量，，今，可得，------7分，設(shè)平面PCD的法向量，,,令a=1可得------10分，------12分20.試題解析：（1）由題意知，OF＝OP＝10，MP＝6.5，故OM＝3.5．（i）在Rt△ONF中，NF＝OFsinθ＝10sinθ，ON＝OFcosθ＝10cosθ．在矩形EFGH中，EF＝2MF＝20sinθ，F(xiàn)G＝ON－OM＝10cosθ－3.5，故S＝EF×FG＝20sinθ（10cosθ－3.5）＝10sinθ（20cosθ－7）．即所求函數(shù)關(guān)系是S＝10sinθ（20cosθ－7），0＜θ＜θ0，其中cosθ0＝QUOTE．-----4分（ii）因?yàn)镸N＝x，OM＝3.5，所以O(shè)N＝x＋3.5．在Rt△ONF中，NF＝QUOTE＝QUOTE＝QUOTE．在矩形EFGH中，EF＝2NF＝QUOTE，F(xiàn)G＝MN＝x，故S＝EF×FG＝xQUOTE．即所求函數(shù)關(guān)系是S＝xQUOTE，0＜x＜6.5．-----8分（2）方法一：選擇（i）中的函數(shù)模型：令f（θ）＝sinθ（20cosθ－7），則f′（θ）＝cosθ（20cosθ－7）＋sinθ（－20sinθ）＝40cos2θ－7cosθ－20．由f′（θ）＝40cos2θ－7cosθ－20＝0，解得cosθ＝QUOTE，或cosθ＝－QUOTE．因?yàn)?＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ＝QUOTE．設(shè)cosα＝QUOTE，且α為銳角，則當(dāng)θ∈（0，α）時(shí)，f′（θ）＞0，f（θ）是增函數(shù)；當(dāng)θ∈（α，θ0）時(shí)，f′（θ）＜0，f（θ）是減函數(shù)，所以當(dāng)θ＝α，即cosθ＝QUOTE時(shí)，f（θ）取到最大值，此時(shí)S有最大值．即MN＝10cosθ－3.5＝4.5m時(shí)，通風(fēng)窗的面積最大．-----12分方法二：選擇（ii）中的函數(shù)模型：因?yàn)镾＝QUOTE，令f（x）＝x2（351－28x－4x2），則f′（x）＝－2x（2x－9）（4x＋39）．因?yàn)楫?dāng)0＜x＜QUOTE時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)QUOTE＜x＜QUOTE時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝QUOTE時(shí)，f（x）取到最大值，此時(shí)S有最大值．即MN＝x＝4.5m時(shí)，通風(fēng)窗的面積最大．-----12分21【解析】（1）（1）由題意知，|CA|+|CB|＝|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|＝2|CP|+|AB|＝4＞|AB|，∴曲線E是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓（除去與x軸的交點(diǎn)），設(shè)曲線E：，則c＝1，2a＝4，即a＝2，b2＝a2﹣c2＝3，∴曲線E的方程為；---