2015年高考排列與組合典型例題與解答

2015年高考排列與組合典型例題與解答一、選擇題1．(2014·山東東營)6個人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐4人，則不同的乘車方法數(shù)為()A．40 B．50C．60 D．702．(2014·山東東營)有6個座位連成一排，現(xiàn)有3人就坐，則恰有兩個空座位相鄰的不同坐法有()A．36種 B．48種C．72種 D．96種3．(2014·山西太原)只用1,2,3三個數(shù)字組成一個四位數(shù)，規(guī)定這三個數(shù)必須同時使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有()A．6個 B．9個C．18個 D．36個4．(2014·北京)男女學生共有8人，從男生中選取2人，從女生中選取1人，共有30種不同的選法，其中女生有()A．2人或3人B．3人或4人C．3人D．4人5．某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，若規(guī)定從二樓到三樓用8步走完，則方法有()A．45種 B．36種C．28種 D．25種6．(2014·山西太原)某公司招聘來8名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個部門，其中兩名英語翻譯人員不能分在同一個部門，另外三名電腦編程人員也不能全分在同一個部門，則不同的分配方案共有()A．24種 B．36種C．38種 D．108種7．組合數(shù)Ceq\o\al(r,n)(n>r≥1，n，r∈Z)恒等于()A.eq\f(r＋1,n＋1)Ceq\o\al(r－1,n－1) B．(n＋1)(r＋1)Ceq\o\al(r－1,n－1)C．nrCeq\o\al(r－1,n－1) D.eq\f(n,r)Ceq\o\al(r－1,n－1)8．(2014·山西太原)已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，從這三個集合中各取一個元素構(gòu)成空間直角坐標系中點的坐標，則確定的不同點的個數(shù)為()A．33 B．34C．35 D．36、填空題11．安排7位工作人員在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________種．(用數(shù)字作答)12．今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個球排成一列有________種不同的排法．(用數(shù)字作答)13．(2010·江西理，14)將6位志愿者分成4組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人，分赴世博會的四個不同場館服務，不同的分配方案有________種(用數(shù)字作答)．14．(2010·山東濟寧)要在如圖所示的花圃中的5個區(qū)二域中種入4種顏色不同的花，要求相鄰區(qū)域不同色，有________種不同的種法(用數(shù)字作答)．三、解答題15．(1)計算Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al(199,200)；(2)求20Ceq\o\al(5,n＋5)＝4(n＋4)Ceq\o\al(n－1,n＋3)＋15Aeq\o\al(2,n＋3)中n的值．16．(2010·東北師大附中模擬)有一排8個發(fā)光二極管，每個二極管點亮時可發(fā)出紅光或綠光，若每次恰有3個二極管點亮，但相鄰的兩個二極管不能同時點亮，根據(jù)這三個點亮的二極管的不同位置和不同顏色來表示不同的信息，求這排二極管能表示的信息種數(shù)共有多少種？17．按下列要求把12個人分成3個小組，各有多少種不同的分法？(1)各組人數(shù)分別為2,4,6個；(2)平均分成3個小組；(3)平均分成3個小組，進入3個不同車間．18．6男4女站成一排，求滿足下列條件的排法共有多少種？(1)任何2名女生都不相鄰有多少種排法？(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少種排法？(3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少種排法？(4)男甲在男乙的左邊(不一定相鄰)有多少種不同的排法？[解析](1)任何2名女生都不相鄰，則把女生插空，所以先排男生再讓女生插到男生的空中，共有Aeq\o\al(6,6)·Aeq\o\al(4,7)種不同排法．(2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分類，若甲在末位，則有Aeq\o\al(9,9)種排法，若甲不在末位，則甲有Aeq\o\al(1,8)種排法，乙有Aeq\o\al(1,8)種排法，其余有Aeq\o\al(8,8)種排法，綜上共有(Aeq\o\al(9,9)＋Aeq\o\al(1,8)Aeq\o\al(1,8)·Aeq\o\al(8,8))種排法．方法二：無條件排列總數(shù)Aeq\o\al(10,10)－eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(甲在首，乙在末A\o\al(8,8),甲在首，乙不在末A\o\al(9,9)－A\o\al(8,8),甲不在首，乙在末A\o\al(9,9)－A\o\al(8,8)))甲不在首乙不在末，共有(Aeq\o\al(10,10)－2Aeq\o\al(9,9)＋Aeq\o\al(8,8))種排法．(3)10人的所有排列方法有Aeq\o\al(10,10)種，其中甲、乙、丙的排序有Aeq\o\al(3,3)種，又對應甲、乙、丙只有一種排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法有eq\f(A\o\al(10,10),A\o\al(3,3))種．(4)男甲在男乙的左邊的10人排列與男甲在男乙的右邊的10人排列數(shù)相等，而10人排列數(shù)恰好是這二者之和，因此滿足條件的有eq\f(1,2)Aeq\o\al(10,10)種排法．答案：1.[答案]2400[解析]先安排甲、乙兩人在后5天值班，有Aeq\o\al(2,5)＝20(種)排法，其余5人再進行排列，有Aeq\o\al(5,5)＝120(種)排法，所以共有20×120＝2400(種)安排方法．2.[答案]1260[解析]由題意可知，因同色球不加以區(qū)分，實際上是一個組合問題，共有Ceq\o\al(4,9)·Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,3)＝1260(種)排法．13[答案]1080[解析]先將6名志愿者分為4組，共有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4),A\o\al(2,2))種分法，再將4組人員分到4個不同場館去，共有Aeq\o\al(4,4)種分法，故所有分配方案有：eq\f(C\o\al(2,6)·C\o\al(2,4),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(4,4)＝1080種．14.[答案]72[解析]5有4種種法，1有3種種法，4有2種種法．若1、3同色，2有2種種法，若1、3不同色，2有1種種法，∴有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72種．15[解析](1)Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al(199,200)＝Ceq\o\al(2,100)＋Ceq\o\al(1,200)＝eq\f(100×99,2)＋200＝4950＋200＝5150.(2)20×eq\f((n＋5)！,5！n！)＝4(n＋4)×eq\f((n＋3)！,(n－1)！4！)＋15(n＋3)(n＋2)，即eq\f((n＋5)(n＋4)(n＋3)(n＋2)(n＋1),6)＝eq\f((n＋4)(n＋3)(n＋2)(n＋1)n,6)＋15(n＋3)(n＋2)，所以(n＋5)(n＋4)(n＋1)－(n＋4)(n＋1)n＝90，即5(n＋4)(n＋1)＝90.所以n2＋5n－14＝0，即n＝2或n＝－7.注意到n≥1且n∈Z，所以n＝2.16[點撥]在(1)中應用組合數(shù)性質(zhì)使問題簡化，若直接應用公式計算，容易發(fā)生運算錯誤，因此，當m>eq\f(n,2)時，特別是m接近于n時，利用組合數(shù)性質(zhì)1能簡化運算．[解析]因為相鄰的兩個二極管不能同時點亮，所以需要把3個點亮的二極管插放在未點亮的5個二極管之間及兩端的6個空上，共有Ceq\o\al(3,6)種亮燈辦法．然后分步確定每個二極管發(fā)光顏色有2×2×2＝8(種)方法，所以這排二極管能表示的信息種數(shù)共有Ceq\o\al(3,6)×2×2×2＝160(種)．17.[解析](1)Ceq\o\al(2,12)Ceq\o\al(4,10)Ceq\o\al(6,6)＝13860(種)；(2)eq\f(C\o\al(4,12)C\o\al(4,8)C\o\al(4,4),A\o\al(3,3))＝5775(種)；(3)分兩步：第一步平均分三組；第二步讓三個小組分別進入三個不同車間，故有eq\f(C\o\al(4,12)C\o\al(4,8)C\o\al(4,4),A\o\al(3,3))·Aeq\o\al(3,3)＝Ceq\o\al(4,12)·Ceq\o\al(4,8)·Ceq\o\al(4,4)＝34650(種)不同的分法．一、答案一、選擇題答案1．[答案]B [解析]先分組再排列，一組2人一組4人有Ceq\o\al(2,6)＝15種不同的分法；兩組各3人共有eq\f(C\o\al(3,6),A\o\al(2,2))＝10種不同的分法，所以乘車方法數(shù)為25×2＝50，故選B.2．[答案]C[解析]恰有兩個空座位相鄰，相當于兩個空位與第三個空位不相鄰，先排三個人，然后插空，從而共Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)＝72種排法，故選C.3．[答案]C[解析]注意題中條件的要求，一是三個數(shù)字必須全部使用，二是相同的數(shù)字不能相鄰，選四個數(shù)字共有Ceq\o\al(1,3)＝3(種)選法，即1231,1232,1233，而每種選擇有Aeq\o\al(2,2)×Ceq\o\al(2,3)＝6(種)排法，所以共有3×6＝18(種)情況，即這樣的四位數(shù)有18個．4．[答案]A[解析]設(shè)男生有n人，則女生有(8－n)人，由題意可得Ceq\o\al(2,n)Ceq\o\al(1,8－n)＝30，解得n＝5或n＝6，代入驗證，可知女生為2人或3人．5．[答案]C[解析]因為10÷8的余數(shù)為2，故可以肯定一步一個臺階的有6步，一步兩個臺階的有2步，那么共有Ceq\o\al(2,8)＝28種走法．6．[答案]B[解析]本題考查排列組合的綜合應用，據(jù)題意可先將兩名翻譯人員分到兩個部門，共有2種方法，第二步將3名電腦編程人員分成兩組，一組1人另一組2人，共有Ceq\o\al(1,3)種分法，然后再分到兩部門去共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)種方法，第三步只需將其他3人分成兩組，一組1人另一組2人即可，由于是每個部門各4人，故分組后兩人所去的部門就已確定，故第三步共有Ceq\o\al(1,3)種方法，由分步乘法計數(shù)原理共有2Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)＝36(種)．7．[答案]D[解析]∵Ceq\o\al(r