姿態(tài)的歐拉角表示

題目：比較分析，找出一種適合乒乓球機(jī)器人的末端姿態(tài)的歐拉角方法姿態(tài)的歐拉角表示任何旋轉(zhuǎn)矩陣都可以通過(guò)三個(gè)歐拉角進(jìn)行參數(shù)化，一般來(lái)說(shuō)，繞三個(gè)坐標(biāo)軸的順次旋轉(zhuǎn)可以達(dá)到任意的姿態(tài)，由于旋轉(zhuǎn)矩陣的乘法是非交換的，因此旋轉(zhuǎn)的次序是很重要的。按照旋轉(zhuǎn)所繞軸的次序的不同，共有12種不同的歐拉角。六種非對(duì)稱型歐拉角:XYZ，XZY，YXZ，YZX，ZXY和ZYX;六種對(duì)稱型歐拉角:XYX，XZX，YXY，YZY，ZXZ和ZYZ。記繞三個(gè)坐標(biāo)軸的基本旋轉(zhuǎn)矩陣為:1、非對(duì)稱型歐拉角表示當(dāng)三個(gè)旋轉(zhuǎn)所繞的坐標(biāo)軸相互不同時(shí)，稱為非對(duì)稱型歐拉角表示。以XYZ歐拉角為例，假定起始時(shí)物體坐標(biāo)系與慣性坐標(biāo)系重合，首先剛體繞物體坐標(biāo)系的x-軸旋轉(zhuǎn)α角，接著繞y-軸旋轉(zhuǎn)β角，最后繞z-軸旋轉(zhuǎn)角，則剛體最終的姿態(tài)矩陣為:上式給出了XYZ歐拉角參數(shù)的正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，反解該式可求得其逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，給定姿態(tài)矩陣R=【rij】3×3時(shí)，可求得其逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為:從上式可以看出，當(dāng)β=π2時(shí)，逆運(yùn)動(dòng)學(xué)存在奇異。其他五種非對(duì)稱型歐拉角表示的姿態(tài)矩陣計(jì)算結(jié)果列于表1。寫成向量形式有:此處稱為XYZ型歐拉角參數(shù)表示的雅克比矩陣，由detJXYZ=cosβ可知，JXYZ在β=π/2時(shí)出現(xiàn)奇異，這就是XYZ型歐拉角參數(shù)的一階運(yùn)動(dòng)奇異位形。其他歐拉角參數(shù)表示的雅可比矩陣列于表3和表4。從表3可以看出，非對(duì)稱型歐拉角表示的雅可比矩陣都在β=π/2時(shí)出現(xiàn)奇異，因此它們存在大角度的一階運(yùn)動(dòng)奇異;從表4可以看出，對(duì)稱型歐拉角表示的雅可比矩陣都在β=0時(shí)出現(xiàn)奇異，因此它們存在小角度的一階運(yùn)動(dòng)奇異。歐拉角參數(shù)表示的二階運(yùn)動(dòng)對(duì)式(4)繼續(xù)求導(dǎo)，可以得到剛體的瞬時(shí)空間角加速度，它也是在慣性坐標(biāo)系中描述的。計(jì)算的結(jié)果如下，其他歐拉角參數(shù)表示的矩陣列于表5和表6。從表5可以看出，非對(duì)稱歐拉角表示在β=π/2時(shí)出現(xiàn)二階運(yùn)動(dòng)奇異，因此在這些點(diǎn)上存在大角度的二階運(yùn)動(dòng)奇異;從表6可以看出，