6.2.2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值最值（第2課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值）課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版選擇性

6.2.2

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值第2課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值第六章人教B版

數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.理解函數(shù)的最值的概念.2.了解函數(shù)的最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系.3.會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值.4.進(jìn)一步提升直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)函數(shù)存在最值的條件1.如圖,觀察函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象,你能找出f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值嗎?提示:函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最小值是f(x3),最大值是f(b).2.如何求函數(shù)的最大(小)值呢?假設(shè)函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,則該函數(shù)在[a,b]上一定能夠取得最大值與最小值,函數(shù)的最值一定在

極值點(diǎn)

或區(qū)間端點(diǎn)

取得,由于可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的極值只可能在使

f'(x)=0的點(diǎn)取得,因此把函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的值與區(qū)間內(nèi)使f'(x)=0的點(diǎn)的值作比較,最大的就是函數(shù)在[a,b]上的最大值,最小的就是最小值.3.函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)一定有最值嗎?提示:不一定.4.設(shè)M,m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值,若M=m,則f'(x)(

)A.等于0 B.小于0C.等于1 D.不確定解析:因?yàn)镸=m,所以f(x)為常數(shù)函數(shù),故f'(x)=0.故選A.答案:A【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號(hào)里畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)閉區(qū)間上的函數(shù)一定有最值.(×)(2)極值只能在區(qū)間內(nèi)取得,最值則可以在區(qū)間端點(diǎn)處取得.(√)(3)函數(shù)的最大值一定是極大值,函數(shù)的最小值一定是極小值.(×)(4)一次函數(shù)y=ax+b在閉區(qū)間[m,n]上一定有最大值和最小值.(√)合作探究釋疑解惑探究一求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值【例1】

求函數(shù)f(x)=2x3-12x,x∈[-1,3]的最值.用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題的一般步驟第一步:(求導(dǎo)數(shù))求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x);第二步:(求極值)求f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性和極值;第三步:(求端點(diǎn)值)求f(x)在給定區(qū)間上的端點(diǎn)值;第四步:(求最值)將f(x)的極值與端點(diǎn)值進(jìn)行比較,確定f(x)的最大值與最小值.反思感悟探究二由函數(shù)最值求參數(shù)的值或取值范圍【例2】

已知函數(shù)f(x)=ax3-6ax2+b,是否存在實(shí)數(shù)a,b,使f(x)在區(qū)間[-1,2]上取得最大值3,最小值-29?若存在,求出a,b的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.解:存在.顯然a≠0.f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4).令f'(x)=0,解得x=0或x=4(舍去后者).(1)當(dāng)a>0時(shí),當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:x-1(-1,0)0(0,2)2f'(x)

+0-

f(x)b-7a↗極大值b↘b-16a所以當(dāng)x=0時(shí),f(x)取得最大值,所以f(0)=b=3.又f(2)=-16a+3,f(-1)=-7a+3,f(-1)>f(2),所以當(dāng)x=2時(shí),f(x)取得最小值,即-16a+3=-29,解得a=2.(2)當(dāng)a<0時(shí),當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:x-1(-1,0)0(0,2)2f'(x)

-0+

f(x)b-7a↘極小值b↗b-16a所以當(dāng)x=0時(shí),f(x)取得最小值,所以b=-29.又f(2)=-16a-29,f(-1)=-7a-29,f(2)>f(-1).所以當(dāng)x=2時(shí),f(x)取得最大值,即-16a-29=3,解得a=-2.綜上所述,a=2,b=3或a=-2,b=-29.1.用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值和求函數(shù)的極值方法類似,當(dāng)給定區(qū)間是閉區(qū)間時(shí),極值要和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較,并且要注意極值點(diǎn)是否在區(qū)間內(nèi).2.當(dāng)函數(shù)中多項(xiàng)式的次數(shù)大于2或用傳統(tǒng)方法不易求最值時(shí),可考慮用導(dǎo)數(shù)的方法求解.反思感悟【變式訓(xùn)練2】

已知函數(shù)f(x)=ax4lnx+bx4-c(x>0)在x=1處取得極值-3-c,其中a,b,c為常數(shù).若對(duì)任意x>0,不等式f(x)≥-2c2恒成立,求c的取值范圍.解:由題意知f(1)=-3-c.所以b-c=-3-c,即b=-3.由題意知f'(1)=0,所以a+4b=0,解得a=12.所以f'(x)=48x3ln

x(x>0).令f'(x)=0,解得x=1.當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)<0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>1時(shí),f'(x)>0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增.所以f(x)在x=1處取得極小值f(1)=-3-c,并且此極小值也是最小值.所以要使f(x)≥-2c2(x>0)恒成立,只需-3-c≥-2c2即可.探究三函數(shù)最值的綜合應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)法證明不等式的思路(1)要證明f(x)>a成立,只需證明f(x)min>a即可.(2)要證明f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))在區(qū)間D上成立,基本方法是構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),根據(jù)函數(shù)h(x)的單調(diào)性證明h(x)min>0(或h(x)max<0).反思感悟【變式訓(xùn)練3】

已知x>0,證明:1+2x<e2x.證明:設(shè)f(x)=1+2x-e2x,則f'(x)=2-2e2x=2(1-e2x).當(dāng)x>0時(shí),2x>0,e2x>e0=1,∴f'(x)=2(1-e2x)<0,∴函數(shù)f(x)=1+2x-e2x在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.∴f(x)<f(0)=0.∴當(dāng)x>0時(shí),1+2x-e2x<0,即1+2x<e2x.【易錯(cuò)辨析】

混淆極值與最值而致誤【典例】

已知函數(shù)f(x)=(x2+1)(x+a)(a∈R),當(dāng)f'(-1)=0時(shí),函數(shù)y=f(x)在區(qū)間錯(cuò)解:∵f(x)=x3+ax2+x+a,∴f'(x)=3x2+2ax+1,∴f'(-1)=3-2a+1=0,解得a=2.以上解答過程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:錯(cuò)解誤認(rèn)為極值就是最值,而函數(shù)的最值也可能在區(qū)間端點(diǎn)處取得.正解:∵f(x)=x3+ax2+x+a,∴f'(x)=3x2+2ax+1.∴f'(-1)=3-2a+1=0,解得a=2.求函數(shù)最值時(shí),若函數(shù)的定義域是閉區(qū)間,則需比較極值點(diǎn)處函數(shù)值與端點(diǎn)處函數(shù)值的大小;若函數(shù)的定義域是開區(qū)間且只有一個(gè)極值點(diǎn),則該極值點(diǎn)就是最值點(diǎn).防范措施當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:隨堂練習(xí)答案:A答案:A3.若函數(shù)f(x)=x3-x2-x+a在區(qū)間[0,2]上的最大值是3,則a等于(

)A.3 B.1

C.2

D.-1解析:f'(x)=3x2-2x-1,令f'(x)=0,解得x=

(舍去)或x=1.又f(0)=a,f(1)=a-1,f(2)=a+2,故f(2)最大,即a+2=3,所以a=1.答案:B4.在區(qū)間(0,π)上,sinx與x的大小關(guān)系是

.

解析:構(gòu)造函數(shù)f(x)=sin

x-x,則f'